Vendndodhja e rrënjëve të një trinomi katror. Gjetja e rrënjëve të një trinomi kuadratik

Studimi i shumë modeleve fizike dhe gjeometrike shpesh çon në zgjidhjen e problemeve me parametra. Disa universitete përfshijnë gjithashtu ekuacione, pabarazi dhe sistemet e tyre në fletët e provimit, të cilat shpesh janë shumë komplekse dhe kërkojnë një qasje jo standarde për zgjidhjen. Në shkollë, ky një nga seksionet më të vështira të lëndës së algjebrës shkollore konsiderohet vetëm në disa lëndë me zgjedhje ose lëndë.
Sipas mendimit tim, metoda grafike funksionale është një mënyrë e përshtatshme dhe e shpejtë për të zgjidhur ekuacionet me një parametër.
Siç dihet, në lidhje me ekuacionet me parametrat ekzistojnë dy formulime të problemit.

1. Zgjidheni ekuacionin (për çdo vlerë parametri, gjeni të gjitha zgjidhjet e ekuacionit).
2. Gjeni të gjitha vlerat e parametrit për secilën prej të cilave zgjidhjet e ekuacionit plotësojnë kushtet e dhëna.

Në këtë punim është shqyrtuar dhe studiuar një problem i tipit të dytë në lidhje me rrënjët e një trinomi katror, ​​gjetja e të cilit reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.
Autori shpreson se kjo punë do t'i ndihmojë mësuesit në zhvillimin e mësimeve dhe përgatitjen e studentëve për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

1. Çfarë është një parametër

Shprehja e formës ah 2 + bx + c në kursin e algjebrës shkollore e quajnë trinomin kuadratik në lidhje me X, Ku a, b, c janë dhënë numra realë, dhe, a=/= 0. Vlerat e ndryshores x në të cilën shprehja bëhet zero quhen rrënjët e trinomit katror. Për të gjetur rrënjët e një trinomi kuadratik, duhet të zgjidhni ekuacionin kuadratik ah 2 + bх + c = 0.
Le të kujtojmë ekuacionet bazë nga kursi i algjebrës shkollore sëpatë + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Kur kërkoni për rrënjët e tyre, vlerat e variablave a, b, c, të përfshira në ekuacion konsiderohen fikse dhe të dhëna. Vetë variablat quhen parametra. Meqenëse nuk ka një përcaktim të parametrit në tekstet shkollore, unë propozoj të marr si bazë versionin më të thjeshtë të mëposhtëm.

Përkufizimi.Një parametër është një ndryshore e pavarur, vlera e së cilës në problem konsiderohet të jetë një numër real i dhënë fiks ose arbitrar, ose një numër që i përket një grupi të paracaktuar.

2. Llojet dhe metodat bazë për zgjidhjen e problemeve me parametra

Ndër detyrat me parametra, mund të dallohen llojet kryesore të mëposhtme të detyrave.

1. Ekuacionet që duhet të zgjidhen ose për çdo vlerë të një parametri(ve) ose për vlerat e parametrave që i përkasin një grupi të paracaktuar. Për shembull. Zgjidh ekuacionet: sëpatë = 1, (a – 2)x = a 2 – 4.
2. Ekuacionet për të cilat duhet të përcaktoni numrin e zgjidhjeve në varësi të vlerës së parametrit (parametrave). Për shembull. Në cilat vlera parametrash a ekuacioni 4X 2 – 4sëpatë + 1 = 0 ka një rrënjë të vetme?
3. Ekuacionet për të cilat, për vlerat e kërkuara të parametrit, grupi i zgjidhjeve plotëson kushtet e specifikuara në fushën e përkufizimit.

Për shembull, gjeni vlerat e parametrave në të cilat rrënjët e ekuacionit ( a – 2)X 2 – 2sëpatë + a + 3 = 0 pozitive.
Mënyrat kryesore për të zgjidhur problemet me një parametër: analitike dhe grafike.

Analitike- Kjo është një metodë e të ashtuquajturës zgjidhje direkte, duke përsëritur procedurat standarde për gjetjen e përgjigjes në problemet pa parametër. Le të shohim një shembull të një detyre të tillë.

Detyra nr. 1

Në cilat vlera të parametrit a bën ekuacioni X 2 – 2sëpatë + a 2 – 1 = 0 ka dy rrënjë të ndryshme që i përkasin intervalit (1; 5)?

Zgjidhje

X 2 – 2sëpatë + a 2 – 1 = 0.
Sipas kushteve të problemit, ekuacioni duhet të ketë dy rrënjë të ndryshme dhe kjo është e mundur vetëm me kushtin: D > 0.
Kemi: D = 4 a 2 – 2(A 2 – 1) = 4. Siç mund ta shohim, diskriminuesi nuk varet nga a, prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme për çdo vlerë të parametrit a. Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit: X 1 = A + 1, X 2 = A – 1
Rrënjët e ekuacionit duhet t'i përkasin intervalit (1; 5), d.m.th.
Pra, në 2<A < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Përgjigje: 2<A < 4.
Kjo qasje për zgjidhjen e problemeve të llojit në shqyrtim është e mundshme dhe racionale në rastet kur diskriminuesi i ekuacionit kuadratik është "i mirë", d.m.th. është katrori i saktë i çdo numri ose shprehjeje, ose rrënjët e ekuacionit mund të gjenden duke përdorur teoremën e kundërt të Vieta. Atëherë, rrënjët nuk përfaqësojnë shprehje irracionale. Përndryshe, zgjidhja e problemeve të këtij lloji përfshin procedura mjaft komplekse nga pikëpamja teknike. Dhe zgjidhja e pabarazive irracionale kërkon njohuri të reja nga studenti.

