Paraqisni atë si një integral Furier. Integrali Furier

INTEGRAL FURIER

Analog i vazhdueshëm Seria Furier. Për një funksion të përcaktuar në një interval të fundëm bosht real, e rëndësishme ka një paraqitje të serisë Fourier të saj. Për funksionin f(x) . dhënë në të gjithë boshtin, një rol të ngjashëm luan zgjerimi Furier i f:

Zgjerimi (1) mund të ndërtohet zyrtarisht sipas supozimeve që sigurojnë ekzistencën e integraleve të shkruara. Është e vërtetë, për shembull, për një funksion të fundëm të qetë f(x) . Në dispozicion shenja të mëdha, duke siguruar barazi (1) në një kuptim ose në një tjetër. Zëvendësimi i (2) në (1) jep të ashtuquajturën. formula integrale Furierit

arsyetimi për prerjen çon në karakteristikat e përmendura. Është shumë e dobishme të paraqitet f(x) me një integral të thjeshtë Furier

e cila fitohet nga (3) nëse integralin e jashtëm e shkruajmë si mbi intervalin (0, N) dhe i ndryshojmë integrimet. NË shkencat e aplikuara përfaqësimi (1) interpretohet shpesh si një zgjerim harmonik: nëse

atëherë (1) merr formën:

dhe kështu f paraqitet si një mbivendosje e harmonikëve, frekuencat e të cilave mbushin vazhdimisht gjysmëboshtin real dhe amplituda D dhe faza fillestare varen nga
Në shumë raste (në veçanti, për funksionet me vlerë komplekse f), zgjerimi (1) është më i përshtatshëm për t'u paraqitur në formë eksponenciale:

Funksioni thirret Transformimi Furier funksionet f(në shkencat e aplikuara ME(l) thirrur Me kusht që f (x) të jetë i përmbledhur: funksioni është i kufizuar, uniformisht i vazhdueshëm në bosht dhe në

Funksioni mund të rezultojë i pa përmbledhur dhe integral (4) joekzistent. Megjithatë, barazia (4) lejon një interpretim të arsyeshëm nëse përdorim metodat e përmbledhjes së integraleve [në këtë rast, ne mund të marrim parasysh jo vetëm konvergjencën pikësore, por edhe konvergjencën mesatare]. Për shembull, mesataret aritmetike të f të cunguar dhe. Funksioni përmbledhës f(x) konvergjon në f(x) dhe mesatarisht në Në prani të kufizimeve shtesë në funksionin f(x), përftohen pohime më specifike. Për shembull, nëse keni ndryshim të kufizuar në afërsi X,

e vërtetë për një funksion absolutisht të integrueshëm f(x) që është pjesë-pjesë i lëmuar në çdo interval të fundëm, ku integrali në të djathtë kuptohet në kuptimin e vlerës kryesore (6). F. dhe. studiohet gjithashtu nën supozimin e përmbledhjes lokale të funksionit f dhe sipas kërkesave të caktuara që vendosin kufizime në sjelljen e f në Let, për shembull, atëherë

Ku kufiri kuptohet në kuptimin e konvergjencës në mesataren e rendit [megjithatë, kufiri në (7) ekziston gjithashtu në kuptimin e konvergjencës pothuajse kudo]. Forma e thjeshtë e merr këtë rezultat në p = 2 (shih. Teorema e Plancherel-it).
Në mënyrë të ngjashme, funksione të shumta ndërtohen kur po flasim për në lidhje me zgjerimin e funksionit të përcaktuar në hapësirë n-dimensionale. Koncepti i F. dhe. vlen edhe për funksionet gjenerike.

Ndezur.: Titchmarsh E., Hyrje në teorinë e integraleve të Furierit, përkth. anglisht, M.-L., 1948; Bochner S., Leksione mbi integralet e Furierit, përkth. nga anglishtja, M., 1962; 3igmund A., Seria trigonometrike, përkth. nga anglishtja, vëll 2, M., 1965.
P. I. Lizorkin.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike.

I. M. Vinogradov.

1977-1985. Shihni se çfarë është "FOURIER INTEGRAL" në fjalorë të tjerë:

Integrali Furier, integrali Furier (por: integrali Furier) ... Fjalor drejtshkrimor-libër referimi

- (integral Fourier) zbërthimi i funksionit f(x), i specifikuar në të gjithë boshtin x ose në gjysmëboshtet në një mbivendosje harmonike me frekuenca që mbushin të gjithë gjysmëboshtin l të fl, duke dhënë zbërthimin e jo - periodike. funksionon në harmoni komponentët, frekuencat e të cilave përbëjnë një grup të vazhdueshëm vlerash ... Fjalori i madh enciklopedik politeknik Metoda e zgjidhjes së problemeve fizikës matematikore

, bazuar në ndarjen e variablave. Propozuar për zgjidhjen e problemeve në teorinë e përcjelljes së nxehtësisë nga J. Fourier dhe formuluar në përgjithësi nga M. V. Ostrogradsky (Shih Ostrogradsky) në 1828. Zgjidhja... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike Një nga transformimet integrale, operator linear

F, që vepron në hapësirë, elementet e së cilës janë funksionet f(x) të ndryshoreve reale. Domeni minimal i përkufizimit F konsiderohet të jetë një grup i pafundësisht të diferencueshëm... ... operator linear

Integrali Kurzweil Henstock, një përgjithësim i integralit Riemann, ju lejon të zgjidhni plotësisht problemin e rindërtimit të një funksioni të diferencueshëm nga derivati i tij. As integrali i Riemann (përfshirë atë të papërshtatshëm) dhe as integrali Lebesgue nuk japin... ... Wikipedia

Integrali Furier- - [L.G. Sumenko. Fjalor anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi integrali EN Fourier… Udhëzues teknik i përkthyesit

Transformimi integral që vepron në hapësirën e funksioneve të n ndryshoreve reale: Për funksionet Φ L1(Rn) të përmbledhur në të gjithë hapësirën Rn, integrali (*) përcakton saktë një funksion të caktuar F (x) = y(x) Imazhi Furier i funksionit j. E anasjellta...... Enciklopedia fizike

libra

Matematikë argëtuese. Analiza Furiere. Manga, Shibuya Mikio. Vajzat Rika, Fumika dhe Erina kanë krijuar një grup rock dhe duan të performojnë në festival, por nuk gjejnë dot një vokalist. Dhe pastaj është testi i matematikës, me të cilin Fumika ka probleme. Vajza e zgjuar...

Të cilat tashmë janë mjaft të mërzitshme. Dhe mendoj se ka ardhur momenti kur është koha për të nxjerrë mallra të reja të konservuara nga rezervat strategjike të teorisë. A është e mundur të zgjerohet funksioni në një seri në ndonjë mënyrë tjetër? Për shembull, shprehni një segment të drejtëz në terma të sinuseve dhe kosinuseve? Duket e pabesueshme, por funksione të tilla në dukje të largëta mund të jenë
"ribashkim". Përveç gradave të njohura në teori dhe praktikë, ka qasje të tjera për zgjerimin e një funksioni në një seri.

Aktiv këtë mësim do takohemi seri trigonometrike Furierit, do të prekim çështjen e konvergjencës dhe shumës së tij dhe, natyrisht, do të analizojmë shembuj të shumtë të zgjerimit të funksioneve në një seri Furier. Sinqerisht doja ta quaja artikullin "Seria Fourier për Dummies", por kjo do të ishte e pasinqertë, pasi zgjidhja e problemeve do të kërkonte njohuri të degëve të tjera të analizës matematikore dhe disa përvojë praktike. Prandaj, preambula do t'i ngjajë stërvitjes së astronautëve =)

Së pari, duhet t'i qaseni studimit të materialeve të faqeve në formë të shkëlqyer. I përgjumur, i pushuar dhe i matur. pa emocione të forta rreth putrës së thyer të lloj brejtësi dhe mendimet obsesive për vështirësitë e jetës peshk akuariumi. Megjithatë, seria Fourier nuk është e vështirë për t'u kuptuar detyra praktike thjesht kërkojnë përqendrim i rritur vëmendja - në mënyrë ideale, ju duhet të shkëputeni plotësisht nga stimujt e jashtëm. Situata rëndohet nga fakti se nuk ka asnjë mënyrë të lehtë për të kontrolluar zgjidhjen dhe përgjigjen. Kështu, nëse shëndeti juaj është nën mesataren, atëherë është më mirë të bëni diçka më të thjeshtë. A është e vërtetë.

