Përcaktori i matricës Hessian për një funksion prej tre ndryshoresh. Metoda e dytë (duke përdorur eigenvlerat e matricës Hessian)

Përshkrimi i sjelljes së një funksioni në rend të dytë.

Për funksionin tekstvc , dy herë i diferencueshëm në pikë Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): x\in \R^n

Ku Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): a_(ij)=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j(ose Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): a_(ij)=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline(z)_j) dhe funksionin Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): f vendosur në Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): n-hapësirë ​​reale dimensionale Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \mathbb(R)^n(ose hapësirë ​​komplekse Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \mathbb(C)^n) me koordinata Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): x_1,\ldots,x_n(ose Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): z_1,\ldots,z_n). Në të dyja rastet, Hessian është një formë kuadratike e përcaktuar në hapësirën tangjente, e cila nuk ndryshon nën transformimet lineare të ndryshoreve. Hesian shpesh quhet edhe përcaktor i një matrice Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): (a_(ij)), shih më poshtë.

Matrica Hessian

Matrica e kësaj forme kuadratike formohet nga derivatet e dyta të pjesshme të funksionit. Nëse ekzistojnë të gjitha derivatet, atëherë

Matricat Hessian përdoren në problemet e optimizimit me metodën e Njutonit. Llogaritja e plotë e matricës Hessian mund të jetë e vështirë, kështu që algoritmet kuazi-Njuton janë zhvilluar bazuar në shprehjet e përafërta për matricën Hessian. Më i famshmi prej tyre është algoritmi Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno.

Simetria e matricës Hessian

Derivatet e përziera funksionet f- këto janë elemente të matricës Hessian që nuk janë në diagonalen kryesore. Nëse ato janë të vazhdueshme, atëherë rendi i diferencimit nuk është i rëndësishëm:

Kjo mund të shkruhet edhe si

Në këtë rast, matrica Hessian është simetrike.

Pikat kritike të një funksioni

Histori

Shihni gjithashtu

• Kriteri Sylvester - kriteri për definicitetin pozitiv/negativ të një matrice katrore

Shkruani një përmbledhje në lidhje me artikullin "Funksionet Hessian"

Shënime

Lidhjet

• Kamynin L.I. Analiza matematikore. T. 1, 2. - 2001.
• Kudryavtsev L.D. "Kurs i shkurtër në analizën matematikore. T.2. Llogaritja diferenciale dhe integrale e funksioneve të disa ndryshoreve. Analiza harmonike”, FIZMATLIT, 2002, - 424 f. - ISBN 5-9221-0185-4. Ose ndonjë botim tjetër.
• Golubitsky M., Guillemin V. Hartografitë e qëndrueshme dhe tiparet e tyre, - M.: Mir, 1977.

Një fragment që karakterizon funksionet Hessian

Madhësia: px

Filloni të shfaqni nga faqja:

Transkripti

1 Përkufizim. Pika 0 quhet pika maksimale lokale e fqinjësisë së funksionit të pikës 0, e cila për të gjithë këtë lagje f f 0. Përkufizim. Pika 0 quhet pika minimale lokale e funksionit, një lagje e pikës 0, që për të gjithë këtë fqinjësi f f 0. f f, nëse ekziston e tillë, nëse e tillë ekziston Vlera e funksionit në pikën maksimale quhet maksimumi lokal. , vlera e funksionit në pikën minimale është minimumi lokal i këtij funksioni. Maksimumi dhe minimumi i një funksioni quhen ekstremet e tij lokale. Termi "ekstrem lokal" është për faktin se koncepti i paraqitur i ekstremumit lidhet me fqinjësinë e një pike të caktuar në domenin e përkufizimit të funksionit, dhe jo me të gjithë këtë fushë. Një funksion mund të ketë disa ekstreme dhe minimumi në një pikë mund të jetë më i madh se maksimumi në një tjetër. Zakonisht në literaturë termat "ekstrem", "maksimum", "minimum" përdoren për të treguar një ekstrem të rreptë lokal, një maksimum të rreptë lokal, një minimum të rreptë lokal. Përkufizimi. Pika 0 quhet pikë e maksimumit lokal strikte të një funksioni një fqinjësi e tillë e pikës 0 e tillë që për të gjithë në këtë lagje f f 0. f, nëse ekziston Përkufizimi. Pika 0 quhet pikë e minimumit të rreptë lokal të një funksioni një fqinjësi e tillë e pikës 0 e tillë që për të gjithë në këtë lagje f f 0. Ose, pika 0 quhet pikë e minimumit lokal strikte të funksionit 0: 0 f f. 0 0 f nëse f nëse ekziston Përkufizimi. Vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni në një interval quhet ekstremum global. Ekstremi global mund të arrihet ose në pikat e ekstremumit lokal ose në skajet e segmentit. Një matricë e përbërë nga derivatet e dyta të një funksioni quhet matricë Hessian: f f n d f T d d f f... n 1 n (ne do të pajtohemi ta quajmë përcaktorin e matricës Hessian Hessian; në mënyrë të ngjashme: një matricë e përbërë nga derivatet e parë të një funksioni quhet matricë jakobiane, kurse përcaktorja e saj quhet jakobiane: 1) Malugin V.A. "Analiza matematikore, kurs leksionesh (matematika për ekonomistët)", 005, f. 105 (koncepti i ekstremit të një funksioni);) Malugin V.A. “Analiza matematikore, problema dhe ushtrime (matematika për ekonomistët)”, 006, f. 3) Shkruar D.T. "Shënime leksioni për matematikën e lartë", 005, f. 0 (ekstrem i një funksioni të një ndryshoreje); 4) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Algjebra lineare në shembuj dhe problema", 005, fq

2 Prezantim i shkurtër i zgjidhjes së problemit. Teorema (kusht i mjaftueshëm për ekstremum). Le të jetë një funksion f në një pikë të palëvizshme 0, 0 në fqinjësi Le të llogarisim vlerat e A f, B f C f në pikën 0, 0. Le të shënojmë dhe disa ka derivate të pjesshme të vazhdueshme. në rendin e dytë përfshirës. A B AC B B C, atëherë: 1) nëse 0, atëherë funksioni f, në pikën, minimumi, nëse A 0 ;) nëse 0, atëherë funksioni f, në pikën 0, 0, Në rastin e 0, ekstremi është në pikën e kërkimit. 0 0 ka një ekstrem: maksimumi nëse A 0 ; nuk ka ekstrem. ndoshta, ndoshta jo. Shtesë 1) Shqyrtoni ekstremumin e funksionit z 50 0, 0, z z 0 Gjeni pika të palëvizshme: z 0 z Gjendet pika e palëvizshme P 5 ;. Le të kontrollojmë nëse plotësohen kushtet e mjaftueshme për praninë e një ekstremi në një pikë të caktuar. 50 A z B z 1 0 C z 40 3

3 Në pikën P 5 ; : A 450 B 1 C në pikën P 5 ; minimale, sepse A 0 0 Përgjigje: funksioni ka një z ;. Vlera e funksionit në këtë pikë z ;) Gjeni ekstremin e funksionit z 1 z z z z 0 z Vini re se në 0 zgjidhja është bashkësia e pikave me koordinata R (në hapësirën 0 është një drejtëz paralele me boshtin O) . Rrjedhimisht, midis pikave me 0 nuk ka asnjë pikë të palëvizshme. z 0 Duke përjashtuar pikët me 0 nga shqyrtimi, marrim: P ; P; 4 1 3