Grafike- kjo është një metodë në të cilën grafikët përdoren në planin koordinativ (x; y) ose (x; a). Qartësia dhe bukuria e kësaj zgjidhjeje ndihmon për të gjetur një mënyrë të shpejtë për të zgjidhur problemin. Le ta zgjidhim problemin nr. 1 grafikisht.
Siç e dini nga një kurs algjebër, rrënjët e një ekuacioni kuadratik (trinomi kuadratik) janë zerot e funksionit kuadratik përkatës: Y = X 2 – 2Oh + A 2 – 1. Grafiku i funksionit është parabolë, degët janë të drejtuara lart (koeficienti i parë është 1). Një model gjeometrik që plotëson të gjitha kërkesat e problemit duket kështu.

Tani mbetet vetëm "rregullimi" i parabolës në pozicionin e dëshiruar duke përdorur kushtet e nevojshme.

1. Meqenëse një parabolë ka dy pika kryqëzimi me boshtin X, pastaj D > 0.
2. Maja e parabolës është midis vijave vertikale X= 1 dhe X= 5, pra abshisa e kulmit të parabolës x o i përket intervalit (1; 5), d.m.th.
   1 <X O< 5.
3. Ne e vërejmë atë në(1) > 0, në(5) > 0.

Pra, duke kaluar nga modeli gjeometrik i problemit në atë analitik, fitojmë një sistem pabarazish.

Përgjigje: 2<A < 4.

Siç shihet nga shembulli, një metodë grafike për zgjidhjen e problemeve të llojit në shqyrtim është e mundur në rastin kur rrënjët janë "të këqija", d.m.th. përmbajnë një parametër nën shenjën radikale (në këtë rast, diskriminuesi i ekuacionit nuk është një katror i përsosur).
Në metodën e dytë të zgjidhjes, kemi punuar me koeficientët e ekuacionit dhe diapazonin e funksionit në = X 2 – 2Oh + A 2 – 1.
Kjo metodë e zgjidhjes nuk mund të quhet vetëm grafike, sepse këtu duhet të zgjidhim një sistem pabarazish. Përkundrazi, kjo metodë është e kombinuar: funksionale dhe grafike. Nga këto dy metoda, kjo e fundit nuk është vetëm elegante, por edhe më e rëndësishmja, pasi tregon marrëdhënien midis të gjitha llojeve të modeleve matematikore: një përshkrim verbal i problemit, një model gjeometrik - një grafik i një trinomi kuadratik, një analitik. model - një përshkrim i një modeli gjeometrik nga një sistem pabarazish.
Pra, ne kemi shqyrtuar një problem në të cilin rrënjët e një trinomi kuadratik plotësojnë kushtet e dhëna në fushën e përkufizimit për vlerat e parametrave të dëshiruar.

Cilat kushte të tjera të mundshme mund të plotësojnë rrënjët e një trinomi kuadratik për vlerat e parametrave të dëshiruar?

Tema e mësimit: "Trinomi katror dhe rrënjët e tij."

Qëllimi i mësimit: të njohë nxënësit me konceptin e një trinomi katror dhe rrënjët e tij, të përmirësojë aftësitë e tyre në zgjidhjen e detyrave për izolimin e katrorit të një binomi nga një trinom katror.

Mësimi përfshin katër faza kryesore:

Kontrolli i njohurive

Shpjegimi i materialit të ri

Konsolidimi riprodhues.

Përforcimi i trajnimit.

Reflektimi.

Faza 1. Kontrolli i njohurive.

Mësuesi/ja zhvillon një diktim matematikor “si kopje karboni” bazuar në materialin e ciklit të mëparshëm. Për diktim, përdoren karta me dy ngjyra: blu për 1 opsion, e kuqe për 2 opsione.

Nga modelet e dhëna analitike të funksioneve, zgjidhni vetëm ato kuadratike.

Opsioni 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

Opsioni 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Skiconi funksionet kuadratike. A është e mundur të përcaktohet në mënyrë unike pozicioni i një funksioni kuadratik në planin koordinativ. Mundohuni të arsyetoni përgjigjen tuaj.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Opsioni 1. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

Opsioni 2. a) x² -9x+20=0

B) x² -9 x =0

4. Pa zgjidhur ekuacionin, zbuloni nëse ka rrënjë.

Opsioni 1. A) x² + x +12=0

Opsioni 2. A) x² + x - 12=0

Mësuesi/ja kontrollon përgjigjet e marra nga dy dyshet e para. Përgjigjet e marra të pasakta diskutohen me të gjithë klasën.

Faza 2. Le të krijojmë një grup. Çfarë lidhjesh keni kur merrni parasysh trinomin kuadratik?

Krijimi i një grupi.

Përgjigjet e mundshme:

trinomi kuadratik përdoret për të konsideruar katrorin. funksionet;

ju mund të gjeni zerot e katrorit. funksionet

Duke përdorur vlerën diskriminuese, vlerësoni numrin e rrënjëve.