Së dyti, para se të fluturoni në hapësirë, duhet të studioni panelin e instrumenteve anije kozmike. Le të fillojmë me vlerat e funksioneve që duhet të klikohen në makinë:

Për çdo vlera natyrore :

1) . Në të vërtetë, sinusoidi "qep" boshtin x përmes çdo "pi":
. Në rast vlerat negative argumenti, rezultati, natyrisht, do të jetë i njëjtë: .

2) . Por jo të gjithë e dinin këtë. Kosinusi "pi" është ekuivalenti i një "blinker":

Një argument negativ nuk e ndryshon çështjen: .

Ndoshta kaq mjafton.

Dhe së treti, trupa e dashur kozmonautësh, ju duhet të jeni në gjendje të... integrohen.
Në veçanti, me besim nënshtrojeni funksionin nën shenjën diferenciale, integrojnë pjesë-pjesë dhe të jesh në paqe me Formula Njuton-Leibniz. Le të fillojmë ushtrimet e rëndësishme para fluturimit. Unë kategorikisht nuk rekomandoj ta anashkaloni atë, në mënyrë që të mos zhyteni në mungesë peshe më vonë:

Shembulli 1

Njehsoni integrale të caktuar

ku merr vlerat natyrore.

Zgjidhje: integrimi kryhet mbi ndryshoren “x” dhe në këtë fazë ndryshorja diskrete “en” konsiderohet konstante. Në të gjitha integralet vendos funksionin nën shenjën diferenciale:

Një version i shkurtër i zgjidhjes që do të ishte mirë të synohej duket si ky:

Le të mësohemi me të:

Katër pikat e mbetura janë vetëm. Mundohuni t'i qaseni detyrës me ndërgjegje dhe shkruani integralet në një mënyrë të shkurtër. Shembuj zgjidhjesh në fund të orës së mësimit.

Pas kryerjes së ushtrimeve CILËSIA, veshim skafandra
dhe duke u përgatitur për të filluar!

Zgjerimi i një funksioni në një seri Furier në interval

Konsideroni disa funksione që të përcaktuara të paktën për një periudhë kohore (dhe mundësisht për një periudhë më të gjatë). Nëse ky funksion është i integrueshëm në interval, atëherë ai mund të zgjerohet në trigonometrik Seria Furier:
, ku janë të ashtuquajturat Koeficientët Furier.

Në këtë rast thirret numri periudha e dekompozimit, dhe numri është gjysma e jetës së dekompozimit.

Është e qartë se në rast i përgjithshëm Seria Fourier përbëhet nga sinus dhe kosinus:

Në të vërtetë, le ta shkruajmë në detaje:

Termi zero i serisë zakonisht shkruhet në formën .

Koeficientët Furier llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme:

Unë e kuptoj shumë mirë se ata që fillojnë të studiojnë temën janë ende të paqartë për termat e rinj: periudha e dekompozimit, gjysmë cikli, Koeficientët Furier etj. Mos u frikësoni, kjo nuk është e krahasueshme me eksitimin para daljes hapësirë e hapur. Le t'i kuptojmë të gjitha në shembullin e mëposhtëm, përpara se ta ekzekutojmë të cilin është logjike të bëni disa pyetje jetike: çështje praktike:

Çfarë duhet të bëni në detyrat e mëposhtme?

Zgjeroni funksionin në një seri Fourier. Për më tepër, shpesh është e nevojshme të përshkruhet një grafik i një funksioni, një grafik i shumës së një serie, shuma e pjesshme dhe në rastin e fantazive të sofistikuara profesoresh, bëni diçka tjetër.

Si të zgjerohet një funksion në një seri Fourier?

Në thelb, ju duhet të gjeni Koeficientët Furier, domethënë, hartoni dhe llogaritni tre integral i caktuar.

Ju lutemi kopjoni formën e përgjithshme të serisë Fourier dhe tre formulat e punës në fletoren tuaj. Më vjen shumë mirë që disa vizitorë të faqes po realizojnë ëndrrën e tyre të fëmijërisë për t'u bërë astronaut para syve të mi =)

Shembulli 2

Zgjero funksionin në një seri Furier në interval. Ndërtoni një grafik, një grafik të shumës së serisë dhe shumës së pjesshme.

Zgjidhje: Pjesa e parë e detyrës është zgjerimi i funksionit në një seri Fourier.

Fillimi është standard, sigurohuni që të shkruani se:

Në këtë problem, periudha e zgjerimit është gjysmë periudhe.

Le ta zgjerojmë funksionin në një seri Furier në intervalin:

Duke përdorur formulat përkatëse, le të gjejmë Koeficientët Furier. Tani duhet të kompozojmë dhe llogarisim tre integral i caktuar. Për lehtësi, do të numëroj pikat:

1) Integrali i parë është më i thjeshti, megjithatë, kërkon edhe kokërdhokët e syrit:

2) Përdorni formulën e dytë:

Ky integral është i njohur dhe e merr pjesë-pjesë:

Përdoret kur gjendet Metoda e nënshtrimit të një funksioni nën shenjën diferenciale.

Në detyrën në shqyrtim, është më i përshtatshëm për t'u përdorur menjëherë formula për integrimin sipas pjesëve në një integral të caktuar :

Disa shënime teknike. Së pari, pas aplikimit të formulës e gjithë shprehja duhet të vendoset në kllapa të mëdha, pasi ka një konstante përpara integralit origjinal. Le të mos e humbasim atë! Kllapat mund të zgjerohen në çdo hap të mëtejshëm. Në "pjesën" e parë Ne tregojmë kujdes të jashtëzakonshëm në zëvendësim, siç mund ta shihni, konstantja nuk përdoret dhe kufijtë e integrimit zëvendësohen në produkt. Ky veprim të theksuara në kllapa katrore. Epo, ju jeni njohur me integralin e "pjesës" së dytë të formulës nga detyra e trajnimit;-)

Dhe më e rëndësishmja - përqendrimi maksimal!

3) Ne jemi duke kërkuar për koeficientin e tretë Furier:

Përftohet një i afërm i integralit të mëparshëm, i cili gjithashtu është integron pjesë-pjesë:

Ky shembull është pak më i komplikuar, unë do të komentoj hapat e mëtejshëm hap pas hapi:

(1) Shprehja është e mbyllur plotësisht në kllapa të mëdha. Nuk doja të dukesha e mërzitshme, ata e humbin konstanten shumë shpesh.

(2) V në këtë rast I hapa menjëherë ato kllapa të mëdha. Vëmendje e veçantë Ne i përkushtohemi "pjesës" së parë: konstantja pi duhan mënjanë dhe nuk merr pjesë në zëvendësimin e kufijve të integrimit (dhe ) në produkt. Për shkak të rrëmujës së rekordit, këshillohet sërish që ky veprim të theksohet me kllapa katrore. Me "pjesën" e dytë gjithçka është më e thjeshtë: këtu fraksioni u shfaq pas hapjes së kllapave të mëdha, dhe konstantja - si rezultat i integrimit të integralit të njohur;-)

(3) Ne kryejmë transformime në kllapa katrore dhe në integralin e djathtë zëvendësojmë kufijtë e integrimit.

(4) Hiqni "dritën ndezëse" nga kllapa katrore: , pas së cilës hapim kllapat e brendshme: .

(5) Ne anulojmë 1 dhe –1 në kllapa dhe bëjmë thjeshtimet përfundimtare.

Më në fund, gjenden të tre koeficientët Fourier:

Le t'i zëvendësojmë ato në formulë :

Në të njëjtën kohë, mos harroni të ndani në gjysmë. Në hapin e fundit, konstanta ("minus dy"), e cila nuk varet nga "en", merret jashtë shumës.