4 Dy pika të palëvizshme të gjetura P 1 01 ; dhe P11; ; Le t'i kontrollojmë për respektimin e kushtit të mjaftueshëm 4 për praninë e ekstremiteteve në këto pika. A z B z 43 C z 6 Në pikën P 1 01; : A B 1 A0, B1, C 0, 10 B C 1 0 Meqenëse 0, nuk ka asnjë ekstrem në këtë pikë. Në pikën P 1 1 ; 4 A10, B14, C 38, A B B C A 0 Meqenëse 0, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum z 1; Përgjigje: funksioni ka një maksimum z 1 1 ; Le të bëjmë një ilustrim në Mathcad 14: - maksimumi i gjetur është shënuar me një pikë të kuqe; vija e drejtë e drejtëzave të zeza ndodh në pikën P 1 01 ;. 0 z 0 është theksuar në ngjyrë burgundy; kryqëzimi 4

5 3 3) Hulumtoni funksionin për ekstremumin z z z Gjeni pika të palëvizshme: z 0 z rrethi në kryqëzimin me hiperbolën do të japë katër pika: Gjenden katër pika të palëvizshme P1; 1, P1;, P31;, P4; plotësimi i kushteve të mjaftueshme për praninë e një ekstremi në këto pika. A z B z C z 61 6 Në pikën P; 1 1: A 1 0 B 6 C 1 A B B C Le të kontrollojmë 5

6 Një maksimum, sepse 0 - në pikën P; Në pikën P; 1: A 60 B 1 C 6 A B B C në pikën P; 1 nuk ka ekstrem, sepse 0. Në pikën P 3 1 ; : A 6 0 B 1 C 6 A B B C në pikën P 3 1 ; nuk ka ekstrem, sepse 0. Në pikën P 4 1 ; : A 1 0 B 6 C 1 A B B C 6 1 P 4 - në një pikë; Një minimum 0 1, sepse 0 z Vlera e funksionit në këtë pikë;. Vlera e funksionit në këtë pikë z; Përgjigje: funksioni ka një minimum z 1; 8 dhe maksimumi; z Literatura: 1) Shkruar nga D.T. "Shënime leksioni për matematikën e lartë", 005, faqe (ekstrem i një funksioni të dy ndryshoreve). Zgjidhja e problemit duke përdorur matricën Hessian. 4) Gjeni ekstremin e funksionit të dy ndryshoreve, 3 z 3 61 Përcaktoni pikat stacionare nga kushti z 0 z 0 (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi) 6

7 z z Pikat P1 1 ; 1 dhe P; pika stacionare; Le t'i kontrollojmë për respektimin e kushtit të mjaftueshëm për praninë e një ekstremi. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë matricën Hessian nga derivatet e dyta të funksionit: z z H z z z 6 z H 6 1 z 1 Vazhdimi i zgjidhjes përmes analizës së minoreve këndore të matricës Hessian Le të shqyrtojmë sjelljen e hesianit. matricë në pikat stacionare të gjetura. 6 6 P11; 1: HP1 6 1 ; të vogla këndore: M1 6 0, M Që nga M 0, nuk ka ekstrem në pikën P 1. P ; të mitur këndor: M1 6 0, M 4; : HP M1 0 Meqenëse M 0, atëherë në pikën P funksioni ka një minimum lokal z;

8 Teorema (kushte të mjaftueshme për një ekstrem). Nëse në një moment plotësohen kushtet e nevojshme për një ekstrem dhe të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të katërt janë të vazhdueshme, atëherë ekzistenca e një ekstremi në këtë pikë përcaktohet nga vlerat e minoreve këndore të matricës së derivateve të dytë ( Matrica Hessian): M1 0, M 0 - minimumi lokal; M1 0, M 0 - maksimumi lokal; M 0 - nuk ka ekstrem. Nëse M1 0 ose M 0 mund të ketë ose jo një ekstrem në pikën në studim, kërkime shtesë janë të nevojshme. u u, konsiderohet z Gjatë studimit të ekstremumit lokal të një funksioni prej tre ndryshoresh, studiohet matrica u u u z u u u z uz uz u zz dhe minoret këndore të saj. Literatura: 1) Malugin V.A. "Algjebra lineare. Probleme dhe ushtrime", 006, fq 149 (ekstrem lokal i funksionit);) Shkruar nga D.T. "Shënime leksioni për matematikën e lartë", 005, faqe (ekstrem i një funksioni të dy ndryshoreve); 3) Pyatkova V.B., Ruzakov V.Ya., Turova O.E. "Matematika, semestri i 3-të", manual trajnimi i Universitetit Shtetëror të Shkencave Humane Ural (instituti i minierave, Yekaterinburg), 005, f. 3 (skema për studimin e funksionit të dy variablave në ekstrem). Vazhdimi i zgjidhjes përmes analizës së eigenvlerave të matricës Hessian Le të gjejmë eigenvalutat e matricës Hessian në çdo pikë stacionare. 6 6 P11; 1: HP Nga ekuacioni 0 gjejmë 1, meqenëse vlerat vetjake të matricës 6 1 Hessian janë të shenjave të ndryshme, atëherë nuk ka ekstrem në pikën P 1. P Nga barazimi; : HP gjejmë 1, Meqenëse të gjitha vlerat vetjake të matricës Hessian janë pozitive, atëherë në pikën P ka një minimum lokal z; 4 3. Gjeni eigenvlerat e matricës Hessian në secilën nga pikat stacionare Nëse të gjitha eigenvlerat * janë pozitive: i 0, i 1,..., n, atëherë ka një minimum lokal në pikë; negative: i 0, i 1,..., n, pastaj në pikën jo negative: i 0, i 1,..., n, pastaj në pikën jo pozitive: i 0, i 1,.. ., n, pastaj në pikën * maksimumi lokal; * funksionet. * mund të ketë një minimum lokal; * mund të ketë një maksimum lokal; * shenja të ndryshme, atëherë nuk ka ekstrem në pikë; zero: i 0, i 1,..., n, atëherë kërkohen kërkime shtesë. 8

9 Literatura: 1) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Algjebra lineare në shembuj dhe problema", 005, f. 531 (shembulli 9.8). 5) Gjeni pikat ekstreme të funksionit z Le të përcaktojmë pikat stacionare të funksionit të dy ndryshoreve z, nga kushti z 0 z 0 (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e ekstremit) z z Gjenden tri pika të palëvizshme P 1 00 ;, P 0 ; 1 40, P3; pajtueshmëria me kushtin e mjaftueshëm për praninë e një ekstremi; le t'i kontrollojmë gjatë studimit të ekstremumit lokal të një funksioni të dy ndryshoreve z z, forma kuadratike e funksionit në lidhje me diferencialet d, d është matrica hesiane z z z z dhe konsiderohet në çdo pikë të palëvizshme P i. Nëse kjo formë kuadratike del e caktuar, atëherë funksioni z z, ekstrem: a) minimale, nëse forma kuadratike është e përcaktuar pozitive; b) maksimumi nëse forma kuadratike është e caktuar negative. Nëse forma kuadratike rezulton e pacaktuar, atëherë përpilohet një matricë në pikën P i ka P i nuk ka ekstrem. Në rastet e përcaktueshmërisë jo negative ose të definimit jo pozitiv të formës kuadratike, kërkohet hulumtim shtesë - mund të ketë një ekstrem. 9

