Ne paraqesim në vëmendjen tuaj një video tutorial me temën "Ndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur tre elementë". Ju do të jeni në gjendje të zgjidhni disa shembuj nga klasa e problemeve të ndërtimit. Mësuesi/ja do të analizojë në detaje problemin e ndërtimit të një trekëndëshi duke përdorur tre elementë, si dhe do të rikujtojë teoremën mbi barazinë e trekëndëshave.
Kjo temë ka një të gjerë aplikim praktik, kështu që le të shohim disa lloje të zgjidhjes së problemeve. Ju kujtojmë se çdo ndërtim kryhet ekskluzivisht me ndihmën e një busull dhe një vizore.
Shembulli 1:
Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre.
Jepet: Supozoni se trekëndëshi i analizuar duket kështu
Oriz. 1.1. Shembulli i analizuar i trekëndëshit 1
Le të jenë segmentet e dhëna c dhe a, dhe këndi i dhënë të jetë
Oriz. 1.2. Elementet e dhënë për shembull 1
Ndërtimi:
Së pari ju duhet të lini mënjanë këndin 1
Oriz. 1.3. Këndi i shtyrë 1 për shembull 1
Pastaj në anët këndi i dhënë këto dy anë i lëmë mënjanë me busull: gjatësinë e anës e masim me busull A dhe vendosim majën e busullës në kulmin e këndit 1, dhe me pjesën tjetër bëjmë një prerje në anën e këndit 1. Një procedurë të ngjashme bëjmë me anën Me
Oriz. 1.4. Lërini mënjanë anët A Dhe Me për shembull 1
Pastaj lidhim pikat që rezultojnë dhe marrim trekëndëshin e dëshiruar ABC
Oriz. 1.5. Trekëndëshi i ndërtuar ABC për shembull 1
A do të ketë trekëndëshi i dhënë e barabartë me atë të pritur? Do, sepse elementet e trekëndëshit që rezulton (dy brinjët dhe këndi ndërmjet tyre) janë përkatësisht të barabartë me dy brinjët dhe këndin ndërmjet tyre të dhënë në kusht. Prandaj, nga vetia e parë e barazisë së trekëndëshave - - e dëshiruara.
Ndërtimi është i përfunduar.
Shënim:
Le të kujtojmë se si të vizatojmë një kënd të barabartë me një të dhënë.
Shembulli 2
Zbrisni një kënd nga një rreze e caktuar e barabartë me një të dhënë. Janë dhënë këndi A dhe rreze OM. Ndërtoni.
Ndërtimi:
Oriz. 2.1. Kushti për shembull 2
1. Ndërtoni një rreth Okr(A, r = AB). Pikat B dhe C janë pikat e prerjes me brinjët e këndit A
Oriz. 2.2. Zgjidhja për shembull 2
1. Ndërtoni një rreth Okr(D, r = CB). Pikat E dhe M janë pikat e prerjes me brinjët e këndit A
Oriz. 2.3. Zgjidhja për shembull 2
1. Këndi MOE është ai i dëshiruari, pasi 
.
Ndërtimi është i përfunduar.
Shembulli 3
Ndërtoni trekëndëshin ABC sipas parti e njohur dhe dy kënde ngjitur.