Kështu, ne kemi marrë zgjerimin e funksionit në një seri Furier në intervalin:

Le të studiojmë çështjen e konvergjencës së serisë Fourier. Unë do të shpjegoj teorinë, në veçanti Teorema e Dirichlet-it, fjalë për fjalë "në gishta", kështu që nëse keni nevojë për formulime strikte, ju lutemi referojuni tekstit shkollor për analiza matematikore (për shembull, vëllimi i dytë i Bohan; ose vëllimi i tretë i Fichtenholtz, por është më i vështirë).

Pjesa e dytë e problemit kërkon vizatimin e një grafiku, një grafik të shumës së një serie dhe një grafik të një shume të pjesshme.

Grafiku i funksionit është i zakonshëm vijë e drejtë në një aeroplan, e cila vizatohet me një vijë të zezë me pika:

Le të kuptojmë shumën e serisë. Siç e dini, seri funksionale konvergojnë në funksione. Në rastin tonë, seria e ndërtuar Fourier për çdo vlerë të "x" do të konvergojë në funksionin, i cili tregohet me të kuqe. Ky funksion duron këputje të llojit të parë në pika, por është përcaktuar edhe në to (pikat e kuqe në vizatim)

Kështu: . Është e lehtë të shihet se është dukshëm i ndryshëm nga funksioni origjinal, kjo është arsyeja pse në hyrje Një tildë përdoret më tepër se një shenjë e barabartë.

Le të studiojmë një algoritëm që është i përshtatshëm për të ndërtuar shumën e një serie.

Në intervalin qendror, seria Fourier konvergon në vetë funksionin (segmenti qendror i kuq përkon me vijën e zezë me pika të funksionit linear).

Tani le të flasim pak për natyrën e zgjerimit trigonometrik në shqyrtim. Seria Furier janë përfshirë vetëm funksionet periodike (konstante, sinus dhe kosinus), pra shuma e serisë gjithashtu përfaqëson funksion periodik .

Çfarë do të thotë kjo në tonë shembull specifik? Dhe kjo do të thotë se shuma e serisë –sigurisht periodike dhe segmenti i kuq i intervalit duhet të përsëritet pafundësisht majtas dhe djathtas.

Unë mendoj se kuptimi i frazës "periudha e dekompozimit" është bërë më në fund i qartë. E thënë thjesht, sa herë që situata përsëritet vazhdimisht.

Në praktikë, zakonisht mjafton të përshkruhen tre periudha dekompozimi, siç bëhet në vizatim. Epo, dhe gjithashtu "cungjet" e periudhave fqinje - në mënyrë që të jetë e qartë se grafiku vazhdon.

Interes i Veçantë përfaqësojnë pikat e ndërprerjes së llojit të parë. Në pika të tilla, seria Fourier konvergjon në vlera të izoluara, të cilat ndodhen pikërisht në mes të "kërcimit" të ndërprerjes (pikat e kuqe në vizatim). Si të zbulohet ordinata e këtyre pikave? Së pari, le të gjejmë ordinatën e "katit të fundit": për ta bërë këtë, ne llogarisim vlerën e funksionit në pikën më të djathtë. periudha qendrore zbërthimi: . Për të llogaritur ordinatat e "katit të poshtëm", mënyra më e lehtë është të marrësh vlerën më të majtë të së njëjtës periudhë: . Ordinata e mesatares është mesatarja shuma aritmetike"lart dhe poshtë": . Një fakt i këndshëm është se kur ndërtoni një vizatim, menjëherë do të shihni nëse mesi është llogaritur saktë apo gabim.

Le të ndërtojmë një shumë të pjesshme të serisë dhe në të njëjtën kohë të përsërisim kuptimin e termit "konvergjencë". Motivi dihet edhe nga mësimi rreth shuma e një serie numrash. Le të përshkruajmë pasurinë tonë në detaje:

Për të krijuar një shumë të pjesshme, duhet të shkruani zero + dy terma të tjerë të serisë. Kjo është,

Vizatimi tregon grafikun e funksionit jeshile, dhe, siç mund ta shihni, "mbështjell" shumën e plotë mjaft fort. Nëse marrim parasysh një shumë të pjesshme prej pesë termash të serisë, atëherë grafiku i këtij funksioni do t'i përafrojë vijat e kuqe edhe më saktë nëse ka njëqind terma, atëherë "gjarpri i gjelbër" në të vërtetë do të shkrihet plotësisht me segmentet e kuqe; etj. Kështu, seria Fourier konvergjon në shumën e saj.

Është interesante të theksohet se çdo shumë e pjesshme është funksion të vazhdueshëm, megjithatë, shuma totale e serisë është ende e ndërprerë.

Në praktikë, nuk është aq e rrallë të ndërtohet një grafik i shumës së pjesshme. Si ta bëni këtë? Në rastin tonë, është e nevojshme të merret parasysh funksioni në segment, të llogaritet vlerat e tij në skajet e segmentit dhe në pikat e ndërmjetme (sa më shumë pikë të merrni parasysh, aq më i saktë do të jetë grafiku). Më pas duhet t'i shënoni këto pika në vizatim dhe të vizatoni me kujdes një grafik mbi periudhën, dhe më pas ta "përsërisni" atë në intervale ngjitur. Si tjetër? Në fund të fundit, përafrimi është gjithashtu një funksion periodik... ...në disa mënyra grafiku i tij më kujton një ritëm të barabartë të zemrës në ekranin e një pajisjeje mjekësore.

Kryerja e ndërtimit, natyrisht, nuk është shumë e përshtatshme, pasi duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm, duke ruajtur një saktësi jo më pak se gjysmë milimetri. Sidoqoftë, unë do t'i pëlqej lexuesit që nuk janë të kënaqur me vizatimin - në një problem "real" nuk është gjithmonë e nevojshme të kryhet një vizatim në rreth 50% të rasteve, është e nevojshme të zgjerohet funksioni në një seri Fourier dhe kaq .

Pas përfundimit të vizatimit, ne kryejmë detyrën:

Përgjigju:

Në shumë detyra funksioni vuan këputje e llojit të parë pikërisht gjatë periudhës së dekompozimit:

Shembulli 3

Zgjeroni funksionin e dhënë në interval në një seri Furier. Vizatoni një grafik të funksionit dhe shumës totale të serisë.

Funksioni i propozuar specifikohet në mënyrë të pjesshme (dhe, vini re, vetëm në segment) dhe duron këputje e llojit të parë në pikën. A është e mundur të llogariten koeficientët Fourier? Nuk ka problem. Si ana e majtë ashtu edhe e djathta e funksionit janë të integrueshme në intervalet e tyre, prandaj integralet në secilën prej tre formulave duhet të përfaqësohen si shuma e dy integraleve. Le të shohim, për shembull, se si bëhet kjo për një koeficient zero:

Integrali i dytë doli të ishte e barabartë me zero, gjë që uli punën, por jo gjithmonë kështu.

Dy koeficientët e tjerë të Furierit përshkruhen në mënyrë të ngjashme.

Si të tregohet shuma e një serie? Në intervalin e majtë vizatojmë një segment të vijës së drejtë, dhe në interval - një segment të vijës së drejtë (ne theksojmë seksionin e boshtit me shkronja të theksuara dhe të theksuara). Kjo do të thotë, në intervalin e zgjerimit, shuma e serisë përkon me funksionin kudo, përveç tre pikave "të këqija". Në pikën e ndërprerjes së funksionit, seria Fourier do të konvergojë në një vlerë të izoluar, e cila ndodhet saktësisht në mes të "kërcimit" të ndërprerjes. Nuk është e vështirë ta shohësh atë me gojë: kufiri i anës së majtë: , kufiri i anës së djathtë: dhe, padyshim, ordinata e pikës së mesit është 0,5.