Përshkruani proceset reale, etj.

Shpjegimi i materialit të ri.

Paragrafi 2. klauzola 3 faqe 19-22.

Shprehjet merren parasysh dhe jepet përkufizimi i një trinomi kuadratik dhe rrënja e një polinomi (gjatë diskutimit të shprehjeve të diskutuara më parë)

Formulohet përkufizimi i rrënjës së një polinomi.

Formulohet përkufizimi i një trinomi kuadratik.

Janë analizuar shembuj të zgjidhjes së një trinomi:

Gjeni rrënjët e një trinomi kuadratik.

Le të veçojmë binomin katror nga trinomi katror.

3x²-36x+140=0.

Është hartuar një diagram i bazës së përafërt të veprimit.

Algoritmi për ndarjen e një binomi nga një trinom katror.

1. Përcaktoni vlerën numerike të koeficientit katror kryesor trinom.

2. Kryeni identike dhe 2. Transformoni shprehjen,

transformimet ekuivalente duke përdorur formulat

(vëni faktorin e përbashkët jashtë kllapave; katrorin e shumës dhe diferencën.

konvertoni shprehjen në kllapa

duke e ndërtuar atë deri në formulën për katrorin e shumës

ose ndryshim)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

Faza 3. Zgjidhja e detyrave tipike nga teksti shkollor (nr. 60 a, c; 61 a, 64 a, c) Bëhen në tabelë dhe komentohen.

Faza 4. Punë e pavarur në 2 opsione (Nr. 60a, b; 65 a, b). Nxënësit kontrollojnë mostrat e zgjidhjeve në tabelë.

Detyrë shtëpie: P.3 (mëso teorinë, Nr. 56, 61g, 64g)

Reflektimi. Mësuesi/ja jep detyrën: vlerësoni përparimin tuaj në çdo fazë të mësimit duke përdorur një vizatim dhe ia dorëzoni mësuesit. (detyra plotësohet në fletë të veçanta, jepet një mostër).

Shembull:

Duke përdorur rendin e elementeve në figurë, përcaktoni se në cilën fazë të mësimit mbizotëroi injoranca juaj. Theksoni këtë fazë me të kuqe.

Prezantim për një orë të matematikës në klasën e 9-të me temën "Trinomi katror dhe rrënjët e tij" me përmbajtjen e detyrave në një nivel të thelluar të studimit të lëndës. Prezantimi është krijuar për përdorim të vazhdueshëm gjatë gjithë mësimit. Detyra të llojeve të ndryshme në përmbajtje.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Pika e planit Pika e planit Pika e planit Pika e planit Pika e planit Përditësimi i njohurive Studimi i temës së mësimit Referenca enciklopedike Minuta dinamike Detyrë shtëpie Trinomi katror dhe rrënjët e tij u përgatitën nga mësuesja e matematikës: 1KK Radchenko Natalya Fedorovna

Përditësimi i njohurive Studimi i temës së orës së mësimit Referenca enciklopedike Detyrë shtëpie minutë dinamike Përditësimi i njohurive ◊ 1 Përsëritje e materialit për funksionet; ◊ 2 Bazat teorike për zgjidhjen e ekuacionit kuadratik; ◊ 3 teorema e Vietës; ◊ 4 Gjithsej.

Përditësimi i njohurive Përsëritja e materialit: ndër këto funksione, tregoni funksionet lineare zbritëse: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3

Përditësimi i njohurive Si përcaktohet prania dhe numri i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik? Si të llogarisim diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik D = 2. Emërtoni formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik D>0, pastaj x 1,2 = D = 0, pastaj x =

Përditësimi i njohurive t² - 2t – 3 = 0 3. Llogaritni diskriminuesin dhe përgjigjuni pyetjes “Sa rrënjë ka ekuacioni kuadratik?” D= 16 >0, dy rrënjë Sa është prodhimi i rrënjëve? X 1  x 2 = - 3 5. Sa është shuma e rrënjëve të ekuacionit? X 1 + x 2 = 2 6. Çfarë mund të thuhet për shenjat e rrënjëve? Rrënjët e shenjave të ndryshme 7. Gjeni rrënjët me përzgjedhje. X 1 = 3, x 2 = -1

Studimi i temës së mësimit ◊ 1 Raportimi i temës së mësimit; ◊ 2 Bazat teorike të konceptit “Trinomi katror dhe rrënjët e tij”; ◊ 3 Deklarata të mendimtarëve të mëdhenj për matematikën; ◊ 4 Analiza e shembujve të temave; Studimi i temës së orës së mësimit Referenca enciklopedike Minuta dinamike Detyrë shtëpie

Trinomi katror dhe rrënjët e tij Një trinom katror është një polinom i formës ax² + bx + c, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a≠ 0. Rrënja e një trinomi kuadratik është vlera e një ndryshoreje në të cilën vlera e këtij trinomi është zero Për të gjetur rrënjët e trinomit kuadratik ax² + bx + c, duhet të zgjidhni ekuacionin kuadratik ax² + bx + c =0.

Trinomi katror dhe rrënjët e tij Nuk mjafton të kesh një mendje të mirë, gjëja kryesore është ta përdorësh mirë. R. Descartes Të gjithë duhet të jenë në gjendje të mendojnë vazhdimisht, të gjykojnë në mënyrë të dukshme dhe të hedhin poshtë përfundimet e pasakta: një fizikan dhe një poet, një shofer traktori dhe një kimist. E. Kolman

Referenca enciklopedike ◊ 1 Koncepti i “parametrit”; ◊ 2 Kuptimi i fjalës "parametër" në fjalorët rusë dhe një fjalor fjalësh të huaja; ◊ 3 Përcaktimi dhe shtrirja e zbatimit të parametrit; ◊ 4 Shembuj me parametra. Referencë enciklopedike Detyrë shtëpie minutë dinamike

Referenca enciklopedike PARAMETRI (nga greqishtja παραμετρέω - mas, largohem). Një sasi e përfshirë në një formulë matematikore dhe që ruan një vlerë konstante brenda një dukurie ose për një detyrë të caktuar..., (mat.) Parametri është një vlerë konstante, e shprehur me një shkronjë, e cila ruan vlerën e saj konstante vetëm në kushtet e një detyrë e dhënë... “Fjalor fjalësh të huaja”. 3. Në cilën vlerë të parametrit m trinomi katror 2x ² + 2тх – m – 0,5 ka një rrënjë të vetme? Gjeni këtë rrënjë.

Pauzë dinamike ◊ 1 Zgjidhja e një “problemi problemi”; ◊ 2 Sfondi historik: letër nga e kaluara; Detyrë shtëpie me minuta dinamike

Pauzë dinamike Në cilën vlerë të parametrit t trinomi katror 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 dhe ka një rrënjë të vetme? Gjeni këtë rrënjë. Ekuacioni kuadratik ka një rrënjë D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Zëvendësoni vlerën e gjetur të m në ekuacionin origjinal: 2x ² - 2x + 1 – 0.5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 ) ² =0 2x -1 =0 x = 0,5

Pauzë dinamike Në detyrat e shtëpisë, nxënësve të klasës së 8-të iu kërkua të gjenin rrënjët e një trinomi kuadratik (x² - 5x +7) ² - 2 (x² - 5x +7) - 3 Pasi mendoi, Vitya arsyetoi në këtë mënyrë: së pari duhet të hapni kllapat, më pas sillni terma të ngjashëm . Por Styopa tha se ka një mënyrë më të thjeshtë për ta zgjidhur dhe nuk është aspak e nevojshme të hapen kllapat. Ndihmoni Vitën të gjejë një zgjidhje racionale

Pauzë dinamike Problemet e gjetjes së rrënjëve të një trinomi kuadratik dhe të kompozimit të ekuacioneve kuadratike gjenden tashmë në papiruset matematikore egjiptiane të lashta. Rregulli i përgjithshëm për gjetjen e rrënjëve dhe zgjidhjen e ekuacioneve të formës: sëpatë ² + bx = c, ku a > 0, b dhe c janë çdo, u formulua nga Brahmagupta (shekulli VII pas Krishtit). Brahmagupta nuk e dinte ende se një ekuacion kuadratik mund të ketë gjithashtu një rrënjë negative. Bhaskara Acharya (shek. XII) formuloi marrëdhëniet midis koeficientëve të ekuacionit. Krijoi shumë probleme.

Përgjithësim, detyra shtëpie ◊ 1 Zgjidhja e ushtrimeve me parametër: lloje të ndryshme detyrash; ◊ 2 Përmbledhje e temës që studiohet; ◊ 3 Detyrë shtëpie: sipas nivelit. Detyrë shtëpie

Përgjithësim, detyrë shtëpie Gjeni rrënjët e trinomit kuadratik (x-4)² +(4y-12)². Gjeni vlerat e parametrit a për secilën prej të cilëve trinomi kuadratik x²+ 4 x + 2ax+8a+1 ka një zgjidhje. Detyrë shtëpie: f.3; Grupi 1: Nr 45 (c, d), Nr. 49 (c, d); Grupi 2: a) gjeni vlerën e parametrit a në të cilin trinomi katror x²-6x+2ax+4a nuk ka zgjidhje; b) gjeni rrënjët e trinomit kuadratik (2x-6)²+(3y-12)²

burimi i shabllonit Natalia Vladimirovna Chernakova Mësues i kimisë dhe biologjisë, Institucioni Arsimor Shtetëror OJF Rajoni Arkhangelsk "Shkolla Profesionale Nr. 31" "http://pedsovet.su/"

Mësues i kategorisë më të lartë: Minaichenko N.S., gjimnazi nr. 24, Sevastopol

Mësimi në klasën e 8-të: "Trinomi katror dhe rrënjët e tij"

Lloji i mësimit : mësim i njohurive të reja.

Objektivi i mësimit:

organizojnë veprimtaritë e nxënësve për konsolidimin dhe zhvillimin e njohurive për zbërthimin e një trinomi kuadratik në faktorë linearë dhe reduktimin e thyesave;

të zhvillojë aftësi në zbatimin e njohurive për të gjitha metodat e faktorizimit: kllapa, përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe metodave të grupimit për t'u përgatitur për dhënien me sukses të provimit të algjebrës;

krijojnë kushte për zhvillimin e interesit njohës për këtë temë, formimin e të menduarit logjik dhe vetëkontrollit kur përdoret faktorizimi.

Pajisjet: projektor multimedial, ekran, prezantim: “Rrënjët e trinomit katror”, fjalëkryq, test, fletushka.

Konceptet Bazë . Faktorizimi i një trinomi kuadratik.

Veprimtaria e pavarur e nxënësve. Zbatimi i teoremës për faktorizimin e një trinomi kuadratik në zgjidhjen e problemave.

Plani i mësimit

Përgjigjet e pyetjeve të nxënësve

IV. Testi parësor i përvetësimit të njohurive. Reflektimi

Mesazhi i mësuesit.

Mesazhi i studentit

V. Detyrë shtëpie

Shkrimi në tabelë

Koment metodik:

Kjo temë është thelbësore në seksionin "Shndërrime identike të shprehjeve algjebrike". Prandaj, është e rëndësishme që nxënësit të jenë në gjendje automatikisht jo vetëm të shohin formulat e faktorizimit në shembuj, por edhe t'i zbatojnë ato në detyra të tjera: si zgjidhja e ekuacioneve, transformimi i shprehjeve, vërtetimi i identiteteve.

Kjo temë fokusohet në faktorizimin e një trinomi kuadratik:

sëpatë+ bx + c = a(x – x)(x – x),

ku x dhe x – rrënjët e ekuacionit kuadratik ax + bx + c = 0.

Kjo ju lejon të zgjeroni fushën e shikimit të studentit, ta mësoni atë të mendojë në një situatë jo standarde, duke përdorur materialin që studiohet, d.m.th. duke përdorur formulën për faktorizimin e një trinomi kuadratik:

aftësia për të reduktuar thyesat algjebrike;

aftësia për të thjeshtuar shprehjet algjebrike;

aftësia për të zgjidhur ekuacione;

aftësia për të vërtetuar identitetin.

Përmbajtja kryesore e mësimit:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Zvogëloni thyesën:

№3. Thjeshtoni shprehjen:

№4. Zgjidheni ekuacionin:

b)

Ecuria e mësimit:

I. Faza e përditësimit të njohurive.

Motivimi për aktivitete mësimore.

a) nga historia:

b) fjalëkryq:

Ngrohje-stërvit mendjen – fjalëkryq:

Horizontale:

1) Rrënja e shkallës së dytë quhet…. (katror)

2) Vlerat e ndryshores në të cilën ekuacioni bëhet një barazi e vërtetë (rrënjët)

3) Një barazi që përmban një të panjohur quhet... (ekuacion)

4) shkencëtar indian, i cili përcaktoi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike (Brahmagupta)

5) Koeficientët e ekuacionit kuadratik janë... (numrat)

6) Shkencëtari grek i lashtë që shpiku një metodë gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve (Euklidi)

7) Teorema që lidh koeficientët dhe rrënjët e një ekuacioni kuadratik (Vieta)

8) "diskriminues", përcaktimi i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik - ky është ... (diskriminues)

Për më tepër:

Nëse D>0, sa rrënjë? (dy)

Nëse D=0, sa rrënjë? (një)

Nëse D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Tema e mësimit horizontal dhe vertikal: "Trinomi katror"

b) motivimi:

Kjo temë është thelbësore në seksionin "Shndërrime identike të shprehjeve algjebrike". Prandaj, është e rëndësishme që automatikisht të jeni në gjendje jo vetëm të shihni formulat e faktorizimit në shembuj, por edhe t'i zbatoni ato në detyra të tjera: të tilla si zvogëlimi i thyesave, zgjidhja e ekuacioneve, transformimi i shprehjeve, vërtetimi i identiteteve.

Sot do të fokusohemi në faktorizimin e trinomit kuadratik:

II. Mësimi i materialit të ri.

Tema: Trinomi katror dhe rrënjët e tij.

Teoria e përgjithshme e polinomeve të shumë variablave shkon shumë përtej fushëveprimit të kursit shkollor. Prandaj, ne do të kufizohemi në studimin e polinomeve të një ndryshoreje reale, dhe vetëm në rastet më të thjeshta. Le të shqyrtojmë polinomet e një ndryshoreje të reduktuar në formën standarde.

Rrënja e një polinomi është vlera e një ndryshoreje në të cilën vlera e polinomit është e barabartë me zero. Kjo do të thotë që për të gjetur rrënjët e një polinomi, duhet ta barazoni atë me zero, d.m.th. zgjidhin ekuacionin.

Rrënja e një polinomi të shkallës së parë
lehtë për t'u gjetur
. Ekzaminimi:
.

Rrënjët e një trinomi kuadratik mund të gjenden duke zgjidhur ekuacionin:
.

Duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik gjejmë:

;

Nëse Dhe -rrënjët e një trinomi katror
, Ku ≠ 0,

Se .

Dëshmi:

Le të kryejmë transformimet e mëposhtme të trinomit kuadratik:

=
=
=

=
=
=

=
=

Që nga diskriminuesi
, marrim:

=
=

Le të zbatojmë formulën e ndryshimit të katrorëve në kllapa dhe të marrim:

=
=
,

sepse
;
. Teorema është vërtetuar.

Formula që rezulton quhet formulafaktorizimi i një trinomi kuadratik.

