Metoda e zgjedhjes së rrënjëve të polinomeve me koeficientë të plotë. Rrënjët racionale të një polinomi me koeficientë të plotë

Është vërtetuar se për të faktorizuar një polinom, duhet të gjesh rrënjët e tij. Formulat për rrënjët e një polinomi katror. Metoda për gjetjen e rrënjëve të plota. Metoda e faktorizimit të një polinomi bikuadratik dhe reduktimit të tij në një kuadratik. Polinome të përsëritura.

Baza e metodës

Le

- polinomi i shkallës n ≥ 1 të një ndryshoreje reale ose komplekse z me koeficientë realë ose kompleksë a i.

Le të pranojmë teoremën e mëposhtme pa prova.

Teorema 1 Ekuacioni Pn(z) = 0

ka të paktën një rrënjë.

Le të vërtetojmë lemën e mëposhtme.

Lema 1 Le të P n(z) 1 - polinomi i shkallës n, z
- rrënja e ekuacionit: P n.
(z 1) = 0 Le të P n Pastaj Pn
- rrënja e ekuacionit: mund të përfaqësohet në të vetmen mënyrë në formën:,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) ku Pn- 1 (z) 1 .

- polinomi i shkallës n -

Dëshmi Le të P n Për ta vërtetuar, zbatojmë teoremën (shih Pjesëtimi dhe shumëzimi i një polinomi me një polinom me një kënd dhe një kolonë), sipas së cilës për çdo dy polinom P n Le të P n dhe Qk
- rrënja e ekuacionit: , shkallët n dhe k, me n ≥ k, ekziston një paraqitje unike në formën:,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) Le të P n ku Pn-k ku Pn-- polinomi i shkallës n-k, U k- 1 .

- polinomi i shkallës jo më i lartë se k- 1 Le të vendosim k = , Q k(z) = z - z 1
- rrënja e ekuacionit: , Pastaj,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c 1 ku c është një konstante. Le të zëvendësojmë z = z këtu P n:
- rrënja e ekuacionit: dhe merrni parasysh se P n;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + c 0 Prandaj c =
.
Pastaj

Pn, Le të P n Q.E.D. 1 Pra, bazuar në teoremën 1, polinomi P n P n ka të paktën një rrënjë. Le ta shënojmë si z
- rrënja e ekuacionit: ,Pn.
. 1 Pastaj, bazuar në Lemën 1: ku Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2 Më tej, nëse n > , atëherë polinomi P n- Prandaj c =
gjithashtu ka të paktën një rrënjë, të cilën e shënojmë si z , Pn-;
- rrënja e ekuacionit: 1 (z 2) = 0.

Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)
- rrënja e ekuacionit: Duke vazhduar këtë proces, arrijmë në përfundimin se ka n numra z.
1 , z 2 , ... , z n të tilla që(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1) Por P 0 (z).

Numrat z i janë rrënjët e polinomit P n Le të P n.

Në përgjithësi, jo të gjitha z i përfshihen në (1) , janë të ndryshme. Midis tyre mund të ketë të njëjtat vlera. Pastaj faktorizimi i polinomit (1) mund të shkruhet si:
(2) Por P (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Këtu z i ≠ z j për i ≠ j. 1 Nëse n i = , Kjo rrënjë z i quhet e thjeshtë . Ai hyn në faktorizim në formën(z-z i) 1 Nëse n i = , Kjo rrënjë . Nëse n i > quhet rrënja e shumëfishtë e shumëfishimit.

n i.

Ai hyn në faktorizim si produkt i n i faktorëve kryesorë:

(z-z i)(z-z i) ... (z-z i) = (z-z i) n i

- polinomi i shkallës n -

Polinome me koeficientë realë

Lema 2
,
Nëse është një rrënjë komplekse e një polinomi me koeficientë realë, atëherë numri kompleks i konjuguar është gjithashtu një rrënjë e polinomit, .
Në të vërtetë, nëse , dhe koeficientët e polinomit janë numra realë, atëherë . (2) Kështu, rrënjët komplekse hyjnë në faktorizim në çifte me vlerat e tyre komplekse të konjuguara:
(3) ;
.

ku , janë numra realë.

Pastaj dekompozimi 0 një polinom me koeficientë realë në faktorë mund të përfaqësohet në një formë në të cilën janë të pranishme vetëm konstante reale: (3) .

Metodat për faktorizimin e një polinomi
1. Duke marrë parasysh sa më sipër, për të faktorizuar një polinom, duhet të gjeni të gjitha rrënjët e ekuacionit P n (z) = 1 dhe përcaktoni shumësinë e tyre. Faktorët me rrënjë komplekse duhet të grupohen me konjugate komplekse. Pastaj zgjerimi përcaktohet nga formula Kështu, metoda për faktorizimin e një polinomi është si më poshtë:.
2.1. Gjetja e rrënjës z 1 ekuacionet Pn (z 1) = 0 (z 1) = 0 1 :
.
Nëse rrënja z real, pastaj shtojmë faktorin në zgjerim (1) (z - z 1)
2.2. 1 (z)

,
, duke u nisur nga pika derisa të gjejmë të gjitha rrënjët. Nëse rrënja është komplekse, atëherë numri i konjuguar kompleks është gjithashtu rrënja e polinomit. Pastaj zgjerimi përfshin faktorin ku b.
1 = - 2 x 1 , c 1 = x 1 2 + y 1 2 , c Në këtë rast, ne shtojmë faktorin në zgjerim 2 :
.
(z 2 + b 1 z + c 1) dhe pjesëtojeni polinomin P n (z) me real, pastaj shtojmë faktorin në zgjerim (1) (z - z 1)

.

Si rezultat, marrim një polinom të shkallës n -

Më pas përsërisim procesin për polinomin P n-

Një polinom i shkallës së parë është një funksion linear. Ka një rrënjë. Zgjerimi ka vetëm një faktor që përmban variablin z:
.

Rrënjët e një polinomi të shkallës së dytë

Për të gjetur rrënjët e një polinomi të shkallës së dytë, duhet të zgjidhni një ekuacion kuadratik:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Nëse diskriminuesi është , atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale:
, .
Atëherë faktorizimi ka formën:
.
Nëse diskriminues D = 0 , atëherë ekuacioni ka një rrënjë të dyfishtë:
;
.
Nëse diskriminuesi D< 0 , atëherë rrënjët e ekuacionit janë komplekse,
.

Polinome të shkallës më të lartë se dy

Ekzistojnë formula për gjetjen e rrënjëve të polinomeve të shkallës 3 dhe 4. Megjithatë, ato përdoren rrallë sepse janë të mëdha. Nuk ka formula për gjetjen e rrënjëve të polinomeve të shkallës më të lartë se 4-ta. Pavarësisht kësaj, në disa raste është e mundur të faktorizohet polinomi.

Gjetja e rrënjëve të tëra

Nëse dihet se një polinom koeficientët e të cilit janë numra të plotë ka një rrënjë numër të plotë, atëherë ai mund të gjendet duke kërkuar nëpër të gjitha vlerat e mundshme.

Lema 3

Le të polinomin
,
koeficientët a i të të cilëve janë numra të plotë, ka rrënjë z 1 . 0 .