Për shkak të periodicitetit të shumës, fotografia duhet të "shumohet" në periudha ngjitur, në veçanti, e njëjta gjë duhet të përshkruhet në intervalet dhe . Në të njëjtën kohë, në pikat seria Fourier do të konvergojë në vlerat mesatare.

Në fakt, këtu nuk ka asgjë të re.

Mundohuni ta përballoni vetë këtë detyrë. Mostra e përafërt dizajni përfundimtar dhe vizatimi në fund të orës së mësimit.

Zgjerimi i një funksioni në një seri Furier gjatë një periudhe arbitrare

Për një periudhë dekompozimi arbitrare, ku "el" është çdo numër pozitiv, formulat e serisë Fourier dhe koeficientëve Furier ndryshojnë në një argument paksa të komplikuar për sinusin dhe kosinusin:

Nëse , atëherë marrim formulat e intervalit me të cilat filluam.

Algoritmi dhe parimet për zgjidhjen e problemit janë ruajtur plotësisht, por kompleksiteti teknik i llogaritjeve rritet:

Shembulli 4

Zgjeroni funksionin në një seri Furier dhe vizatoni shumën.

Zgjidhje: në fakt një analog i shembullit nr. 3 me Ndërprerje e llojit të parë në pikën. Në këtë problem, periudha e zgjerimit është gjysmë periudhe. Funksioni përcaktohet vetëm në gjysmë-interval, por kjo nuk e ndryshon çështjen - është e rëndësishme që të dy pjesët e funksionit të jenë të integrueshme.

Le ta zgjerojmë funksionin në një seri Fourier:

Meqenëse funksioni është i ndërprerë në origjinë, çdo koeficient Furier duhet të shkruhet padyshim si shuma e dy integraleve:

1) Unë do të shkruaj integralin e parë sa më shumë të jetë e mundur:

2) Ne shikojmë me kujdes sipërfaqen e Hënës:

Integrali i dytë merre pjesë-pjesë:

Çfarë duhet kërkuar vëmendje e ngushtë, pasi hapim me yll vazhdimin e zgjidhjes?

Së pari, ne nuk e humbim integralin e parë , ku ekzekutojmë menjëherë nënshkrimi i shenjës diferenciale. Së dyti, mos harroni konstanten fatkeqe para kllapave të mëdha dhe mos u ngatërroni nga shenjat kur përdorni formulën . Kllapat e mëdha janë akoma më të përshtatshme për t'u hapur menjëherë në hapin tjetër.

Pjesa tjetër është çështje teknike, vështirësitë mund të shkaktohen vetëm nga përvoja e pamjaftueshme në zgjidhjen e integraleve.

Po, jo më kot kolegët e famshëm Matematikan francez Fourier ishte i indinjuar - si guxonte ai të organizonte funksione seri trigonometrike?! =) Nga rruga, të gjithë ndoshta janë të interesuar në kuptimin praktik të detyrës në fjalë. Vetë Furieri ka punuar modeli matematik përçueshmëria termike, dhe më pas seria me emrin e tij filloi të përdoret për të studiuar shumë procese periodike, të cilat janë të dukshme dhe të padukshme në botën përreth. Tani, meqë ra fjala, e kapa veten duke menduar se jo rastësisht e krahasova grafikun e shembullit të dytë me ritmin periodik të zemrës. Të interesuarit mund të njihen me aplikim praktik Transformimi Furier në burime të palëve të treta. ...Megjithëse është më mirë të mos - do të mbahet mend si Dashuria e Parë =)

3) Duke marrë parasysh të përmendura në mënyrë të përsëritur lidhje të dobëta, le të shohim koeficientin e tretë:

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Le të zëvendësojmë koeficientët e gjetur të Furierit në formulë , duke mos harruar të ndajmë koeficientin zero në gjysmë:

Le të komplotojmë shumën e serisë. Le të përsërisim shkurtimisht procedurën: ndërtojmë një vijë të drejtë në një interval dhe një vijë të drejtë në një interval. Nëse vlera "x" është zero, vendosim një pikë në mes të "kërcimit" të hendekut dhe "përsërisim" grafikun për periudhat fqinje:

Në "kryqëzimet" e periudhave, shuma do të jetë gjithashtu e barabartë me pikat e mesit të "kërcimit" të hendekut.

Gati. Më lejoni t'ju kujtoj se vetë funksioni përcaktohet nga kushti vetëm në një gjysmë interval dhe, padyshim, përkon me shumën e serisë në intervale

Përgjigju:

Ndonjëherë funksion pjesë-pjesë ndodh dhe është e vazhdueshme gjatë periudhës së zbërthimit. Shembulli më i thjeshtë: . Zgjidhje (shih vëllimin 2 të Bohanit) njëjtë si në dy shembujt e mëparshëm: pavarësisht vazhdimësia e funksionit në pikën , çdo koeficient Furier shprehet si shuma e dy integraleve.

Në intervalin e zbërthimit pikat e ndërprerjes së llojit të parë dhe/ose mund të ketë më shumë pika “bashkimi” të grafikut (dy, tre dhe në përgjithësi çdo përfundimtar sasia). Nëse një funksion është i integrueshëm në secilën pjesë, atëherë ai është gjithashtu i zgjerueshëm në një seri Fourier. Por nga përvojë praktike Nuk mbaj mend një mizori të tillë. Sidoqoftë, ka detyra më të vështira sesa ato që sapo u konsideruan, dhe në fund të artikullit ka lidhje me seritë Fourier me kompleksitet të shtuar për të gjithë.

Ndërkohë, le të relaksohemi, të mbështetemi në karriget tona dhe të sodisim pafundësinë hapësira me yje:

Shembulli 5

Zgjeroni funksionin në një seri Furier në interval dhe vizatoni shumën e serisë.

Në këtë problem funksioni të vazhdueshme në gjysmë-intervalin e zgjerimit, i cili thjeshton zgjidhjen. Gjithçka është shumë e ngjashme me shembullin nr. 2. Nuk ka shpëtim nga anija kozmike - do të duhet të vendosni =) Një mostër e përafërt e projektimit në fund të mësimit, një orar është bashkangjitur.

Zgjerimi i serive Furier të funksioneve çift dhe tek

Me funksionet çift dhe tek, procesi i zgjidhjes së problemit thjeshtohet dukshëm. Dhe ja pse. Le të kthehemi te zgjerimi i një funksioni në një seri Fourier me një periudhë prej "dy pi" dhe periudha arbitrare "dy el" .

Le të supozojmë se funksioni ynë është i barabartë. Termi i përgjithshëm i serisë, siç mund ta shihni, përmban kosinus çift dhe sinus tek. Dhe nëse zgjerojmë një funksion EVEN, atëherë pse na duhen sinuset tek?! Le të rivendosim koeficientin e panevojshëm: .

Kështu, një funksion çift mund të zgjerohet në një seri Furier vetëm në kosinus:

Që nga viti integrale të funksioneve çift përgjatë një segmenti integrimi që është simetrik në lidhje me zero mund të dyfishohet, atëherë koeficientët e mbetur të Furierit thjeshtohen.

Për hendekun:

Për një interval arbitrar:

Shembujt e teksteve shkollore që mund të gjenden pothuajse në çdo tekst shkollor për analizën matematikore përfshijnë zgjerime të funksioneve çift . Përveç kësaj, ato janë hasur disa herë në praktikën time personale:

Shembulli 6

Funksioni është dhënë. Kërkohet:

1) zgjeroni funksionin në një seri Furier me pikë , ku është një numër pozitiv arbitrar;

2) shkruani zgjerimin në interval, ndërtoni një funksion dhe grafikoni shumën totale të serisë.

Zgjidhje: në paragrafin e parë propozohet zgjidhja e problemit në pamje e përgjithshme, dhe është shumë i përshtatshëm! Nëse lind nevoja, thjesht zëvendësoni vlerën tuaj.

1) Në këtë problem, periudha e zgjerimit është gjysmë periudhe. Gjatë veprime të mëtejshme, veçanërisht gjatë integrimit, "el" konsiderohet konstante

Funksioni është i barabartë, që do të thotë se mund të zgjerohet në një seri Fourier vetëm në kosinus: .

