• Tutorial

Mirëdita të gjithëve. Në këtë artikull dua të tregoj një nga metodat grafike për ndërtimin e modeleve matematikore për sistemet dinamike, e cila quhet grafiku i lidhjes("lidhja" - lidhjet, "grafiku" - grafiku). Në literaturën ruse, gjeta përshkrime të kësaj metode vetëm në Tekstin shkollor të Universitetit Politeknik Tomsk, A.V. Voronin “MODELIMI I SISTEMEVE MEKATRONIKE” 2008 Trego edhe metodën klasike nëpërmjet ekuacionit të Lagranzhit të llojit të dytë.

Metoda e Lagranzhit

Karakteristikat e metodave të modelimit:

• Njuton-Euler: ekuacione vektoriale të bazuara në ekuilibrin dinamik forcë Dhe momente
• Lagranzhit: ekuacionet skalare të bazuara në funksionet e gjendjes që lidhen me kinetikën dhe potencialin energjitë
• Numri i obligacioneve: metoda e bazuar në rrjedhë pushtet ndërmjet elementeve të sistemit

Le të fillojmë me një shembull të thjeshtë. Masa me susta dhe damper. Ne e injorojmë forcën e gravitetit.

Para së gjithash, ne caktojmë:

• sistemi fillestar i koordinatave(NSK) ose sk fiks R0(i0,j0,k0). Ku? Mund ta drejtoni gishtin drejt qiellit, por duke tundur majat e neuroneve në tru, kalon ideja për të vendosur NSC në vijën e lëvizjes së trupit M1.
• sistemet e koordinatave për çdo trup me masë(ne kemi M1 R1(i1,j1,k1)), orientimi mund të jetë arbitrar, por pse ta ndërlikoni jetën tuaj, vendoseni me diferencë minimale nga NSC
• koordinatat e përgjithësuara q_i(numri minimal i variablave që mund të përshkruajnë lëvizjen), në këtë shembull ka një koordinatë të përgjithësuar, lëvizje vetëm përgjatë boshtit j

Pastaj do të gjejmë energjitë kinetike (C) dhe potenciale (P) dhe funksionin shpërndarës (D) për damperin duke përdorur formulat:

Në shembullin tonë nuk ka rotacion, komponenti i dytë është 0.

Ekuacioni i Lagranzhit ka formën e mëposhtme:

Delta W_i Kjo është punë virtuale e bërë nga forcat dhe momentet e aplikuara. Le ta gjejmë atë:

Ku delta q_1 lëvizje virtuale.

Ne zëvendësojmë gjithçka në ekuacionin e Lagranzhit:

Këtu përfundoi metoda e Lagranzhit. Siç mund ta shihni, nuk është aq e komplikuar, por është ende një shembull shumë i thjeshtë, për të cilin ka shumë të ngjarë që metoda Njuton-Euler të ishte edhe më e thjeshtë. Për sistemet më komplekse, ku do të ketë disa trupa të rrotulluar në lidhje me njëri-tjetrin në kënde të ndryshme, metoda e Lagranzhit do të jetë më e lehtë.

Metoda e grafikut të lidhjes

Këtu do t'ju duhet të tregoni një teori të vogël, e cila do të jetë e mjaftueshme për të ndërtuar modele të thjeshta. Nëse dikush është i interesuar, mund ta lexojë librin ( Metodologjia e grafikut të obligacioneve) ose ( Voronin A.V. Modelimi i sistemeve mekatronike: një tutorial. – Tomsk: Shtëpia Botuese e Universitetit Politeknik Tomsk, 2008).

Le të përcaktojmë fillimisht se sistemet komplekse përbëhen nga disa fusha. Për shembull, një motor elektrik përbëhet nga pjesë ose domene elektrike dhe mekanike.

grafiku i lidhjes bazuar në shkëmbimin e fuqisë ndërmjet këtyre domeneve, nënsistemeve. Vini re se shkëmbimi i energjisë, i çdo forme, përcaktohet gjithmonë nga dy ndryshore ( fuqi e ndryshueshme) me ndihmën e të cilit mund të studiojmë bashkëveprimin e nënsistemeve të ndryshme brenda një sistemi dinamik (shih tabelën).

Siç shihet nga tabela, shprehja e pushtetit është pothuajse e njëjtë kudo. Në përmbledhje, Fuqia- Kjo pune " rrjedhë - f"në" përpjekje - e».

Nje perpjekje(anglisht) përpjekje) në fushën elektrike ky është tension (e), në fushën mekanike është forca (F) ose çift rrotullimi (T), në hidraulikë është presion (p).