- polinomi i shkallës n -

Atëherë kjo rrënjë është pjesëtues i numrit a P n Le të rishkruajmë ekuacionin P n
.
në formën:
Pastaj e tëra M z.
1 = - a 0 1 :
.
Pjestojeni me z

Meqenëse M është një numër i plotë, atëherë M është një numër i plotë. Q.E.D. 0 Prandaj, nëse koeficientët e polinomit janë numra të plotë, atëherë mund të përpiqeni të gjeni rrënjët e numrave të plotë. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni të gjithë pjesëtuesit e termit të lirë a Ekuacioni Pn dhe, duke zëvendësuar në ekuacionin P n
, kontrolloni nëse janë rrënjë të këtij ekuacioni. Shënim Ekuacioni Pn. Nëse koeficientët e polinomit janë numra racional, atëherë shumëzojmë ekuacionin P n

me emëruesin e përbashkët të numrave a i, marrim një ekuacion për një polinom me koeficientë të plotë.

Gjetja e rrënjëve racionale 1 Nëse koeficientët e polinomit janë numra të plotë dhe nuk ka rrënjë të plota, atëherë për një n ≠
, mund të përpiqeni të gjeni rrënjë racionale. Për ta bërë këtë, ju duhet të bëni një zëvendësim
z = y/a n 1 dhe shumëzojeni ekuacionin me një n n-
.

Si rezultat, marrim një ekuacion për një polinom në variablin y me koeficientë të plotë Më pas, ne kërkojmë rrënjët e plota të këtij polinomi midis pjesëtuesve të termit të lirë. Nëse kemi gjetur një rrënjë të tillë y i, atëherë duke kaluar te ndryshorja x, marrim një rrënjë racionale

z i = y i /a n .

Formula të dobishme
- rrënja e ekuacionit: Ne paraqesim formula që mund të përdoren për të faktorizuar një polinom.,
Në përgjithësi, për të zgjeruar një polinom 0 (z) = z n - a 0
ku a 0 .
- komplekse, ju duhet të gjeni të gjitha rrënjët e tij, domethënë të zgjidhni ekuacionin: 0 nëpërmjet modulit r dhe argumentit φ:
.
Që nga një 0 nuk do të ndryshojë nëse i shtojmë argumentit 2π, atëherë imagjinoni a 0 Le të rishkruajmë ekuacionin P n
,
ku k është një numër i plotë. Pastaj
;
.
Caktimi i k vlerave k = 0, 1, 2, ... n-1, marrim n rrënjë të polinomit. Atëherë faktorizimi i tij ka formën:
.

Polinom bikuadratik

Merrni parasysh polinomin bikuadratik:
.
Një polinom bikuadratik mund të faktorizohet pa gjetur rrënjët.

Kur , kemi:

,
Ku .

Polinome bikubike dhe kuadratike

Merrni parasysh polinomin:
.
Rrënjët e tij përcaktohen nga ekuacioni:
.
Reduktohet në një ekuacion kuadratik duke zëvendësuar t = z n:
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Pasi kemi zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë rrënjët e tij, t 1 ,t 2 .
.
Më pas e gjejmë zgjerimin në formën: 1 Më pas, duke përdorur metodën e treguar më sipër, faktorizojmë z n - t 2 dhe z n - t

.

Së fundi, grupojmë faktorët që përmbajnë rrënjë komplekse të konjuguara. Polinome të përsëritura Polinom quhet

e kthyeshme
.

, nëse koeficientët e tij janë simetrik: -1 Një shembull i një polinomi refleksiv: + 1 Nëse shkalla e një polinomi të përsëritur n është tek, atëherë një polinom i tillë ka një rrënjë z = - 1 .
. 2 Pjestimi i një polinomi të tillë me z

, marrim një polinom të përsëritur të shkallës n

Nëse shkalla e një polinomi të përsëritur n është e barabartë, atëherë me zëvendësim , ajo reduktohet në një polinom të shkallës n/

. Cm.

Kur zgjidhen ekuacionet dhe pabarazitë, shpesh është e nevojshme të faktorizohet një polinom shkalla e të cilit është tre ose më e lartë. Në këtë artikull do të shikojmë mënyrën më të lehtë për ta bërë këtë. Si zakonisht, le t'i drejtohemi teorisë për ndihmë.

Teorema e Bezout

thotë se pjesa e mbetur kur pjesëtohet një polinom me një binom është .

Por ajo që është e rëndësishme për ne nuk është vetë teorema, por konkluzion prej tij:.

Nëse numri është rrënja e një polinomi, atëherë polinomi pjesëtohet me binomin pa mbetje.

Ne jemi përballur me detyrën që disi të gjejmë të paktën një rrënjë të polinomit, pastaj ta ndajmë polinomin me , ku është rrënja e polinomit. Si rezultat, marrim një polinom shkalla e të cilit është një më e vogël se shkalla e asaj origjinale. Dhe pastaj, nëse është e nevojshme, mund ta përsërisni procesin.

Kjo detyrë ndahet në dy:

si të gjendet rrënja e një polinomi dhe si të pjesëtohet një polinom me një binom

Le t'i hedhim një vështrim më të afërt në këto pika.

1. Si të gjejmë rrënjën e një polinomi.

Nëse shuma e koeficientëve të një polinomi me fuqi çift është e barabartë me shumën e koeficientëve me fuqi tek, atëherë numri është rrënja e polinomit. Termi i lirë konsiderohet një koeficient për një shkallë çift, pasi , a është një numër çift.

Për shembull, në një polinom shuma e koeficientëve për fuqitë çift është: , dhe shuma e koeficientëve për fuqitë tek është: . Është e lehtë të kontrollosh se cila është rrënja e një polinomi.

Nëse as 1 dhe as -1 nuk janë rrënjë të polinomit, atëherë vazhdojmë.

Për një polinom të reduktuar të shkallës (d.m.th., një polinom në të cilin koeficienti kryesor - koeficienti në - është i barabartë me unitetin), formula Vieta është e vlefshme:

Ku janë rrënjët e polinomit.

Ekzistojnë edhe formula Vieta në lidhje me koeficientët e mbetur të polinomit, por ne jemi të interesuar për këtë.

Nga kjo formulë Vieta del se nëse rrënjët e një polinomi janë numra të plotë, atëherë ato janë pjesëtues të termit të tij të lirë, i cili gjithashtu është një numër i plotë.

Nisur nga kjo, duhet të faktorizojmë termin e lirë të polinomit në faktorë dhe në mënyrë sekuenciale, nga më i vogli tek më i madhi, të kontrollojmë se cili prej faktorëve është rrënja e polinomit.

Konsideroni, për shembull, polinomin

Pjesëtuesit e termit të lirë: ;

;

;

Shuma e të gjithë koeficientëve të polinomit është e barabartë me , prandaj, numri 1 nuk është rrënja e polinomit.

Shuma e koeficientëve për fuqitë çift:

Shuma e koeficientëve për fuqitë tek:

Prandaj, numri -1 gjithashtu nuk është rrënjë e polinomit.

Le të kontrollojmë nëse numri 2 është rrënja e polinomit: prandaj, numri 2 është rrënja e polinomit. Kjo do të thotë, sipas teoremës së Bezout, polinomi është i pjesëtueshëm me një binom pa mbetje.