III. Formimi i aftësive dhe aftësive.

№1. Faktoroni trinomin kuadratik:

Zgjidhja:

Përgjigje: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Në tabelë:

b) –5x + 6x – 1;

Për më tepër:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Zvogëloni thyesën:

A)

№4. Zgjidheni ekuacionin:

b)

IV. Testi parësor i përvetësimit të njohurive.

A) Test.

Opsioni 1.

1. Gjeni rrënjët e trinomit kuadratik:2x 2 -9x-5

Përgjigje:

2. Cili polinom duhet të zëvendësohet për elipsin në mënyrë që barazia të jetë e vërtetë:

b) Verifikimi i ndërsjellë i opsioneve (përgjigjet dhe parametrat e vlerësimit janë ilustruar).

c) Reflektimi.

V. Detyrë shtëpie.

Praktika e provimeve të matematikës tregon se problemet me parametrat janë më të vështirat, si logjikisht ashtu edhe teknikisht, dhe për këtë arsye aftësia për t'i zgjidhur ato përcakton në masë të madhe kalimin me sukses të një provimi në çdo nivel.

Në problemet me parametrat, së bashku me sasitë e panjohura, shfaqen sasi, vlerat numerike të të cilave, edhe pse nuk tregohen në mënyrë specifike, konsiderohen të njohura dhe të specifikuara në një grup të caktuar numerik. Në këtë rast, parametrat e përfshirë në kusht ndikojnë ndjeshëm në rrjedhën logjike dhe teknike të zgjidhjes dhe formën e përgjigjes. Probleme të tilla mund të gjenden në librin "514 Probleme me Parametrat". Por shumica e tyre mbulojnë një gamë të ngushtë çështjesh, duke e vënë theksin kryesor në recetë, sesa në logjikën e zgjidhjes së problemeve. Përveç kësaj, librat më të suksesshëm janë bërë prej kohësh një gjë e rrallë bibliografike. Në fund të punës ka një listë librash, artikuj nga të cilët ndihmuan në përpilimin e një klasifikimi të deklaratave mbi temën e veprës. Më domethënësi është manuali i A. Kh. Ekuacionet dhe pabarazitë me parametra.

Qëllimi kryesor i kësaj pune është të plotësojë disa boshllëqe thelbësore në kursin bazë të algjebrës dhe të përcaktojë faktet e përdorimit të vetive të një funksioni kuadratik, i cili mund të thjeshtojë ndjeshëm zgjidhjen e problemeve që lidhen me vendndodhjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik me respektimi i disa pikave karakteristike.

Objektivat e punës:

Përcaktoni rastet e mundshme të vendndodhjes së rrënjëve të një trinomi katror në vijën numerike;

Identifikoni algoritmet që lejojnë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me një parametër të bazuar në vendndodhjen e rrënjëve të një trinomi kuadratik në vijën numerike;

Mësoni të zgjidhni probleme me kompleksitet më të lartë se niveli i kërkuar; zotëroni një sërë aftësish matematikore teknike dhe intelektuale në nivelin e përdorimit të lirë të tyre; të përmirësojë kulturën matematikore si pjesë e kursit të matematikës në shkollë.

Objekti i studimit: vendndodhja e rrënjëve të një trinomi katror në një vijë koordinative.

Lënda e kërkimit: ekuacionet kuadratike me një parametër.

Metodat e hulumtimit. Metodat kryesore të studimit të problemeve me një parametër: analitike, grafike dhe të kombinuara (funksionale - grafike). Analitike është një metodë e të ashtuquajturës zgjidhje të drejtpërdrejtë, duke përsëritur procedurat standarde për gjetjen e përgjigjes në problemet pa parametër. Grafika është një metodë që përdor grafikët në planin koordinativ (x; y). Qartësia e metodës grafike ndihmon për të gjetur një mënyrë të shpejtë për të zgjidhur një problem. Nga këto dy metoda, kjo e fundit nuk është vetëm elegante, por edhe më e rëndësishmja, pasi tregon marrëdhënien midis të gjitha llojeve të modeleve matematikore: një përshkrim verbal i problemit, një model gjeometrik - një grafik i një trinomi kuadratik, një analitik. model - një përshkrim i një modeli gjeometrik nga një sistem pabarazish i përpiluar në bazë të pohimeve matematikore të identifikuara nga grafiku i një funksioni kuadratik.

Në shumë raste, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me një parametër çon në transformime të rënda. Hipoteza: përdorimi i vetive të një funksioni kuadratik do të thjeshtojë ndjeshëm zgjidhjen, duke e reduktuar atë në zgjidhjen e pabarazive racionale.

Pjesa kryesore. Vendndodhja e rrënjëve të një trinomi kuadratik në vijën koordinative

Le të shqyrtojmë disa pohime që lidhen me vendndodhjen e rrënjëve të trinomit katror f(x)=ax2+bx+c në drejtëzën numerike në lidhje me pikat m dhe n të tillë që m

x1 dhe x2 janë rrënjët e trinomit kuadratik,

D=b2-4ac- diskriminues i një trinomi katror, ​​D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 - numrat e dhënë.

Të gjitha argumentet konsiderohen për a>0, rasti për a

Deklarata një

Në mënyrë që numri m të vendoset midis rrënjëve të trinomit katror (x1

Dëshmi.

me kusht x1

Interpretimi gjeometrik

Le të jenë x1 dhe x2 rrënjët e ekuacionit. Për një > 0 f(x)

Detyra 1. Për cilat vlera të k ekuacioni x2-(2k+1)x + 3k-4=0 ka dy rrënjë, njëra prej të cilave është më e vogël se 2 dhe tjetra është më e madhe se 2?

Zgjidhje. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

Për k>-2, ekuacioni x2-(2k+1)x + 3k-4=0 ka dy rrënjë, njëra prej të cilave është më e vogël se 2 dhe tjetra është më e madhe se 2.

Përgjigje: k>-2.

Detyra 2. Për cilat vlera të k-së ekuacioni kx2+(3k-2)x + k-3=0 ka rrënjë të shenjave të ndryshme?

Ky problem mund të formulohet si më poshtë: për cilat vlera të k-së numri 0 shtrihet midis rrënjëve të këtij ekuacioni.

Zgjidhje (1 mënyrë) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

Metoda 2 (duke përdorur teoremën e Vietës). Nëse një ekuacion kuadratik ka rrënjë (D>0) dhe c/a

Detyra 3. Për cilat vlera të k ekuacioni (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 ka dy rrënjë, njëra prej të cilave është më e vogël se k dhe tjetra është më e madhe se k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Duke zëvendësuar vlerat e k nga grupi i gjetur, sigurohemi që për këto vlera të k D>0.

Deklarata dy (a)

Në mënyrë që rrënjët e një trinomi katror të jenë më të vogla se numri m (x1

Vërtetim: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

Problemi 4. Në cilat vlera të parametrit rrënjët e ekuacionit x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 janë më të vogla se -1?

D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- çdo; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Deklarata dy (b)

Në mënyrë që rrënjët e një trinomi katror të jenë më të mëdha se numri m (m

D ≥0; x0>m; af(m)>0.

Nëse kushti m m. Meqenëse m nuk i përket intervalit (x1; x2), atëherë f(m) > O për a > 0 dhe f(m)

Anasjelltas, le të plotësohet sistemi i pabarazive. Kushti D > 0 nënkupton ekzistencën e rrënjëve x1 dhe x2 (x1 m.

Mbetet të tregojmë se x1 > m. Nëse D = 0, atëherë x1 = x2 > m. Nëse D > 0, atëherë f(x0) = -D/4a dhe af(x0) 0, pra, në pikat x0 dhe m funksioni merr vlerat e shenjave të kundërta dhe x1 i përket intervalit (m; x0).

Detyra 5. Për cilat vlera të parametrit m rrënjët e ekuacionit x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) janë më të mëdha se 1? b) më pak se -1?

Zgjidhje a) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0; m - çdo m>1/3; m>1/3;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Përgjigje: m>3/2.

b) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - çdo x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

Problemi 6. Në cilat vlera të parametrit rrënjët e ekuacionit kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 janë më të mëdha se 1?

Zgjidhje. Natyrisht, problemi është i barabartë me sa vijon: për cilat vlera të parametrit m rrënjët e një trinomi kuadratik janë më të mëdha se 1?

D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

Pasi kemi zgjidhur këtë sistem, ne e gjejmë atë

Deklarata tre

Në mënyrë që rrënjët e një trinomi katror të jenë më të mëdha se numri m dhe më të vogla se n (m

D ≥0; m 0 af(n)>0.

Le të vërejmë veçoritë karakteristike të grafikut.

1) Ekuacioni ka rrënjë, që do të thotë D > 0.

2) Boshti i simetrisë ndodhet midis drejtëzave x = m dhe x = n, që do të thotë m

3) Në pikat x = m dhe x = n, grafiku ndodhet mbi boshtin OX, prandaj f(m) > 0 dhe f(n) > 0 (në m

Kushtet e listuara më sipër (1; 2; 3) janë të nevojshme dhe të mjaftueshme për vlerat e dëshiruara të parametrave.

Detyra 7. Për çfarë m x2-2mx+m2-2m+5=0 numrat nuk e kalojnë 4 në vlerë absolute?

Zgjidhje. Kushti i problemës mund të formulohet si më poshtë: për çfarë m bën relacioni -4

Ne gjejmë vlerat e m nga sistemi

D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;

4 ≤ x0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; zgjidhja e të cilit është segmenti . Përgjigje: m.

Problemi 8. Për cilat vlera të m janë rrënjët e trinomit kuadratik

(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 është më i madh se -1, por më i vogël se 0?

Zgjidhje. Vlerat e m mund të gjenden nga sistemi

D≥0; (m+1)2-4 (2m-2) ≥ 0;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2) (2m -2 -m -1 +1) > 0;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Përgjigje: m> 2.

Deklarata katër(at)

Në mënyrë që rrënja më e vogël e trinomit katror t'i përkasë intervalit (m;n), dhe ajo më e madhe të mos i përkasë (m

D ≥0; af(m)>0 af(n)

Grafiku i një trinomi kuadratik e pret boshtin OX saktësisht një herë në intervalin (m; n). Kjo do të thotë se në pikat x=m dhe x=n trinomi katror merr vlera të shenjave të ndryshme.

Problemi 10. Për cilat vlera të parametrit a i përket vetëm rrënja më e vogël e ekuacionit kuadratik x2+2ax+a=0 intervalit X(0;3).

Zgjidhje. Konsideroni trinomin kuadratik y(x) = x2-2ax+a. Grafiku është një parabolë. Degët e parabolës janë të drejtuara lart. Le të jetë x1 rrënja e vogël e trinomit katror. Sipas kushteve të problemës, x1 i përket intervalit (0;3). Le të përshkruajmë një model gjeometrik të problemit që plotëson kushtet e problemit.

Le të kalojmë në sistemin e pabarazive.

1) Vërejmë se y(0)>0 dhe y(3) 0. Prandaj, ky kusht nuk ka nevojë të shkruhet në sistemin e pabarazive.

Pra, marrim sistemin e mëposhtëm të pabarazive:

Përgjigje: a>1.8.

Deklarata katër (b)

Në mënyrë që rrënja më e madhe e trinomit katror t'i përkasë intervalit (m; n), dhe rrënja më e vogël të mos i përkasë (x1

D ≥0; af(m) 0.

Deklarata katër (e kombinuar)

Komentoni. Le të formulohet problemi si më poshtë: për cilat vlera të parametrit njëra rrënjë e ekuacionit i përket intervalit (b;m), dhe tjetra jo? Për të zgjidhur këtë problem nuk ka nevojë të bëjmë dallimin midis dy nënkasteve, përgjigjen e gjejmë nga pabarazia f(m) f(n)

D ≥0; f(m) f(n)

Detyra 11. Për çfarë m plotëson kushtin 2 vetëm një rrënjë e ekuacionit x2-mх+6=0

Zgjidhje. Bazuar në pohimin 4(b), gjejmë vlerën e m nga kushti f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, d.m.th. për m = ±2√6, Për m = -2√6 x = - √6, që nuk i përket intervalit (2; 5), me m = 2√6 x =√6, që i përket intervalit (2; 5).

Përgjigje: m (2√6) U (5; 31/5).

Deklarata e pestë

Në mënyrë që rrënjët e një trinomi kuadratik të plotësojnë relacionin (x1

D ≥0; af(m)Problemi 12. Gjeni të gjitha vlerat e m për të cilat pabarazia x2+2(m-3)x + m2-6m

Zgjidhje. Sipas kushtit, intervali (0; 2) duhet të përmbahet në grupin e zgjidhjeve të pabarazisë x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m Bazuar në deklaratën 5, gjejmë vlerat e m nga sistemi i pabarazive f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], prej nga m.

Përgjigje: m.

Deklarata e gjashtë

Në mënyrë që rrënja më e vogël e trinomit katror t'i përkasë intervalit (m1; m2), dhe rrënja më e madhe t'i përkasë intervalit (n1; n2) (m2

D ≥0; af(m1)>0; af(m2) Ky pohim është një kombinim i pohimeve 4a dhe 4b. Dy pabarazitë e para garantojnë se x1(m1, n1), dhe dy pabarazitë e fundit garantojnë se x2(m2, n2),

Detyra 13. Në cilën m ndodhet njëra nga rrënjët e ekuacionit x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 midis numrave 1 dhe 3, dhe e dyta - midis numrave 4 dhe 6?

Zgjidhje. 1 mënyrë. Duke marrë parasysh se a = 1, vlerat e m mund të gjenden nga sistemi f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4 (4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), prej nga m(2; 4).

Përgjigje: m(2; 4).

Kështu, ne kemi vendosur pohime në lidhje me vendndodhjen e rrënjëve të trinomit katror f(x)=ax2+bx+ në drejtëzën numerike në lidhje me pika të caktuara.

konkluzioni

Gjatë punës sime, zotërova një sërë aftësish tekniko-matematikore në nivelin e përdorimit të lirë dhe përmirësova kulturën time matematikore si pjesë e kursit të matematikës shkollore.

Si rezultat i punës, u arrit qëllimi i vendosur: u vendosën vetitë e funksionit kuadratik, të cilat bëjnë të mundur thjeshtimin e ndjeshëm të zgjidhjes së problemeve që lidhen me vendndodhjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik në lidhje me pika të caktuara karakteristike. Përcaktohen rastet e mundshme të vendndodhjes së rrënjëve të një trinomi katror në vijën numerike. Janë identifikuar algoritme që lejojnë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me një parametër të bazuar në vendndodhjen e rrënjëve të një trinomi kuadratik në vijën numerike; u zgjidhën detyra me kompleksitet më të lartë se niveli i kërkuar. Vepra paraqet zgjidhje vetëm për 12 probleme për shkak të numrit të kufizuar të faqeve të veprës. Natyrisht, problemet e diskutuara në vepër mund të zgjidhen në mënyra të tjera: duke përdorur formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, duke përdorur vetinë e rrënjëve (teorema e Vietës).

Në fakt, një numër i konsiderueshëm problemesh u zgjidhën. Prandaj, u vendos që të krijohej një koleksion problemesh me temën e punës së projektimit dhe kërkimit "Zgjitësi i problemeve për zbatimin e vetive të një trinomi katror që lidhet me vendndodhjen e rrënjëve të tij në vijën koordinative". Për më tepër, rezultati i punës (produkt i punës së projektimit dhe kërkimit) është një prezantim kompjuterik që mund të përdoret në klasat e lëndës zgjedhore "Zgjidhja e problemeve me parametrat".