Ne kërkojmë për koeficientët Furier duke përdorur formulat . Kushtojini vëmendje avantazheve të tyre të pakushtëzuara. Së pari, integrimi kryhet mbi segmentin pozitiv të zgjerimit, që do të thotë se ne shpëtojmë me siguri nga moduli , duke marrë parasysh vetëm "X" të dy pjesëve. Dhe, së dyti, integrimi është thjeshtuar dukshëm.

Dy:

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Kështu:
, ndërsa konstanta , e cila nuk varet nga “en”, merret jashtë shumës.

Përgjigju:

2) Le të shkruajmë zgjerimin në interval, për këtë qëllim në formulë e përgjithshme zëvendësues vlerën e dëshiruar gjysmë cikli:

Një nga mjetet e fuqishme për studimin e problemeve në fizikën matematikore është metoda e transformimeve integrale. Le të jepet funksioni f(x) në një interval (a, 6), të fundëm ose të pafund. Një transformim integral i një funksioni f(x) është një funksion ku K(x, w) është një funksion i fiksuar për një transformim të caktuar, i quajtur bërthama e transformimit (supozohet se integrali (*) ekziston në të vërtetën e tij ose kuptim jo i duhur). §1. Integral Furier Çdo funksion f(x), i cili në intervalin [-f, I] plotëson kushtet e zgjerimit në një seri Furier, mund të përfaqësohet në këtë interval nga një seri trigonometrike a* dhe 6" e serisë (. 1) përcaktohen nga formulat Euler-Fourier: TRANSFORMI FOURIER Integral Furier Forma komplekse transformimi integral Furier Transformimi i kosinusit dhe sinusit Amplituda dhe spektrat fazor Vetitë Aplikimet Seria në anën e djathtë të barazisë (1) mund të shkruhet në një formë tjetër. Për këtë qëllim, ne do të fusim në të nga formula (2) vlerat e koeficientëve a" dhe op, do të përfshijmë shenjat e integraleve cos ^ x dhe sin x (gjë që është e mundur, pasi variabli i integrimitështë m) O) dhe përdorni formulën për kosinusin e diferencës. Do të kemi Nëse funksioni /(g) fillimisht është përcaktuar në interval boshti numerik, më i madh se segmenti [-1,1] (për shembull, në të gjithë boshtin), atëherë zgjerimi (3) do të riprodhojë vlerat e këtij funksioni vetëm në segmentin [-1,1] dhe do të vazhdojë gjatë gjithë boshti numerik si funksion periodik me periodë 21 (Fig. 1). Prandaj, nëse funksioni f(x) (në përgjithësi, jo periodik) përcaktohet në të gjithë vijën numerike, në formulën (3) mund të përpiqemi të shkojmë në kufirin në I +oo. Në këtë rast, është e natyrshme të kërkohet plotësimi i kushteve të mëposhtme: 1. f(x) plotëson kushtet e dekompozueshmërisë në një seri Fourier në çdo segmentin përfundimtar boshti Ox\ 2. Funksioni f(x) është absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin e numrave Kur plotësohet kushti 2, termi i parë në anën e djathtë të barazisë (3) tenton në zero si I -* +oo. Në fakt, le të përpiqemi të përcaktojmë se në çfarë shndërrohet shuma në anën e djathtë të (3) në kufirin në I +oo. Le të supozojmë se atëherë shuma në anën e djathtë të (3) merr formën Due to konvergjencë absolute integrale, kjo shumë për I madh ndryshon pak nga shprehja e cila i ngjan shumës integrale për një funksion të ndryshores £ të përbërë për intervalin (0, +oo) të ndryshimit Prandaj, është e natyrshme të pritet që për shumën (5). kalojmë në integral Nga ana tjetër, për fikse) nga formula (3) rezulton se ne marrim edhe barazinë Kushti i mjaftueshëm për vlefshmërinë e formulës (7). Teorema 1. Nëse funksioni f(x) është absolutisht i integrueshëm në të gjithë drejtëzën reale dhe ka, së bashku me derivatin e tij, numri përfundimtar pikat e ndërprerjes së llojit të parë në çdo interval [a, 6], atëherë barazia vlen Për më tepër, në çdo pikë xq, e cila është një pikë ndërprerje e llojit të parë të funksionit /(x), vlera e integralit në. ana e djathtë e (7) është e barabartë me Formulën (7) quhet me formulën integrale të Furierit, dhe integrali në anën e djathtë të tij është integrali Furier. Nëse përdorim formulën për kosinusin e diferencës, atëherë formula (7) mund të shkruhet në formën. Funksionet a(ξ), b(ζ) janë analoge të koeficientëve përkatës Furier an dhe bn të një funksioni periodik 2m. , por këto të fundit janë përcaktuar për vlera diskrete n, ndërsa a(0> BUT janë përcaktuar për vlerat e vazhdueshme£ G (-oo, +oo). Forma komplekse e integralit Furier Duke supozuar se /(x) është absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin Ox, konsideroni integralin Ky integral konvergon në mënyrë të njëtrajtshme për, pasi dhe për këtë arsye përfaqëson një funksion të vazhdueshëm dhe, padyshim, të çuditshëm të Por atëherë Nga ana tjetër, integrale është madje funksion variabël në mënyrë që Prandaj, formula integrale e Furierit mund të shkruhet si më poshtë: Shumëzoni barazinë me njësi imagjinare i dhe shtoni barazisë (10). Ne marrim nga ku, në bazë të formulës së Euler-it, do të kemi Kjo është forma komplekse e integralit Furier. Këtu, integrimi i jashtëm mbi £ kuptohet në kuptimin e vlerës kryesore Cauchy: §2. Transformimi i Furierit. Transformimet e kosinusit dhe sinusit Fourier Le të jetë funksioni f(x) pjesë-pjesë i lëmuar në çdo segment të fundëm të boshtit Ox dhe absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin. Përkufizimi. Funksioni nga i cili, në bazë të formulës së Euler-it, do të kemi quhet transformimi Furier i funksionit /(r) (funksioni spektral). Ky është transformimi integral i funksionit /(r) në intervalin (-oo,+oo) me kernelin duke përdorur formulën integrale të Furierit Kjo është e ashtuquajtura konvertim i anasjelltë Fourier, i cili jep kalimin nga F(ξ) në f(x). Ndonjëherë konvertim i drejtpërdrejtë Transformimi i Furierit përcaktohet si më poshtë: Më pas transformimi i anasjelltë i Furierit përcaktohet me formulën Transformimi i Furierit i funksionit /(x) përcaktohet gjithashtu si më poshtë: TRANSFORMA FURIERE Integral Furier Forma komplekse e transformimit integral Furier Transformimet e kosinusit dhe sinusit Amplituda dhe spektrat e fazës Vetitë Aplikime Pastaj, nga ana tjetër, Me këtë pozicion Faktori ^ është mjaft arbitrar: ai mund të përfshihet ose në formulën (1") ose në formulën (2"). Shembulli 1. Gjeni transformimin Furier të funksionit -4 Kemi Kjo barazi lejon diferencimin në lidhje me £ nën shenjën integrale (integrali i marrë pas diferencimit konvergon në mënyrë të njëtrajtshme kur ( i përket ndonjë segmenti të fundëm): Duke integruar sipas pjesëve, do të kemi Termi jashtë integral zhduket, dhe ne marrim nga ku (C është konstanta e integrimit £ = 0 në (4), ne gjejmë C = F(0). Dihet se në veçanti, për) marrim atë Shembullin 2 (shkarkimi i kodemsetorit përmes kopropilenit). Le të shqyrtojmë funksionin 4 Për spektrat e funksionit F(ξ), marrim Prandaj (Fig. 2). Kushti për integrueshmërinë absolute të funksionit f(x) në të gjithë vijën numerike është shumë i rreptë. Përjashton, për shembull, të tilla funksionet elementare, as) = cos x, f(x) = e1, për të cilën transformimi Furier (në formën klasike të konsideruar këtu) nuk ekziston. Vetëm ato funksione që tentojnë shpejt në zero si |x| kanë një transformim Furier. -+ +oo (si në shembujt 1 dhe 2). 