2. Si të ndajmë një polinom në një binom.

Një polinom mund të ndahet në një binom nga një kolonë.

Ndani polinomin me një binom duke përdorur një kolonë: Ekziston një mënyrë tjetër për të ndarë një polinom me një binom - skema e Hornerit.

Shikoni këtë video për të kuptuar

si të ndahet një polinom me një binom me një kolonë dhe duke përdorur skemën e Hornerit.

Vërej se nëse, kur ndahet me një kolonë, një shkallë e të panjohurës mungon në polinomin origjinal, ne shkruajmë 0 në vend të tij - në të njëjtën mënyrë si kur përpilojmë një tabelë për skemën e Horner. Pra, nëse duhet të ndajmë një polinom me një binom dhe si rezultat i ndarjes marrim një polinom, atëherë mund të gjejmë koeficientët e polinomit duke përdorur skemën e Hornerit: për të kontrolluar nëse një numër i caktuar është rrënja e një polinomi: nëse numri është rrënja e një polinomi, atëherë pjesa e mbetur kur pjesëtohet polinomi me është e barabartë me zero, domethënë në kolonën e fundit të rreshtit të dytë të Diagrami i Hornerit marrim 0.

Duke përdorur skemën e Hornerit, ne "vrasim dy zogj me një gur": në të njëjtën kohë kontrollojmë nëse numri është rrënja e një polinomi dhe e ndajmë këtë polinom me një binom.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin:

1. Të shkruajmë pjesëtuesit e termit të lirë dhe të kërkojmë rrënjët e polinomit ndër pjesëtuesit e termit të lirë.

Pjesëtuesit e 24:

2. Le të kontrollojmë nëse numri 1 është rrënja e polinomit.

Shuma e koeficientëve të një polinomi, pra, numri 1 është rrënja e polinomit.

3. Ndani polinomin origjinal në një binom duke përdorur skemën e Hornerit.

A) Le të shkruajmë koeficientët e polinomit origjinal në rreshtin e parë të tabelës.

Duke qenë se termi që përmban mungon, në kolonën e tabelës në të cilën duhet të shkruhet koeficienti shkruajmë 0. Në të majtë shkruajmë rrënjën e gjetur: numrin 1.

B) Plotësoni rreshtin e parë të tabelës.

Në kolonën e fundit, siç pritej, ne e ndamë polinomin origjinal me një binom pa mbetje. Koeficientët e polinomit që rezultojnë nga ndarja janë paraqitur me blu në rreshtin e dytë të tabelës:

Është e lehtë të kontrollosh që numrat 1 dhe -1 nuk janë rrënjë të polinomit

B) Le të vazhdojmë tabelën. Le të kontrollojmë nëse numri 2 është rrënja e polinomit:

Pra, shkalla e polinomit, e cila fitohet si rezultat i pjesëtimit me një, është më e vogël se shkalla e polinomit origjinal, prandaj, numri i koeficientëve dhe numri i kolonave janë një më pak.

Në kolonën e fundit kemi marrë -40 - një numër që nuk është i barabartë me zero, prandaj, polinomi është i pjesëtueshëm me një binom me një mbetje, dhe numri 2 nuk është rrënja e polinomit.

C) Le të kontrollojmë nëse numri -2 është rrënja e polinomit. Meqenëse përpjekja e mëparshme dështoi, për të shmangur konfuzionin me koeficientët, unë do të fshij vijën që korrespondon me këtë përpjekje:

E shkëlqyeshme! Ne morëm zero si mbetje, prandaj, polinomi u nda në një binom pa mbetje, prandaj, numri -2 është rrënja e polinomit. Koeficientët e polinomit që përftohen duke pjesëtuar një polinom me një binom janë paraqitur me ngjyrë të gjelbër në tabelë.

Si rezultat i ndarjes marrim një trinom kuadratik , rrënjët e të cilit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta:

Pra, rrënjët e ekuacionit origjinal janë:

{}

Përgjigje: ( }

Ky polinom ka koeficientë të plotë. Nëse një numër i plotë është rrënja e këtij polinomi, atëherë ai është pjesëtues i numrit 16. Kështu, nëse një polinom i dhënë ka rrënjë të plota, atëherë këta mund të jenë vetëm numrat ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Me verifikim të drejtpërdrejtë jemi të bindur se numri 2 është rrënja e këtij polinomi, pra x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), ku Q (x) është një polinom i shkallën e dytë. Rrjedhimisht, polinomi zbërthehet në faktorë, njëri prej të cilëve është (x – 2). Për të gjetur llojin e polinomit Q (x) përdorim të ashtuquajturën skemë Horner. Avantazhi kryesor i kësaj metode është kompaktësia e shënimit dhe aftësia për të ndarë shpejt një polinom në një binom. Në fakt, skema e Hornerit është një formë tjetër e regjistrimit të metodës së grupimit, megjithëse, ndryshe nga kjo e fundit, ajo është krejtësisht jo-vizuale. Përgjigja (faktorizimi) merret këtu vetvetiu dhe ne nuk e shohim procesin e marrjes së saj. Ne nuk do të përfshihemi në një vërtetim rigoroz të skemës së Hornerit, por do të tregojmë vetëm se si funksionon.

Numri nga qeliza mbi të "zhvendoset" në qelizën e dytë të rreshtit fundor, domethënë 1. Pastaj ata e bëjnë këtë. Rrënja e ekuacionit (numri 2) shumëzohet me numrin e fundit të shkruar (1) dhe rezultati shtohet me numrin që është në rreshtin e sipërm mbi qelizën tjetër të lirë, në shembullin tonë kemi:

Një polinom në ndryshoren x është shprehje e formës: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, ku n është një numër natyror; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - çdo numër quhet koeficienti i këtij polinomi. Shprehjet anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 quhen termat e polinomit dhe 0 është termi i lirë. an është koeficienti i xn, an-1 është koeficienti i xn-1, etj. Një polinom në të cilin të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero quhet zero. për shembull, polinomi 0 x2+0 x+0 është zero. Nga shënimi i një polinomi është e qartë se ai përbëhet nga disa anëtarë. Nga këtu vjen termi ‹‹polinom›› (shumë terma). Ndonjëherë një polinom quhet polinom. Ky term vjen nga fjalët greke πολι - shumë dhe νομχ - anëtar.

Një polinom në një ndryshore x shënohet: . f (x), g (x), h (x), etj. për shembull, nëse i pari nga polinomet e mësipërm shënohet f (x), atëherë mund të shkruajmë: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Polinomi h(x) quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i polinomeve f(x) dhe g(x) nëse pjesëton f(x), g. (x) dhe secilin nga ndarësit e tyre të përbashkët. 2. Një polinom f(x) me koeficientë nga fusha P e shkallës n thuhet se është i reduktueshëm mbi fushën P nëse ekzistojnë polinome h(x), g(x) О P[x] me shkallë më të vogël se n të tillë. që f(x) = h( x)g(x).