Rrjedha(anglisht) rrjedhin) në fushën elektrike është rryma (i), në fushën mekanike është shpejtësia (v) ose shpejtësia këndore (omega), në hidraulikë është rrjedha ose shpejtësia e rrjedhjes së lëngut (Q).

Duke marrë këto shënime, marrim një shprehje për fuqinë:

Në gjuhën e grafikut bond, lidhja midis dy nënsistemeve që shkëmbejnë fuqinë përfaqësohet nga një lidhje. lidhje). Kjo është arsyeja pse kjo metodë quhet grafiku i lidhjes ose g raf-lidhjet, grafiku i lidhur. Le të shqyrtojmë bllok diagrami lidhjet në një model me një motor elektrik (ky nuk është ende një grafik i lidhjes):

Nëse kemi një burim tensioni, atëherë ai gjeneron tension dhe e transferon atë në motor për dredha-dredha (kjo është arsyeja pse shigjeta drejtohet drejt motorit), në varësi të rezistencës së mbështjelljes, shfaqet një rrymë sipas ligjit të Ohmit (drejtuar nga motori në burim). Prandaj, një variabël është një hyrje në nënsistem, dhe e dyta duhet të jetë dalje nga nënsistemi. Këtu tensioni ( përpjekje) – hyrje, rrymë ( rrjedhin) - dalje.

Nëse përdorni një burim aktual, si do të ndryshojë diagrami? E drejta. Rryma do të drejtohet në motor, dhe voltazhi në burim. Pastaj rryma ( rrjedhin) - hyrje, tension ( përpjekje) - dalje.

Le të shohim një shembull në mekanikë. Forca që vepron në një masë.

Diagrami i bllokut do të jetë si më poshtë:

Në këtë shembull, Forca ( përpjekje) – ndryshorja hyrëse për masën. (Forca e aplikuar në masë)
Sipas ligjit të dytë të Njutonit:

Masa përgjigjet me shpejtësi:

Në këtë shembull, nëse një variabël ( forcë - përpjekje) është hyrje në domenin mekanik, pastaj një variabël tjetër fuqie ( shpejtësia - rrjedhin) – bëhet automatikisht dalje.

Për të dalluar se ku është hyrja dhe ku është dalja, përdoret një vijë vertikale në fund të shigjetës (lidhja) midis elementeve, kjo linjë quhet shenjë e shkakësisë ose shkakësore (kauzaliteti). Rezulton: forca e aplikuar është shkaku, dhe shpejtësia është efekti. Kjo shenjë është shumë e rëndësishme për ndërtimin e saktë të një modeli sistemi, pasi shkakësia është pasojë e sjelljes fizike dhe shkëmbimit të fuqive të dy nënsistemeve, prandaj zgjedhja e vendndodhjes së shenjës së shkakësisë nuk mund të jetë arbitrare.

Kjo vijë vertikale tregon se cili nënsistem merr forcën ( përpjekje) dhe si rezultat prodhojnë një rrjedhë ( rrjedhin). Në shembullin me masë do të ishte kështu:

Nga shigjeta është e qartë se hyrja për masën është - forcë, dhe prodhimi është shpejtësia. Kjo bëhet në mënyrë që të mos rrëmohet diagrami me shigjeta dhe të sistematizohet ndërtimi i modelit.

Pika tjetër e rëndësishme. Impuls i përgjithësuar(sasia e lëvizjes) dhe duke lëvizur(variablat e energjisë).

Tabela e variablave të fuqisë dhe energjisë në fusha të ndryshme

Në fushën elektrike :

Bazuar në ligjin e Faradeit, tensionit në skajet e përcjellësit është i barabartë me derivatin e fluksit magnetik nëpër këtë përcjellës.

Nga ligji i 2-të i Njutonit, Forca– derivati ​​kohor i impulsit

Elementet bazë

Burimet
Ka burime si të përpjekjes ashtu edhe të rrjedhës. Analogjia në fushën elektrike: burimi i përpjekjes – burimi i tensionit, burimi i rrjedhës – burim aktual. Shenjat shkakësore për burimet duhet të jenë vetëm të tilla.

Komponenti R – element shpërhapës

Komponenti I – element inercial

Komponenti C – elementi kapacitiv

Siç shihet nga figurat, elementë të ndryshëm të të njëjtit tip R, C, I përshkruhen me të njëjtat ekuacione. VETËM ka një ndryshim për kapacitetin elektrik, ju vetëm duhet ta mbani mend atë!

Komponentët katërpolësh:

Le të shohim dy komponentë: një transformator dhe një rrotullues.

