Pabarazitë me rrënjë në emërues. Disa rekomandime për zgjidhjen e pabarazive irracionale

NË këtë mësim do të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazive irracionale, do të japim shembuj të ndryshëm.

Tema: Ekuacionet dhe inekuacionet. Sistemet e ekuacioneve dhe pabarazive

Kur zgjidhen pabarazitë irracionale, është mjaft shpesh e nevojshme të ngrihen të dyja anët e pabarazisë në një farë mase, ky është një operacion mjaft i përgjegjshëm. Le të kujtojmë veçoritë.

Të dyja anët e pabarazisë mund të vihen në katror nëse të dyja janë jo negative, vetëm atëherë marrim një pabarazi të vërtetë nga një pabarazi e vërtetë.

Të dyja anët e pabarazisë mund të kubezohen në çdo rast nëse pabarazia fillestare ishte e vërtetë, atëherë kur të kubezohet ne do të marrim pabarazinë e vërtetë;

Konsideroni një pabarazi të formës:

Shprehja radikale duhet të jetë jo negative. Funksioni mund të marrë çdo vlerë, duhet të merren parasysh dy raste.

Në rastin e parë, të dy anët e pabarazisë janë jonegative, ne kemi të drejtë ta kuadrojmë atë. Në rastin e dytë, ana e djathtë është negative dhe ne nuk kemi të drejtë ta vendosim në katror. Në këtë rast, është e nevojshme të shikohet kuptimi i pabarazisë: këtu është një shprehje pozitive ( rrënjë katrore) më shumë shprehje negative, që do të thotë se pabarazia është gjithmonë e kënaqur.

Pra, ne kemi skemën e mëposhtme të zgjidhjes:

Në sistemin e parë, shprehjen radikale nuk e mbrojmë veçmas, pasi kur plotësohet pabarazia e dytë e sistemit, shprehja radikale duhet të jetë automatikisht pozitive.

Shembulli 1 - zgjidhni pabarazinë:

Sipas diagramit, ne kalojmë në një grup ekuivalent të dy sistemeve të pabarazive:

Le të ilustrojmë:

Oriz. 1 - ilustrimi i zgjidhjes në shembullin 1

Siç e shohim, kur heqim qafe irracionalitetin, për shembull, kur bëjmë katror, marrim një grup sistemesh. Ndonjëherë ky dizajn kompleks mund të thjeshtohet. Në grupin që rezulton, ne kemi të drejtë të thjeshtojmë sistemin e parë dhe të marrim një grup ekuivalent:

Si ushtrim i pavarurështë e nevojshme të vërtetohet ekuivalenca e këtyre bashkësive.

Konsideroni një pabarazi të formës:

Ngjashëm me pabarazinë e mëparshme, ne konsiderojmë dy raste:

Në rastin e parë, të dy anët e pabarazisë janë jonegative, ne kemi të drejtë ta kuadrojmë atë. Në rastin e dytë, ana e djathtë është negative dhe ne nuk kemi të drejtë ta vendosim në katror. Në këtë rast, është e nevojshme të shikohet kuptimi i pabarazisë: këtu shprehja pozitive (rrënja katrore) është më e vogël se shprehja negative, që do të thotë se pabarazia është kontradiktore. Nuk ka nevojë të merret parasysh sistemi i dytë.

ne kemi sistem ekuivalent:

Ndonjëherë pabarazitë irracionale mund të zgjidhen metodë grafike. Kjo metodë i zbatueshëm kur grafikët përkatës mund të ndërtohen mjaft lehtë dhe mund të gjenden pikat e tyre të kryqëzimit.

Shembulli 2 - zgjidhni pabarazitë grafikisht:

Ne kemi zgjidhur tashmë pabarazinë e parë dhe e dimë përgjigjen.

Për të zgjidhur pabarazitë grafikisht, duhet të ndërtoni një grafik të funksionit në anën e majtë dhe një grafik të funksionit në anën e djathtë.

Oriz. 2. Grafikët e funksioneve dhe

Për të grafikuar një funksion, është e nevojshme të shndërrohet parabola në një parabolë (të pasqyrohet në lidhje me boshtin y) dhe të zhvendoset kurba që rezulton 7 njësi djathtas. Grafiku e konfirmon këtë këtë funksion zvogëlohet në mënyrë monotone në domenin e tij të përkufizimit.