Nëse ka një polinom f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 dhe an≠ 0, atëherë numri n quhet shkalla e polinomit f (x) (ose thonë: f (x) - shkalla e ntë) dhe shkruajnë art. f(x)=n. Në këtë rast, an quhet koeficienti kryesor, dhe anxn është termi kryesor i këtij polinomi. Për shembull, nëse f (x) =5 x 4 -2 x+3, atëherë art. f (x) =4, koeficienti kryesor - 5, termi kryesor - 5 x4. Shkalla e një polinomi është numri më i madh jozero i koeficientëve të tij. Polinomët e shkallës zero janë numra të ndryshëm nga zero. , polinomi zero nuk ka shkallë; polinomi f (x) =a, ku a është një numër jozero dhe ka shkallë 0; shkalla e çdo polinomi tjetër është e barabartë me eksponentin më të madh të ndryshores x, koeficienti i së cilës është i barabartë me zero.

Barazia e polinomeve. Dy polinome f (x) dhe g (x) konsiderohen të barabartë nëse koeficientët e tyre për të njëjtat fuqi të ndryshores x dhe termat e lirë janë të barabartë (koeficientët e tyre përkatës janë të barabartë). f (x) =g (x). Për shembull, polinomet f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 dhe g(x) =2 x 23 x+1 nuk janë të barabartë, i pari prej tyre ka një koeficient x3 të barabartë me 1, dhe e dyta ka zero ( sipas konventave të pranuara, mund të shkruajmë: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. Në këtë rast: f (x) ≠g (x) dhe polinomet nuk janë të barabarta: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, pasi koeficientët e tyre për x janë të ndryshëm.

Por polinomet f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 dhe g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse a = 3, a b = -2. Le të jepet polinomi f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 dhe disa numra c. Numri f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 quhet vlera e polinomit f (x) në x=c. Kështu, për të gjetur f (c), duhet të zëvendësoni c në polinom në vend të x dhe të kryeni llogaritjet e nevojshme. Për shembull, nëse f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, atëherë f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Një polinom mund të marrë vlera të ndryshme për vlera të ndryshme të ndryshores x. Numri c quhet rrënja e polinomit f (x) nëse f (c) =0.

Le t'i kushtojmë vëmendje ndryshimit midis dy pohimeve: "polinomi f (x) është i barabartë me zero (ose, çfarë është i njëjtë, polinomi f (x) është zero)" dhe "vlera e polinomit f (x ) në x = c është e barabartë me zero.” Për shembull, polinomi f (x) =x 2 -1 nuk është zero, ai ka koeficientë jo zero dhe vlera e tij në x=1 është zero. f (x) ≠ 0, dhe f (1) =0. Ekziston një marrëdhënie e ngushtë midis koncepteve të barazisë së polinomeve dhe vlerës së një polinomi. Nëse jepen dy polinome të barabarta f (x) dhe g (x), atëherë koeficientët përkatës të tyre janë të barabartë, që do të thotë f (c) = g (c) për çdo numër c.

Veprimet mbi polinomet Polinomet mund të shtohen, zbriten dhe shumëzohen duke përdorur rregullat e zakonshme për hapjen e kllapave dhe sjelljen e termave të ngjashëm. Rezultati është përsëri një polinom. Këto operacione kanë veti të njohura: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Le të jepen dy polinome f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 dhe g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Është e qartë se Art. f(x)=n, dhe art. g(x)=m. Nëse i shumëzojmë këto dy polinome, fitojmë një polinom të formës f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Meqenëse an≠ 0 dhe bn≠ 0, atëherë anbm≠ 0, që do të thotë rr. (f(x)g(x))=m+n. Nga kjo rrjedh një deklaratë e rëndësishme.

Shkalla e prodhimit të dy polinomeve jozero është e barabartë me shumën e shkallëve të faktorëve, art. (f (x) g (x)) = art. f (x) + st. g(x). Termi kryesor (koeficienti) i prodhimit të dy polinomeve jozero është i barabartë me produktin e termave kryesorë (koeficientëve) të faktorëve. Termi i lirë i prodhimit të dy polinomeve është i barabartë me produktin e termave të lirë të faktorëve. Fuqitë e polinomeve f (x), g (x) dhe f (x) ±g (x) lidhen me relacionin e mëposhtëm: art. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Mbivendosja e polinomeve f (x) dhe g (x) quhet. një polinom i shënuar f (g (x)), i cili fitohet nëse në polinomin f (x) zëvendësojmë polinomin g (x) në vend të x. Për shembull, nëse f(x)=x 2+2 x-1 dhe g(x) =2 x+3, atëherë f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. Mund të shihet se f (g (x)) ≠g (f (x)), d.m.th., mbivendosja e polinomeve f (x), g (x) dhe mbivendosja e polinomeve g (x), f ( x) janë të ndryshme. Kështu, operacioni i mbivendosjes nuk ka vetinë e ndërrueshmërisë.

, Algoritmi i ndarjes me mbetjen Për çdo f(x), g(x), ekzistojnë q(x) (herësi) dhe r(x) (mbetja) të tilla që f(x)=g(x)q(x)+ r(x) dhe shkalla r(x)

Pjesëtuesit e një polinomi Pjesëtuesi i një polinomi f(x) është një polinom g(x), i tillë që f(x)=g(x)q(x). Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dy polinomeve Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i polinomeve f(x) dhe g(x) është pjesëtuesi i tyre i përbashkët d(x) që është i pjesëtueshëm me cilindo pjesëtues tjetër të përbashkët.

Algoritmi Euklidian (algoritmi i ndarjes sekuenciale) për gjetjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të polinomeve f(x) dhe g(x) Pastaj është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i f(x) dhe g(x).

Zvogëloni thyesën Zgjidhje: Gjeni gcd-në e këtyre polinomeve duke përdorur algoritmin Euklidian 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Prandaj, polinomi (– x2 – 3 x – 2) është GCD i numëruesit dhe emëruesi i një thyese të caktuar. Dihet rezultati i pjesëtimit të emëruesit me këtë polinom.

Le të gjejmë rezultatin e pjesëtimit të numëruesit. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Kështu, Përgjigjuni:

Skema e Hornerit Pjesëtimi i një polinomi f(x) me një mbetje me një polinom jozero g(x) nënkupton paraqitjen e f(x) në formën f(x)=g(x) s(x)+r(x), ku s (x) dhe r(x) janë polinome dhe ose r(x)=0 ose st. r(x)

Polinomet në anën e majtë dhe të djathtë të kësaj relacioni janë të barabartë, që do të thotë se koeficientët e tyre përkatës janë të barabartë. Le t'i barazojmë ato duke hapur fillimisht kllapat dhe duke sjellë terma të ngjashëm në anën e djathtë të kësaj barazie. Marrim: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Kujtojmë se duhet të gjejmë herësin jo të plotë, pra koeficientët e tij dhe pjesën e mbetur. Le t'i shprehim ato nga barazitë e fituara: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Kemi gjetur formula që mund të përdoren për të llogaritur koeficientët e herësit të pjesshëm s (x) dhe të mbetjes r. Në këtë rast, llogaritjet janë paraqitur në formën e tabelës së mëposhtme; quhet skema Horner.

Tabela 1. Koeficientët f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Koeficientët s (x) të mbetur Në rreshtin e parë të kësaj tabele, shkruani të gjithë koeficientët e polinomit f (x) me radhë, duke e lënë të lirë qelizën e parë. Në rreshtin e dytë, në qelizën e parë, shkruani numrin c. Qelizat e mbetura të kësaj rreshti plotësohen duke llogaritur një nga një koeficientët e herësit jo të plotë s (x) dhe mbetjes r. Në qelizën e dytë shkruani koeficientin bn-1, i cili, siç kemi përcaktuar, është i barabartë me an.

Koeficientët në secilën qelizë pasuese llogariten sipas rregullit të mëposhtëm: numri c shumëzohet me numrin në qelizën e mëparshme dhe numri mbi qelizën që plotësohet i shtohet rezultatit. Për të kujtuar, le të themi, qelizën e pestë, domethënë për të gjetur koeficientin në të, duhet të shumëzoni c me numrin në qelizën e katërt dhe të shtoni numrin mbi qelizën e pestë në rezultat. Le të ndajmë, për shembull, polinomin f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 me x-2 me mbetjen, duke përdorur skemën e Hornerit. Kur plotësoni rreshtin e parë të këtij diagrami, nuk duhet të harrojmë koeficientët zero të polinomit. Pra, koeficientët f (x) janë numrat 3, 0, - 5, 3, - 1. Dhe gjithashtu duhet të mbani mend se shkalla e një herësi jo të plotë është një më pak se shkalla e polinomit f (x).

Pra, pjesëtimin e realizojmë sipas skemës së Hornerit: Tabela 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Përftojmë herësin e pjesshëm s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17. dhe pjesa e mbetur r=33. Vini re se në të njëjtën kohë kemi llogaritur vlerën e polinomit f (2) =33. Tani le ta ndajmë të njëjtin polinom f (x) me x+2 me një mbetje. Në këtë rast c=-2. marrim: Tabela 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Si rezultat, kemi f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Rrënjët e polinomeve Le të jenë c1, c2, …, cm rrënjë të ndryshme të polinomit f (x). Pastaj f (x) ndahet me x-c1, pra f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Le të vendosim x=c2 në këtë barazi. Marrim f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) dhe kështu f (c 2) =0, pastaj (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Por с2≠с1, d.m.th., с2 -с1≠ 0, që do të thotë s 1 (c 2) =0. Kështu, c2 është rrënja e polinomit s 1 (x). Nga kjo rrjedh se s 1 (x) është i pjesëtueshëm me x-c2, pra s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Le të zëvendësojmë shprehjen që rezulton për s 1 (x) në barazinë f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Kemi f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Duke vendosur x=c3 në barazimin e fundit, duke marrë parasysh faktin se f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, fitojmë se c3 është rrënja e polinomit s 2 (x). Kjo do të thotë s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), dhe pastaj f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), etj. Duke vazhduar këtë arsyetim për rrënjët e mbetura c4, c5, ..., cm, më në fund fitojmë f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), pra vërtetohet pohimi i formuluar më poshtë.

Nëse с1, с2, …, сm janë rrënjë të ndryshme të polinomit f (x), atëherë f (x) mund të paraqitet si f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). Një rrjedhim i rëndësishëm rrjedh nga kjo. Nëse c1, c2, ..., cm janë rrënjë të ndryshme të polinomit f(x), atëherë f(x) pjesëtohet me polinomin (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Numri i rrënjëve të ndryshme të një polinomi jozero f (x) nuk është më i madh se shkalla e tij. Në të vërtetë, nëse f(x) nuk ka rrënjë, atëherë është e qartë se teorema është e vërtetë, sepse Art. f(x) ≥ 0. Tani le të ketë f(x) m rrënjë с1, с2, …, сm, dhe të gjitha janë të ndryshme. Pastaj, me atë që sapo u vërtetua, f (x) ndahet në (x-c1) (x -c2)…(x-cm). Në këtë rast, Art. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= rr. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, pra art. f(x)≥m, dhe m është numri i rrënjëve të polinomit në fjalë. Por polinomi zero ka pafundësisht shumë rrënjë, sepse vlera e tij për çdo x është e barabartë me 0. Në veçanti, për këtë arsye nuk parashkruhet ndonjë shkallë specifike. Pohimi i mëposhtëm rrjedh nga teorema e sapo provuar.

Nëse një polinom f(x) nuk është një polinom me shkallë më të madhe se n dhe ka më shumë se n rrënjë, atëherë f(x) është një polinom zero. Në fakt, nga kushtet e këtij pohimi rezulton se ose f (x) është një polinom zero, ose art. f (x) ≤n. Nëse supozojmë se polinomi f (x) nuk është zero, atëherë Art. f (x) ≤n, dhe pastaj f (x) ka më së shumti n rrënjë. Arrijmë në një kontradiktë. Kjo do të thotë se f(x) është një polinom jo zero. Le të jenë f (x) dhe g (x) polinome jozero të shkallës më së shumti n. Nëse këto polinome marrin të njëjtat vlera për vlerat n+1 të ndryshores x, atëherë f (x) =g (x).

Për ta vërtetuar këtë, merrni parasysh polinomin h (x) =f (x) - g (x). Është e qartë se ose h (x) =0 ose st. h (x) ≤n, pra h (x) nuk është një polinom me shkallë më të madhe se n. Tani le të jetë numri c i tillë që f (c) = g (c). Atëherë h (c) = f (c) - g (c) = 0, pra c është rrënja e polinomit h (x). Prandaj, polinomi h (x) ka n+1 rrënjë, dhe kur, siç u vërtetua sapo, h (x) =0, d.m.th. f (x) =g (x). Nëse f (x) dhe g (x) marrin të njëjtat vlera për të gjitha vlerat e ndryshores x, atëherë këto polinome janë të barabarta

Rrënjët e shumëfishta të një polinomi Nëse një numër c është një rrënjë e një polinomi f (x), ky polinom dihet se është i pjesëtueshëm me x-c. Mund të ndodhë që f (x) të pjesëtohet edhe me ndonjë fuqi të polinomit x-c, pra me (x-c) k, k>1. Në këtë rast, c quhet rrënjë e shumëfishtë. Le ta formulojmë përkufizimin më qartë. Një numër c quhet rrënjë e shumëfishimit k (rrënja k-fish) e një polinomi f (x) nëse polinomi është i pjesëtueshëm me (x - c) k, k>1 (k është një numër natyror), por jo i pjesëtueshëm nga (x - c) k+ 1. Nëse k=1, atëherë c quhet rrënjë e thjeshtë, dhe nëse k>1, atëherë quhet rrënjë e shumëfishtë e polinomit f (x).

Nëse polinomi f(x) paraqitet si f(x)=(x-c)mg(x), m është një numër natyror, atëherë ai pjesëtohet me (x-c) m+1 nëse dhe vetëm nëse g(x) është i plotpjesëtueshëm. në x-s. Në fakt, nëse g(x) pjesëtohet me x-c, d.m.th. g(x)=(x-c)s(x), atëherë f(x)=(x-c) m+1 s(x), dhe kjo do të thotë f(x ) pjesëtohet me (x-c) m+1. Anasjelltas, nëse f(x) pjesëtohet me (x-c) m+1, atëherë f(x)=(x-c) m+1 s(x). Pastaj (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) dhe pas reduktimit me (x-c)m marrim g(x)=(x-c)s(x). Nga kjo rrjedh se g(x) pjesëtohet me x-c.