Komponentët e fundit të rëndësishëm në metodën bond-graph janë lidhjet. Ekzistojnë dy lloje të nyjeve:

Hapat kryesorë për vendosjen e marrëdhënieve shkakësore pas ndërtimit të një grafiku të lidhjes:

1. Jepni lidhje shkakësore për të gjithë burimet
2. Kaloni nëpër të gjitha nyjet dhe vendosni marrëdhëniet shkakësore pas pikës 1
3. Për komponentët I caktoni një marrëdhënie shkakësore hyrëse (përpjekja përfshihet në këtë komponent), për komponentët C caktimi i shkakësisë së prodhimit (përpjekja del nga ky komponent)
4. Përsëritni pikën 2
5. Fut lidhjet shkakësore për komponentët R

Shembulli 1

Do të merrni grafikun e mëposhtëm të lidhjes:

Tani duhet të vendosim marrëdhënie shkakësore. Duke ndjekur udhëzimet për sekuencën e vendosjes së tyre, le të fillojmë me burimin.

1. Ne kemi një burim tensioni (përpjekjeje), një burim i tillë ka vetëm një opsion shkakësie - dalje. Le ta veshim.
2. Tjetra është komponenti I, le të shohim se çfarë rekomandojnë ata. Ne kemi vënë
3. Ne e vendosim atë për 1-nyje. Hani
4. Një nyje 0 duhet të ketë një hyrje dhe të gjitha lidhjet shkakësore dalëse. Kemi një ditë pushim për momentin. Po kërkojmë komponentët C ose I. E gjetëm. Ne kemi vënë
5. Le të rendisim atë që ka mbetur

Gjithçka që mbetet është të shkruajmë ekuacionet që përshkruajnë sistemin tonë. Për ta bërë këtë, krijoni një tabelë me 3 kolona. E para do të përmbajë të gjithë komponentët e sistemit, e dyta do të përmbajë ndryshoren hyrëse për secilin element dhe e treta do të përmbajë variablin e daljes për të njëjtin komponent. Tashmë kemi përcaktuar hyrjen dhe daljen sipas marrëdhënieve shkakësore. Kështu që nuk duhet të ketë probleme.

Le të numërojmë secilën lidhje për lehtësinë e regjistrimit të niveleve. Ne marrim ekuacionet për secilin element nga lista e komponentëve C, R, I.

Shembulli 2. Do të doja të kërkoja menjëherë falje për cilësinë e fotografisë, gjëja kryesore është që ju mund të lexoni

Le të zgjidhim një shembull tjetër për një sistem mekanik, të njëjtin që zgjidhëm duke përdorur metodën e Lagranzhit. Unë do të tregoj zgjidhjen pa koment. Le të kontrollojmë se cila nga këto metoda është më e thjeshtë dhe më e lehtë.

Në Matbala u përpiluan të dy modelet matematikore me të njëjtat parametra, të marra me metodën e Lagranzhit dhe grafikun e lidhjes. Rezultati është më poshtë: Shtoni etiketa

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhitështë një metodë klasike për zgjidhjen e problemeve të programimit matematik (në veçanti, programimit konveks). Për fat të keq, zbatimi praktik i metodës mund të hasë vështirësi të konsiderueshme llogaritëse që ngushtojnë fushën e përdorimit të saj. Ne e konsiderojmë metodën e Lagranzhit këtu kryesisht sepse është një aparat që përdoret në mënyrë aktive për të vërtetuar metoda të ndryshme numerike moderne që përdoren gjerësisht në praktikë. Sa i përket funksionit Lagrange dhe shumëzuesit Lagranzh, ata luajnë një rol të pavarur dhe jashtëzakonisht të rëndësishëm në teorinë dhe aplikimet e jo vetëm të programimit matematik.

Merrni parasysh problemin klasik të optimizimit

max (min) z=f(x) (7.20)

Ky problem dallohet nga problemi (7.18), (7.19) në atë që midis kufizimeve (7.21) nuk ka pabarazi, nuk ka kushte që variablat të jenë jonegativë, diskretiteti i tyre dhe funksionet f(x) janë të vazhdueshme dhe kanë derivate të pjesshëm të paktën të rendit të dytë.

Qasja klasike për zgjidhjen e problemit (7.20), (7.21) jep një sistem ekuacionesh (kushtet e nevojshme) që duhet të plotësohen nga pika x*, e cila i siguron funksionit f(x) një ekstremum lokal në grupin e pikave që kënaq kufizimet (7.21) (për problemin e programimit konveks, pika e gjetur x*, në përputhje me teoremën 7.6, do të jetë njëkohësisht një pikë e ekstremumit global).