10 Matrica Hessian: H z z z z F F F F F F F (Vini re se 80 1). Pra, H Le të vendosim shenjën e caktuar të formës kuadratike duke përdorur kriterin Sylvester. Në mënyrë që një formë kuadratike në n ndryshore të jetë e përcaktuar pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret këndore të matricës A të saj të jenë pozitive. Në mënyrë që një formë kuadratike e n ndryshoreve të jetë definitive negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shenjat e minoreve këndore të matricës A të formës kuadratike të alternohen, duke filluar me shenjën minus. Për pasigurinë (shenjë alternative) të një forme kuadratike, mjafton që të paktën një minor i madh i rendit çift të jetë negativ, ose dy minore të mëdha të një rendi tek të kenë shenja të ndryshme (një shenjë e mjaftueshme e pasigurisë së një forme kuadratike) . Në një pikë të palëvizshme P 1 00; : H P minoret këndore: M1 410, 41 1 M 0110, forma kuadratike është me shenjë të pacaktuar, prandaj nuk ka ekstrem në pikën P 1. Në një pikë të palëvizshme P; H P: të vogla këndore: M1 410, 41 1 M 0110, forma kuadratike është me shenjë të pacaktuar, prandaj, nuk ka ekstrem në pikën P. 10

11 Në një pikë të palëvizshme P; H P: minoret këndore: M1 410, M 0 0, forma kuadratike është e përcaktuar pozitive, prandaj, në pikën P 3 funksioni ka z minimale lokale; ,Përgjigje: funksioni ka një minimum lokal; z Le të gjejmë minimumin e një funksioni në Mathematica 7 (për këtë do të duhet të tregoni zonën e dislokimit të tij): Referencat: 1) Aksyonov A.P. "Matematika. Analiza matematikore", pjesa, 005, f. 193 (shembuj 13, 14);) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Algjebra lineare në shembuj dhe problema", 005, f. 531 (shembulli 9.8); 3) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Punëtori për algjebrën lineare dhe gjeometrinë analitike", 007, faqe) Malugin V.A. "Algjebra lineare. Kursi i leksioneve", 006, fq 157, 164; 5) Baranova E.S., Vasilyeva N.V., Fedotov V.P. "Një udhëzues praktik për matematikën e lartë. Llogaritjet tipike", 008, f. 301 (shembulli 10.35). 6) Hetoni funksionin, F z 4 3 z z për praninë e ekstremeve të pakushtëzuara duke përdorur derivatet e rendit të parë dhe të dytë, duke analizuar pikat stacionare. Le të përcaktojmë pikat stacionare të funksionit të tre ndryshoreve F, z nga kushti F 0 F 0 F 0 z (një kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi) F 8z F 6 Fz z 8z ​​0 z 0 Pika P 000 ; ; - pikë e palëvizshme; Le ta kontrollojmë për pajtueshmërinë me kushtin e mjaftueshëm për praninë e një ekstremi. 11

12 Gjatë studimit të ekstremumit lokal të një funksioni të tre variablave u, z, forma kuadratike e funksionit në lidhje me diferencialet d, d, dz - matrica hesiane u u u z u u u z uz uz u zz dhe konsiderohet në çdo pikë të palëvizshme Nëse kjo formë kuadratike rezulton e përcaktuar, atëherë funksioni z z, P i. ekstreme: a) minimale, nëse forma kuadratike është e përcaktuar pozitive; b) maksimumi nëse forma kuadratike është e caktuar negative. Nëse forma kuadratike rezulton e pacaktuar, atëherë përpilohet një matricë në pikën P i ka P i nuk ka ekstrem. Në rastet e përcaktueshmërisë jo negative ose të definimit jo pozitiv të formës kuadratike, kërkohet hulumtim shtesë - mund të ketë një ekstrem. Le të shkruajmë matricën Hessian: F F F z F F F H z F F F z z z F F F F 8z 8 1 z F F F z F z F z z F F (Vini re se, Pra, 8 1 H F F z z 1, F F z z 0). Analiza e shenjës së një forme kuadratike. Kriteri Silvester. Le të vendosim shenjën e caktuar të formës kuadratike duke përdorur kriterin Sylvester. 1

13 Në mënyrë që një formë kuadratike në n ndryshore të jetë e përcaktuar pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret këndore të matricës A të saj të jenë pozitive. Në mënyrë që një formë kuadratike e n ndryshoreve të jetë definitive negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shenjat e minoreve këndore të matricës A të formës kuadratike të alternohen, duke filluar me shenjën minus. Për pasigurinë (shenjë alternative) të një forme kuadratike, mjafton që të paktën një minor i madh i rendit çift të jetë negativ, ose dy minore të mëdha të një rendi tek të kenë shenja të ndryshme (një shenjë e mjaftueshme e pasigurisë së një forme kuadratike) . Në rast se një ose më shumë të vogla këndore janë të barabarta me zero, por mund të plotësohet një nga kushtet e përcaktueshmërisë së shenjës, forma kuadratike është e caktuar jo negative ose e caktuar jo pozitive (ky kusht është shkruar për të plotësuar figurën; kërkon prova). Në pikën stacionare të gjetur: 8 1 P000 ; ; : HP 6 0 ; 1 0 minore këndore: M1 80, 8 M , M M1 0 Meqenëse M 0 M 3 0, atëherë në pikën P funksioni ka një minimum lokal F; ; Eigenvlerat e matricës Hessian. Le të vendosim shenjën e caktuar të formës kuadratike duke analizuar eigenvlerat e matricës Hessian. * Gjeni eigenvlerat e matricës Hessian në secilën nga pikat stacionare të funksionit. Nëse të gjitha vlerat vetjake janë pozitive: i 0, i 1,..., n, atëherë forma kuadratike është e përcaktuar pozitive; negative: i 0, i 1,..., n, atëherë forma kuadratike është e caktuar negative; jonegative: i 0, i 1,..., n, atëherë forma kuadratike është e caktuar jo negative; jopozitive: i 0, i 1,..., n, atëherë forma kuadratike është e caktuar jopozitive; shenja të ndryshme, atëherë forma kuadratike është e pacaktuar; zero: i 0, i 1,..., n, atëherë forma kuadratike është e caktuar jonegative ose jo pozitive [, f. 530]. Le të gjejmë eigenvlerat e matricës Hessian në pikën stacionare të gjetur. 8 1 P000 ; ; : HP 6 0 ;

14 8 1 Nga ekuacioni ose gjejmë, 4, 855 9, si rrënjët e një polinomi në Mathcad: ose grafikisht në Mathcad: Meqenëse të gjitha vlerat vetjake të matricës Hessian janë pozitive, atëherë në pikën P ka një minimum . Funksioni i dytë diferencial. Le të vendosim drejtpërdrejt shenjën e përcaktuar të formës kuadratike. Forma kuadratike në lidhje me diferencialet është diferenciali i dytë i funksionit. Le të transformojmë shprehjen e diferencialit të dytë të funksionit në mënyrë që të vërtetojmë në mënyrë eksplicite faktin se shenja e tij është e përcaktuar. Kjo qasje për studimin e përcaktimit të shenjës së një forme kuadratike mund të përdoret si një metodë kërkimi shtesë kur kriteri Sylvester ose analiza e vlerave eigen të një matrice të një forme kuadratike nuk prodhon rezultate. Kushtet e mjaftueshme për ekstremin e një funksioni të n ndryshoreve Nëse M,..., n është një pikë e palëvizshme e një funksioni dy herë të diferencueshëm f,..., n 1 dhe nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike diferenciali i dytë n f d f M 0 M 0did j i, j1 i j ruan shenjën për çdo vlerë d i dhe d j jo të barabartë me zero në të njëjtën kohë, atëherë funksioni në pikën M 0 ka një ekstrem: minimumi në maksimum në d f M0 0 ; d f M0 0 . 14

15 Diferenciali i dytë i funksionit Ф është i barabartë me Ф Ф Ф d Ф, d d dd ose, në rastin e një funksioni të tre ndryshoreve Ф z, Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф d Ф, z d d dz dd ddz ddz z z z z njehso derivatet e pjesshme të rendit të dytë: F F F F F F 8z 8 1 z z F F F F z z F F z z z dhe shkruaj diferencialin e dytë të funksionit në pikën P 000 ; ; : d F d d dz F z F F F F F d d dz d d d dz d dz z z z 8d 6d dz d d 0d dz 1d dz 8 d 6 d dz 4d d d dz Zgjidh katrorët e plotë; për shkurtësinë e shënimit, ripërcaktojmë d si, etj.: 8 6 z 4 z z z z z z d.m.th. në pikën P000 ; ; : d F d dz d d d (me d, d, dz jo të barabartë me zero në të njëjtën kohë) - pra, pika P000; ; është pika minimale. 15

16 Literatura: 1) Aksyonov A.P. "Matematika. Analiza matematikore", pjesa, 005, f. 193 (shembuj 13, 14);) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Algjebra lineare në shembuj dhe problema", 005, f. 531 (shembulli 9.8); 3) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Punëtori për algjebrën lineare dhe gjeometrinë analitike", 007, faqe) Malugin V.A. "Algjebra lineare. Kursi i leksioneve", 006, fq 157, 164; 5) Baranova E.S., Vasilyeva N.V., Fedotov V.P. "Një udhëzues praktik për matematikën e lartë. Llogaritjet tipike", 008, f. 301 (shembulli 10.35). Le të kontrollojmë praninë e këtij minimumi në Mathematica 7: 16

Funksionet e disa variablave (FNP). Ekstrem lokal. 1) Hulumtoni funksionin z z e për një ekstremum lokal; a) x variabla b) 3 variabla 3 3 3 u u z z 17 48 z. a) z e e e 1 1 z e e Gjeni

LEGJIONET Leksioni 1 Seksioni I. TEORIA E OPTIMIZIMIT 1. FORMULARI I PËRGJITHSHËM I PROBLEMIT TË OPTIMIZIMIT DHE DISPOZITAT THEMELORE Formulimi i problemës së gjetjes së minimumit të funksioneve përmban: funksionin objektiv f (x), ku x = (x1,..., x

7 FORMAT KUADRATIKE 7 PËRKUFIZIMI I FORMËS KUADRATIKE Forma kuadratike e ndryshoreve është shprehje e formës q a, 7 në të cilën koeficientët a, jo të gjithë të barabartë me zero, plotësojnë kushtet e simetrisë.

Problemi jolinear i optimizimit. Koltsov S.N 2014 www.linis.ru Problemi i optimizimit të pakushtëzuar është formuluar si më poshtë: grupi X (bashkësia e pranueshme e problemit) dhe funksioni janë dhënë.

Analiza matematikore Seksioni: Funksioni i disa variablave Tema: Formula e Taylor-it për FNP. Ekstrema e Lektores së FNP Rozhkova S.V. 1 18. Formula e Taylor për FNP Nëse y = herë të diferencueshme në lagje

Leksioni 3 Ekstremumi i një funksioni të disa variablave Le të përcaktohet një funksion i disa ndryshoreve u = f (x, x) në domenin D, dhe pika x (x, x) = i përket këtij domeni. Funksioni u = f ( x, x) ka

Leksioni 9 EKSTREMI I NJË FUNKSIONI ME SHUMË NDRYSHORE Koncepti i një ekstremi të një funksioni të shumë variablave Disa informacione rreth formave kuadratike 3 Kushtet e mjaftueshme për një ekstremum Koncepti i një ekstremumi të një funksioni të shumë ndryshoreve

Kapitulli 1 Probleme me dimensione të fundme 1 Probleme të lëmuara me dimensione të fundme pa kufizime Ky seksion jep kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për ekstremin e funksioneve të një dhe disa ndryshoreve. 1.1 Deklarata e problemit

Analiza matematikore 2.5 Leksion: Ekstrema e një funksioni të disa variablave Profesor i asociuar i Departamentit të VMMF Vladimir Feliksovich Zalmezh Merrni parasysh funksionin w = f (x), të përcaktuar në domenin D R n. Pika x 0 D quhet

Mësimi praktik 5 Ekstremumi i një funksioni të shumë ndryshoreve 5 Përkufizimi dhe kushtet e nevojshme për një ekstrem 5 Disa informacione rreth formave kuadratike 53 Kushtet e mjaftueshme për një ekstrem 5 Përkufizimi dhe i nevojshëm

LEKTURA Ekstremumi i një funksioni të disa ndryshoreve Ekstremumi i një funksioni të disa ndryshoreve Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për ekzistencën e një ekstremi Pika M, 0) quhet pika e maksimumit minimal) të funksionit.

UNIVERSITETI SHTETËROR RADIO TEKNIK RYAZAN SV Bogatova, KV Bukhensky, IP Karasev, GS Lukyanova HULUMTIMI I FUNKSIONIVE DHE NDËRTIMI I GRAFIKËVE NË MJEDISIN MATCHAD Workshop Ryazan Parathënie e përgjithshme

6 () Ne marrim se HP =. Prandaj, duke përdorur teoremën, është e pamundur t'i përgjigjemi pyetjes në lidhje me ekstremin. Në këtë rast, pika e palëvizshme është P (); është një pikë e mi- Δz > P O & P: z = z =. δ

1) Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit 1 1 në segmentin 6. Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në segment, duhet: a) të gjeni pikat stacionare të vendosura në këtë segment,

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik A.N. Kasikov,

LEKTORIA 16 PROBLEM MBI STABILITETIN E POZICIONIT EKULIBRIK NË NJË SISTEM KONSERVATIV 1. Teorema e Lagranzhit mbi qëndrueshmërinë e pozicionit ekuilibër të një sistemi konservator Le të ketë n shkallë lirie. q 1, q 2,

LEKTURA N. Fusha skalar. Derivati ​​i drejtimit. Gradient. Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen. Ekstrema e një funksioni të disa ndryshoreve. Ekstrem i kushtëzuar. Derivat në lidhje me

10 Studimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve 10 STUDIMI I FUNKSIONET DHE NDËRTIMI I GRAFIKËVE 1 Funksioni rritës dhe zvogëlues 1 x (1 1 PËRKUFIZIM Funksioni y = f (x) quhet rritës (jozvogëlues)

) Përcaktoni vlerat vetjake dhe eigenvektorët e një matrice të rendit të tretë 6 8 2 5 2 8 3 4 Një vektor jo zero p quhet një vektor eigjen i një matrice katrore A nëse një transformim linear me matricën

Shtojca 3 e kurrikulës së punës të disiplinës UDHËZIME METODOLOGJIKE PËR NXËNËSIT NË DISIPLINA “MATEMATIKË”. Mësimi praktik 1 Tema: “Instalimi. Konferenca për sigurinë nga zjarri dhe teknologjinë

1) Sillni ekuacionin e kurbës së rendit të dytë x 4x y 0 në formë kanonike dhe gjeni pikat e saj të kryqëzimit me drejtëzën x y 0. Jepni një ilustrim grafik të zgjidhjes që rezulton. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

7. Ekstremat e funksioneve të disa ndryshoreve 7.. Ekstremat lokale Le të përcaktohet funksioni f(x,..., x n) në një grup të hapur D R n. Pika M D quhet pika e maksimumit lokal (lokale

Kushtet e mjaftueshme për ekzistencën e një zgjidhjeje të problemit të një ekstremi të kushtëzuar me metodën Lagrange VV Kolybasova, NCh Krutitskaya VV Kolybasova, N Ch Krutitskaya Kushtet e mjaftueshme për ekzistencën e një zgjidhjeje për problemin e një të kushtëzuar

1 SA Lavrenchenko Leksion 9 Extrema 1 Përkufizime dhe shembuj Përkufizim 11 Ata thonë se një funksion ka (ose arrin) një maksimum absolut në një pikë nëse për të gjithë nga fusha e përkufizimit Vlera quhet

Matematikë (BkPl-100, BkK-100) M.P. Kharlamov viti akademik 2009/2010, semestri i dytë Ligjërata 5. Studimi i funksioneve duke përdorur derivatet 1 1. Koncepti i derivateve të rendit më të lartë Def. Le të jetë dhënë funksioni f(x).

17. Ekstrem i kushtëzuar 17.1. Le të kthehemi te konsiderata e gjetjes së një ekstremi të kushtëzuar (thonë edhe relativ). Detyra e gjetjes së një ekstremi të kushtëzuar është kërkimi i maksimumit dhe minimumit lokal

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E FEDERATËS RUSE Institucioni Arsimor Autonom Shtetëror Federal i Arsimit të Lartë "UNIVERSITETI FEDERAL JUGOR" AV Abanin, DA Polyakova LOKALE

Departamenti i Matematikës dhe Shkencave Kompjuterike Analiza matematikore Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e arsimit të lartë që studiojnë duke përdorur teknologjitë në distancë Moduli 4 Aplikacionet e derivuara Përpiluar nga: Profesor i Asociuar

Materiale për leksionin orientues Pyetja 10. Format kuadratike. Ligji i inercisë. Kushtet për përcaktimin e shenjës së formave kuadratike. 1 Reduktimi i një forme kuadratike në formë kanonike duke përdorur metodën e Lagranzhit. Shënimi.

Kapitulli Ekstrema e një funksioni të dy ndryshoreve Ekstreme e një funksioni të dy variablave Gjatë zgjidhjes së shumë problemeve ekonomike, është e nevojshme të llogariten vlerat më të mëdha dhe më të vogla

6. Funksionet e nënkuptuara 6.1 Përkufizimet, informacioni paraprak Varësia e një ndryshore nga një tjetër (ose të tjera) nuk mund të shprehet domosdoshmërisht duke përdorur të ashtuquajturën paraqitje eksplicite, kur

1 SA Lavrenchenko Leksion 10 Studimi i një funksioni duke përdorur derivatet 1 Studimi i një funksioni duke përdorur derivatin e parë Me interval do të nënkuptojmë ose një interval të fundëm ose një nga sa vijon

Departamenti i Matematikës dhe Shkencave Kompjuterike Elementet e Matematikës së Lartë Kompleksi edukativo-metodologjik për studentët e arsimit të mesëm profesional që studiojnë duke përdorur teknologjitë në distancë Moduli Llogaritja diferenciale Përpiluar nga:

Metoda e shumëzuesve të Lagranzhit Konsideroni një problem ekstrem me kufizime në formën e barazive: gjeni një subjekt me kushtin që) =) në grupin e vlerave të pranueshme të përshkruara nga sistemi i ekuacioneve ku R: R R: R

Leksioni 11. EKSTREMI KUSHTËZOR 1. Koncepti i ekstremit të kushtëzuar.. Metodat për gjetjen e ekstremumit të kushtëzuar.. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të dy ndryshoreve në një zonë të mbyllur. 1. Koncepti i kushtëzuar

ZBATIMI I FUNKSIONIT DERIVATIV Ekuacioni tangjent Konsideroni problemin e mëposhtëm: duhet të krijojmë një ekuacion për tangjentën l të tërhequr në grafikun e funksionit në pikën

KAPITULLI 7 Llogaritja diferenciale e funksioneve të disa variablave 1 Derivatet e pjesshme dhe diferenciali total i funksioneve të disa ndryshoreve Def711 Le të shqyrtojmë M (, y), : O(M,) Të shqyrtojmë funksionin 1 = 1 ()=

Agjencia Federale e Arsimit UNIVERSITETI SHTETËROR I GJEODEZISË DHE HARTOGRAFISË TË MOSKËS (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova TUTORIAL PËR STUDENTËT PËR STUDIM TË PAVARUR TË SEKSIONIT

METODAT E APLIKUARA TË OPTIMIZIMIT V.V. Kornev V.V. Kurdyumov V.S. Rykhlov 2 Përmbajtja Hyrje 5 1 Optimizimi jolinear 9 1.1 Paraqitja e problemit të optimizimit. Konceptet dhe përkufizimet themelore................

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse Institucioni Arsimor Buxhetor Shtetëror Federal i Arsimit të Lartë Profesional "Universiteti Industrial Shtetëror Siberian"

~ 1 ~ FUNKSIONI I SHUMË NDRYSHOREVE 3 Funksioni i dy variablave, fusha e përkufizimit, metodat e përkufizimit dhe kuptimi gjeometrik. Përkufizimi: z f, quhet funksion i dy ndryshoreve, nëse çdo çift vlerash,

Leksion Studimi i një funksioni dhe ndërtimi i grafikut të tij Abstrakt: Funksioni studiohet për monotoni, ekstrem, konveksitet-konkavitet, ekzistenca e asimptotave Jepet shembull i studimit të një funksioni, ndërtimi.