Le të duket kështu trekëndëshi i analizuar:
Oriz. 3.1. Kushti për shembull 3
Atëherë segmentet e dhëna duken kështu
Oriz. 3.2. Kushti për shembull 3
Ndërtimi:
Le të vizatojmë këndin në rrafsh
Oriz. 3.3. Zgjidhja për shembull 3
Në anën e një këndi të caktuar vizatojmë gjatësinë e brinjës A
Oriz. 3.4. Zgjidhja për shembull 3
Më pas e lëmë mënjanë këndin C nga kulmi. Brinjët jo të përbashkëta të këndeve γ dhe α priten në pikën A
Oriz. 3.5. Zgjidhja për shembull 3
A është trekëndëshi i ndërtuar ai i dëshiruari? Është, pasi brinja dhe dy këndet ngjitur të trekëndëshit të ndërtuar janë përkatësisht të barabartë me brinjën dhe këndin ndërmjet tyre të dhënë në kusht
Kërkohet me kriterin e dytë për barazinë e trekëndëshave
Ndërtimi i përfunduar
Shembulli 4
Ndërtoni një trekëndësh në 2 këmbë
Le të duket kështu trekëndëshi i analizuar
Oriz. 4.1. Kushti për shembull 4
Elementet e njohura - këmbët
Oriz. 4.2. Kushti për shembull 4
Kjo detyrë ndryshon nga ato të mëparshme në atë që këndi midis anëve mund të përcaktohet si parazgjedhje - 90 0
Ndërtimi:
Le të lëmë mënjanë një kënd të barabartë me 90 0. Ne do ta bëjmë këtë saktësisht në të njëjtën mënyrë siç tregohet në shembullin 2
Oriz. 4.3. Zgjidhja për shembull 4
Pastaj në anët e këtij këndi vizatojmë gjatësitë e brinjëve A Dhe b, dhënë në gjendje
Oriz. 4.4. Zgjidhja për shembull 4
Si rezultat, trekëndëshi që rezulton është ai i dëshiruari, sepse dy brinjët e tij dhe këndi ndërmjet tyre janë përkatësisht të barabartë me dy brinjët dhe këndin ndërmjet tyre të dhënë në kusht.
Vini re se mund të lini mënjanë një kënd prej 90 0 duke ndërtuar dy vija pingule. Ne do të shohim se si ta kryejmë këtë detyrë në shembull shtesë
Shembull shtesë
Rivendos pingulen me drejtëzën p që kalon nëpër pikën A,
Rreshti p, dhe pika A e shtrirë në këtë vijë
Oriz. 5.1. Kushti për shembull shtesë
Ndërtimi:
Së pari, le të ndërtojmë një rreth me rreze arbitrare me qendër në pikën A
Oriz. 5.2. Zgjidhja për shembull shtesë
Ky rreth kryqëzon një vijë r në pikat K dhe E. Më pas ndërtojmë dy rrathë Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Këta rrathë kryqëzohen në pikat C dhe B. Segmenti NE është ai i kërkuar,
Oriz. 5.3. Përgjigje për shembull shtesë
- Koleksion i vetëm dixhital burimet arsimore ().
- Mësues i matematikës ().
- Nr. 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. redaktuar nga Tikhonov A. N. Gjeometria klasat 7-9. M.: Iluminizmi. 2010
- Ndërtoni trekëndëshi dykëndësh përgjatë anës dhe këndit përballë bazës.
- Ndërtoni trekëndësh kënddrejtë nga hipotenuza dhe këndi akut
- Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur këndin, lartësinë dhe përgjysmuesin e tërhequr nga kulmi i këndit të dhënë.
Ne ndërtojmë një trekëndësh duke përdorur një anë dhe dy kënde ngjitur - udhëzime për ndërtim.
Trekëndëshi është figura gjeometrike, e cila formohet kur lidhet me segmente tre pikë, që nuk i përkasin të njëjtës linjë. Përcaktohet në mënyrë unike nga një grup prej tre të dhënash: tre anët, dy anët dhe këndi ndërmjet tyre, ose një anë dhe dy kënde ngjitur.
Si shembull, le të përpiqemi të ndërtojmë një trekëndësh duke përdorur një anë dhe dy kënde ngjitur?
Ndërtimi i një trekëndëshi
Para së gjithash, një segment vizatohet në një vijë të drejtë, e barabartë me gjatësinë anën e dhënë. Skajet e segmentit shënohen me pikat A dhe B.
Për të ndërtuar një trekëndësh, ju duhet të vizatoni këndet e dhëna nga pikat A dhe B. Nëse jepen vlerat e këndit, atëherë përdorni një raportor për të ndërtuar:
- Ne rreshtojmë shiritin e poshtëm të raportorit përgjatë një segmenti të drejtë;
- Pika e referencës vendoset në pikën A për këndin e parë dhe në pikën B për të dytin;
- Më pas i lëmë mënjanë vlerat e këndit. Vendosim pika pranë ndarjes përkatëse të shkallës dhe i caktojmë ato M dhe N;
- Ne i lidhim pikat A dhe M, B dhe N me drejtëza Kryqëzimi i vijave të ndërtuara do të jetë kulmi i tretë dhe i fundit i trekëndëshit C.