Le të supozojmë se në pikën x* funksioni (7.20) ka një ekstrem të kushtëzuar lokal dhe rangu i matricës është i barabartë me . Pastaj kushtet e nevojshme do të shkruhen në formën:

(7.22)

ekziston një funksion Lagrange; - Shumëzuesit e Lagranzhit.

Ekzistojnë gjithashtu kushte të mjaftueshme në të cilat zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (7.22) përcakton pikën ekstreme të funksionit f(x). Kjo pyetje zgjidhet bazuar në studimin e shenjës së diferencialit të dytë të funksionit Lagranzh. Megjithatë, kushtet e mjaftueshme janë kryesisht me interes teorik.

Ju mund të specifikoni procedurën e mëposhtme për zgjidhjen e problemit (7.20), (7.21) duke përdorur metodën e shumëzuesit Lagrange:

1) kompozoni funksionin Lagranzh (7.23);

2) gjeni derivatet e pjesshme të funksionit Lagranzh në lidhje me të gjitha variablat dhe vendosini ato të barabarta me zero. Kjo do të rezultojë në sistemin (7.22), i përbërë nga ekuacione. Zgjidheni sistemin që rezulton (nëse kjo rezulton e mundur!) dhe gjeni kështu të gjitha pikat stacionare të funksionit Lagranzh;

3) nga pikat stacionare të marra pa koordinata, zgjidhni pikat në të cilat funksioni f(x) ka ekstreme lokale të kushtëzuara në prani të kufizimeve (7.21). Kjo zgjedhje bëhet, për shembull, duke përdorur kushte të mjaftueshme për një ekstrem lokal. Shpesh studimi thjeshtohet nëse përdoren kushte specifike të problemit.

Shembulli 7.3. Gjeni shpërndarjen optimale të një burimi të kufizuar në një njësi. ndërmjet n konsumatorëve, nëse fitimi i marrë nga shpërndarja e x j njësive të burimit te konsumatori i j-të llogaritet me formulën .

Zgjidhje. Modeli matematikor i problemit ka formën e mëposhtme:

Ne hartojmë funksionin Lagrange:

.

Ne gjejme derivatet e pjesshëm të funksionit të Lagranzhit dhe barazojini me zero:

Duke zgjidhur këtë sistem ekuacionesh, marrim:

Kështu, nëse konsumatorit të j-të i ndahen njësi. burimi, atëherë fitimi total do të arrijë vlerën e tij maksimale dhe shumën në den. njësive

Ne shqyrtuam metodën e Lagranzhit të aplikuar për një problem klasik optimizimi. Kjo metodë mund të përgjithësohet në rastin kur variablat janë jonegativë dhe disa kufizime jepen në formën e pabarazive. Megjithatë, ky përgjithësim është kryesisht teorik dhe nuk çon në algoritme specifike llogaritëse.

Si përfundim, le t'i japim shumëzuesve të Lagranzhit një interpretim ekonomik. Për ta bërë këtë, le t'i drejtohemi problemit më të thjeshtë të optimizimit klasik

maksimumi (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7.25)

Le të supozojmë se ekstremi i kushtëzuar arrihet në pikën . Vlera ekstreme përkatëse e funksionit f(x)

Le të supozojmë se në kufizimet (7.25) sasia b mund të ndryshojë, pastaj koordinatat e pikës ekstreme, dhe për rrjedhojë vlera ekstreme f* funksione f(x) do të bëhen sasi në varësi të b, d.m.th. ,, dhe rrjedhimisht derivati ​​i funksionit (7.24)

Konsideroni një ekuacion diferencial johomogjen linear të rendit të parë:
(1) .
Ekzistojnë tre mënyra për të zgjidhur këtë ekuacion:

• metoda e ndryshimit të konstantës (Lagranzh).

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë duke përdorur metodën e Lagranzhit.

Metoda e ndryshimit të konstantës (Lagranzh)

Në variacionin e metodës konstante, e zgjidhim ekuacionin në dy hapa. Në hapin e parë, ne thjeshtojmë ekuacionin origjinal dhe zgjidhim një ekuacion homogjen. Në fazën e dytë, ne zëvendësojmë konstantën e integrimit të marrë në fazën e parë të zgjidhjes me një funksion. Pastaj kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin origjinal.

Merrni parasysh ekuacionin:
(1)

Hapi 1 Zgjidhja e një ekuacioni homogjen

Ne po kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin homogjen:

Ky është një ekuacion i ndashëm

Ne i ndajmë variablat - shumëzojmë me dx, ndajmë me y:

Le të integrojmë:

Integrale mbi y - tabelare:

Pastaj

Le të fuqizojmë:

Le të zëvendësojmë konstantën e C me C dhe të heqim shenjën e modulit, e cila zbret në shumëzimin me një konstante ±1, të cilin do ta përfshijmë në C:

Hapi 2 Zëvendësoni konstanten C me funksionin

Tani le të zëvendësojmë konstanten C me një funksion prej x:
C → u (x)
Kjo do të thotë, ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin origjinal (1) si:
(2)
Gjetja e derivatit.

Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:
.
Sipas rregullit të diferencimit të produktit:

.
Zëvendësoni në ekuacionin origjinal (1) :
(1) ;

.
Zvogëlohen dy anëtarë:
;
.
Le të integrojmë:
.
Zëvendësoni në (2) :
.
Si rezultat, marrim një zgjidhje të përgjithshme për një ekuacion diferencial linear të rendit të parë:
.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë me metodën e Lagranzhit

Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje

Ne zgjidhim ekuacionin homogjen:

Ne ndajmë variablat:

Shumëzoni me:

Le të integrojmë:

Integralet tabelare:

Le të fuqizojmë:

Le të zëvendësojmë konstanten e C me C dhe të heqim shenjat e modulit:

Nga këtu:

Le të zëvendësojmë konstanten C me një funksion x:
C → u (x)

Gjetja e derivatit:
.
Zëvendësoni në ekuacionin origjinal:
;
;
Ose:
;
.
Le të integrojmë:
;
Zgjidhja e ekuacionit:
.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f (t)

konsiston në zëvendësimin e konstantave arbitrare ck në zgjidhjen e përgjithshme

z(t) = c1z1 (t) + c2z2 (t) + ...

Cnzn(t)

ekuacioni homogjen përkatës

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

te funksionet ndihmëse ck(t), derivatet e të cilëve kënaqin sistemin linear algjebrik

Përcaktori i sistemit (1) është Wronskian i funksioneve z1,z2,...,zn, i cili siguron zgjidhshmërinë e tij unike në lidhje me .

Nëse janë antiderivativë për , të marra në vlera fikse të konstanteve të integrimit, atëherë funksioni

është një zgjidhje e ekuacionit origjinal linear diferencial johomogjen. Integrimi i një ekuacioni johomogjen në prani të një zgjidhjeje të përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës reduktohet në kuadratura.

Metoda e Lagranzhit (metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare)

Një metodë për marrjen e një zgjidhjeje të përgjithshme për një ekuacion johomogjen, duke ditur zgjidhjen e përgjithshme të një ekuacioni homogjen pa gjetur një zgjidhje të veçantë.

Për një ekuacion diferencial linear homogjen të rendit të n-të

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

ku y = y(x) është një funksion i panjohur, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) janë të njohura, të vazhdueshme, të vërteta: 1) ka n në mënyrë lineare zgjidhje të pavarura ekuacionet y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) për çdo vlerë të konstantes c1, c2, ..., cn, funksioni y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) është një zgjidhja e ekuacionit; 3) për çdo vlerë fillestare x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 ka vlera c*1, c*n, ..., c*n të tilla që zgjidhja y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) plotëson kushtet fillestare y*(x0)=y0, (y*)"( x0) për x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Shprehja y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) quhet zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial linear homogjen të rendit të n-të.

Bashkësia e n zgjidhjeve të pavarura lineare të një ekuacioni diferencial linear homogjen të rendit të n-të y1(x), y2(x), ..., yn(x) quhet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit.

Për një ekuacion diferencial linear homogjen me koeficientë konstante, ekziston një algoritëm i thjeshtë për ndërtimin e një sistemi themelor zgjidhjesh. Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit në formën y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, d.m.th. numri l është rrënja e ekuacionit karakteristik ln + a1ln-1 + . .. + an-1l + an = 0. Ana e majtë e ekuacionit karakteristik quhet polinomi karakteristik i ekuacionit diferencial linear: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Kështu, problemi i zgjidhjes së një ekuacioni homogjen linear të rendit të n-të me koeficientë konstante zvogëlohet në zgjidhjen e një ekuacioni algjebrik.

Nëse ekuacioni karakteristik ka n rrënjë reale të ndryshme l1№ l2 № ... № ln, atëherë sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga funksionet y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), dhe zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen është: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

një sistem themelor zgjidhjesh dhe një zgjidhje të përgjithshme për rastin e rrënjëve të thjeshta reale.

Nëse ndonjë nga rrënjët reale të ekuacionit karakteristik përsëritet r herë (r-rrënjë e shumëfishtë), atëherë në sistemin themelor të zgjidhjeve ka r funksione që i korrespondojnë; nëse lk=lk+1 = ... = lk+r-1, atëherë sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit përfshin funksionet r: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx ), yk +2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).