1) Gjeni të gjitha minoret shtesë të përcaktorit 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Le të jepet një matricë katrore e rendit n. Një minor shtesë a i një matrice është përcaktori për njësi të elementit më të vogël M ij

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik A.N. Kasikov,

1. Funksioni rritës dhe pakësues. Në mënyrë që një funksion f i diferencueshëm në intervalin (ab,) të jetë në rritje në këtë interval, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që kushti të plotësohet në mënyrë të ngjashme

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse Institucioni arsimor autonom shtetëror shtetëror i arsimit të lartë profesional Kombëtar

Hyrje Testet shtëpiake në analizën matematikore janë një nga format kryesore të monitorimit të vazhdueshëm të punës së pavarur të nxënësve. Koha e përafërt e nevojshme për të përfunduar DCR është

Tema 8 LLOGARITJA DIFERENCIALE E FUNKSIONEVE TË DISA NDRYSHOREVE Ligjërata 8.1. Funksionet e disa variablave. Derivatet e pjesshme Plani 1. Koncepti i një funksioni me dy dhe disa variabla

Agjencia Federale e Transportit Hekurudhor Universiteti i Transportit Shtetëror Ural E E Popovsky P P Skachkov FUNKSIONET E DISA NDRYSHOREVE Llogaritja tipike Ekaterinburg 1 Federale

ZBATIMI I DERIVATIT NË STUDIMIN E FUNKSIONIVE Studimi i sjelljes së një funksioni duke përdorur derivate Intervalet e monotonitetit. Përkufizimi i ekstremeve. Intervalet në të cilat funksioni f (x) rritet (zvogëlohet)

I) Janë dhënë nënhapësirat lineare U dhe W, të krijuara nga sistemet vektoriale: a ; ; 3; a a b b 3; ; ; ; ; ; ; ; ; 3; 3; ; Gjeni bazat e nënhapësirës U a) Bazat e nënhapësirës U W. W dhe U W. Bashkësia e të gjithave

Moduli dhe derivati ​​V.V. Silvestrov Kur zgjidhni disa probleme, është e nevojshme të gjeni derivatin e një funksioni që përmban një ose më shumë module. Detyra të tilla janë të mundshme edhe në provimin e unifikuar të shtetit.

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS UNIVERSITETI TEKNIK SHTETËROR MOSKE "MAMI" Departamenti i "Matematikës së Lartë" MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, BE Teush OI Tkachenko, Llogaritja DIFERENCIALE

Hulumtimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve.) Hulumtoni funksionin f duke përdorur metodat e llogaritjes diferenciale dhe ndërtoni grafikun e tij. Domeni i funksionit: Dy R\. Funksioni i përgjithshëm: y y y Kritik

PËRMBAJTJA Seksioni I. KUSHTET PËR EKSTREMIN E FUNKSIONIVE... 6 Kapitulli. Formulimi i përgjithshëm i problemit të optimizimit dhe dispozitat kryesore... 6 Kapitulli. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem të pakushtëzuar... Ch. E detyrueshme

Llogaritja diferenciale Konceptet dhe formulat themelore Përkufizimi 1 Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, me kusht që rritja e argumentit

UNIVERSITETI SHTETËROR Bjellorusian FAKULTETI I MEKANIKËS DHE MATEMATIKËS Departamenti i Analizës Jolineare dhe Ekonomisë Analitike V. I. BAKHTIN, I. A. IVANISHKO, A. V. LEBEDEV, O. I. METODA E SHUMËSHMEVE PINDRIK

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin NE Bauman Dubogray IV Skudneva OV Levina A I Funksionet e disa variablave udhëzime për përgatitjen për certifikim Shtëpia Botuese Moskë

Kapitulli LLOGARITJA E VARIACIONEVE Leksioni 9 Hyrje Në këtë kapitull do të shqyrtojmë problemet e gjetjes së ekstremeve (maksimave ose minimaleve) të funksionaleve

2 Probleme të lëmuara me dimensione të fundme me barazime Në këtë seksion jepen kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem në një problem të qetë me dimensione të fundme me kufizime të tipit barazi. 2.1 Paraqitja e problemit Lë

Universiteti Shtetëror i Shën Petersburgut Departamenti i Analizës Matematike UDHËZIME METODOLOGJIKE për kryerjen e orëve praktike në analizën matematikore Pjesa Problemi mbi ekstremin lokal të një funksioni

Pyetje për t'u përgatitur për provimin Tema. Algjebra lineare 1. Çfarë është një përcaktor? Në çfarë transformimesh nuk ndryshon vlera e përcaktorit? 2. Në cilat raste përcaktorja është e barabartë me zero? Çfarë vijon

MËSIMI PRAKTIK 11 Ekstremumi i një funksioni të dy ndryshoreve Maksimumi ose minimumi i një funksioni quhet ekstrem i tij Pika M 0 në të cilën funksioni ka një ekstrem quhet pika ekstreme Nëse diferenciali

Leksioni 1 6 Kushtet e mjaftueshme për një ekstrem në një problem me skajet fikse Le t'i kthehemi problemit me skajet fikse: gjeni minimumin e funksionalit (,) V = F x x me kusht që = A, = B e nevojshme.

FUNKSIONET E DISA NDRYSHOREVE Funksionet e një ndryshoreje të pavarur nuk mbulojnë të gjitha varësitë që ekzistojnë në natyrë. Prandaj, është e natyrshme të zgjerohet dhe të prezantohet koncepti i njohur i varësisë funksionale

Parametrat me vlera të vogla të derivateve të dytë rivendosen në zero. Analiza e ndjeshmërisë është komplekse llogaritëse dhe kërkon shumë memorie shtesë.  

Marrëdhëniet (1.4) dhe (1.6) përcaktojnë shenjat e minoreve kryesore të matricës Hessian për funksionin tonë dhe kështu janë një kusht i mjaftueshëm për definicitetin jopozitiv të formës kuadratike përkatëse (1.3). Prandaj, për konkavitetin e funksioneve linearisht homogjene me dy burime, kushti (1.4) është i mjaftueshëm.  

Matrica I, siç u përmend tashmë, quhet matrica Hessian (ose Hessian).  

Në një qasje më të qëndrueshme, informacioni rreth derivateve të rendit të dytë të funksionit të mbetur mund të përdoret për të përmirësuar procesin e të mësuarit. Metodat përkatëse të optimizimit quhen kuadratike. I gjithë ky informacion është mbledhur në matricën Hessian H, e cila ka dimensione Nw x Nw, ku Nw është numri i peshave. Kjo matricë përmban informacion se si ndryshon gradienti me zhvendosje të vogla në drejtime të ndryshme në hapësirën e peshave. Llogaritja e matricës direkte kërkon shumë kohë, kështu që janë zhvilluar metoda për të shmangur llogaritjen dhe ruajtjen e matricës (zbritja e gradientit të konjuguar, metoda e gradientit të konjuguar të shkallëzuar (shih), RBa kProp (shih), metoda kuazi-njutoniane, metoda Levenberg-Marquard ).  