Grafiku i një funksioni është një vijë e drejtë dhe është e lehtë për t'u ndërtuar. Pika e kryqëzimit me boshtin y është (0;-1).

Funksioni i parë zvogëlohet në mënyrë monotonike, i dyti rritet në mënyrë monotonike. Nëse ekuacioni ka rrënjë, atëherë është i vetmi që mund të merret me mend nga grafiku: .

Kur vlera e argumentit më pak rrënjë, parabola është mbi vijën e drejtë. Kur vlera e argumentit është ndërmjet tre dhe shtatë, vija e drejtë kalon mbi parabolën.

Ne kemi përgjigjen:

Metoda efektive Metoda e intervaleve përdoret për zgjidhjen e pabarazive irracionale.

Shembulli 3 - zgjidhni pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:

Sipas metodës së intervalit, është e nevojshme të largoheni përkohësisht nga pabarazia. Për ta bërë këtë, transferoni gjithçka në pabarazinë e dhënë në anën e majtë(merrni zero në të djathtë) dhe vendosni një funksion të barabartë me anën e majtë:

Tani duhet të studiojmë funksionin që rezulton.

ODZ:

Tashmë e kemi zgjidhur grafikisht këtë ekuacion, kështu që nuk ndalemi në përcaktimin e rrënjës.

Tani është e nevojshme të zgjidhni intervalet e shenjës konstante dhe të përcaktoni shenjën e funksionit në çdo interval:

Oriz. 3. Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës për shembull 3

Le të kujtojmë se për të përcaktuar shenjat në një interval, është e nevojshme të merret një pikë prove dhe të zëvendësohet në funksionin që do të ruajë shenjën që rezulton gjatë gjithë intervalit.

Le të kontrollojmë vlerën në pikën kufitare:

Përgjigja është e qartë:

Le të shqyrtojmë lloji tjetër pabarazitë:

Së pari, le të shkruajmë ODZ:

Rrënjët ekzistojnë, ato janë jo negative, ne mund të katrore të dyja anët. Ne marrim:

Ne kemi një sistem ekuivalent:

Sistemi që rezulton mund të thjeshtohet. Kur plotësohen pabarazitë e dyta dhe të treta, e para është e vërtetë automatikisht. Kemi::

Shembulli 4 - zgjidhni pabarazinë:

Ne veprojmë sipas skemës - marrim një sistem ekuivalent.

Në këtë mësim do të shikojmë zgjidhjen e pabarazive irracionale dhe do të japim shembuj të ndryshëm.

Tema: Ekuacionet dhe inekuacionet. Sistemet e ekuacioneve dhe pabarazive

Mësimi:Pabarazitë irracionale

Të dyja anët e pabarazisë mund të vihen në katror nëse të dyja janë jo negative, vetëm atëherë marrim një pabarazi të vërtetë nga një pabarazi e vërtetë.

Të dyja anët e pabarazisë mund të kubezohen në çdo rast nëse pabarazia fillestare ishte e vërtetë, atëherë kur të kubezohet ne do të marrim pabarazinë e vërtetë;

Konsideroni një pabarazi të formës:

Shprehja radikale duhet të jetë jo negative. Funksioni mund të marrë çdo vlerë, duhet të merren parasysh dy raste.

Në rastin e parë, të dy anët e pabarazisë janë jonegative, ne kemi të drejtë ta kuadrojmë atë. Në rastin e dytë, ana e djathtë është negative dhe ne nuk kemi të drejtë ta vendosim në katror. Në këtë rast, është e nevojshme të shikohet kuptimi i pabarazisë: këtu shprehja pozitive (rrënja katrore) është më e madhe se shprehja negative, që do të thotë se pabarazia është gjithmonë e kënaqur.

Pra, ne kemi skemën e mëposhtme të zgjidhjes:

Në sistemin e parë, shprehjen radikale nuk e mbrojmë veçmas, pasi kur plotësohet pabarazia e dytë e sistemit, shprehja radikale duhet të jetë automatikisht pozitive.