SHEMBULL 2. Sistemi themelor i zgjidhjeve dhe zgjidhja e përgjithshme për rastin e rrënjëve reale të shumëfishta.

Nëse ekuacioni karakteristik ka rrënjë komplekse, atëherë çdo çift rrënjësh të thjeshta (me shumësi 1) komplekse lk,k+1=ak ± ibk në sistemin themelor të zgjidhjeve korrespondon me një çift funksionesh yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

SHEMBULL 4. Sistemi themelor i zgjidhjeve dhe zgjidhja e përgjithshme për rastin e rrënjëve të thjeshta komplekse. Rrënjët imagjinare.

Nëse një çift rrënjësh komplekse ka shumëfishim r, atëherë një çift i tillë lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, në sistemin themelor të zgjidhjeve korrespondon me funksionet exp(akx)cos( bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

SHEMBULL 5. Sistemi themelor i zgjidhjeve dhe zgjidhja e përgjithshme për rastin e rrënjëve komplekse të shumëfishta.

Kështu, për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për një ekuacion diferencial homogjen linear me koeficientë konstante, duhet: të shënohet ekuacioni karakteristik; gjeni të gjitha rrënjët e ekuacionit karakteristik l1, l2, ... , ln; shkruani sistemin themelor të zgjidhjeve y1(x), y2(x), ..., yn(x); shkruani shprehjen për zgjidhjen e përgjithshme y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Për të zgjidhur problemin Cauchy, duhet të zëvendësoni shprehjen për zgjidhjen e përgjithshme në kushtet fillestare dhe të përcaktoni vlerat e konstanteve c1,..., cn, të cilat janë zgjidhje për sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare c1 y1( x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0 ,1, ......... , c1 y1 (n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1

Për një ekuacion diferencial johomogjen linear të rendit të n-të

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

ku y = y(x) është një funksion i panjohur, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) janë të njohura, të vazhdueshme, të vlefshme: 1 ) nëse y1(x) dhe y2(x) janë dy zgjidhje të një ekuacioni johomogjen, atëherë funksioni y(x) = y1(x) - y2(x) është një zgjidhje e ekuacionit homogjen përkatës; 2) nëse y1(x) është një zgjidhje e një ekuacioni johomogjen, dhe y2(x) është një zgjidhje e ekuacionit homogjen përkatës, atëherë funksioni y(x) = y1(x) + y2(x) është një zgjidhje për ekuacioni johomogjen; 3) nëse y1(x), y2(x), ..., yn(x) janë n zgjidhje lineare të pavarura të një ekuacioni homogjen, dhe ych(x) është një zgjidhje arbitrare e një ekuacioni johomogjen, atëherë për çdo vlerë fillestare x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 ka vlera c*1, c*n, ..., c*n të tilla që zgjidhja y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) plotëson në x = x0 kushtet fillestare y*(x0)=y0, (y* )"(x0)=y0,1 , . ..,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Shprehja y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) quhet zgjidhje e përgjithshme e një ekuacioni diferencial johomogjen linear të rendit të n-të.

Për të gjetur zgjidhje të pjesshme të ekuacioneve diferenciale johomogjene me koeficientë konstante me anë të djathta të formës: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), ku Pk(x ), Qm(x) janë polinome të shkallës k dhe m, përkatësisht, ekziston një algoritëm i thjeshtë për ndërtimin e një zgjidhjeje të caktuar, që quhet metoda e përzgjedhjes.

Metoda e përzgjedhjes, ose metoda e koeficientëve të pacaktuar, është si më poshtë. Zgjidhja e kërkuar e ekuacionit shkruhet në formën: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, ku Pr(x), Qr(x ) janë polinome të shkallës r = max(k, m) me koeficientë të panjohur pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktori xs quhet faktor rezonant. Rezonanca ndodh në rastet kur midis rrënjëve të ekuacionit karakteristik ka një rrënjë l =a ± ib me shumësi s. ato. nëse midis rrënjëve të ekuacionit karakteristik të ekuacionit homogjen përkatës ka një të tillë që pjesa reale e tij përkon me koeficientin në eksponentin e eksponentit, dhe pjesa imagjinare përkon me koeficientin në argumentin e funksionit trigonometrik në të djathtë anën e ekuacionit, dhe shumësia e kësaj rrënjë është s, atëherë zgjidhja e veçantë e kërkuar përmban një faktor rezonant xs. Nëse nuk ka një rastësi të tillë (s=0), atëherë nuk ka asnjë faktor rezonant.

Duke zëvendësuar shprehjen për një zgjidhje të caktuar në anën e majtë të ekuacionit, marrim një polinom të përgjithësuar të së njëjtës formë si polinomi në anën e djathtë të ekuacionit, koeficientët e të cilit janë të panjohur.