Kështu, në këtë anë dhe dy të dhëna kënde ngjitur ndërtohet një trekëndësh.
Këndi grafik
Shpesh, për të ndërtuar një trekëndësh duke përdorur një anë të caktuar dhe dy kënde të dhëna fqinje, këndet specifikohen grafikisht. Detyra bëhet më e ndërlikuar, pasi ju duhet të ndërtoni një kënd të barabartë në madhësi me një kënd të caktuar grafik.
Ju mund të matni vlerën e një këndi të specifikuar grafikisht duke përdorur një raportor dhe të merrni vlerat e këndeve ngjitur, dhe më pas të përdorni metodën e përshkruar në paragrafin e mëparshëm për të ndërtuar një trekëndësh.
Ne përdorim një busull
Për një metodë tjetër të ndërtimit të një këndi që korrespondon në madhësi me një të dhënë, do t'ju duhet një busull:
- Duke përdorur një busull me një zgjidhje arbitrare, vizatoni një rreth me një qendër në pikënisje qoshe. Le t'i shënojmë kryqëzimet e rrethit dhe brinjëve të këndit si M dhe N;
- Tani le të kthehemi te segmenti AB, e barabartë me anën trekëndëshin e dëshiruar. Pa ndryshuar zgjidhjen, vizatoni një rreth nga pika A dhe shënoni pikën e kryqëzimit të tij me segmentin AB - marrim pikën M1;
- Kthehu në këndi i dhënë. Vendosni këmbën e busullës në pikën M dhe bëni zgjidhjen të barabartë me MN;
- Tani, pa ndryshuar këndin e busullës, vizatoni një rreth nga pika M1 derisa të kryqëzohet me rrethin e parë - marrim pikën N1;
- Lidhni pikat drejt A dhe N1. Këndi M1AN1 do të jetë i barabartë me atë të dhënë;
- Ndërtojmë edhe një kënd të dytë në pikën B. Prerja e brinjëve të këndeve të ndërtuara do të jetë kulmi që mungon C.
Në këtë mënyrë, një trekëndësh ndërtohet duke përdorur një busull duke përdorur një anë dhe dy kënde të dhëna ngjitur duke përdorur një busull.
Thelbi i tyre është të ndërtojnë çdo objekt gjeometrik bazuar në çdo grup të mjaftueshëm kushtesh fillestare, duke pasur në dorë vetëm një busull dhe një vizore. Le të shqyrtojmë skema e përgjithshme për të kryer detyrat e mëposhtme:
Analiza e detyrës.
Kjo pjesë përfshin vendosjen e një lidhjeje midis elementeve që duhet të ndërtohen dhe kushteve fillestare të problemit. Pas përfundimit të kësaj pike, ne duhet të kemi një plan për të zgjidhur problemin tonë.
Ndërtimi.
Këtu ne kryejmë ndërtimin sipas planit që kemi hartuar më sipër.
Dëshmi.
Këtu vërtetojmë se figura që ndërtuam në të vërtetë i plotëson kushtet fillestare të problemit.
Studimi.
Këtu zbulojmë se në cilat të dhëna problemi ka një zgjidhje, nën të cilën ka disa dhe nën të cilat nuk ka asnjë.
Më pas, ne do të shqyrtojmë problemet e ndërtimit të trekëndëshave duke përdorur tre elementë të ndryshëm. Këtu nuk do të shqyrtojmë ndërtimet elementare, si segmenti, këndi etj. Tani duhet t'i keni këto aftësi.
Ndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre
Shembulli 1
Ndërtoni një trekëndësh nëse na jepen dy brinjë dhe një kënd midis këtyre brinjëve.
Analiza.
Le të na jepen segmentet $AB$ dhe $AC$ dhe këndi $α$. Duhet të ndërtojmë një trekëndësh $ABC$ me kënd $C$ të barabartë me $α$.
Le të hartojmë një plan ndërtimi:
- Duke marrë $AB$ si një nga anët e këndit, ne vendosim prej tij këndin $BAM$, të barabartë me këndin $α$.
- Në vijën e drejtë $AM$ ne grafikojmë segmentin $AC$.
- Le të lidhim pikat $B$ dhe $C$.
Ndërtimi.
Le të ndërtojmë një vizatim sipas planit të hartuar më sipër (Fig. 1).
Dëshmi.
Studimi.
Meqenëse shuma e këndeve të një trekëndëshi është $180^\circ$. Kjo do të thotë se nëse këndi α është më i madh ose i barabartë me $180^\circ$, atëherë problemi nuk do të ketë zgjidhje.
Përndryshe, ka një zgjidhje. Meqenëse rreshti $a$ është një vijë arbitrare, do të ketë trekëndësha të tillë numër i pafund. Por, duke qenë se të gjithë janë të barabartë me njëri-tjetrin sipas shenjës së parë, do të supozojmë se zgjidhja e këtij problemi është unike.
Ndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur tre brinjë
Shembulli 2
Ndërtoni një trekëndësh nëse na jepen tre brinjë.
Analiza.
Le të na jepen segmentet $AB$ dhe $AC$ dhe $BC$. Duhet të ndërtojmë trekëndëshin $ABC$.
Le të hartojmë një plan ndërtimi:
- Le të vizatojmë një vijë të drejtë $a$ dhe të ndërtojmë një segment $AB$ mbi të.
- Le të ndërtojmë rrathë $2$: i pari me qendër $A$ dhe rreze $AC$, dhe i dyti me qendër $B$ dhe rreze $BC$.
- Le të lidhim një nga pikat e kryqëzimit të rrathëve (që do të jetë pika $C$) me pikat $A$ dhe $B$.
Ndërtimi.
Le të ndërtojmë një vizatim sipas planit të hartuar më sipër (Fig. 2).
Dëshmi.
Nga ndërtimi është e qartë se gjithçka kushtet fillestare përfunduar.
Studimi.
Nga pabarazia e trekëndëshit dimë se çdo brinjë duhet të jetë më e vogël se shuma e dy të tjerave. Për rrjedhojë, kur një pabarazi e tillë nuk plotësohet për tre segmentet origjinale, problemi nuk do të ketë zgjidhje.
Meqenëse rrathët nga konstruksioni kanë dy pika kryqëzimi, ne mund të ndërtojmë dy trekëndësha të tillë. Por, duke qenë se janë të barabartë me njëri-tjetrin sipas kriterit të tretë, do të supozojmë se zgjidhja e këtij problemi është unike.
Ndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur një anë dhe dy kënde ngjitur
Shembulli 3
Ndërtoni një trekëndësh nëse na jepet njëra anë dhe këndet $α$ dhe $β$ ngjitur me të.
Analiza.
Le të na jepet një segment $BC$ dhe këndet $α$ dhe $β$. Duhet të ndërtojmë një trekëndësh $ABC$, ku $∠B=α$ dhe $∠C=β$.
Le të hartojmë një plan ndërtimi:
- Le të vizatojmë një vijë të drejtë $a$ dhe të ndërtojmë një segment $BC$ mbi të.
- Le të ndërtojmë një kënd $∠ K=α$ në kulmin $B$ në anën $BC$.
- Le të ndërtojmë një kënd $∠ M=β$ në kulmin $C$ në anën $BC$.
- Le të lidhim pikën e kryqëzimit (kjo do të jetë pika $A$) e rrezeve $∠ K$ dhe $∠ M$ me pikat $C$ dhe $B$,
Ndërtimi.
Le të ndërtojmë një vizatim sipas planit të hartuar më sipër (Fig. 3).
Dëshmi.
Nga ndërtimi duket qartë se janë plotësuar të gjitha kushtet fillestare.
Studimi.