Shembulli 1 - zgjidhni pabarazinë:

Sipas diagramit, ne kalojmë në një grup ekuivalent të dy sistemeve të pabarazive:

Le të ilustrojmë:

Oriz. 1 - ilustrimi i zgjidhjes në shembullin 1

Si një ushtrim i pavarur, është e nevojshme të vërtetohet ekuivalenca e këtyre grupeve.

Konsideroni një pabarazi të formës:

Ngjashëm me pabarazinë e mëparshme, ne konsiderojmë dy raste:

Në rastin e parë, të dy anët e pabarazisë janë jonegative, ne kemi të drejtë ta kuadrojmë atë. Në rastin e dytë, ana e djathtë është negative dhe ne nuk kemi të drejtë ta vendosim në katror. Në këtë rast, është e nevojshme të shikohet kuptimi i pabarazisë: këtu shprehja pozitive (rrënja katrore) është më e vogël se shprehja negative, që do të thotë se pabarazia është kontradiktore. Nuk ka nevojë të merret parasysh sistemi i dytë.

Ne kemi një sistem ekuivalent:

Ndonjëherë pabarazitë irracionale mund të zgjidhen grafikisht. Kjo metodë është e zbatueshme kur grafikët përkatës mund të ndërtohen mjaft lehtë dhe mund të gjenden pikat e tyre të kryqëzimit.

Shembulli 2 - zgjidhni pabarazitë grafikisht:

Ne kemi zgjidhur tashmë pabarazinë e parë dhe e dimë përgjigjen.

Për të zgjidhur pabarazitë grafikisht, duhet të ndërtoni një grafik të funksionit në anën e majtë dhe një grafik të funksionit në anën e djathtë.

Oriz. 2. Grafikët e funksioneve dhe

Për të grafikuar një funksion, është e nevojshme të shndërrohet parabola në një parabolë (të pasqyrohet në lidhje me boshtin y) dhe të zhvendoset kurba që rezulton 7 njësi djathtas. Grafiku konfirmon se ky funksion zvogëlohet në mënyrë monotonike në domenin e tij të përkufizimit.

Grafiku i një funksioni është një vijë e drejtë dhe është e lehtë për t'u ndërtuar. Pika e kryqëzimit me boshtin y është (0;-1).

Funksioni i parë zvogëlohet në mënyrë monotonike, i dyti rritet në mënyrë monotonike. Nëse ekuacioni ka rrënjë, atëherë është i vetmi që mund të merret me mend nga grafiku: .

Kur vlera e argumentit është më e vogël se rrënja, parabola është mbi vijën e drejtë. Kur vlera e argumentit është ndërmjet tre dhe shtatë, vija e drejtë kalon mbi parabolën.

Ne kemi përgjigjen:

Një metodë efektive për zgjidhjen e pabarazive irracionale është metoda e intervalit.

Shembulli 3 - zgjidhni pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:

Sipas metodës së intervalit, është e nevojshme të largoheni përkohësisht nga pabarazia. Për ta bërë këtë, zhvendosni gjithçka në pabarazinë e dhënë në anën e majtë (merrni zero në të djathtë) dhe futni një funksion të barabartë me anën e majtë:

Tani duhet të studiojmë funksionin që rezulton.

ODZ:

Tashmë e kemi zgjidhur grafikisht këtë ekuacion, kështu që nuk ndalemi në përcaktimin e rrënjës.

Tani është e nevojshme të zgjidhni intervalet e shenjës konstante dhe të përcaktoni shenjën e funksionit në çdo interval:

Oriz. 3. Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës për shembull 3

Le të kontrollojmë vlerën në pikën kufitare:

Përgjigja është e qartë:

Konsideroni llojin e mëposhtëm të pabarazive:

Së pari, le të shkruajmë ODZ:

Rrënjët ekzistojnë, ato janë jo negative, ne mund të katrore të dyja anët. Ne marrim:

Ne kemi një sistem ekuivalent:

Sistemi që rezulton mund të thjeshtohet. Kur plotësohen pabarazitë e dyta dhe të treta, e para është e vërtetë automatikisht. Kemi::

Shembulli 4 - zgjidhni pabarazinë:

Ne veprojmë sipas skemës - marrim një sistem ekuivalent.