Ekuacioni i parë (4.17) tregon se si do të ndryshojë prodhimi kur çmimi i produkteve të firmës rritet. Meqenëse matrica Hess H është definitive negative, matrica H"1 është gjithashtu definitive negative, prandaj  

Vini re se nga fakti i ekzistencës së funksionit Q për shkak të simetrisë së matricës së derivateve të dytë (matrica Hessian) për një funksion dy herë të diferencueshëm të disa ndryshoreve, vijojnë barazitë që lidhin ndjeshmërinë e vlerësimeve me ndryshimet në rezervat e burimeve.  

Për më tepër, matrica Hessian e derivateve të dytë të këtij funksioni në lidhje me C duhet të jetë definitive negative në C = 0.  

Le të shqyrtojmë ndryshimin në matricën Hessian të funksionit /(C) gjatë transformimit monotonik të tij. Le të shkruajmë së pari përbërësit e gradientit në pikë  

Që funksioni FQ() të jetë konveks, mjafton që matrica T = Tij të jetë definitive negative. Termat e parë në (9.108) ndryshojnë nga elementët 7 j të matricës Hessian të problemit origjinal nga një faktor jo negativ, pasi funksioni FQ është në rritje monotonike. Nëse termat e dytë në këto shprehje janë të barabarta me zero, atëherë funksioni i arritshmërisë konkave të problemit origjinal do të korrespondojë me konkavitetin dhe FQ().  

Kështu, matrica Hessian për funksionin e arritshmërisë së problemit të transformuar është shuma  

E para prej tyre paraqet n ekuacione për përbërësit e vektorit A, dhe e dyta është kushti i definimit negativ të formës kuadratike, e cila kontrollohet duke përdorur kriterin Sylvester në lidhje me matricën Hessian të funksionit R.  

Këtu dhe më poshtë, R f0 dhe R i tregojnë derivatet e pjesshme të R në lidhje me variablat përkatëse. Kushtet e definicionit negativ duhet të plotësohen nga matrica Hessian e funksionit R me elementë (shih (9.125))  

Pjesa e dytë përbën thelbin teorik të librit. Ai i kushtohet tërësisht një prezantimi rigoroz të teorisë së diferencialeve dhe bazave të analizës, të formuluara në gjuhën e diferencialeve. Prezantohen konceptet e diferencialit të parë dhe të dytë dhe jepet një rregull identifikimi për matricat Jacobi dhe Hessian. Kapitulli përfundon me një paragraf kushtuar teorisë së optimizimit në prani të kufizimeve, të paraqitura në terma të diferencialeve.  

Pjesa e katërt, mbi pabarazitë, lindi nga besimi ynë se ekonomistët duhet të jenë të kënaqur me pabarazitë si pabarazia Cauchy-Bunyakovsky (Schwartz), pabarazia Minkowski dhe përgjithësimet e tyre, si dhe rezultate të fuqishme si teorema e ndarjes së Poincare-së. Në një farë mase, kapitulli është gjithashtu një histori e zhgënjimit tonë. Kur filluam të shkruanim këtë libër, kishim një ide ambicioze - të nxjerrim të gjitha pabarazitë duke përdorur llogaritjen diferenciale të matricës. Në fund të fundit, çdo pabarazi mund të përfaqësohet si një zgjidhje për një problem optimizimi. Sidoqoftë, kjo ide doli të ishte një iluzion, pasi matrica Hessian në shumicën e rasteve rezulton të jetë njëjës në pikën ekstreme.  

Shënimi. Në këtë libër ne përdorim kryesisht shënime standarde, me përjashtim të faktit se vektorët shënohen me shkronja të pjerrëta të thjeshta (jo të theksuara). Simbolet speciale përdoren për të treguar derivatin (matricën) D dhe matricën Hessian H. Operatori i diferencimit shënohet si d. Një listë e plotë e të gjitha simboleve të përdorura në tekst gjendet në Indeksin e Shënimeve në fund të librit.  

Ky kapitull mbulon konceptet e derivateve të dyta, dyfishi i diferencimit dhe diferencialit të dytë. Vëmendje e veçantë i kushtohet lidhjes ndërmjet diferencimit të dyfishtë dhe përafrimit të rendit të dytë. Përcaktojmë matricën Hessian (për funksionet vektoriale) dhe gjejmë kushtet për simetrinë e saj (kolona). Ne marrim gjithashtu rregullin e zinxhirit për matricat Hessian dhe analogun e tij për diferencialet e dyta. Teorema e Taylor-it vërtetohet për funksionet reale. Së fundi, diferencat e rendit më të lartë diskutohen shumë shkurt dhe tregohet se si analiza e funksioneve vektoriale mund të shtrihet në funksionet e matricës.  

Më parë, ne përcaktuam një matricë që përmban të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë. Kjo ishte matrica Jakobiane. Tani le të përcaktojmë një matricë (të quajtur matricë Hessian) që përmban të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të dytë. Le ta përcaktojmë këtë matricë fillimisht për funksionet reale dhe më pas për funksionet vektoriale.  

Le të / S -> Rm, S Me Rn është

Matricë G(X) dimension ( n x n) konsiderohet e përcaktuar pozitive nëse të gjitha vlerat e veta të tij m 1 , m 2 ,…, m n janë pozitive, d.m.th. m j> 0 për të gjithë j = 1, 2,…, n.

Matricë G(X) konsiderohet e përcaktuar negative nëse eigenvlerat janë negative, d.m.th. m j< 0 для всех j = 1, 2,…, n.

Nëse ndër vlerat vetjake G Nëse ndodhin të dyja pozitive dhe negative, atëherë matrica është e alternuar, dhe funksioni në studim është jo konveks.

Për të përcaktuar eigenvlerat, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni karakteristik:

Ku I– matrica e identitetit katror; det është shenja e përcaktorit.

Matrica ndryshon nga matrica Hessian në atë që termat e formës janë të vendosura përgjatë diagonales.

Pra, për një funksion dydimensional f(x 1 , x 2) ekuacioni karakteristik do të ketë formën:

(4.10)

Vlerat vetjake m 1 dhe m 2 janë rrënjët e ekuacionit të zakonshëm kuadratik m 2 + b m +c= 0, formohen pas zgjerimit të përcaktorit.

Për shembull, le të marrim funksionet e dy variablave:

f(x)= 2 – 2x 1 –2x 2 +x 1 2 +x 2 2 – x 1 x 2

Koordinatat e pikave ekstreme x* përcaktohet duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve

Dhe të barabartë x 1 * = 2, x 2 * = 2

Hesian . Pas zgjidhjes së ekuacionit karakteristik , d.m.th. ekuacioni kuadratik (2 – m) 2 – 1 = 0, fitohen vlerat vetjake m 1 = 3, m 2 = 1, d.m.th. matricë Gështë e përcaktuar pozitive. Prandaj, funksioni f(x) është konveks dhe në pikën ekstreme X* = (2,2) merr vlerën minimale f(x*) = –2.

Të dyja metodat e kontrollit të kushteve të mjaftueshme dhe të nevojshme për një ekstrem të rendit të dytë janë dhënë në tabelën 4.2.

Shembulli 4.4. Gjeni ekstremin e një funksioni në një grup E 2 .

Zgjidhje. 1. Le të shkruajmë kushtet e nevojshme për një ekstrem të rendit të parë:

;

x* = (0,0).

2. Le të kontrollojmë nëse plotësohen kushtet e mjaftueshme për ekstremin.

Mënyra e parë: Matrica Hessian ka formën Meqenëse M 1 = 2 > 0, , pastaj në pikën x* minimale lokale (rreshti 1 në Tabelën 4.2).

Mënyra e dytë: Le të gjejmë eigenvlerat e matricës Hessian duke përdorur (4.10):

Prandaj . Meqenëse të gjitha vlerat vetjake janë pozitive, atëherë në pikën x* Minimumi lokal (rreshti 1 në Tabelën 4.2). Nga Shembulli 3.3 rrjedh se funksioni është rreptësisht konveks në grup E 2. Prandaj, pika minimale lokale është gjithashtu një pikë minimale globale (sipas paragrafit 3, deklarata 3.1).

3. Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën minimale globale: f(x*) = 0.

Shembulli 4.5. Gjeni ekstremin e funksionit në grupin E 2.

Zgjidhje. 1. Le të shkruajmë kushtet e nevojshme të rendit të parë:

; .

Si rezultat i zgjidhjes së sistemit, marrim një pikë të palëvizshme x* = (0,0).

2. Le të kontrollojmë plotësimin e kushteve të mjaftueshme për kushtet ekstreme dhe të nevojshme të rendit të dytë.

Mënyra e parë: Matrica Hessian ka formën . Meqenëse M 1 = 2 > 0, , atëherë nuk plotësohen kushtet e mjaftueshme për ekstremin (rreshti 1 dhe 2 në tabelën 4.2). Le të kontrollojmë përmbushjen e kushteve të nevojshme të rendit të dytë.

Të miturit kryesorë të rendit të parë ( m= 1) janë marrë nga M 2 si rezultat i fshirjes n–m=2 – 1 = 1 rreshta dhe kolona, ​​me të njëjtët numra: – 2, 2. Minor i rendit të dytë ( m = 2) marrë nga M 2 si rezultat i fshirjes n – m= 0 rreshta dhe kolona, ​​d.m.th. përkon me M 2: -4. Nga kjo rrjedh se kushtet e nevojshme për një ekstrem të rendit të dytë nuk plotësohen (rreshtet 3 dhe 4 në tabelën 4.2). Meqenëse matrica Hessian nuk është zero, mund të konkludojmë se në pikën X* pa ekstrem (rreshti 6 në Tabelën 2.1).

Tabela 4.2

Një kriter për kontrollimin e kushteve të mjaftueshme dhe të nevojshme të rendit të dytë në problemin e kërkimit të një ekstremi të pakushtëzuar

Rregullat për futjen e funksioneve:

Një funksion dy herë i diferencueshëm vazhdimisht f(x) është konveks (konkav) nëse dhe vetëm nëse Matrica Hessian funksioni f(x) në lidhje me x është gjysmëpërcaktuar pozitiv (negativ) për të gjitha x (shih pikat e ekstremeve lokale të një funksioni të disa ndryshoreve).

Pikat kritike të funksionit:

• nëse Hessian-i është i përcaktuar pozitiv, atëherë x 0 është pika minimale lokale e funksionit f(x),
• nëse Hessian është definitive negative, atëherë x 0 është pika maksimale lokale e funksionit f(x),
• nëse Hessian-i nuk është i përcaktuar me shenjë (merr vlera pozitive dhe negative) dhe është jo i degjeneruar (det G(f) ≠ 0), atëherë x 0 është pika e shalës së funksionit f(x).

Kriteret për definicitetin e një matrice (teorema e Silvesterit)

• të gjithë elementët diagonale të matricës duhet të jenë pozitive;
• të gjithë kualifikuesit kryesorë kryesorë duhet të jenë pozitivë.

Gjysmë-përcaktueshmëria pozitive:

• të gjithë elementët diagonale janë jonegative;
• të gjithë përcaktuesit kryesorë janë jonegativë.

Një matricë simetrike katrore e rendit n, elementët e së cilës janë derivatet e pjesshme të funksionit objektiv të rendit të dytë, quhet matrica Hessian dhe caktohet:

Në mënyrë që një matricë simetrike të jetë e përcaktuar pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret diagonale të saj të jenë pozitive, d.m.th.


për matricën A = (a ij) janë pozitive.

Siguri negative.
Në mënyrë që një matricë simetrike të jetë e përcaktuar negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të ndodhin pabarazitë e mëposhtme:
(-1) k D k > 0, k=1,.., n.
Me fjalë të tjera, në mënyrë që forma kuadratike të jetë definitive negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shenjat e minoreve këndore të një matrice të formës kuadratike të alternohen, duke filluar me shenjën minus. Për shembull, për dy ndryshore, D 1< 0, D 2 > 0.

Nëse Hessian është gjysmë i përcaktuar, atëherë kjo mund të jetë gjithashtu një pikë lakimi. Nevojitet kërkime shtesë, të cilat mund të kryhen duke përdorur një nga opsionet e mëposhtme:

1. Rendi në rënie. Bëhet një ndryshim i variablave. Për shembull, për një funksion të dy ndryshoreve është y=x, si rezultat marrim një funksion të një ndryshoreje x. Më pas, shqyrtojmë sjelljen e funksionit në rreshtat y=x dhe y=-x. Nëse në rastin e parë funksioni në pikën në studim do të ketë një minimum, dhe në rastin tjetër një maksimum (ose anasjelltas), atëherë pika në studim është një pikë shale.
2. Gjetja e vlerave vetjake të Hessian. Nëse të gjitha vlerat janë pozitive, funksioni në pikën në studim ka një minimum nëse të gjitha vlerat janë negative, ka një maksimum.
3. Studimi i funksionit f(x) në fqinjësi të pikës ε. Variablat x zëvendësohen me x 0 +ε. Më pas, është e nevojshme të vërtetohet se funksioni f(x 0 +ε) i një ndryshoreje ε është ose më i madh se zero (atëherë x 0 është pika minimale) ose më e vogël se zero (atëherë x 0 është pika maksimale).

Shënim. Për të gjetur hesian i anasjelltë mjafton të gjejmë matricën e anasjelltë.

Shembulli nr. 1. Cilët nga funksionet e mëposhtme janë konveks ose konkavë: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Zgjidhje. 1. Le të gjejmë derivatet e pjesshme.


2. Të zgjidhim sistemin e ekuacioneve.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Ne marrim:
a) Nga ekuacioni i parë shprehim x 1 dhe e zëvendësojmë me ekuacionin e dytë:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Ku x 2 = 4
Ne i zëvendësojmë këto vlera x 2 në shprehjen për x 1. Ne marrim: x 1 = 9 / 2
Numri i pikave kritike është 1.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të dytë.



4. Le të llogarisim vlerën e këtyre derivateve të pjesshme të rendit të dytë në pikat kritike M(x 0 ;y 0).
Ne llogarisim vlerat për pikën M 1 (9 / 2 ;4)



Ne ndërtojmë matricën Hessian:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Meqenëse minoret diagonale kanë shenja të ndryshme, nuk mund të thuhet asgjë për konveksitetin ose konkavitetin e funksionit.