Mësim me temën: "Grafiku dhe vetitë e funksionit $y=x^3$. Shembuj të vizatimit të grafikëve"
Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.
Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 7-të
Teksti elektronik për klasën 7 "Algjebra në 10 minuta"
Kompleksi arsimor 1C "Algjebra, klasat 7-9"
Vetitë e funksionit $y=x^3$
Le të përshkruajmë vetitë e këtij funksioni:
1. x është një ndryshore e pavarur, y është një ndryshore e varur.
2. Domeni i përkufizimit: është e qartë se për çdo vlerë të argumentit (x) mund të llogaritet vlera e funksionit (y). Prandaj, domeni i përcaktimit të këtij funksioni është e gjithë boshti numerik.
3. Gama e vlerave: y mund të jetë çdo gjë. Prandaj, diapazoni i vlerave është gjithashtu i gjithë linja numerike.
4. Nëse x= 0, atëherë y= 0.
Grafiku i funksionit $y=x^3$
1. Le të krijojmë një tabelë vlerash:
2. Për vlerat pozitive x grafiku i funksionit $y=x^3$ është shumë i ngjashëm me një parabolë, degët e së cilës janë më të “shtypura” në boshtin OY.
3. Sepse për vlerat negative funksioni x $y=x^3$ ka kuptime të kundërta, atëherë grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën.
Tani le të shënojmë pikat plan koordinativ dhe ndërtoni një grafik (shih Fig. 1).
Kjo kurbë quhet parabolë kubike.
Shembuj
I. Në një anije të vogël kishte përfunduar plotësisht ujë të freskët. Nevoja për të sjellë sasi të mjaftueshme ujë nga qyteti. Uji porositet paraprakisht dhe paguhet për një kub të plotë, edhe nëse e mbushni pak më pak. Sa kube duhet të porosis në mënyrë që të mos paguaj për një kub shtesë dhe të mos mbush plotësisht rezervuarin? Dihet se rezervuari ka të njëjtën gjatësi, gjerësi dhe lartësi, të cilat janë të barabarta me 1.5 m.
Zgjidhja:
1. Të ndërtojmë një grafik të funksionit $y=x^3$.
2. Gjeni pikën A, koordinata x, e cila është e barabartë me 1.5. Shohim që koordinata e funksionit është midis vlerave 3 dhe 4 (shih Fig. 2). Kështu që ju duhet të porosisni 4 kube.
Ndërtimi i grafikëve të funksioneve që përmbajnë module zakonisht shkakton vështirësi të konsiderueshme për nxënësit e shkollës. Megjithatë, gjithçka nuk është aq e keqe. Mjafton të mbani mend disa algoritme për zgjidhjen e problemeve të tilla dhe mund të ndërtoni lehtësisht një grafik edhe për ato më në dukje. funksion kompleks. Le të kuptojmë se çfarë lloj algoritmesh janë këto.
1. Hartimi i grafikut të funksionit y = |f(x)|
Vini re se grupi i vlerave të funksionit y = |f(x)| : y ≥ 0. Kështu, grafikët e funksioneve të tilla janë gjithmonë të vendosura tërësisht në gjysmërrafshin e sipërm.
Hartimi i një grafiku të funksionit y = |f(x)| përbëhet nga katër hapat e mëposhtëm të thjeshtë.
1) Ndërtoni me kujdes dhe kujdes një grafik të funksionit y = f(x).
2) Lërini të pandryshuara të gjitha pikat në grafik që janë sipër ose në boshtin 0x.
3) Paraqitni pjesën e grafikut që shtrihet nën boshtin 0x në mënyrë simetrike në raport me boshtin 0x.
Shembulli 1. Vizatoni një grafik të funksionit y = |x 2 – 4x + 3|
1) Ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 – 4x + 3. Natyrisht, grafiku i këtij funksioni është një parabolë. Le të gjejmë koordinatat e të gjitha pikave të prerjes së parabolës me boshtet e koordinatave dhe koordinatat e kulmit të parabolës.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Prandaj, parabola kryqëzon boshtin 0x në pikat (3, 0) dhe (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Prandaj, parabola e pret boshtin 0y në pikën (0, 3).
Koordinatat e kulmit të parabolës:
x në = -(-4/2) = 2, y në = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Prandaj, pika (2, -1) është kulmi i kësaj parabole.
Vizatoni një parabolë duke përdorur të dhënat e marra (Fig. 1)
2) Pjesa e grafikut që shtrihet nën boshtin 0x shfaqet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin 0x.
3) Ne marrim një grafik të funksionit origjinal ( oriz. 2, treguar në vijë me pika).
2. Grafiku i funksionit y = f(|x|)
Vini re se funksionet e formës y = f(|x|) janë çift:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Kjo do të thotë që grafikët e funksioneve të tilla janë simetrike rreth boshtit 0y.