T.D. Ivanova

METODAT PËR ZGJIDHJEN E PABARAZIVE IRRAcionale

CDO dhe NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Përpiluar nga T.D.Ivanova

Recensent: Baisheva M.I.– Kandidat i Shkencave Pedagogjike, Profesor i Asociuar i Departamentit

analiza matematikore e Fakultetit të Matematikës

Instituti i Matematikës dhe Informatikës në Yakutsk

universiteti shtetëror

Metodat për zgjidhjen e pabarazive irracionale: Manual metodologjik

M 34 për nxënësit e klasave 9-11 / komp. Ivanova T.D. nga Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 f.

Manuali u drejtohet nxënësve të shkollave të mesme të shkollave të mesme, si dhe atyre që hyjnë në universitete si një udhëzues metodologjik për zgjidhjen e pabarazive irracionale. Manuali shqyrton në detaje metodat kryesore për zgjidhjen e pabarazive irracionale, jep shembuj të zgjidhjes së pabarazive irracionale me parametra, si dhe ofron shembuj për zgjidhjen e tyre vetë. Mësuesit mund ta përdorin udhëzuesin si material didaktik për kryerjen punë e pavarur, me një rishikim të temës “Pabarazitë irracionale”.

Manuali pasqyron përvojën e mësuesit në studimin e temës "Pabarazitë irracionale" me studentët.

Problemet e marra nga materialet provimet pranuese, gazeta dhe revista metodologjike, mjete mësimore, lista e të cilave jepet në fund të manualit

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, komp., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Parathënie 5

Hyrje 6

Seksioni I. Shembuj të zgjidhjes së pabarazive më të thjeshta irracionale 7

Seksioni II Pabarazitë e formës
>g(x), g (x), g(x) 9

Seksioni III. Pabarazitë e formës
;
;

;
13

Seksioni IV. Pabarazitë që përmbajnë disa rrënjë të shkallës 16 çift

Seksioni V. Metoda e zëvendësimit (prezantimi i një ndryshoreje të re) 20

Seksioni VI. Pabarazitë e formës f(x)
0;

f(x)0;
25

Seksioni VII. Pabarazitë e formës

Seksioni VIII. Përdorimi i transformimeve radikale të shprehjes

në pabarazitë irracionale 26

Seksioni IX. Zgjidhja grafike e pabarazive irracionale 27 Seksioni X. Pabarazitë 31

lloj i përzier

Seksioni XI. Përdorimi i vetive të monotonitetit të një funksioni 41

Seksioni XII. Metoda e zëvendësimit të funksionit 43

Seksioni XIII. Shembuj të zgjidhjes së drejtpërdrejtë të pabarazive

Metoda e intervalit 45

Seksioni XIV. Shembuj të zgjidhjes së pabarazive irracionale me parametra 46

Letërsia 56

RISHIKIM Ky mjet mësimor është i dedikuar për nxënësit e klasave 10-11. Siç tregon praktika, nxënësit e shkollave dhe aplikantët përjetojnë vështirësi të veçanta në zgjidhjen e pabarazive irracionale. Kjo për faktin se në matematika e shkollës

Ky seksion nuk konsiderohet i mjaftueshëm, metodat e ndryshme për zgjidhjen e pabarazive të tilla nuk konsiderohen më në detaje. Gjithashtu, mësuesit e shkollës ndjejnë mungesë literaturë metodologjike, e cila manifestohet në një sasi të kufizuar të materialit problemor që tregon qasje dhe metoda të ndryshme zgjidhjeje.

Përpiluesi përdor metodat më "spektakolare" për zgjidhjen e pabarazive irracionale që ndodhin gjatë hyrjes në arsimin e lartë institucionet arsimore me kërkesa të shtuara për njohuritë e nxënësve.

Studentët, pasi kanë lexuar këtë manual, mund të fitojnë përvojë dhe aftësi të paçmueshme në zgjidhjen e pabarazive komplekse irracionale. Besoj se ky manual do të jetë i dobishëm edhe për mësuesit e matematikës që punojnë në klasa të specializuara, si dhe për zhvilluesit e lëndëve me zgjedhje.

Kandidat i Shkencave Pedagogjike, Profesor i Asociuar i Departamentit të Analizës Matematikore, Fakulteti i Matematikës, Instituti i Matematikës dhe Informatikës, Universiteti Shtetëror Yakut

Baisheva M.I.