Le të zbulojmë, për shembull, nëse numri 2 është rrënja e polinomit f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 dhe nëse po, gjejmë shumëfishin e tij. Për t'iu përgjigjur pyetjes së parë, le të kontrollojmë duke përdorur qarkun e Hornerit nëse f (x) pjesëtohet me x-2. kemi: Tabela 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Siç mund ta shihni, pjesa e mbetur kur pjesëtohet f(x) me x-2 është e barabartë me 0, d.m.th. pjesëtuar me x-2. Kjo do të thotë se 2 është rrënja e këtij polinomi. Përveç kësaj, kemi marrë se f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Tani le të zbulojmë nëse f(x) është në (x-2) 2. Kjo varet, siç e vërtetuam sapo, nga pjesëtueshmëria e polinomit g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 nga x-2.

Le të përdorim sërish skemën e Hornerit: Tabela 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Kemi gjetur se g(x) pjesëtohet me x-2 dhe g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Pastaj f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Pra, f(x) pjesëtohet me (x-2)2, tani duhet të zbulojmë nëse f(x) pjesëtohet me (x-2)3. Për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 pjesëtohet me x-2: Tabela 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Ne gjejmë se h(x ) është i pjesëtueshëm me x-2, që do të thotë se f(x) pjesëtohet me (x-2) 3, dhe f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Më pas, ne në mënyrë të ngjashme kontrollojmë nëse f(x) është i pjesëtueshëm me (x-2)4, pra nëse s(x)=x 2+x-3 pjesëtohet me x-2: Tabela 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Ne gjejmë se mbetja kur pjesëtojmë s(x) me x-2 është e barabartë me 3, pra s(x) nuk pjesëtohet me x-2. Kjo do të thotë që f(x) nuk ndahet me (x-2)4. Kështu f(x) është i pjesëtueshëm me (x-2)3, por jo i ndashëm me (x-2)4. Prandaj, numri 2 është një rrënjë e shumëfishimit 3 të polinomit f(x).

Në mënyrë tipike, kontrollimi i rrënjës për shumëfishim kryhet në një tabelë. Për këtë shembull, kjo tabelë duket si kjo: Tabela 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Me fjalë të tjera, sipas skemës Horner i pjesëtimit të polinomit f (x) me x-2, në rreshtin e dytë marrim koeficientët e polinomit g (x). Pastaj e konsiderojmë këtë rresht të dytë si rreshtin e parë të sistemit të ri Horner dhe pjesëtojmë g (x) me x-2, etj. Vazhdojmë llogaritjet derisa të marrim një mbetje që është e ndryshme nga zero. Në këtë rast, shumësia e rrënjës është e barabartë me numrin e mbetjeve zero të marra. Drejtëza që përmban mbetjen e fundit jozero përmban gjithashtu koeficientët e herësit kur pjesëtohet f (x) me (x-2) 3.

Tani, duke përdorur skemën e sapo propozuar për kontrollimin e rrënjës për shumëfishim, ne do të zgjidhim problemin e mëposhtëm. Për çfarë a dhe b polinomi f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 e ka numrin - 2 si rrënjë të shumëfishit 2? Pra, shumësia e rrënjës - 2 duhet të jetë e barabartë me 2, pastaj, kur pjesëtojmë me x+2 sipas skemës së propozuar, duhet të marrim një mbetje prej 0 dy herë, dhe herën e tretë - një mbetje të ndryshme nga zero. Kemi: Tabela 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Kështu, numri - 2 është një rrënjë e shumëfishimit 2 të polinomit origjinal nëse dhe vetëm nëse

Rrënjët racionale të një polinomi Nëse thyesa e pakalueshme l/m (l, m janë numra të plotë) është rrënja e një polinomi f (x) me koeficientë të plotë, atëherë koeficienti kryesor i këtij polinomi pjesëtohet me m, dhe termi i lirë është pjesëtuar me 1. Në të vërtetë, nëse f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, ku an, an-1, . . . , a 1, a 0 janë numra të plotë, pastaj f(l/m) =0, pra аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Le të shumëzojmë të dyja anët e kësaj barazie me mn. Marrim anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Kjo nënkupton anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Shohim se numri i plotë anln është i pjesëtueshëm me m. Por l/m është një thyesë e pakalueshme, domethënë numrat l dhe m janë të dyfishtë, dhe më pas, siç dihet nga teoria e pjesëtueshmërisë së numrave të plotë, numrat ln dhe m janë gjithashtu të dyfishtë. Pra, anln është i pjestueshëm me m dhe m është i dyfishtë me ln, që do të thotë se anln pjesëtohet me m. Të gjejmë rrënjët racionale të polinomit f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Sipas teoremës, rrënjët racionale të këtij polinomi janë ndër thyesat e pakalueshme të formës l/m, ku l është pjesëtuesi i termit të lirë a 0=8, dhe m është pjesëtuesi i koeficientit kryesor a 4=6. . Për më tepër, nëse thyesa l/m është negative, atëherë numri "-" do t'i caktohet numëruesit. Për shembull, - (1/3) = (-1) /3. Pra, mund të themi se l është një pjesëtues i numrit 8, dhe m është një pjesëtues pozitiv i numrit 6.

Meqenëse pjesëtuesit e numrit 8 janë ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, dhe pjesëtuesit pozitivë të numrit 6 janë 1, 2, 3, 6, atëherë rrënjët racionale të polinomit në fjalë janë ndër numrat. ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Le t'ju kujtojmë se kemi shkruar vetëm thyesat e pakalueshme. Kështu, ne kemi njëzet numra - "kandidatë" për rrënjë. Mbetet vetëm të kontrolloni secilën prej tyre dhe të zgjidhni ato që janë me të vërtetë rrënjë. Teorema e mëposhtme e thjeshton këtë punë. Nëse fraksioni i pakalueshëm l/m është rrënja e një polinomi f (x) me koeficientë të plotë, atëherë f (k) pjesëtohet me l-km për çdo numër të plotë k, me kusht që l-km≠ 0.

Për të vërtetuar këtë teoremë, pjesëtoni f(x) me x-k me një mbetje. Marrim f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Meqenëse f(x) është një polinom me koeficientë të plotë, po kështu është edhe polinomi s(x), dhe f(k) është një numër i plotë. Le të jetë s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Pastaj f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Le të vendosim 1 x=l/m në këtë barazi. Duke marrë parasysh se f(l/m)=0, marrim f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Le të shumëzojmë të dyja anët e barazisë së fundit me mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Nga kjo rrjedh se numri i plotë mnf (k) është i pjesëtueshëm me l-km. Por meqenëse l dhe m janë të dyfishta, atëherë mn dhe l-km janë gjithashtu të dyfishta, që do të thotë se f(k) është i pjesëtueshëm me l-km. Teorema është vërtetuar.

Le të kthehemi te shembulli ynë dhe, duke përdorur teoremën e provuar, do të ngushtojmë më tej rrethin e kërkimeve për rrënjët racionale. Le ta zbatojmë këtë teoremë për k=1 dhe k=-1, d.m.th. nëse thyesa e pakalueshme l/m është rrënja e polinomit f(x), atëherë f(1)/(l-m) dhe f(-1) /(l +m). Ne e gjejmë lehtësisht se në rastin tonë f(1)=-5, dhe f(-1)= -15. Vini re se në të njëjtën kohë ne përjashtuam ± 1 nga shqyrtimi Pra, rrënjët racionale të polinomit tonë duhet të kërkohen midis numrave ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Konsideroni l/m=1/2. Atëherë l-m=-1 dhe f (1) =-5 pjesëtohet me këtë numër. Më tej, l+m=3 dhe f (1) =-15 është gjithashtu i pjesëtueshëm me 3. Kjo do të thotë se thyesa 1/2 mbetet midis "kandidatëve" për rrënjë.

Le tashti lm=-(1/2)=(-1)/2. Në këtë rast, l-m=-3 dhe f (1) =-5 nuk pjesëtohet me - 3. Kjo do të thotë se thyesa -1/2 nuk mund të jetë rrënja e këtij polinomi dhe ne e përjashtojmë atë nga shqyrtimi i mëtejshëm. Le të kontrollojmë për secilën nga thyesat e shkruara më sipër dhe të gjejmë se rrënjët e kërkuara janë midis numrave 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Kështu, duke përdorur një teknikë mjaft të thjeshtë, ne kemi ngushtuar ndjeshëm zonën e kërkimit për racional rrënjët e polinomit në fjalë. Epo, për të kontrolluar numrat e mbetur, do të përdorim skemën e Hornerit: Tabela 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Shohim se 1/2 është rrënja e polinomit f(x) dhe f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Është e qartë se të gjitha rrënjët e tjera të polinomit f (x) përkojnë me rrënjët e polinomit g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, që do të thotë se verifikimi i mëtejshëm i "kandidatëve" për rrënjët. mund të kryhet për këtë polinom. Gjejmë: Tabela 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Kemi gjetur se pjesa e mbetur kur pjesëtojmë g(x) me x-2/3 është e barabartë me - 80/9, dmth 2/3 nuk është rrënjë e polinomit g(x), dhe për këtë arsye as f(x). Më pas gjejmë se - 2/3 është rrënja e polinomit g(x) dhe g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Pastaj f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Verifikimi i mëtejshëm mund të kryhet për polinomin x 2+2 x-4, i cili, natyrisht, është më i thjeshtë se sa për g (x) ose, aq më tepër, për f (x). Si rezultat, ne zbulojmë se numrat 2 dhe - 4 nuk janë rrënjë. Pra, polinomi f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ka dy rrënjë racionale: 1/2 dhe - 2/3. Kjo metodë bën të mundur gjetjen e vetëm rrënjëve racionale të një polinomi me koeficientë të plotë. Ndërkohë, një polinom mund të ketë edhe rrënjë irracionale. Pra, për shembull, polinomi i konsideruar në shembull ka dy rrënjë të tjera: - 1±√ 5 (këto janë rrënjët e polinomit x2+2 x-4). një polinom mund të mos ketë rrënjë racionale fare.

Kur testohen rrënjët "kandidate" të polinomit f(x) duke përdorur të dytën nga teorema e provuar më sipër, kjo e fundit zakonisht përdoret për rastet k = ± 1. Me fjalë të tjera, nëse l/m është një rrënjë "kandidate", atëherë kontrolloni nëse f( 1) dhe f (-1) përkatësisht me l-m dhe l+m. Por mund të ndodhë që, për shembull, f(1) =0, d.m.th. 1 është një rrënjë, dhe pastaj f(1) pjesëtohet me çdo numër, dhe kontrolli ynë bëhet i pakuptimtë. Në këtë rast, ju duhet të pjesëtoni f(x) me x-1, pra të merrni f(x)=(x-1)s(x) dhe të provoni për polinomin s(x). Në të njëjtën kohë, nuk duhet të harrojmë se tashmë kemi gjetur një rrënjë të polinomit f(x)-x 1=1. Nëse kontrollojmë "kandidatët" për rrënjët e mbetura pas përdorimit të teoremës së dytë mbi rrënjët racionale duke përdorur skemën e Hornerit dhe zbulojmë se, për shembull, l/m është një rrënjë, atëherë duhet gjetur shumëfishimi i saj. Nëse është e barabartë me, le të themi, k, atëherë f(x)=(x-l/m) ks (x), dhe testimi i mëtejshëm mund të bëhet në s(x), i cili redukton llogaritjet.

Zgjidhje. Pasi kemi zëvendësuar ndryshoren y=2 x, kalojmë në një polinom me koeficient të barabartë me një në shkallën më të lartë. Për ta bërë këtë, fillimisht shumëzojeni shprehjen me 4. Nëse funksioni që rezulton ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Le t'i shkruajmë ato: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Le të llogarisim në mënyrë sekuenciale vlerat e funksionit g(y) në këto pika derisa të arrijmë zero. Kjo do të thotë, y=-5 është një rrënjë dhe prandaj është rrënja e funksionit origjinal. Le ta ndajmë polinomin me një binom duke përdorur një kolonë (kënd)

Nuk këshillohet të vazhdohet me kontrollimin e pjesëtuesve të mbetur, pasi është më e lehtë të faktorizohet trinomi kuadratik që rezulton.

Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe binomit të Njutonit për të faktorizuar një polinom Ndonjëherë shfaqja e një polinomi sugjeron një mënyrë për ta faktorizuar atë. Për shembull, pas transformimeve të thjeshta, koeficientët rreshtohen në një vijë nga trekëndëshi i Paskalit për koeficientët e binomit të Njutonit. Shembull. Faktoroni polinomin.

Zgjidhje. Le ta transformojmë shprehjen në formë: Sekuenca e koeficientëve të shumës në kllapa tregon qartë se kjo është Prandaj, Tani zbatojmë formulën e ndryshimit të katrorëve: Shprehja në kllapa e dytë nuk ka rrënjë reale, dhe për polinomin nga kllapa e parë aplikojmë edhe një herë formulën e diferencës së katrorëve

Formulat Vieta që shprehin koeficientët e një polinomi përmes rrënjëve të tij. Këto formula janë të përshtatshme për t'u përdorur për të kontrolluar saktësinë e gjetjes së rrënjëve të një polinomi, si dhe për të kompozuar një polinom bazuar në rrënjët e tij të dhëna. Formulimi Nëse janë rrënjët e një polinomi, atëherë koeficientët shprehen në formën e polinomeve simetrike të rrënjëve, përkatësisht

Me fjalë të tjera, ak është e barabartë me shumën e të gjitha produkteve të mundshme të rrënjëve k. Nëse koeficienti kryesor është një polinom, atëherë për të aplikuar formulën Vieta është e nevojshme që fillimisht të pjesëtohen të gjithë koeficientët me një 0. Në këtë rast, formulat Vieta japin një shprehje për raportin e të gjithë koeficientëve me atë kryesor. Nga formula e fundit e Vietës del se nëse rrënjët e një polinomi janë numër i plotë, atëherë ato janë pjesëtues të termit të tij të lirë, i cili gjithashtu është numër i plotë. Vërtetimi kryhet duke marrë parasysh barazinë e përftuar nga zgjerimi i polinomit në rrënjë, duke marrë parasysh se a 0 = 1 Duke barazuar koeficientët me të njëjtat fuqi të x, marrim formulat Vieta.