Meqenëse shuma e këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me $180^\circ$, atëherë nëse $α+β≥180^\circ$ problemi nuk do të ketë zgjidhje.
Përndryshe, ka një zgjidhje. Meqenëse mund të ndërtojmë kënde nga të dyja anët, mund të ndërtojmë dy trekëndësha të tillë. Por, duke qenë se janë të barabartë me njëri-tjetrin sipas kriterit të dytë, do të supozojmë se zgjidhja e këtij problemi është unike.
Së fundi, merrni parasysh një problem, zgjidhja e të cilit çon në ndërtimin e një trekëndëshi duke përdorur një anë dhe dy kënde:
Në anën tjetër të lumit (Fig. 72) është i dukshëm një moment historik A. Kërkohet, pa kaluar lumin, të zbuloni distancën deri në të nga momenti historik NË në këtë breg.
Le ta bëjmë këtë. Le të matim nga pika NËçdo distancë në një vijë të drejtë dielli dhe në skajet e tij NË Dhe ME Le të matim këndet 1 dhe 2 (Fig. 73). Nëse tani matim distancën në një zonë të përshtatshme DE, të barabartë dielli, dhe ndërtoni kënde në skajet e saj A Dhe b(vizatimi 74), të barabartë me kënde 1 dhe 2, atëherë në pikën e kryqëzimit të anëve të tyre marrim kulmin e tretë F trekëndëshi DEF.Është e lehtë të verifikohet se trekëndëshi DEF e barabartë me një trekëndësh ABC; në të vërtetë, nëse imagjinojmë se trekëndëshi DEF mbivendosur në ABC kështu që ajo anë DE përkoi me anën e saj të barabartë dielli, pastaj ug. A do të përkojë me këndin 1, kënd b - me kënd 2 dhe anësor DF do të shkojë në anën VA, dhe anash EF në anën SA. Meqenëse dy drejtëza mund të kryqëzohen vetëm në një pikë, atëherë kulmi F duhet të përkojë me pjesën e sipërme A. Pra distanca DF e barabartë me distancën e kërkuar VA.
Problemi, siç e shohim, ka vetëm një zgjidhje. Në përgjithësi, duke përdorur një anë dhe dy kënde ngjitur me këtë anë, mund të ndërtohet vetëm një trekëndësh; Nuk mund të ketë trekëndësha të tjerë me të njëjtën anë dhe të njëjtat dy kënde ngjitur me të në të njëjtat vende. Të gjithë trekëndëshat që kanë një anë të njëjtë dhe dy kënde identike ngjitur me të në të njëjtat vende mund të sillen në koincidencë të plotë me anë të mbivendosjes. Kjo do të thotë se kjo është një shenjë me të cilën mund të vendoset barazi të plotë trekëndëshat.
Së bashku me shenjat e vendosura më parë të barazisë së trekëndëshave, ne tani i dimë tre të mëposhtmet:
Trekëndëshat:
në tre anët;
në të dy anët dhe në këndin ndërmjet tyre;
në anën dhe dy anët.
Për hir të shkurtësisë, ne do t'i shënojmë më tej këto tre raste të barazisë së trekëndëshave si më poshtë:
në tre anët: SHSSH;
në dy anët dhe këndi ndërmjet tyre: SUS;
përgjatë anës dhe dy qosheve: USU.
Aplikacionet
14. Për të gjetur distancën deri në një pikë A në anën tjetër të lumit nga pika NË në këtë breg (Fig. 5), matni një vijë në vijë të drejtë dielli, pastaj në pikë NË ndërtoni një kënd të barabartë me ABC, në anën tjetër dielli, dhe në pikën ME- në të njëjtën mënyrë, një kënd i barabartë me DIA Distanca me pikë D kryqëzimi i brinjëve të të dy anëve të këndeve me pikën NË e barabartë me distancën e kërkuar AB. Pse?
Zgjidhje: Trekëndëshat ABC Dhe BDC e barabartë nga njëra anë ( dielli) dhe dy kënde (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Prandaj, AB= DD, si anët e shtrira brenda trekëndësha të barabartë kundër këndeve të barabarta.