PARATHËNIE

Manuali u drejtohet nxënësve të shkollave të mesme të shkollave të mesme, si dhe atyre që hyjnë në universitete si një udhëzues metodologjik për zgjidhjen e pabarazive irracionale. Manuali shqyrton në detaje metodat kryesore për zgjidhjen e pabarazive irracionale, jep mostrat e mostrave formalizimi i zgjidhjes së pabarazive irracionale, jepen shembuj të zgjidhjes së pabarazive irracionale me parametra, si dhe ofrohen shembuj për zgjidhje të pavarur, për disa prej tyre jepen përgjigje dhe udhëzime të shkurtra.

Gjatë analizimit të shembujve dhe zgjidhjes së pabarazive në mënyrë të pavarur, supozohet se studenti di të zgjidhë pabarazitë lineare, kuadratike dhe të tjera, dhe di metoda të ndryshme për zgjidhjen e pabarazive, në veçanti, metodën e intervaleve. Propozohet të zgjidhet pabarazia në disa mënyra.

Mësuesit mund ta përdorin manualin si material didaktik për punë të pavarur gjatë shqyrtimit të temës “Pabarazitë irracionale”.

Manuali pasqyron përvojën e mësuesit në studimin e temës "Pabarazitë irracionale" me studentët.

Problemet u përzgjodhën nga materialet e provimeve pranuese në institucionet e arsimit të lartë, gazetat dhe revistat metodologjike për matematikën "Shtatori i parë", "Matematika në shkollë", "Quantum", tekste, një listë e të cilave jepet në fund të manualit. .

HYRJE

Pabarazitë irracionale janë ato në të cilat variablat ose një funksion i një ndryshoreje hyjnë nën shenjën e rrënjës.

Metoda kryesore standarde për zgjidhjen e pabarazive irracionale është ngritja e njëpasnjëshme e të dy anëve të pabarazisë në një fuqi për të hequr qafe rrënjën. Por ky operacion shpesh çon në shfaqjen e rrënjëve të jashtme apo edhe humbje të rrënjëve, d.m.th. çon në pabarazi që është e pabarabartë me atë origjinale. Prandaj, duhet të monitorojmë me shumë kujdes ekuivalencën e transformimeve dhe të marrim parasysh vetëm ato vlera të ndryshores për të cilat pabarazia ka kuptim:

nëse rrënja është një shkallë çift, atëherë shprehja radikale duhet të jetë jo negative dhe vlera e rrënjës duhet të jetë gjithashtu një numër jo negativ.

nëse rrënja e shkallës është numër tek, atëherë shprehja radikale mund të marrë çdo numër real dhe shenja e rrënjës përkon me shenjën e shprehjes radikale.

është e mundur të ngrihen të dyja anët e pabarazisë në një fuqi të barabartë vetëm pasi fillimisht të sigurohemi që ato janë jo negative;

Ngritja e të dy anëve të një pabarazie në të njëjtën fuqi tek është gjithmonë një transformim ekuivalent.

KapitulliI. Shembuj të zgjidhjes së pabarazive të thjeshta irracionale

Shembujt 1 - 6:

Zgjidhja:

1. a)
.

b)
.

2. a)

3. a)
.

b)
.

4. a)

5. a)
.

6. a)
.

b)
.

8. a)
.

9. a)
.

11.

12. Gjeni numrin e plotë më të vogël vlerë pozitive x duke kënaqur pabarazinë

13. a) Gjeni pikën e mesit të intervalit të zgjidhjes ndaj mosbarazimit

b) Gjeni mesataren aritmetike të të gjitha vlerave të plota të x për të cilat pabarazia ka një zgjidhje 4

14. Gjeni më të voglin vendim negativ pabarazitë

15. a)
;

Seksioni II. Pabarazitë e formës >g(x), g(x),g(x)

Në të njëjtën mënyrë si kur zgjidhim shembujt 1-4, ne arsyetojmë kur zgjidhim pabarazitë e llojit të treguar.

Shembulli 7 : Zgjidhja e pabarazisë
> X + 1

Zgjidhja: pabarazia DZ: X-3.