2.1. Transformimet e kosinusit dhe sinusit të Furierit Duke përdorur formulën e kosinusit dhe diferencës, ne rishkruajmë formulën integrale të Furierit në formën e mëposhtme: Le të jetë f(x) një funksion çift. Atëherë kemi barazinë (5) Në rastin e f(x) tek, marrim në mënyrë të ngjashme nëse f(x) jepet vetëm në (0, -foo), atëherë formula (6) shtrihet f(x) në të gjithë. Boshti i kaut në mënyrë çift, dhe formula (7) - tek. (7) Përkufizim. Funksioni quhet transformimi i kosinusit Furier i f(x). Nga (6) rrjedh se për një funksion çift f(x) Kjo do të thotë se f(x), nga ana tjetër, është një transformim kosinus për Fc(£). Me fjalë të tjera, funksionet / dhe Fc janë transformime të ndërsjella kosinus. Përkufizimi. Funksioni quhet transformimi i Furierit sinus i f(x). Nga (7) marrim atë për funksion tek f(x) d.m.th. f dhe Fs janë shndërrime të ndërsjella sinus. Shembulli 3 (pulsi drejtkëndor). Le të jetë f(t) një funksion çift i përcaktuar si më poshtë: (Fig. 3). Le të përdorim rezultatin e marrë për të llogaritur integralin Në bazë të formulës (9), kemi Fig. 3 0 0 Në pikën t = 0, funksioni f(t) është i vazhdueshëm dhe i barabartë me njësinë. Prandaj, nga (12") marrim 2.2. Spektrat e amplitudës dhe fazeve të integralit Furier Le të zgjerohet funksioni periodik /(x) me një periodë prej 2m në një seri Furier.Kjo barazi mund të shkruhet në formën ku është amplituda e lëkundjes me frekuencë n, është faza Në këtë rrugë vijmë te konceptet e amplitudës dhe spektrit fazor të një funksioni periodik, të dhënë në (-oo, +oo ), në kushte të caktuara rezulton të jetë e mundur të përfaqësohet nga një integral Fourier që zgjeron këtë funksion mbi të gjitha frekuencat (zgjerimi mbi një spektër të vazhdueshëm frekuencash). Funksioni spektral , ose të integralit Furier, quhet shprehja (transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit i funksionit f quhet spektër amplitudë, dhe funksioni Ф«) = -аggSfc) quhet spektër fazor i funksionit f(«). Spektri i amplitudës A(ξ) shërben si masë e kontributit të frekuencës ζ në funksionin f(x). Shembulli 4. Gjeni spektrin e amplitudës dhe fazës së funksionit 4 Gjeni funksionin spektral Nga këtu Grafikët e këtyre funksioneve janë paraqitur në Fig. 4. §3. Vetitë e transformimit të Furierit 1. Lineariteti. Nëse dhe G(0 janë transformimet Furiere të funksioneve f(x) dhe d(x), përkatësisht, atëherë për çdo konstante a dhe p transformimi Furier i funksionit a f(x) + p d(x) do të jetë funksioni a Duke përdorur vetinë e linearitetit të integralit, kemi Pra, transformimi i Furierit është një operator linear, ne do të shkruajmë nëse F(ξ) është transformimi Furier i një funksioni f(x) që është plotësisht i integrueshëm i gjithë boshti numerik, atëherë F()) është i kufizuar për të gjithë përkufizimi i transformimit Furier, tregoni se problemi Le të ketë transformimin Furier F(0> h -). numër real. Tregoni se 3. Proceset e transformimit dhe diferencimit të Furierit. Le të ketë një funksion absolutisht të integrueshëm f(x) një derivat f"(x), i cili është gjithashtu absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin Ox, kështu që f(x) tenton në zero si |x| -» +oo. Duke marrë parasysh f" (x) funksion të qetë, shkruajmë Integrimi me pjesë, do të kemi termin jashtë integral zhduket (pasi, dhe marrim Kështu, diferencimi i funksionit /(x) korrespondon me shumëzimin e imazhit të tij Furier ^Π/] me faktorin Nëse Funksioni f(x) ka derivate të lëmuara absolutisht të pandashme deri në rendin m përfshirës dhe të gjithë, si vetë funksioni f(x), priren në zero, më pas, duke integruar sipas pjesëve numrin e kërkuar të herëve, marrim transformimin Furier; është shumë i dobishëm pikërisht sepse zëvendëson veprimin e diferencimit me veprimin e shumëzimit me një vlerë dhe në këtë mënyrë thjeshton problemin e integrimit të disa llojeve të ekuacioneve diferenciale, pasi transformimi Furier i një funksioni absolutisht të integrueshëm f^k\x) është. funksion të kufizuar nga (vetia 2), pastaj nga relacioni (2) marrim vlerësimin e mëposhtëm për: TRANSFORMA FURIERE Integral Furier Forma komplekse e transformimit integral Furier Transformimet e kosinusit dhe sinusit Amplituda dhe spektri fazor Vetitë Aplikimet Nga ky vlerësim rezulton: më shumë funksion f(x) ka derivate absolutisht të integrueshëm, aq më shpejt transformimi i Furierit tenton në zero në. Komentoni. Gjendja është krejt e natyrshme, pasi teoria e zakonshme e integraleve të Furierit merret me procese që në një kuptim ose në një tjetër kanë një fillim dhe mbarim, por nuk vazhdojnë pafundësisht me përafërsisht të njëjtin intensitet. 4. Lidhja ndërmjet shkallës së zvogëlimit të funksionit f(x) si |z| -» -f oo dhe butësia e transformimit të saj Fourm. Le të supozojmë se jo vetëm f(x), por edhe produkti i tij xf(x) është një funksion absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin Ox. Atëherë transformimi Furier) do të jetë një funksion i diferencueshëm. Në të vërtetë, diferencimi formal në lidhje me parametrin £ të integrandit çon në një integral që është absolutisht dhe uniformisht në lidhje me parametrin, prandaj, diferencimi është i mundur, dhe kështu, d.m.th., veprimi i shumëzimit të f(x) me argumenti x kalon pas transformimit të Furierit në veprimin t. Nëse së bashku me funksionin f(x), funksionet janë absolutisht të integrueshëm në të gjithë boshtin Ox, atëherë procesi i diferencimit mund të vazhdohet. Ne marrim se funksioni ka derivate deri në rendin m përfshirës, dhe kështu, sa më shpejt të zvogëlohet funksioni f(x), aq më i butë bëhet teorema 2 (rreth stërvitjes). Le të jenë transformimet Furiere të funksioneve f,(x) dhe f2(x), përkatësisht. Atëherë ku bën integral i dyfishtë konvergon absolutisht në anën e djathtë. Le të vendosim - x. Atëherë do të kemi ose, duke ndryshuar rendin e integrimit, Funksioni quhet konvolucioni i funksioneve dhe shënohet me simbolin Formula (1) tani mund të shkruhet si më poshtë: Kjo tregon se transformimi Furier i konvolucionit të funksioneve f. \(x) dhe f2(x) është e barabartë me y/2x shumëzuar me produktin e transformimeve të Furierit të funksioneve të ndërlidhura. Lehtë për t'u instaluar vetitë e mëposhtme konvolucioni: 1) lineariteti: 2) komutativiteti: §4. Zbatimet e transformimit Furier 1. Le të jetë P(^) lineare operator diferencial urdhëroj m s koeficientët konstant, Duke përdorur formulën për transformimin Furier të derivateve të funksionit y(x), gjejmë "Konsideroni ekuacionin diferencial ku P është operatori diferencial i prezantuar më sipër. Le të supozojmë se zgjidhja e dëshiruar y(x) ka transformimin Furier y (O. dhe funksioni f(x) ka transformimin /(£) Duke aplikuar transformimin Furier në ekuacionin (1), marrim në vend të diferencialit ekuacioni algjebrik në boshtin në lidhje me vendin ku në mënyrë formale simboli tregon transformimin e anasjelltë të Furierit. Kufizimi kryesor i zbatueshmërisë së kësaj metode është për faktin e mëposhtëm. Zgjidhje e zakonshme ekuacioni diferencial me koeficientë konstante përmban funksione të formës eL*, eaz cos fix, eax mëkat px. Ato nuk janë absolutisht të integrueshme në boshtin -oo< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о dridhje të lira të një vargu homogjen të pafund kur jepet devijimi fillestar<р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

I. transformimet e Furierit.

Përkufizimi 1. Funksioni

I thirrur Transformimi Furier funksionet

Integrali këtu kuptohet në kuptimin e vlerës kryesore

dhe besohet se ekziston.