Hartimi i një grafiku të funksionit y = f(|x|) përbëhet nga zinxhiri i thjeshtë i veprimeve në vijim.
1) Grafikoni funksionin y = f(x).
2) Lëreni atë pjesë të grafikut për të cilën x ≥ 0, pra pjesa e grafikut që ndodhet në gjysmërrafshin e djathtë.
3) Paraqitni pjesën e grafikut të specifikuar në pikën (2) në mënyrë simetrike me boshtin 0y.
4) Si grafik përfundimtar, zgjidhni bashkimin e kthesave të marra në pikat (2) dhe (3).
Shembulli 2. Vizatoni një grafik të funksionit y = x 2 – 4 · |x| + 3
Meqenëse x 2 = |x| 2, atëherë funksioni origjinal mund të rishkruhet në formën e mëposhtme: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Tani mund të zbatojmë algoritmin e propozuar më sipër.
1) Ne ndërtojmë me kujdes dhe me kujdes një grafik të funksionit y = x 2 – 4 x + 3 (shih gjithashtu oriz. 1).
2) Lëmë atë pjesë të grafikut për të cilën x ≥ 0, pra pjesën e grafikut që ndodhet në gjysmërrafshin e djathtë.
3) Ekrani anën e djathtë grafika janë simetrike me boshtin 0y.
(Fig. 3).
Shembulli 3. Vizatoni një grafik të funksionit y = log 2 |x|
Ne zbatojmë skemën e dhënë më sipër.
1) Grafikoni funksionin y = log 2 x (Fig. 4).
3. Vizatimi i funksionit y = |f(|x|)|
Vini re se funksionet e formës y = |f(|x|)| janë gjithashtu të njëtrajtshme. Në të vërtetë, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), dhe për rrjedhojë, grafikët e tyre janë simetrikë rreth boshtit 0y. Grupi i vlerave të funksioneve të tilla: y ≥ 0. Kjo do të thotë se grafikët e funksioneve të tilla janë të vendosura tërësisht në gjysmërrafshin e sipërm.
Për të vizatuar funksionin y = |f(|x|)|, ju duhet:
1) Ndërtoni me kujdes një grafik të funksionit y = f(|x|).
2) Lëreni të pandryshuar pjesën e grafikut që është sipër ose në boshtin 0x.
3) Paraqitni pjesën e grafikut që ndodhet nën boshtin 0x në mënyrë simetrike në raport me boshtin 0x.
4) Si grafik përfundimtar, zgjidhni bashkimin e kthesave të marra në pikat (2) dhe (3).
Shembulli 4. Vizatoni një grafik të funksionit y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Vini re se x 2 = |x| 2. Kjo do të thotë se në vend të funksionit origjinal y = -x 2 + 2|x| – 1
mund të përdorni funksionin y = -|x| 2 + 2|x| – 1, pasi grafikët e tyre përkojnë.
Ndërtojmë një grafik y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Për këtë përdorim algoritmin 2.
a) Grafikoni funksionin y = -x 2 + 2x – 1 (Fig. 6).
b) Lëmë atë pjesë të grafikut që ndodhet në gjysmërrafshin e djathtë.
c) Pjesën që rezulton e grafikut e shfaqim në mënyrë simetrike me boshtin 0y.
d) Grafiku që rezulton është paraqitur në vijën me pika në figurë (Fig. 7).
2) Nuk ka pikë mbi boshtin 0x, ne i lëmë pikat në boshtin 0x.
3) Pjesa e grafikut që ndodhet nën boshtin 0x shfaqet në mënyrë simetrike në raport me 0x.
4) Grafiku që rezulton është paraqitur në figurë me një vijë me pika (Fig. 8).
Shembulli 5. Grafikoni funksionin y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Së pari ju duhet të vizatoni funksionin y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Për ta bërë këtë, ne kthehemi te Algoritmi 2.
a) Vizatoni me kujdes funksionin y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).
Vini re se këtë funksionështë linear thyesor dhe grafiku i tij është një hiperbolë. Për të vizatuar një kurbë, së pari duhet të gjeni asimptotat e grafikut. Horizontale – y = 2/1 (raporti i koeficientëve të x në numëruesin dhe emëruesin e thyesës), vertikale – x = -3.
2) Do ta lëmë të pandryshuar atë pjesë të grafikut që është mbi boshtin 0x ose mbi të.
3) Pjesa e grafikut që ndodhet nën boshtin 0x do të shfaqet në mënyrë simetrike në raport me 0x.
4) Grafiku përfundimtar është paraqitur në figurë (Fig. 11).
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
Le të shohim se si të ndërtojmë një grafik me një modul.
Le të gjejmë pikat në kalimin e të cilave ndryshon shenja e moduleve.
Çdo shprehje nën modulin e barazojmë me 0. Kemi dy prej tyre x-3 dhe x+3.
x-3=0 dhe x+3=0
x=3 dhe x=-3
Vija jonë numerike do të ndahet në tre intervale (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). Në çdo interval, ju duhet të përcaktoni shenjën e shprehjeve modulare.
1. Kjo është shumë e lehtë për t'u bërë, merrni parasysh intervalin e parë (-∞;-3). Le të marrim ndonjë vlerë nga ky segment, për shembull, -4, dhe ta zëvendësojmë atë në secilin ekuacioni modular në vend të vlerës x.
x=-4
x-3=-4-3=-7 dhe x+3=-4+3=-1
Të dyja shprehjet kanë shenja negative, që do të thotë se vendosim një minus para shenjës së modulit në ekuacion, dhe në vend të shenjës së modulit vendosim kllapa dhe marrim ekuacionin e kërkuar në intervalin (-∞;-3).
y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6
Në intervalin (-∞;-3) është marrë grafiku funksion linear(drejtpërdrejt) y=6
2. Konsideroni intervalin e dytë (-3;3). Le të gjejmë se si do të duket ekuacioni i grafikut në këtë segment. Le të marrim çdo numër nga -3 në 3, për shembull, 0. Zëvendësoni vlerën 0 për vlerën x.
x=0
x-3=0-3=-3 dhe x+3=0+3=3
Shprehja e parë x-3 ka një shenjë negative, dhe shprehja e dytë x+3 ka një shenjë pozitive. Prandaj, para shprehjes x-3 shkruajmë një shenjë minus, dhe para shprehjes së dytë një shenjë plus.
y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x
Në intervalin (-3;3) kemi marrë një grafik të një funksioni linear (drejtëz) y=-2x
3. Konsideroni intervalin e tretë (3;+∞). Le të marrim ndonjë vlerë nga ky segment, për shembull 5, dhe të zëvendësojmë vlerën x në secilin prej ekuacioneve modulare.
x=5
x-3=5-3=2 dhe x+3=5+3=8
Për të dyja shprehjet, shenjat rezultuan pozitive, që do të thotë se vendosim një plus përpara shenjës së modulit në ekuacion dhe në vend të shenjës së modulit vendosim kllapa dhe marrim ekuacionin e kërkuar në intervalin (3;+) ∞).
y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6
Në intervalin (3;+∞) kemi marrë një grafik të një funksioni linear (drejtëz) у=-6
4. Tani le të përmbledhim grafikun y=|x-3|-|x+3|.
Në intervalin (-∞;-3) ndërtojmë grafikun e funksionit linear (drejtë) y=6.
Në intervalin (-3;3) ndërtojmë grafikun e funksionit linear (drejtë) y=-2x.
Për të ndërtuar një grafik y = -2x, zgjedhim disa pika.
x=-3 y=-2*(-3)=6 rezultati është një pikë (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 rezultati është një pikë (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 rezultati është pika (3;-6)
Në intervalin (3;+∞) ndërtojmë grafikun e funksionit linear (drejtë) у=-6.
5. Tani le të analizojmë rezultatin dhe t'i përgjigjemi pyetjes, të gjejmë vlerën e k në të cilën drejtëza y=kx ka me grafikun y=|x-3|-|x+3| një funksion i caktuar ka saktësisht një pikë të përbashkët.
Drejtëza y=kx për çdo vlerë të k do të kalojë gjithmonë në pikën (0;0). Prandaj, ne mund të ndryshojmë vetëm pjerrësinë e kësaj drejtëze y=kx, dhe koeficienti k është përgjegjës për pjerrësinë.
Nëse k është ndonjë numër pozitiv, atëherë do të ketë një prerje të drejtëzës y=kx me grafikun y=|x-3|-|x+3|. Ky opsion na përshtatet. 
Nëse k merr vlerën (-2;0), atëherë prerja e drejtëzës y=kx me grafikun y=|x-3|-|x+3| do të ketë tre Ky opsion nuk na përshtatet. 
Nëse k=-2, do të ketë shumë zgjidhje [-2;2], sepse drejtëza y=kx do të përkojë me grafikun y=|x-3|-|x+3| në këtë zonë. Ky opsion nuk na përshtatet. 
Nëse k është më e vogël se -2, atëherë drejtëza y=kx me grafikun y=|x-3|-|x+3| do të ketë një kryqëzim. Ky opsion na përshtatet. 
Nëse k=0, atëherë prerja e drejtëzës y=kx me grafikun y=|x-3|-|x+3| do të ketë edhe një të tillë. 
Përgjigje: kur k i përket intervalit (-∞;-2)U dhe rritet në intervalin )