Dy polinome të përgjithësuar janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e faktorëve të formës xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) me fuqi të njëjta t janë të barabartë. Duke barazuar koeficientët e faktorëve të tillë, marrim një sistem prej 2(r+1) ekuacionesh algjebrike lineare për 2(r+1) të panjohura. Mund të tregohet se një sistem i tillë është konsistent dhe ka një zgjidhje unike.

Përshkrimi i metodës

Arsyetimi

Arsyetimi i mëposhtëm për metodën e shumëzuesit të Lagranzhit nuk është një provë rigoroze e tij. Ai përmban konsiderata heuristike që ndihmojnë për të kuptuar kuptimin gjeometrik të metodës.

Rasti dydimensional

Linjat e nivelit dhe kurba.

Le të kërkohet që të gjendet ekstremi i një funksioni të dy ndryshoreve nën kushtin e përcaktuar nga ekuacioni . Ne do të supozojmë se të gjithë funksionet janë vazhdimisht të diferencueshëm, dhe ky ekuacion përcakton një kurbë të qetë S në sipërfaqe. Pastaj problemi reduktohet në gjetjen e ekstremit të funksionit f në kurbë S. Ne gjithashtu do të supozojmë se S nuk kalon nëpër pika ku gradienti f kthehet në 0.

Le të vizatojmë linjat e nivelit të funksionit në plan f(domethënë kthesa). Nga konsideratat gjeometrike është e qartë se ekstremi i funksionit f në kurbë S mund të ketë vetëm pika në të cilat tangjentet të S dhe linja e nivelit përkatës përputhet. Në të vërtetë, nëse kurba S kalon vijën e nivelit f në një pikë në mënyrë tërthore (d.m.th., në një kënd jo zero), pastaj duke lëvizur përgjatë kurbës S nga një pikë mund të arrijmë te vijat e nivelit që i korrespondojnë një vlere më të madhe f, dhe më pak. Prandaj, një pikë e tillë nuk mund të jetë një pikë ekstreme.

Kështu, një kusht i domosdoshëm për një ekstrem në rastin tonë do të jetë rastësia e tangjentëve. Për ta shkruar atë në formë analitike, vini re se është e barabartë me paralelizmin e gradientëve të funksioneve f dhe ψ në një pikë të caktuar, pasi vektori i gradientit është pingul me tangjenten me vijën e nivelit. Kjo gjendje shprehet në formën e mëposhtme:

ku λ është një numër jozero që është një shumëzues Lagranzhi.

Le të shqyrtojmë tani Funksioni i Lagranzhit, në varësi të dhe λ:

Një kusht i domosdoshëm për ekstremin e tij është që gradienti të jetë i barabartë me zero. Në përputhje me rregullat e diferencimit, shkruhet në formë

Ne kemi marrë një sistem, dy ekuacionet e para të të cilit janë ekuivalente me kushtin e nevojshëm për një ekstrem lokal (1), dhe i treti është i barabartë me ekuacionin . Mund ta gjeni prej saj. Për më tepër, pasi përndryshe gradienti i funksionit f zhduket në pikën , e cila bie ndesh me supozimet tona. Duhet të theksohet se pikat e gjetura në këtë mënyrë mund të mos jenë pikat e dëshiruara të ekstremit të kushtëzuar - kushti i konsideruar është i nevojshëm, por jo i mjaftueshëm. Gjetja e një ekstremi të kushtëzuar duke përdorur një funksion ndihmës L dhe përbën bazën e metodës së shumëzuesit të Lagranzhit, e aplikuar këtu për rastin më të thjeshtë të dy variablave. Rezulton se arsyetimi i mësipërm mund të përgjithësohet në rastin e një numri arbitrar variablash dhe ekuacionesh që specifikojnë kushtet.

Bazuar në metodën e shumëzuesit të Lagranzhit, është e mundur të vërtetohen disa kushte të mjaftueshme për një ekstrem të kushtëzuar, të cilat kërkojnë analizë të derivateve të dytë të funksionit Lagranzh.

Aplikacion

• Metoda e shumëzuesit Lagrange përdoret për të zgjidhur problemet e programimit jolinear që lindin në shumë fusha (për shembull, në ekonomi).
• Metoda kryesore për zgjidhjen e problemit të optimizimit të cilësisë së kodimit të të dhënave audio dhe video me një shpejtësi mesatare të caktuar bit (optimizimi i shtrembërimit - Anglisht. Optimizimi i normës së shtrembërimit).