A) X Për anën e djathtë ka dy raste të mundshme: X + 1

+ 10 (ana e djathtë është jo negative) ose b) X Konsideroni a) Nëse X+10, d.m.th. X + 3 >- 1, atëherë të dyja anët e pabarazisë janë jo negative.+ 2X Ne sheshojmë të dyja anët: X X+ X – 2 + 1. Ne marrim pabarazia kuadratike

x X x - 1, marrim -1

Konsideroni b) Nëse X+1 x x -3 X
.

Kombinimi i zgjidhjeve për rastin a) -1 dhe b)

-3, le të shkruajmë përgjigjen:
.

Është i përshtatshëm për të shkruar të gjitha argumentet kur zgjidhni Shembullin 7 si më poshtë:

Pabarazia origjinale është ekuivalente me një grup sistemesh pabarazish .

1.> Përgjigje:(+ 1. Ne marrim); 2. Përgjigje:(+ 1. Ne marrim); 3. Përgjigje:(+ 1. Ne marrim); 4. Përgjigje:(+ 1. Ne marrimArsyetimi për zgjidhjen e pabarazive të formës

g > Përgjigje:(+ 1. Ne marrim)

2. Përgjigje:(+ 1. Ne marrim)

3. Përgjigje:(+ 1. Ne marrim)

4. Përgjigje:(+ 1. Ne marrim)
.

) mund të shkruhet shkurtimisht në formën e diagrameve të mëposhtme: :
I.

Zgjidhja: Shembulli 8

Pabarazia origjinale është ekuivalente me një grup sistemesh pabarazish Pabarazia origjinale është ekuivalente me sistemin
.

x>0

b)
.

X
Detyrat për zgjidhje të pavarur:

20. a)

x 21. a)Çdo pabarazi që përfshin një funksion nën rrënjë quhet

irracionale më pak funksion g (x), në të dytën - më shumë. Nëse g(x) - konstante, pabarazia është thjeshtuar shumë. Ju lutemi vini re: nga jashtë këto pabarazi janë shumë të ngjashme, por skemat e tyre të zgjidhjes janë thelbësisht të ndryshme.

Sot do të mësojmë se si të zgjidhim pabarazitë irracionale të llojit të parë - ato janë më të thjeshtat dhe më të kuptueshmet. Shenja e pabarazisë mund të jetë e rreptë ose jo e rreptë. Deklarata e mëposhtme është e vërtetë për ta:

Teorema. Çdo pabarazi iracionale e formës

Ekuivalente me sistemin e pabarazive:

Jo i dobët? Le të shohim se nga vjen ky sistem:

f (x) ≤ g 2 (x) - gjithçka është e qartë këtu. Kjo është pabarazia origjinale në katror;
f (x) ≥ 0 është ODZ e rrënjës. Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja katrore aritmetike ekziston vetëm nga jo negative numrat;
g(x) ≥ 0 është diapazoni i rrënjës. Duke kuadruar pabarazinë, ne djegim negativët. Si rezultat, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Pabarazia g(x) ≥ 0 i prenë ato.

Shumë studentë "e mbyllin telefonin" në pabarazinë e parë të sistemit: f (x) ≤ g 2 (x) - dhe harrojnë plotësisht dy të tjerët. Rezultati është i parashikueshëm: vendim i gabuar, pikë të humbura.

Meqë mjaftojnë pabarazitë irracionale temë komplekse, le të shohim 4 shembuj njëherësh. Nga bazike te vërtet komplekse. Të gjitha problemet janë marrë nga provimet pranuese të Universitetit Shtetëror të Moskës. M. V. Lomonosov.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Para nesh është një klasik pabarazia irracionale: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 është një konstante. Ne kemi:

Nga tre pabarazitë, vetëm dy mbetën në fund të zgjidhjes. Sepse pabarazia 2 ≥ 0 vlen gjithmonë. Le të kalojmë pabarazitë e mbetura:

Pra, x ∈ [−1,5; 0.5]. Të gjitha pikat janë të hijezuara sepse pabarazitë nuk janë strikte.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Ne zbatojmë teoremën:

Le të zgjidhim pabarazinë e parë. Për ta bërë këtë, ne do të zbulojmë katrorin e diferencës. Ne kemi:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Tani le të zgjidhim pabarazinë e dytë. Edhe atje trinom kuadratik:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8) (x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)