Zgjidheni ekuacionin x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Zgjidhje. Le të shënojmë y = x 3, atëherë ekuacioni origjinal merr formën y 2 – 5 y + 4 = 0, duke e zgjidhur të cilin marrim Y 1 = 1; Y 2 = 4. Kështu, ekuacioni origjinal është i barabartë me një grup ekuacionesh: x 3 = 1 ose x 3 = 4, pra X 1 = 1 ose X 2 = Përgjigje: 1;

Teorema e Bezout Përkufizimi 1. Një element quhet rrënjë e një polinomi nëse f(c)=0. Teorema e Bezout. Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit Pn(x) me binomin (x-a) është e barabartë me vlerën e këtij polinomi në x = a. Dëshmi. Në bazë të algoritmit të ndarjes, f(x)=(xc)q(x)+r(x), ku ose r(x)=0, ose, dhe prandaj. Pra f(x)=(x-c)q(x)+r, pra f(c)=(c-c)q(c)+r=r, dhe prandaj f(x)=(xc)q(x) +f (c).

Përfundimi 1: Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit Pn (x) me binomin ax+b është e barabartë me vlerën e këtij polinomi në x = -b/a, pra R=Pn (-b/a). Përfundimi 2: Nëse numri a është rrënja e polinomit P (x), atëherë ky polinom pjesëtohet me (x-a) pa mbetje. Përfundimi 3: Nëse polinomi P(x) ka rrënjë të dallueshme në çift a 1 , a 2 , ... , an, atëherë ai pjesëtohet me prodhimin (x-a 1) ... (x-an) pa mbetje. Përfundimi 4: Një polinom i shkallës n ka më së shumti n rrënjë të ndryshme. Përfundimi 5: Për çdo polinom P(x) dhe numër a, diferenca (P(x)-P(a)) pjesëtohet me binomin (x-a) pa mbetje. Përfundimi 6: Një numër a është një rrënjë e një polinomi P(x) të shkallës së paku fillimisht nëse dhe vetëm nëse P(x) pjesëtohet me (x-a) pa mbetje.

Zbërthimi i një thyese racionale në thyesa të thjeshta Le të tregojmë se çdo thyesë e duhur racionale mund të zbërthehet në një shumë të thyesave të thjeshta. Le të jepet një thyesë e duhur racionale (1).

Teorema 1. Le të jetë x=a rrënja e emëruesit të shkurtësisë k, d.m.th., ku f(a)≠ 0, atëherë kjo thyesë e duhur mund të përfaqësohet si shuma e dy thyesave të tjera të duhura si më poshtë: (2) , ku A është një konstante jo e barabartë me zero, dhe F 1(x) është një polinom shkalla e të cilit është më e ulët se shkalla e emëruesit

Nëse një polinom

- polinomi i shkallës n -

Le të jenë të gjithë koeficientët e polinomit numra të plotë dhe numri i plotë a le të jetë rrënja e këtij polinomi. Meqenëse në këtë rast rezulton se koeficienti pjesëtohet me a.

Koment. Kjo teoremë në fakt ju lejon të gjeni rrënjët e polinomeve të shkallëve më të larta në rastin kur koeficientët e këtyre polinomeve janë numra të plotë dhe rrënja është një numër racional. Teorema mund të riformulohet si më poshtë: nëse e dimë se koeficientët e një polinomi janë numra të plotë dhe rrënjët e tij janë racionale, atëherë këto rrënjë racionale mund të jenë vetëm të formës ku p është pjesëtues i numrit (termi i lirë). dhe numri q është pjesëtuesi i numrit (koeficienti kryesor) .

Teorema e rrënjëve të plota, që përmban

Nëse numri i plotë α është rrënja e një polinomi me koeficientë të plotë, atëherë α është pjesëtuesi i termit të tij të lirë.

Dëshmi. Le të:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

një polinom me koeficientë të plotë dhe një numër të plotë α është rrënja e tij.

Më pas, me përcaktimin e rrënjës, barazia P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Duke marrë faktorin e përbashkët α nga kllapat, marrim barazinë:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , ku

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Meqenëse numrat a 0 , a 1 ,…a n-1 , an dhe α janë numra të plotë, ka një numër të plotë në kllapa dhe, për rrjedhojë, a n është i pjesëtueshëm me α, gjë që duhej vërtetuar.

Teorema e provuar mund të formulohet edhe si më poshtë: çdo rrënjë numër i plotë i një polinomi me koeficientë të plotë është pjesëtues i termit të tij të lirë.
Teorema bazohet në një algoritëm për kërkimin e rrënjëve të plota të një polinomi me koeficientë të plotë: shkruani të gjithë pjesëtuesit e termit të lirë dhe një nga një shkruani vlerat e polinomeve të këtyre numrave.

2.Teorema shtesë mbi rrënjët e numrave të plotë

Nëse një numër i plotë α është rrënja e një polinomi P(x) me koeficientë të plotë, atëherë α-1 është pjesëtues i numrit P(1), α+1 është pjesëtues i numrit P(-1)

Dëshmi. Nga identiteti

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

rrjedh se për numrat e plotë b dhe c, numri bⁿ-cⁿ është i pjesëtueshëm me b∙c. Por për çdo polinom P ndryshimi

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

dhe prandaj, për një polinom P me koeficientë të plotë dhe numra të plotë b dhe c, diferenca P(b)-P(c) pjesëtohet me b-c.

Atëherë: për b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1), që do të thotë P(1) pjesëtohet me α-1. Rasti i dytë trajtohet në mënyrë të ngjashme.

Skema Horner

Teorema: Le të jetë thyesa e pakalueshme p/q rrënja e ekuacionit a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 me koeficientë të plotë, pastaj numri q është pjesëtues i koeficientit kryesor a0, dhe numrit r është pjesëtues i termit të lirë a n.

Shënim 1. Çdo rrënjë numër i plotë i një ekuacioni me koeficientë të plotë është një pjesëtues i termit të tij të lirë.

Shënim 2.Nëse koeficienti kryesor i një ekuacioni me koeficientë të plotë është i barabartë me 1, atëherë të gjitha rrënjët racionale, nëse ekzistojnë, janë të plota.

Rrënja e një polinomi. Rrënja e një polinomi f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n është x = c , e tillë që f (c)=0 .

Shënim 3. Nëse x = c rrënja e një polinomi , atëherë polinomi mund të shkruhet si: f(x)=(x−c)q(x) , Ku është herësi i një polinomi f(x) nga monomi x - c

Pjesëtimi i një polinomi me një monom mund të bëhet duke përdorur skemën e Hornerit:

Nëse f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , pastaj kur ndahet f (x) në g (x) private q(x) duket si q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Ku b 0 =a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Pjesa e mbetur r gjendet me formulë r=c b n − 1 +a n

Zgjidhja: Koeficienti i shkallës më të lartë është 1, kështu që rrënjët e numrave të plotë të ekuacionit duhet të kërkohen midis pjesëtuesve të termit të lirë: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Duke përdorur skemën e Horner, gjejmë rrënjët e plota të ekuacionit:

Nëse zgjidhet një rrënjë sipas skemës së Hornerit. atëherë mund të vendosni më tej si kjo x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3