Shiko gjithashtu

Lidhjet

• Zorich V. A. Analiza matematikore. Pjesa 1. - ed. 2, rev. dhe shtesë - M.: FAZIS, 1997.

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë janë "Shumëzuesit Lagrange" në fjalorë të tjerë: Shumëzuesit e Lagranzhit - faktorë shtesë që transformojnë funksionin objektiv të një problemi ekstrem të programimit konveks (në veçanti, programimi linear) kur zgjidhet duke përdorur një nga metodat klasike, metodën e zgjidhjes së shumëzuesve... ...

Fjalor ekonomiko-matematikor Shumëzuesit e Lagranzhit - Faktorë shtesë që transformojnë funksionin objektiv të një problemi programimi konveks ekstrem (në veçanti, programimi linear) kur e zgjidhin atë duke përdorur një nga metodat klasike, metodën e zgjidhjes së shumëzuesve (metoda Lagrange).... ...

Udhëzues teknik i përkthyesit Mekanika. 1) Ekuacionet e Lagranzhit të llojit të parë, ekuacionet diferenciale të lëvizjes mekanike. sistemet, të cilat jepen në projeksione mbi boshtet koordinative drejtkëndore dhe përmbajnë të ashtuquajturat. Shumëzuesit e Lagranzhit. Marrë nga J. Lagrange në 1788. Për një sistem holonomik, ... ...

Enciklopedia fizike Mekanika ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të dytë, që përshkruajnë lëvizjet mekanike. sistemet nën ndikimin e forcave të aplikuara ndaj tyre. L.u. themeluar nga J. Lag varg në dy forma: L. u. Lloji i parë, ose ekuacione në koordinatat karteziane me... ...

1) në hidromekanikë, ekuacioni i lëvizjes së lëngut (gazit) në variablat e Lagranzhit, të cilat janë koordinatat e mediumit. Mori frëngjisht shkencëtari J. Lagrange (përafërsisht 1780). Nga L. u. ligji i lëvizjes së mediumit përcaktohet në formën e varësive... ... Mekanika. 1) Ekuacionet e Lagranzhit të llojit të parë, ekuacionet diferenciale të lëvizjes mekanike. sistemet, të cilat jepen në projeksione mbi boshtet koordinative drejtkëndore dhe përmbajnë të ashtuquajturat. Shumëzuesit e Lagranzhit. Marrë nga J. Lagrange në 1788. Për një sistem holonomik, ... ...

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit, një metodë për gjetjen e ekstremumit të kushtëzuar të funksionit f(x), ku, në lidhje me kufizimet m, i ndryshon nga një në m. Përmbajtja 1 Përshkrimi i metodës ... Wikipedia

Një funksion i përdorur në zgjidhjen e problemeve në ekstremin e kushtëzuar të funksioneve të shumë variablave dhe funksionalëve. Me ndihmën e L.f. shënohen kushtet e nevojshme për optimalitetin në problemet në një ekstrem të kushtëzuar. Në këtë rast, nuk është e nevojshme të shprehen vetëm variablat... Mekanika ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të dytë, që përshkruajnë lëvizjet mekanike. sistemet nën ndikimin e forcave të aplikuara ndaj tyre. L.u. themeluar nga J. Lag varg në dy forma: L. u. Lloji i parë, ose ekuacione në koordinatat karteziane me... ...

Metoda për zgjidhjen e problemeve në ekstremin e kushtëzuar; L.M.M konsiston në reduktimin e këtyre problemeve në probleme në ekstremin e pakushtëzuar të një funksioni ndihmës, të ashtuquajturit. Funksionet e Lagranzhit. Për problemën e ekstremumit të funksionit f (x1, x2,..., xn) për... ...

Variablat, me ndihmën e të cilave ndërtohet funksioni Lagranzh kur studiohen problemet në një ekstrem të kushtëzuar. Përdorimi i metodave lineare dhe funksioni Lagranzh na lejon të marrim kushtet e nevojshme të optimalitetit në problemet që përfshijnë një ekstrem të kushtëzuar në mënyrë uniforme... Mekanika ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të dytë, që përshkruajnë lëvizjet mekanike. sistemet nën ndikimin e forcave të aplikuara ndaj tyre. L.u. themeluar nga J. Lag varg në dy forma: L. u. Lloji i parë, ose ekuacione në koordinatat karteziane me... ...

1) në hidromekanikë, ekuacionet e lëvizjes së një mjedisi të lëngshëm, të shkruara në variablat Lagranzh, të cilat janë koordinatat e grimcave të mediumit. Nga L. u. ligji i lëvizjes së grimcave të mediumit përcaktohet në formën e varësisë së koordinatave nga koha, dhe prej tyre... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike