Përshëndetje, të dashur studentë të Universitetit Argemona! Mirë se vini në një tjetër leksion mbi magjinë e funksioneve dhe integraleve.
Sot do të flasim për hiperbolën. Le të fillojmë thjesht. Lloji më i thjeshtë i hiperbolës është:
Ky funksion, ndryshe nga vija e drejtë në format e saj standarde, ka një veçori të veçantë. Siç e dimë, emëruesi i një thyese nuk mund të jetë zero, sepse nuk mund të pjesëtohet me zero.
x ≠ 0
Nga këtu arrijmë në përfundimin se fusha e përkufizimit është e gjithë boshti numerik, përveç pikës 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Nëse x priret në 0 nga e djathta (shkruar kështu: x->0+), d.m.th. bëhet shumë, shumë i vogël, por mbetet pozitiv, pastaj y bëhet pozitiv shumë, shumë i madh (y->+∞).
Nëse x tenton në 0 nga e majta (x->0-), d.m.th. bëhet shumë, shumë i vogël në vlerë absolute, por mbetet negativ, atëherë y do të jetë gjithashtu negativ, por në vlerë absolute do të jetë shumë i madh (y->-∞).
Nëse x tenton në plus pafundësi (x->+∞), d.m.th. bëhet një numër pozitiv shumë i madh, atëherë y do të bëhet një numër pozitiv gjithnjë e më i vogël, d.m.th. do të priret në 0, duke mbetur pozitiv gjatë gjithë kohës (y->0+).
Nëse x priret në minus pafundësi (x->-∞), d.m.th. bëhet i madh në modul, por numër negativ, atëherë edhe y do të jetë gjithmonë numër negativ, por i vogël në modul (y->0-).
Y, si x, nuk mund të marrë vlerën 0. Ajo tenton vetëm në zero. Prandaj, grupi i vlerave është i njëjtë me domenin e përkufizimit: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Bazuar në këto konsiderata, ne mund të vizatojmë skematikisht një grafik të funksionit
Mund të shihet se hiperbola përbëhet nga dy pjesë: njëra ndodhet në këndin e koordinatës së parë, ku vlerat x dhe y janë pozitive dhe pjesa e dytë është në këndin e tretë të koordinatave, ku vlerat x dhe y. janë negative.
Nëse lëvizim nga -∞ në +∞, atëherë shohim që funksioni ynë zvogëlohet nga 0 në -∞, atëherë ka një kërcim të mprehtë (nga -∞ në +∞) dhe fillon dega e dytë e funksionit, e cila gjithashtu zvogëlohet, por nga +∞ në 0. Domethënë kjo hiperbolë është në rënie.
Nëse e ndryshoni pak funksionin: përdorni magjinë e minusit,
(1")
Ky është funksioni për mrekulli do të kalojë nga tremujori i 1-rë dhe i 3-të koordinativ në tremujorin e 2-të dhe të 4-të dhe do të bëhet në rritje.
Më lejoni t'ju kujtoj se funksioni është në rritje, nëse për dy vlera x 1 dhe x 2 të tilla që x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Dhe funksioni do të jetë në rënie, nëse f(x 1) > f(x 2) për të njëjtat vlera të x.
Degët e hiperbolës i afrohen boshteve, por kurrë nuk i kryqëzojnë ato. Vijat që grafiku i një funksioni i afrohet por nuk i pret kurrë quhen asimptotë këtë funksion.
Për funksionin tonë (1), asimptotat janë drejtëzat x=0 (bosht OY, asimptotë vertikale) dhe y=0 (bosht OX, asimptotë horizontale).
Tani le të ndërlikojmë pak hiperbolën më të thjeshtë dhe të shohim se çfarë ndodh me grafikun e funksionit.
(2)
Ne thjesht shtuam konstanten "a" në emërues. Shtimi i një numri në emëruesin si term në x nënkupton lëvizjen e të gjithë "ndërtimit hiperbolik" (së bashku me asimptotën vertikale) (-a) pozicionet në të djathtë nëse a është një numër negativ dhe (-a) pozicionet në të majtë nëse një - numër pozitiv.
Në grafikun e majtë, x-së i shtohet një konstante negative (a<0, значит, -a>0), e cila bën që grafiku të lëvizë djathtas, dhe në grafikun e djathtë ka një konstante pozitive (a>0), për shkak të së cilës grafiku zhvendoset në të majtë.
Dhe çfarë magjie mund të ndikojë në transferimin e "strukturës hiperbolike" lart ose poshtë? Shtimi i një termi konstant në një thyesë.
(3)
Tani i gjithë funksioni ynë (si degët ashtu edhe asimptota horizontale) do të ngrihet nga b pozicionet lart nëse b është një numër pozitiv dhe do të zbresë në pozicionet b nëse b është një numër negativ.
Ju lutemi vini re se asimptotat lëvizin së bashku me hiperbolën, d.m.th. hiperbola (të dyja degët e saj) dhe të dyja asimptotat e saj duhet të konsiderohen si një strukturë e pandashme që lëviz në mënyrë të njëtrajtshme majtas, djathtas, lart ose poshtë. Është një ndjenjë shumë e këndshme kur thjesht duke shtuar një numër mund ta bëni të gjithë funksionin të lëvizë në çdo drejtim. A nuk është magji që mund ta zotëroni shumë lehtë dhe ta drejtoni sipas gjykimit tuaj në drejtimin e duhur?
Nga rruga, ju mund të kontrolloni lëvizjen e çdo funksioni në këtë mënyrë. Në mësimet e ardhshme do ta konsolidojmë këtë aftësi.
Para se t'ju pyes detyrat e shtëpisë, Unë dua të tërheq vëmendjen tuaj për këtë funksion
(4)
Dega e poshtme e hiperbolës lëviz nga këndi i 3-të i koordinatave lart - në të dytin, në këndin ku vlera e y është pozitive, d.m.th. kjo degë reflektohet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin OX. Dhe tani marrim një funksion të barabartë.
çfarë bën " madje funksion Funksioni thirret madje, nëse plotësohet kushti: f(-x)=f(x)
Funksioni thirret i çuditshëm, nëse plotësohet kushti: f(-x)=-f(x)
Në rastin tonë
(5)
Çdo funksion çift është simetrik rreth boshtit OY, d.m.th. një pergamenë me një vizatim të një grafiku mund të paloset përgjatë boshtit OY, dhe dy pjesët e grafikut do të përkojnë saktësisht me njëra-tjetrën.
Siç mund ta shohim, ky funksion gjithashtu ka dy asimptota - horizontale dhe vertikale. Ndryshe nga funksionet e diskutuara më sipër, ky funksion është në rritje nga njëra anë dhe në rënie nga ana tjetër.
Tani le të përpiqemi të manipulojmë këtë grafik duke shtuar konstante.
(6)
Kujtoni se shtimi i një konstante si term në "x" bën që i gjithë grafiku (së bashku me asimptotën vertikale) të lëvizë horizontalisht, përgjatë asimptotës horizontale (në të majtë ose në të djathtë, në varësi të shenjës së kësaj konstante).
(7)
Dhe shtimi i konstantës b si term në një fraksion bën që grafiku të lëvizë lart ose poshtë. Është shumë e thjeshtë!
Tani provoni të eksperimentoni vetë me këtë magji.
Detyrë shtëpie 1.
Të gjithë marrin dy funksione për eksperimentet e tyre: (3) dhe (7).
a=shifra e parë e LD-së tuaj
b=shifra e dytë e LD-së tuaj
Mundohuni të arrini te magjia e këtyre funksioneve, duke filluar me hiperbolën më të thjeshtë, siç bëra në mësim, dhe duke shtuar gradualisht konstantet tuaja. Ju tashmë mund të modeloni funksionin (7) bazuar në formën përfundimtare të funksionit (3). Tregoni domenet e përkufizimit, grupin e vlerave dhe asimptotat. Si sillen funksionet: zvogëlohen, rriten. Çift - tek. Në përgjithësi, përpiquni të bëni të njëjtin kërkim si në klasë. Ndoshta do të gjeni diçka tjetër për të cilën kam harruar të flas.
Nga rruga, të dy degët e hiperbolës më të thjeshtë (1) janë simetrike në lidhje me përgjysmuesin 2 dhe 4 kënde koordinative. Tani imagjinoni që hiperbola filloi të rrotullohej rreth këtij boshti. Le të marrim një figurë kaq të bukur që mund të përdoret.
Detyra 2. Ku mund ta përdor? kjo shifër? Përpiquni të vizatoni një figurë rrotullimi për funksionin (4) në lidhje me boshtin e tij të simetrisë dhe mendoni se ku mund të gjejë zbatim një figurë e tillë.
Mbani mend se si në fund të mësimit të fundit morëm një vijë të drejtë me një pikë të shpuar? Dhe këtu është e fundit detyra 3.
Ndërtoni një grafik të këtij funksioni:
(8)
Koeficientët a, b janë të njëjtë si në detyrën 1.
c=shifra e tretë e LD-së tuaj ose a-b nëse LD juaj është dyshifrore.
Një sugjerim i vogël: së pari, fraksioni i marrë pas zëvendësimit të numrave duhet të thjeshtohet, dhe më pas do të merrni një hiperbolë të zakonshme, të cilën duhet ta ndërtoni, por në fund duhet të merrni parasysh domenin e përkufizimit të shprehjes origjinale.
Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për
Për të kuptuar se çfarë do të shkruhet këtu, duhet të dini mirë se çfarë është varësia e kundërt dhe me çfarë përdoret. Nëse jeni të sigurt se dini gjithçka rreth marrëdhënies së kundërt, mirëpresim. Por nëse jo, duhet të lexoni temën "".
Unë gjithashtu rekomandoj shumë të mësoni se si të ndërtoni së pari, pasi ka disa parimet e përgjithshme të vizatojnë varësitë kuadratike dhe të anasjellta.
Le të fillojmë me një kontroll të vogël:
Çfarë është proporcionaliteti i kundërt?
Si duket një funksion që përshkruan? marrëdhënie e anasjelltë V pamje e përgjithshme(formula)?
Si quhet grafiku i një funksioni të tillë?
Cilët koeficientë ndikojnë në grafikun e funksionit dhe si?
Nëse keni qenë në gjendje t'u përgjigjeni këtyre pyetjeve menjëherë, vazhdoni të lexoni. Nëse të paktën një pyetje ka shkaktuar vështirësi, shkoni te.
Pra, ju tashmë e dini se si të trajtoni marrëdhënien e kundërt, të analizoni grafikun e saj dhe të ndërtoni një grafik me pika.
Epo, kjo është e gjitha, ju keni mësuar se si të ndërtoni çdo hiperbolë.
Unë gjithashtu vërej se rregullat për ndërtimin e një hiperbole doli të ishin pak më të thjeshta sesa për një parabolë, sepse çdo numër thjesht e zhvendos grafikun në një drejtim. Dhe koeficientët nuk kanë lidhje me njëri-tjetrin.
NDËRTIMI I GRAFIT TË VARËSISË TË INVERSËS. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE
1. Përkufizimi
Një funksion që përshkruan një marrëdhënie të anasjelltë është një funksion i formës, ku.
Grafiku i marrëdhënieve të anasjellta është një hiperbolë.
2. Koeficientët, dhe.
Përgjegjës për “rrafshësia” dhe drejtimi i grafikut: sa më i madh të jetë ky koeficient, aq më larg hiperbola ndodhet nga origjina dhe, për rrjedhojë, "kthehet" më pak (shih figurën). Shenja e koeficientit ndikon në cilat tremujorë ndodhet grafiku:
- nëse, dhe zhvendoseni poshtë nëse.
Prandaj, kjo është asimptotë horizontale.
3. Rregulla për ndërtimin e grafikut të një funksioni:
0) Përcaktoni koeficientët, dhe.
1) Ndërtojmë një grafik të funksionit (së pari, duke përdorur 3-4 pika, degën e djathtë, pastaj vizatoni në mënyrë simetrike degën e majtë).
2) Grafiku duhet të zhvendoset djathtas me. Por është më e lehtë të lëvizësh jo grafikun, por akset, pra boshtin lëvizin majtas.
3) Grafiku duhet të zhvendoset lart me. Por është më e lehtë të lëvizësh jo grafikun, por akset, pra boshtin lëviz poshtë nga.
4) Akset e vjetra (vijat e drejta që na shërbenin si akset në pikën 1) i lëmë si vija me pika. Këto tani janë vetëm asimptota vertikale dhe horizontale.
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Për çfarë?
Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?
FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.
Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.
Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni koleksionin ku të dëshironi, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.
Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.
Dhe në përfundim ...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.
"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!
Një hiperbolë është një grup pikash në një plan, diferenca në distancë nga dy pika të dhëna, vatra, është një vlerë konstante dhe e barabartë me .
Ngjashëm me elipsin, ne vendosim vatrat në pikat , (shih Fig. 1).
Oriz. 1
Nga figura mund të shihet se mund të ketë raste dhe title=" Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}
Dihet se në një trekëndësh diferenca midis dy brinjëve është më e vogël se brinja e tretë, kështu, për shembull, me marrim:
Le të nxjerrim të dyja anët në shesh dhe pas transformimeve të mëtejshme gjejmë:
Ku . Ekuacioni i hiperbolës (1) është ekuacioni kanonik i hiperbolës.
Hiperbola është simetrike në lidhje me boshtet e koordinatave, pra, sa i përket elipsës, mjafton të vizatojmë grafikun e saj në tremujorin e parë, ku:
Gama e vlerave për tremujorin e parë.
Kur kemi një nga kulmet e hiperbolës. Maja e dytë. Nëse , atëherë nuk ka rrënjë të vërteta nga (1). Ata thonë se dhe janë kulmet imagjinare të një hiperbole. Nga relacioni rezulton se për mjaftueshëm vlera të mëdha ka një vend të barazisë më të afërt title=" Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}
Forma dhe karakteristikat e hiperbolës
Le të shqyrtojmë ekuacionin (1) formën dhe vendndodhjen e hiperbolës.
- Variablat dhe përfshihen në ekuacionin (1) në fuqitë çift. Prandaj, nëse një pikë i përket një hiperbole, atëherë edhe pikat i përkasin një hiperbole. Kjo do të thotë se figura është simetrike në lidhje me boshtet dhe dhe pikën, e cila quhet qendra e hiperbolës.
- Le të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave. Duke zëvendësuar në ekuacionin (1) gjejmë se hiperbola e pret boshtin në pikat . Duke e vënë atë, marrim një ekuacion që nuk ka zgjidhje. Kjo do të thotë që hiperbola nuk e pret boshtin. Pikat quhen kulme të hiperbolës. Segmenti = dhe quhet bosht real i hiperbolës, dhe segmenti quhet bosht imagjinar i hiperbolës. Numrat dhe quhen përkatësisht gjysmëboshtet reale dhe imagjinare të hiperbolës. Drejtkëndëshi i krijuar nga boshtet quhet drejtkëndëshi kryesor i hiperbolës.
- Nga ekuacioni (1) rezulton se , pra . Kjo do të thotë se të gjitha pikat e hiperbolës janë të vendosura në të djathtë të vijës (dega e djathtë e hiperbolës) dhe në të majtë të vijës (dega e majtë e hiperbolës).
- Le të marrim një pikë mbi hiperbolën në tremujorin e parë, domethënë, dhe për këtë arsye . Që nga 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Renditur nga QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}
Asimptotat e një hiperbole
Ekzistojnë dy asimptota të një hiperbole. Le të gjejmë asimptotën në degën e hiperbolës në tremujorin e parë dhe më pas të përdorim simetrinë. Konsideroni pikën në tremujorin e parë, d.m.th. Në këtë rast, , atëherë asimptota ka formën: , ku
Kjo do të thotë se vija e drejtë është asimptota e funksionit. Prandaj, për shkak të simetrisë, asimptotat e një hiperbole janë vija të drejta.
Duke përdorur karakteristikat e përcaktuara, ne do të ndërtojmë një degë të hiperbolës, e cila ndodhet në tremujorin e parë, dhe do të përdorim simetrinë:
Oriz. 2
Në rastin kur , domethënë, hiperbola përshkruhet nga ekuacioni. Kjo hiperbolë përmban asimptota, të cilat janë përgjysmuesit e këndeve koordinative.
Shembuj të problemeve në ndërtimin e një hiperbole
Shembulli 1
Detyrë
Gjeni boshtet, kulmet, vatrat, ekscentricitetin dhe ekuacionet e asimptotave të hiperbolës. Ndërtoni një hiperbolë dhe asimptotat e saj.
Zgjidhje
Le të reduktojmë ekuacionin e hiperbolës në formën kanonike:
Duke krahasuar ekuacioni i dhënë me kanonike (1) gjejmë , , . Majat, fokuset dhe . Ekscentricitet; asptota; Ne po ndërtojmë një parabolë. (shih Fig. 3)
Shkruani ekuacionin e hiperbolës:
Zgjidhje
Duke shkruar ekuacionin e asimptotës në formë gjejmë raportin e gjysmëboshteve të hiperbolës. Sipas kushteve të problemit rezulton se . Prandaj, problemi u reduktua në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh:
Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit, marrim:
ku . Tani e gjejmë.
Prandaj, hiperbola ka ekuacionin e mëposhtëm:
Përgjigju
.Hiperbola dhe ekuacioni i saj kanonik përditësuar: 17 qershor 2017 nga: Artikuj shkencorë.Ru
Përkufizimi 7.2. Vendndodhja gjeometrike e pikave në një rrafsh për të cilin diferenca në distancë nga dy pika fikse është konstante quhet hiperbolë.
Vërejtje 7.2. Duke folur për ndryshimin në distanca, nënkuptohet se nga distancë më të madhe zbritet më e vogla. Kjo do të thotë që në fakt, për një hiperbolë, moduli i diferencës në distancat nga çdo pikë e saj në dy pika fikse është konstante. #
Përkufizimi i një hiperbole është i ngjashëm me përkufizimin elips. I vetmi ndryshim midis tyre është se për një hiperbolë diferenca në distancat me pikat fikse është konstante, dhe për një elipsë është shuma e të njëjtave distanca. Prandaj, është e natyrshme që këto kthesa të kenë shumë të përbashkëta si në vetitë e tyre ashtu edhe në terminologjinë e përdorur.
Pikat fikse në përkufizimin e hiperbolës (le t'i shënojmë ato F 1 dhe F 2) quhen truket hiperbolike. Distanca midis tyre (le ta quajmë 2c) quhet gjatësia fokale, dhe segmentet F 1 M dhe F 2 M që lidhin një pikë arbitrare M në një hiperbolë me vatrat e saj janë rrezet fokale.
Lloji i hiperbolës përcaktohet plotësisht nga gjatësia fokale |F 1 F 2 | = 2c dhe vlera e konstantes 2a, dallim të barabartë rrezet fokale, dhe pozicioni i saj në aeroplan - pozicioni i vatrave F 1 dhe F 2.
Nga përkufizimi i një hiperbole rrjedh se, si një elips, ajo është simetrike në lidhje me vijën që kalon nëpër vatra, si dhe në lidhje me vijën që ndan segmentin F 1 F 2 në gjysmë dhe është pingul me të. (Fig. 7.7). I pari prej këtyre boshteve të simetrisë quhet boshti real i hiperbolës, dhe e dyta - e saj bosht imagjinar. Vlera konstante dhe pjesëmarrja në përkufizimin e hiperbolës quhet gjysmëboshti real i hiperbolës.
Pika e mesme e segmentit F 1 F 2 që lidh vatrat e hiperbolës shtrihet në kryqëzimin e boshteve të saj të simetrisë dhe për këtë arsye është qendra e simetrisë së hiperbolës, e cila quhet thjesht qendra e hiperbolës.
Për një hiperbolë, boshti real 2a nuk duhet të jetë më i madh se distanca fokale 2c, pasi për trekëndëshin F 1 MF 2 (shih Fig. 7.7) pabarazia ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Barazia a = c vlen vetëm për ato pika M që shtrihen bosht real simetria e hiperbolës jashtë intervalit F 1 F 2. Duke e hedhur poshtë këtë rast të degjeneruar, më tej do të supozojmë se a
Ekuacioni i hiperbolës. Le të shqyrtojmë një hiperbolë të caktuar në rrafsh me vatra në pikat F 1 dhe F 2 dhe boshtin real 2a. Le të jetë 2c gjatësia fokale, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Sipas vërejtjes 7.2, një hiperbolë përbëhet nga ato pika M(x; y) për të cilat | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2a. Le të zgjedhim sistem koordinativ drejtkëndor Oksi në mënyrë që qendra e hiperbolës të jetë në origjinën, dhe fokuset u vendosën në boshti x(Fig. 7.8). Një sistem i tillë koordinativ për hiperbolën në shqyrtim quhet kanonike, dhe variablat përkatëse janë kanonike.
Në sistemin e koordinatave kanonik, vatrat e hiperbolës kanë koordinatat F 1 (c; 0) dhe F 2 (-c; 0). Duke përdorur formulën për distancën ndërmjet dy pikave, shkruajmë kushtin ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a në koordinata |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| = 2a, ku (x; y) janë koordinatat e pikës M. Për të thjeshtuar këtë ekuacion, le të heqim qafe shenjën e modulit: √((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2) = ±2a, zhvendosni radikalin e dytë në anën e djathtë dhe katrore: (x - c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 ± 4a √((x + c) 2 + y 2) + 4a 2. Pas thjeshtimit marrim -εx - a = ±√((x + c) 2 + y 2), ose
√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7.7)
ku ε = s/a. Le ta sheshojmë për herë të dytë dhe ta sjellim sërish anëtarë të ngjashëm: (ε 2 - 1)x 2 - y 2 = c 2 - a 2, ose, duke marrë parasysh barazinë ε = c/a dhe duke supozuar b 2 = c 2 - a 2,
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7.8)
Vlera b > 0 quhet gjysmëboshti imagjinar i hiperbolës.
Pra, kemi vërtetuar se çdo pikë në një hiperbolë me fokus F 1 (c; 0) dhe F 2 (-c; 0) dhe një gjysmë-bosht real a plotëson ekuacionin (7.8). Por është gjithashtu e nevojshme të tregohet se koordinatat e pikave jashtë hiperbolës nuk e plotësojnë këtë ekuacion. Për ta bërë këtë, ne konsiderojmë familjen e të gjitha hiperbolave me vatra të dhëna F 1 dhe F 2. Kjo familje hiperbolash ka boshte të përbashkët simetrie. Nga konsideratat gjeometrike është e qartë se çdo pikë e rrafshit (përveç pikave që shtrihen në boshtin real të simetrisë jashtë intervalit F1F2, dhe pikave që shtrihen në boshtin imagjinar të simetrisë) i përket ndonjë hiperbole të familjes, dhe vetëm një, meqenëse diferenca e distancave nga pika në vatrat F 1 dhe F 2 ndryshon nga hiperbolë në hiperbolë. Lërini koordinatat e pikës M(x; y) të plotësojnë ekuacionin (7.8) dhe vetë pika le t'i përkasë një hiperbole të familjes me njëfarë vlere ã të gjysmëboshtit real. Pastaj, siç e kemi vërtetuar, koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin 
Rrjedhimisht, një sistem me dy ekuacione me dy të panjohura
ka të paktën një zgjidhje. Me verifikim të drejtpërdrejtë jemi të bindur se për ã ≠ a kjo është e pamundur. Në të vërtetë, duke përjashtuar, për shembull, x nga ekuacioni i parë:
pas transformimeve marrim ekuacionin
e cila për ã ≠ a nuk ka zgjidhje, pasi . Pra, (7.8) është ekuacioni i një hiperbole me një gjysmë bosht real a > 0 dhe një gjysmë bosht imagjinar b = √(c 2 - a 2) > 0. Quhet ekuacioni kanonik i hiperbolës.
Një lloj hiperbole. Në pamjen e saj, hiperbola (7.8) ndryshon dukshëm nga elipsi. Duke marrë parasysh praninë e dy boshteve të simetrisë në një hiperbolë, mjafton të ndërtohet ajo pjesë e saj që ndodhet në çerekun e parë të sistemit të koordinatave kanonik. Në tremujorin e parë, d.m.th. për x ≥ 0, y ≥ 0, ekuacioni kanonik i hiperbolës zgjidhet në mënyrë unike në lidhje me y:
y = b/a √(x 2 - a 2). (7.9)
Studimi i këtij funksioni y(x) jep rezultatet e mëposhtme.
Fusha e përkufizimit të funksionit është (x: x ≥ a) dhe në këtë fushë përkufizimi është e vazhdueshme si funksion kompleks, dhe në pikën x = a është e vazhdueshme në të djathtë. E vetmja zero e funksionit është pika x = a.
Le të gjejmë derivatin e funksionit y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - a 2). Nga këtu konkludojmë se për x > a funksioni rritet në mënyrë monotone. 
, që do të thotë se në pikën x = a të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin e abshisave ka një tangjente vertikale. Funksioni y(x) ka një derivat të dytë y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 për x > a, dhe ky derivat është negativ. Prandaj, grafiku i funksionit është konveks lart, dhe atje nuk janë pika lakimi.
Funksioni i specifikuar ka asimptotë e zhdrejtë, kjo rrjedh nga ekzistenca e dy kufijve:
Asimptota e pjerrët përshkruhet nga ekuacioni y = (b/a)x.
Studimi i funksionit (7.9) na lejon të ndërtojmë grafikun e tij (Fig. 7.9), i cili përkon me pjesën e hiperbolës (7.8) që përmban tremujori i parë.
Meqenëse hiperbola është simetrike rreth boshteve të saj, e gjithë kurba ka formën e treguar në Fig. 7.10. Një hiperbolë përbëhet nga dy degë simetrike të vendosura në të ndryshme
anët nga boshti i saj imagjinar i simetrisë. Këto degë nuk janë të kufizuara në të dyja anët, dhe drejtëzat y = ±(b/a)x janë njëkohësisht asimptota të të dy degëve të djathta dhe të majta të hiperbolës.
Boshtet e simetrisë së një hiperbole ndryshojnë në atë që boshtet reale kryqëzojnë hiperbolën, ndërsa boshtet imagjinare, duke qenë vendndodhja e pikave të barabarta nga vatra, nuk kryqëzohen (për këtë arsye quhet imagjinare). Dy pikat e prerjes së boshtit real të simetrisë me hiperbolën quhen kulme të hiperbolës (pikat A(a; 0) dhe B(-a; 0) në figurën 7.10).
Ndërtimi i një hiperbole përgjatë boshteve të saj reale (2a) dhe imagjinare (2b) duhet të fillojë me një drejtkëndësh me qendër në origjinë dhe brinjët 2a dhe 2b, përkatësisht paralel me boshtet reale dhe imagjinare të simetrisë së hiperbolës ( Fig. 7.11). Asimptotat e hiperbolës janë vazhdime të diagonaleve të këtij drejtkëndëshi, kurse kulmet e hiperbolës janë pikat e prerjes së brinjëve të drejtkëndëshit me boshtin real të simetrisë. Vini re se drejtkëndëshi dhe pozicioni i tij në rrafsh përcaktojnë në mënyrë unike formën dhe pozicionin e hiperbolës. Raporti b/a i brinjëve të drejtkëndëshit përcakton shkallën e ngjeshjes së hiperbolës, por në vend të këtij parametri zakonisht përdoret ekscentriciteti i hiperbolës. Ekscentriciteti i hiperbolës quhet raporti i gjatësisë fokale të tij me boshtin real. Ekscentriciteti shënohet me ε. Për hiperbolën e përshkruar nga ekuacioni (7.8), ε = c/a. Vini re se nëse elipse ekscentricitet mund të marrë vlera nga një gjysmë interval)