Nëse është një funksion absolutisht i integrueshëm në ℝ, atëherë, pasi në , për çdo funksion të tillë transformimi i Furierit (1) ka kuptim, dhe integrali (1) konvergon absolutisht dhe në mënyrë të njëtrajtshme përgjatë gjithë vijës së drejtë ℝ.

Përkufizimi 2. Nëse – Transformimi Furier i funksionit
, pastaj integrali i krahasueshëm

Kuptohet në kuptimin e kuptimit kryesor, quhet Integrali Furier i funksionit .

Shembulli 1. Gjeni transformimin Furier të një funksioni

Funksioni i dhënë është absolutisht i integrueshëm në, në të vërtetë,

Përkufizimi 3. Integrale të kuptuara në kuptimin e vlerës kryesore

Emërtuar në përputhje me rrethanat kosinus- Dhe transformimet sinus-Furiere të funksionit .

Duke besuar , , , marrim relacionin që është pjesërisht tashmë i njohur për ne nga seria Fourier

Siç mund të shihet nga marrëdhëniet (3), (4),

Formulat (5), (6) tregojnë se transformimet Fourier janë plotësisht të përcaktuara në të gjithë vijën nëse njihen vetëm për vlerat jo negative të argumentit.

Shembulli 2. Gjeni kosinusin - dhe sinusin - transformimet Furier të funksioneve

Siç tregohet në Shembullin 1, funksioni i dhënë është absolutisht i integrueshëm në .

Le të gjejmë kosinusin e tij - transformimin Furier duke përdorur formulën (3):

Në mënyrë të ngjashme, nuk është e vështirë të gjesh transformimin sinus - Furier të funksionit f(x) sipas formulës (4):

Duke përdorur shembujt 1 dhe 2, është e lehtë të verifikohet me zëvendësim të drejtpërdrejtë se për f(x) relacioni (5) është i kënaqur.

Nëse funksioni është me vlerë reale, atëherë nga formula (5), (6) në këtë rast rrjedh

Meqenëse në këtë rast dhe janë funksione reale në R, siç mund të shihet nga përkufizimet e tyre (3), (4). Megjithatë, barazia (7) e parashikuar përftohet drejtpërdrejt edhe nga përkufizimi (1) i transformimit Furier, duke marrë parasysh që shenja e konjugimit mund të futet nën shenjën integrale. Vëzhgimi i fundit na lejon të konkludojmë se për çdo funksion barazia

Është gjithashtu e dobishme të theksohet se nëse është një funksion real dhe i barabartë, d.m.th. , Kjo

nëse është një funksion real dhe tek, d.m.th. , Kjo

Dhe nëse është një funksion thjesht imagjinar, d.m.th. . , Kjo

Vini re se nëse është një funksion me vlerë reale, atëherë integrali Fourier mund të shkruhet gjithashtu në formë

Shembulli 3.
(duke numëruar )

meqë ne e dimë vlerën e integralit Dirichlet

Funksioni i konsideruar në shembull nuk është absolutisht i integrueshëm dhe transformimi i tij Furier ka ndërprerje. Më poshtë tregon se transformimi Furier i funksioneve absolutisht të integrueshme nuk ka ndërprerje:

Lema 1. Nëse funksioni lokalisht i integrueshëm dhe absolutisht i integrueshëm në , Kjo

a) transformimi i tij Furier të përcaktuara për çdo vlerë

Le të kujtojmë se nëse- një funksion me vlerë reale ose komplekse të përcaktuar në një grup të hapur, pastaj funksioni thirrur lokalisht i integrueshëm në, nëse ka pika ka një lagje në të cilën funksioni është i integrueshëm. Në veçanti, nëse , kushti për integrueshmërinë lokale të funksionit është padyshim ekuivalent me faktin se për çdo segment.

Shembulli 4. Le të gjejmë transformimin Furier të funksionit :

Duke diferencuar integralin e fundit në lidhje me parametrin dhe më pas duke u integruar sipas pjesëve, gjejmë se

ose

Do të thotë, , ku është një konstante, të cilën, duke përdorur integralin Euler-Poisson, e gjejmë nga relacioni

Pra, ne e gjetëm atë , dhe në të njëjtën kohë treguam se , dhe .

Përkufizimi 4. Ata thonë funksionin , i përcaktuar në një lagje të shpuar të pikës , plotëson kushtet Dini në pikën nëse

a) të dy kufijtë e njëanshëm ekzistojnë në një pikë

b) të dy integralet

Ata pajtohen absolutisht.

Konvergjenca absolute e integralit nënkupton konvergjencën absolute të integralit të paktën për disa vlera.

Kushtet e mjaftueshme që një funksion të përfaqësohet nga një integral Furier.

Teorema 1.Nëse absolutisht i integrueshëm në dhe lokalisht pjesë-pjesë funksion të vazhdueshëm kënaq në pikën Kushton Dini, atëherë integrali i tij Furier konvergon në këtë pikë dhe në vlerë

e barabartë me gjysmën e shumës së kufirit majtas dhe djathtas të vlerave të funksionit në këtë pikë.

Përfundimi 1.Nëse funksioni e vazhdueshme, ka në çdo pikë derivate të fundme të njëanshme dhe absolutisht të integrueshme në , pastaj ajo shfaqet nga integrali i tij Furier

Ku Transformimi Furier i një funksioni .

Paraqitja e një funksioni nga integrali Furier mund të rishkruhet si:

Komentoni. Kushtet për funksionin e formuluar në teoremën 1 dhe përfundimin 1 janë të mjaftueshme, por nuk janë të nevojshme për mundësinë e një paraqitjeje të tillë.

Shembulli 5. Paraqisni funksionin si integral Furier nëse

Ky funksion është tek dhe i vazhdueshëm në ℝ, me përjashtim të pikave , , .

Për shkak të faktit se funksioni është tek dhe real, kemi:

dhe nga barazitë (5) dhe (10) rrjedh se

Në pikat e vazhdimësisë së funksionit kemi:

Por funksioni është i çuditshëm, pra

pasi që integrali llogaritet në kuptimin e vlerës kryesore.

Funksioni është i barabartë, pra

Nëse,. Kur barazia duhet të plotësohet

Duke supozuar, nga këtu ne gjejmë

Nëse vendosim shprehjen e fundit për , atëherë

Duke supozuar këtu, ne do të gjejmë

Nëse një funksion me vlerë reale është pjesërisht i vazhdueshëm në çdo segment të vijës reale, është absolutisht i integrueshëm dhe ka derivate të fundme të njëanshme në secilën pikë, atëherë në pikat e vazhdimësisë funksioni paraqitet si një integral Furier.

dhe në pikat e ndërprerjes së funksionit, ana e majtë e barazisë (1) duhet të zëvendësohet me

Nëse një funksion i vazhdueshëm, absolutisht i integrueshëm ka derivate të fundme të njëanshme në secilën pikë, atëherë në rastin kur ky funksion është çift, barazia është e vërtetë

dhe në rastin kur është një funksion tek, barazia

Shembulli 5'. Paraqisni funksionin si një integral Furier nëse:

Meqenëse është një funksion i vazhdueshëm çift, atëherë, duke përdorur formulat (13.2), (13.2'), kemi

Le të shënojmë me simbolin integralin e kuptuar në kuptimin e vlerës kryesore

Përfundimi 2.Për çdo funksion , duke plotësuar kushtet e Konkluzionit 1, ekzistojnë të gjitha transformimet , , , dhe barazitë ndodhin

Me këto marrëdhënie në mendje, transformimi (14) shpesh quhet transformimi i anasjelltë i Furierit dhe në vend të kësaj shkruaj , dhe vetë barazitë (15) quhen formula për përmbysjen e transformimit Furier.

Shembulli 6. Le të jetë

Vini re se nëse , pastaj për çdo funksion

Le të marrim tani funksionin. Pastaj

Nëse marrim një funksion që është vazhdim tek i funksionit , në të gjithë boshtin numerik, atëherë

Duke përdorur teoremën 1, marrim atë

Të gjithë integralet këtu kuptohen në kuptimin e vlerës kryesore,

Duke ndarë pjesët reale dhe imagjinare në dy integralet e fundit, gjejmë integralet Laplace

Përkufizimi . Funksioni

do ta quajmë transformimi i normalizuar i Furierit.

Përkufizimi . Nëse është transformimi i normalizuar i Furierit i funksionit, atëherë integrali i krahasueshëm

Funksionin do ta quajmë integrali i normalizuar i Furierit.

Ne do të shqyrtojmë transformimin e normalizuar të Furierit (16).

Për lehtësi, ne prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

(ato. ).

Në krahasim me shënimin e mëparshëm, ky është vetëm një rinormalizim: Kjo do të thotë, në veçanti, marrëdhëniet (15) na lejojnë të konkludojmë se

ose, me një shënim më të shkurtër,

Përkufizimi 5. Operatorin do ta quajmë transformimi i Furierit i normalizuar, dhe operatori do të quhet transformimi i Furierit i normalizuar i anasjelltë.

Në Lemën 1 u vu re se transformimi Furier i çdo funksioni absolutisht të integrueshëm tenton në zero në pafundësi. Dy pohimet e ardhshme thonë se, si koeficientët Furier, transformimi Furier tenton të zero më shpejt sa më i butë të jetë funksioni nga i cili është marrë (në pohimin e parë); Një fakt i ndërlidhur do të jetë se sa më i shpejtë funksioni nga i cili merret transformimi Furier tenton në zero, aq më i butë është transformimi i Furierit (deklarata e dytë).

Deklarata 1(mbi lidhjen ndërmjet butësisë së një funksioni dhe shkallës së uljes së transformimit të Furierit të tij). Nëse dhe të gjitha funksionet absolutisht i integrueshëm në , Se:

A) në çdo

Deklarata 2(për lidhjen midis shkallës së zvogëlimit të një funksioni dhe butësisë së transformimit Furier të tij). Nëse një funksion lokalisht i integrueshëm : është i tillë që funksioni absolutisht i integrueshëm A, Se:

A) Transformimi Furier i një funksioni i përket klasës

b) ka pabarazi

Le të paraqesim vetitë kryesore të harduerit të transformimit Fourier.

Lema 2. Le të ketë një transformim Furier për funksionet (përkatësisht, një transformim i anasjelltë i Furierit), atëherë, sido që të jenë numrat dhe , ka një transformim Furier (përkatësisht, një transformim Furier i anasjelltë) për funksionin , dhe

(përkatësisht).

Kjo veti quhet lineariteti i transformimit Furier (përkatësisht transformimi i anasjelltë i Furierit).

Pasoja. .

Lema 3. Transformimi i Furierit, si transformimi i anasjelltë, është një transformim një me një në një grup funksionesh të vazhdueshme që janë absolutisht të integrueshëm në të gjithë boshtin dhe kanë derivate të njëanshme në secilën pikë.

Kjo do të thotë se nëse dhe janë dy funksione të tipit të specifikuar dhe nëse (përkatësisht, nëse ), pastaj në të gjithë boshtin.

Nga pohimi i Lemës 1 mund të marrim lemën e mëposhtme.

Lema 4. Nëse një sekuencë funksionesh absolutisht të integrueshme dhe funksioni absolutisht i integrueshëm janë të tillë që

atëherë sekuenca konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në të gjithë boshtin e funksionit .

Le të studiojmë tani transformimin Furier të konvolucioneve të dy funksioneve. Për lehtësi, le të modifikojmë përkufizimin e konvolucionit duke shtuar një faktor shtesë

Teorema 2. Lërini funksionet të jenë të kufizuara, të vazhdueshme dhe absolutisht të integrueshme në boshtin real, atëherë

ato. transformimi Furier i konvolucionit të dy funksioneve është i barabartë me produktin e transformimeve Furier të këtyre funksioneve.

Le të përpilojmë një tabelë përmbledhëse nr. 1 të vetive të transformimit të normalizuar të Furierit, të dobishme për zgjidhjen e problemeve të dhëna më poshtë.

Tabela nr. 1

Funksioni	Transformimi Furier i normalizuar

Duke përdorur vetitë 1-4 dhe 6, marrim

Shembulli 7. Gjeni transformimin e normalizuar të Furierit të një funksioni

Në shembullin 4 u tregua se

sepse nëse

Prandaj, nga vetia 3 kemi:

Në mënyrë të ngjashme, mund të krijoni tabelën nr. 2 për transformimin e anasjelltë të normalizuar të Furierit:

Tabela nr. 2

Funksioni	Transformimi Furier i anasjelltë i normalizuar

Ashtu si më parë, duke përdorur vetitë 1-4 dhe 6 e marrim atë

Shembulli 8. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të një funksioni

Siç vijon nga shembulli 6

Kur kemi:

Paraqitja e funksionit si

përdor vetinë 6 kur

Opsione për detyra për llogaritje dhe punë grafike

1. Gjeni transformimin sinus – Furier të funksionit

2. Gjeni transformimin sinus – Furier të funksionit

3. Gjeni transformimin e kosinusit – Furierit të funksionit

4. Gjeni transformimin kosinus – Furier të funksionit

5. Gjeni transformimin sinus – Furier të funksionit

6. Gjeni transformimin kosinus - Furier të funksionit

7. Gjeni transformimin sinus - Furier të funksionit

8. Gjeni transformimin kosinus – Furier të një funksioni

9. Gjeni transformimin kosinus – Furier të një funksioni

10. Gjeni transformimin sinus – Furier të funksionit

11. Gjeni transformimin sinus – Furier të funksionit

12. Gjeni sinus - shndërrim i një funksioni

13. Gjeni sinus - shndërrim i një funksioni

14. Gjeni kosinusin - duke transformuar një funksion

15. Gjeni kosinusin - duke transformuar një funksion

16. Gjeni transformimin Furier të funksionit nëse:

17. Gjeni transformimin Furier të funksionit nëse:

18. Gjeni transformimin Furier të funksionit nëse:

19. Gjeni transformimin Furier të funksionit nëse:

20. Gjeni transformimin Furier të funksionit nëse:

21. Gjeni transformimin Furier të funksionit nëse:

22. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

24. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

26. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

28. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

30. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

23. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

25. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

27. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

29. Gjeni transformimin e normalizuar të Furierit të anasjelltë të funksionit

duke përdorur formulën

31. Gjeni transformimin e anasjelltë Furier të normalizuar të funksionit

duke përdorur formulën

32. Paraqisni një funksion me një integral Furier

33. Paraqisni një funksion me një integral Furier

34. Paraqisni një funksion me një integral Furier

35. Paraqisni një funksion me një integral Furier

36. Paraqisni një funksion me një integral Furier

37. Paraqisni një funksion me një integral Furier

38. Paraqisni një funksion me një integral Furier

39. Paraqisni një funksion me një integral Furier

40. Paraqisni një funksion me një integral Furier

41. Paraqitni një funksion me një integral Furier

42. Paraqisni një funksion me një integral Furier

43. Paraqisni funksionin si një integral Furier, duke e shtrirë atë në një mënyrë tek në intervalin nëse:

44. Paraqisni funksionin si një integral Furier, duke e shtrirë atë në një mënyrë tek në intervalin nëse: