Zgjidhja e ekuacioneve modulare. Mësimi jashtëshkollor - Teorema e Vietës

Le të kalojmë menjëherë në shqyrtimin e sistemit të basteve, kur opsioni i vetëm i saktë për rezultatin e lojës në vend të dy do të jetë tre, si p.sh.
X - barazim;
W1 - fitorja e ekipit të parë;
W2 - fitorja e ekipit të dytë.

Siç mund ta keni marrë me mend, aplikimi kryesor i kësaj strategjie janë bastet në futboll. Këtu janë disa shembuj të sistemit të basteve 1-X-2, me të cilin mund të shmangni humbjen e basteve tuaja nëse nuk arrini të merrni me mend rezultatin e ndeshjeve.

Shembulli një. Le të themi se ka disa ndeshje të mira, me shanse të mira nga 1.75 në 2.1, në shumicën e rezultateve të të gjitha ndeshjeve për të cilat do të jeni të sigurt. Duke vënë baste në disa ndeshje të tilla, ekziston rreziku që të paktën një nga ekipet e futbollit të barazojë dhe në fund të humbni gjithçka.

Por për të shmangur këtë, ju duhet vetëm të përdorni sistemin e basteve 1-X-2, sigurisht që fitimet do të jenë më pak, por edhe nëse një nga ekipet e përzgjedhura nuk e luan bastin tuaj, ju do të mund të fitoni përsëri. paratë që keni vënë bast. Por, si rregull, kjo nuk është shumë interesante, pasi mund të merrni parasysh të gjitha barazimet e mundshme në ndeshje dhe të jeni në një avantazh shumë të mirë.

Le të themi se janë tre ndeshje futbolli, me koeficientë që variojnë nga 1.8 në 2.0, ku mendoni se ekipi i parë duhet të fitojë. Atëherë do t'ju duhet të vendosni baste në 4 baste ekspres (Fig. 1):

Fig. 1 - Shembull i një basti

Le të themi për të gjitha bastet, në total, kemi shpenzuar vetëm 400 dollarë, rreth 10 për çdo bast ekspres. Pasi të gjitha ekipet fitojnë, ne llogarisim fitimin sipas parimit të mëposhtëm: 1.8 * 1.8 * 1.8 * 100 USD. = 580,30 dollarë, por në një situatë ku një nga lojërat përfundon në barazim, atëherë llogarisim sipas skemës 1,8*1,8*2,7*100 c.u. = 870 USD Jo një fitore e keqe, do të jeni dakord?

Por gjithmonë ka rreziqe dhe nuk duhet të harroni se nëse bastet tuaja nuk funksionojnë ose ka më shumë se një barazim, atëherë do të humbni paratë tuaja. Duhet gjithashtu të theksohet se ju mund ta modifikoni këtë sistem, i cili nga ana tjetër do të rrisë shanset për të fituar bastet tuaja. Le të shqyrtojmë një shembull të vogël, i cili jepet pak më poshtë, duke marrë parasysh mundësitë e fitores për ekipin e dytë, por vetëm për një çift futbolli. Në këtë rast, grupi i mëposhtëm do të jetë shumë i rëndësishëm (Fig. 2):

Fig. 2 - Shembull i një basti

Kështu, në të pesë bastet ekspres që kemi dorëzuar, shanset thjesht duhet të jenë të paktën 5.

Sistemi i basteve është 1-X-2, opsioni dy. Pjesërisht, ai i ngjan sistemit të parë një sërë veçorish të këtij opsioni; këtë sistem do t'ju lejojë të ndani në mënyrë shumë efektive të gjitha bastet, përkatësisht në ekipet që luajnë më mirë në rrugë. Le të themi se janë tre ekipe gjithsej që luajnë më mirë se pjesa tjetër në rrugë, domethënë, ne do të vendosim baste në këtë mënyrë (Fig. 3):

Fig. 3 - Shembull i një basti

barazim - "X"
fitorja e ekipit mysafir - "2"

Nëse marrim parasysh se të gjithë koeficientët për ekipet janë, si rregull, shumë të larta, atëherë arritja e përfitimit të sistemit për çdo bast ekspres nuk do të jetë e vështirë.

Duhet të theksohet gjithashtu se në praktikë ky sistem përdoret shumë shpesh në mënyrë specifike për ndeshjet me shanse të mëdha, pasi sistemi i parë që përshkruam na lejon të marrim rezultate të mira.

Por vlen të përmendet se efektiviteti i vetë sistemit është shumë shpesh në pikëpyetje, pasi duke vendosur tre ndeshje bastesh të vetme, mund të merrni jo keq, por ndoshta shumë rezultat i mirë se bastet ekspres duke përdorur të parin nga sistemet e mësipërme.

Por sistemi i dytë, si të thuash, është më efektiv për vendosjen e basteve drejtpërdrejt në skuadrat që humbin më rrallë në rrugë se të tjerët. Por, si rregull, këtu do të jetë njësoj si në sistemin e parë, shpesh do të ketë raste kur do të jetë shumë më fitimprurëse për ju të vini bast të gjithë shumën në një bast ekspres në vend që të luani sipas sistemit të dytë.

Kjo është arsyeja pse efektiviteti i kësaj strategjie të basteve 1-X-2 duhet të llogaritet për çdo bast specifik që keni.

Shuma e rrënjëve të dhënë ekuacioni kuadratik e barabartë me koeficientin e dytë c shenjë e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me anëtar i lirë.

(Kujtojmë: një ekuacion kuadratik i reduktuar është një ekuacion ku koeficienti i parë është 1).

Shpjegim:

Le të barazimin kuadratik sëpatë 2 +bx +c= 0 ka rrënjë X 1 dhe X 2. Pastaj, sipas teoremës së Vieta:

Shembulli 1:

Ekuacioni i dhënë x 2 – 7x + 10 = 0 ka rrënjët 2 dhe 5.

Shuma e rrënjëve është 7 dhe prodhimi është 10.

Dhe në ekuacionin tonë koeficienti i dytë është -7, dhe termi i lirë është 10.

Kështu, shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

Shumë shpesh ka ekuacione kuadratike që mund të llogariten lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta - për më tepër, me ndihmën e saj është më e lehtë për t'i llogaritur ato. Kjo është e lehtë për t'u verifikuar si në shembullin e mëparshëm ashtu edhe në shembullin tjetër.

Shembulli 2. Zgjidhja e ekuacionit kuadratik X 2 – 2X – 24 = 0.

Zgjidhje .

Zbatojmë teoremën e Vietës dhe shkruajmë dy identitete:

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

I zgjedhim faktorët për –24 në mënyrë që shuma e tyre të jetë e barabartë me 2. Pas një mendimi, gjejmë: 6 dhe –4. Le të kontrollojmë:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Siç e keni vënë re, në praktikë, thelbi i teoremës së Vietës është të zbërthejë termin e lirë në ekuacionin e dhënë kuadratik në faktorë, shuma e të cilëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt.

Këta faktorë do të jenë rrënjët.

Kjo do të thotë se rrënjët e ekuacionit tonë kuadratik janë 6 dhe –4. X 1 = 6, X 2 = –4.

Përgjigje:

Shembulli 3. Le të zgjidhim ekuacionin kuadratik 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Zgjidhje .

Këtu nuk kemi të bëjmë me një ekuacion kuadratik të reduktuar. Por ekuacione të tilla gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur teoremën e Vieta-s nëse koeficientët e tyre janë të balancuar - për shembull, nëse shuma e koeficientit të parë dhe të tretë është e barabartë me të dytin me shenjën e kundërt.

3 + (–5) = –2.

Koeficientët e ekuacionit janë të balancuar: shuma e termave të parë dhe të tretë është e barabartë me të dytin me shenjën e kundërt:

Në përputhje me teoremën e Vietës
x 1 + x 2 = –2/3

x 1 x 2 = –5/3.

Duhet të gjejmë dy numra, shuma e të cilëve është –2/3 dhe prodhimi –5/3. Këta numra do të jenë rrënjët e ekuacionit.
Numri i parë merret me mend menjëherë: është 1. Në fund të fundit, kur x = 1, ekuacioni kthehet në mbledhjen dhe zbritjen më të thjeshtë:
3 + 2 – 5 = 0. Si të gjejmë rrënjën e dytë? Le të paraqesim 1 si 3/3 në mënyrë që të gjithë numrat të kenë i njëjti emërues : Është më e lehtë kështu. Dhe ata pyesin menjëherë veprime të mëtejshme

. Nëse x 1 = 3/3, atëherë:

3/3 + x 2 = –2/3.

Le të zgjidhim një ekuacion të thjeshtë:

x 2 = –2/3 – 3/3.

Përgjigje: x 1 = 1; x 2 = –5/3 Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 2 – 6Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 – 1 = 0.

x

Zgjidhja: X Një rrënjë zbulohet menjëherë - ju bie në sy:

1 = 1 (sepse aritmetika e thjeshtë rezulton: 7 – 6 – 1 = 0).
7 + (– 1) = 6.

Koeficientët e ekuacionit janë të balancuar: shuma e të parit dhe të tretës është e barabartë me të dytin me shenjën e kundërt: Në përputhje me teoremën e Vietës, ne formojmë dy identitete (megjithëse në në këtë rast

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

mjafton një prej tyre):

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Zëvendësoni vlerën x 1 në cilëndo nga këto dy shprehje dhe gjeni x 2: X 1 = 1; X 2 = –1/7

Përgjigje:

Diskriminues i ekuacionit kuadratik të reduktuar. Diskriminuesi i ekuacionit kuadratik të reduktuar mund të llogaritet si formulë e përgjithshme

, dhe në mënyrë të thjeshtuar:Në

D = 0, rrënjët e ekuacionit të mësipërm mund të llogariten duke përdorur formulën:< 0, то уравнение не имеет корней.

Nëse D

Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.

Nëse D > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë. (Bast 1x2bast për rezultatinkokë-të- kokë) është një nga bastet bazë në bastebërësit. Nuk ka nevojë të llogaritni pikët e pritura, të numëroni këndet, kush do të shënojë i pari, etj. Mjafton vetëm të sigurohemi nëse skuadra e parë do të fitojë, e dyta apo do të ketë një barazim.

Ky bast mund të vendoset si në modalitetin live ashtu edhe në periudhën para ndeshjes. Më shpesh është e rëndësishme për futboll dhe hokej, por është e mundur edhe në sporte të tjera. Vlen të thuhet se bast kokë më kokë në interpretimin e tij tipik jo tipike për tenis, volejboll, bejsboll dhe sporte të tjera, ku vetëm një person/skuadër mund të fitojë (në fund të fundit, nuk ka X). Në këtë rast, përdoret një bast i vetëm.

Gjithashtu, baste të këtij lloji mund të bëhen ose për rezultatin përfundimtar të ndeshjes (fitorja e ekipit në fund të lojës) ose për rezultatin e lojës në pjesën e parë (për shembull, fitorja e Liverpool-it në pikë pas 45 minutash luaj).

Në fakt, një bast mbi rezultatin parashikon rezultatin përfundimtar të ndeshjes. Dhe 1X2 quhet ndonjëherë për shkak të shkurtesës: 1 në këtë rast është një fitore për nikoqirët, X është një barazim dhe 2 është një fitore për mysafirët (disa njerëzve u pëlqen shkurtesa Homes-Draw-Guests).

Një nga disavantazhet e këtij lloji të bastit është se ndonjëherë ka një gamë të gjerë midis shansetave. Pra, shanset për favoritin e ndeshjes mund të jenë 1.0, ndërsa anën e kundërt 12 e lart.

Fitimet e një basti kokë më kokë llogariten duke shumëzuar shumën e bastit me shanset në momentin e vendosjes së bastit. Prandaj, nëse të ftuarit fitojnë me shanse 10 dhe shuma e bastit është 1000 rubla. fitimi juaj do të jetë 10,000 rubla.

Ende e paqartë se çfarë do të thotë 1x2 në bast? Le të japim një shembull. Le të marrim ndeshjen Rusi-Gjermani. Le të shënojmë Rusinë me numrin 1, Gjermaninë me numrin 2. Le të marrim një barazim si një X të kushtëzuar. Shanset e basteshkruesit për një fitore për Rusinë (5.3), Gjermaninë (1.9), për një barazim (2.4). Basti juaj për fitoren e Rusisë është 500 rubla. Nëse basti (1) fiton, ju do të merrni 500x5.3=2650 rubla në llogarinë tuaj. Nëse fitoni (2) ose X, nuk do të merrni asgjë dhe do të humbni shumën e bastit tuaj.

Më sipër është një shembull i shfaqjes së një basti në një bastvënës.

Një nga modifikimet e bastit me tre drejtime janë bastet "Shans i dyfishtë", të cilat ulin shkallën e rrezikut dhe rrisin përqindjen e fitores. Ka opsione 1X, 2X dhe 12. Çfarë kuptimi kanë këto emërtime? Le të marrim të njëjtën ndeshje Rusi - Gjermani. Një bast 1X do të thotë që ju jeni duke vënë bast për fitoren e ekipit të parë (Rusi) ose për një barazim në ndeshjen (X).

Prandaj, nëse rezultati është 1:1, ju do të fitoni bastin. 2X tregon preferencën tuaj për Gjermaninë ose një barazim. Epo, basti 12 tregon një fitore për Rusinë ose Gjermaninë nëse ka një barazim, basti do të humbasë. Disavantazhet e basteve në këtë lloj janë të dukshme: duke qenë se në fakt ju po parashikoni jo 1 ngjarje, por 2 ngjarje të mundshme, basteshkruesit ulin shanset. Kështu, për shembull, nëse shanset që Rusia të fitojë janë 5.3, nëse vendosni të shtoni një barazim 1X, shanset me siguri do të bien në 3.2 ose më të ulëta.

Shpresoj se ju kemi ndihmuar të kuptoni çështjen e vlerës së bastit 1X2. Guxoni dhe jini fitues.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit akh 3 +bx 2 +cx+d=0:

1. Gjeni me përzgjedhje rrënjën e ekuacionit (ndër pjesëtuesit e termit të lirë);

2. Ndani polinomin ah 3 + bx 2 + cx + d në x-x 1 , ku x 1 - rrënja e ekuacionit ah 3 + bx 2 + cx + d =0;

3. Barazoni herësin me zero dhe zgjidhni ekuacionin që rezulton;

4. Shkruani përgjigjen.

Zgjidheni ekuacionin -6x 3 -x 2 +5x+2=0

1. Gjeni pjesëtuesit e anëtarit të lirë: ±1,±2,±3,±6.

2. x=1 është rrënja e ekuacionit.

3. Pjestojeni polinomin -6x 3 -x 2 +5x+2 me binomin

x-1 (nga përfundimi 1 i teoremës së Bezout).

3. Zgjidhe ekuacionin: -6x 2 -7x-2=0,

6x 2 -7x-2+0, x 1 = -, x 2 = -.

4. Përgjigju. x=1, x = -, x = -.

Kjo metodë e zgjidhjes së ekuacioneve është universale. Mund të përdoret për të zgjidhur ekuacionet katër, pesë, etj. gradë, duke i ulur gradualisht ato në shkallën e dytë.

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

1. Ndër pjesëtuesit e termit të lirë gjejmë rrënjët e ekuacionit. Këto janë 2 dhe -5.

2. Nga përfundimi 1 nga teorema e Bezout, polinomi x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 pjesëtohet me x-2 dhe x+5, dhe për këtë arsye pjesëtohet me (x-2)(x+5)= x 2 + 3x-10.

3. Të ndajmë polinomet: x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 me x 2 +3x-10.

4.Zgjidhni ekuacionin x 2 -3=0, x 1.2 =
.

Përgjigju. x =
, x = -, x = -5, x = 2.

Zgjidheni ekuacionin 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4=0.

1. Ndër pjesëtuesit e termit të lirë gjejmë rrënjët e ekuacionit. Këto janë 1, -1, 2 dhe -2

2. Nga përfundimi 1 nga teorema e Bezout, polinomi 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 pjesëtohet me x-1, x+1, x-2 dhe x+2, dhe për këtë arsye pjesëtohet me (x- 1)(x+1)(x-2)(x+2)=

(x 2 -1) (x 2 -4) = x 4 -5x 2 +4.

3. Të ndajmë polinomet: 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 me x 4 -5x 2 +4.

4. Zgjidh barazimin 3x+1 =0, x=-.

5. Përgjigju. x=-2, x=-1, x=-, x=1, x=2.

Zgjidhe ekuacionin

(2x 2 -1) 2 +x(2x-1) 2 =(x+1) 2 +16x 2 -6

Le t'i zhvendosim të gjithë anëtarët në anën e majtë, hapni kllapat dhe paraqisni terma të ngjashëm.

4x 4 -4x 2 +1+4x 3 -4x 2 +x-x 2 -2x-1-16x 2 +6+0, 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6=0.(1)

Pjesëtuesit e anëtarit të lirë: ±1;±2;±3;±6. Nëse ekuacioni ka rrënjë të plota, atëherë ky është një nga pjesëtuesit. Zëvendësimi tregoi se kjo është 2. Sipas teoremës së Bezout, polinomi 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6 është i pjesëtueshëm me x-2 pa mbetje. Në herësin marrim: 4x 3 +12x 2 –x – 3.

Ekuacionin (1) e rishkruajmë në formën: (x-2)(4x 3 +12x 2 –x – 3)=0.

Të zgjidhim ekuacionin 4x 3 +12x 2 –x – 3=0. -3 është rrënja e këtij ekuacioni, pasi kur zëvendësohet me x, ekuacioni kthehet në një barazi numerike të saktë. Pjesëtojmë polinomin 4x 3 +12x 2 –x – 3 me x+3, marrim 4x 2 -1. Ekuacioni kuadratik 4x 2 -1=0 ka rrënjë x= ±.

Përgjigju. x = 2, x = -3, x = ±.

Nëse nuk ka rrënjë të ekuacionit midis pjesëtuesve të termit të lirë, atëherë përdorni marrëdhënien midis koeficientëve dhe rrënjëve të ekuacionit.

Nëse rrënja e ekuacionit a 0 X n + a 1 Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 n -1 + a 2 Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 n -2 ...+ a n -1 Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7+ a n =0, atëherëmështë pjesëtuesi i termit të lirë, dhe c është pjesëtuesi i koeficientit kryesor.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla:

1. Gjeni pjesëtuesit e pjesës së lirë dhe të koeficientit prijës;

2. Të hartojë thyesa të ndryshme, kumjanë pjesëtues të termit të lirë dhe c janë pjesëtues të koeficientit kryesor;

3. Duke përdorur zëvendësimin, përcaktoni se cila thyesë është rrënja e ekuacionit;

4. Pjesëtoj një polinom me një polinom;

5.Zgjidhni ekuacionin duke e barazuar herësin me zero;

6. Shkruani përgjigjen.

Zgjidheni ekuacionin 6x 3 -3x 2 -5x - 1=0.

1. Pjesëtuesit e termit të lirë: ±1. Këta numra nuk janë rrënjët e ekuacionit. Gjejmë pjesëtuesit e koeficientit prijës: ±1, ±2, ±3, ±6.

2. Le të bëjmë thyesa të ndryshme:

3. - është rrënja e ekuacionit.

2. Nga përfundimi 1 nga teorema e Bezout, polinomi 6x 3 -3x 2 -5x – 1 pjesëtohet me x+.

3. Të ndajmë polinomet:

4. Zgjidhe ekuacionin 6x 2 -6x-2=0, 3x 2 -3x-1=0, D = 21, x 1.2 =
,

5. Përgjigju. x 1,2 =, x = -.

Pjestimi i një polinomi me një polinom
mund të bëhet në një mënyrë tjetër.

Le =
∙(x- a)+ R .

Le Për të gjetur koeficientët e një polinomi dhe numrin
, hapni kllapat në anën e djathtë të barazimeve: dhe barazoni koeficientët në të njëjtat gradë majtas dhe djathtas. Ne arrijmë
.[ 4]

.

Nga kjo rrjedh se kur Koeficientët e polinomit dhe pjesës së mbetur llogariten duke përdorur tabelën e mëposhtme:.

Shembulli 1.

Kjo tabelë quhet

Skema e Hornerit

Ndani 2x 3 -3x+5 me x-4.

Le të përdorim skemën e Hornerit për të llogaritur koeficientin e koeficientit dhe të mbetjes. Prandaj, Skema e Hornerit jep

3.2 metodë e përgjithshme

faktorizimi i çdo polinomi.

Polinomi në anën e majtë të ekuacionit paraqitet si produkt i dy polinomeve me koeficientë të panjohur:

1.Për ekuacion kub: x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, x 3 +bx 2 +cx+d=(x 2 +рх+g)(x+t)=x 3 +x 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

Meqenëse polinomet janë të barabartë, atëherë koeficientët për shkallë të barabarta janë të barabartë. Ne marrim një sistem ekuacionesh:

2. Për një ekuacion të shkallës së katërt: x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0

x 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Meqenëse polinomet janë të barabartë, koeficientët për të njëjtat fuqi janë të barabartë. Ne marrim një sistem ekuacionesh:
Duke zgjidhur sistemin gjejmë koeficientët e panjohur.

Zgjidheni ekuacionin x 4 -2x 2 - 8x - 3=0.

Le të imagjinojmë polinomin x 4 -2x 2 - 8x -3 si prodhim të dy trinomeve me koeficientë të panjohur: x 4 -2x 2 - 8x -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Ne marrim një sistem ekuacionesh:
Nga ekuacioni nt=-3 rezulton se duhet të marrim parasysh rastet e mëposhtme: 1 .n=3,t=-1; 2. n=-3,t=1; 3. n=1,t=-3; 4 . n=-1,t=3.

Duke i zëvendësuar këto çifte në ekuacionet e mbetura të sistemit, marrim se me n=3,t=-1 x 4 -2x 2 - 8x -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1) =0. Le të zgjidhim ekuacionet x 2 +2x+3=0 dhe x 2 -2x-1=0. Diskriminuesi i ekuacionit të parë është negativ, që do të thotë se nuk ka rrënjë reale. Diskriminuesi i ekuacionit të dytë është 8, x 1.2 =1±
.

Përgjigju. x 1,2 =1±.

3.4. Për të zgjidhur ekuacionet bikuadratike dhe ekuacionet që reduktohen në ekuacione kuadratike, shpesh përdoret metoda e futjes së ndryshoreve të reja. Mund të përdoret gjithashtu për ekuacione gradat më të larta.

Zgjidheni ekuacionin x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0.

Meqenëse x=0 nuk është një rrënjë e ekuacionit, të dy anët e ekuacionit mund të ndahen me x2 pa humbur rrënjët. Ne marrim ekuacionin

x 2 +2x-22++ =0, le të grupojmë termat

(x 2 +)+2(x+)-22=0.

Le të bëjmë ndryshimin x +=t, pastaj (x +) 2 =t 2.

x 2 +2+= t 2, x 2 += t 2 -2 Ekuacioni fillestar reduktohet në ekuacionin t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =-. 6, t 2 =4 Le të kthehemi te ndryshorja origjinale: 1). x +=-6, 2). x +=4.
Le të zgjidhim çdo ekuacion. 1). x +=-6, x 2 +6x+1=0, D=32, x 1.2 =

Përgjigju., x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

Ekuacioni i formës:

Shembulli 1.

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = E;

Zgjidhet ekuacioni (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40.

Le të grupojmë faktorët ((x+1)(x+5))∙((x+4)(x+2))=40, të kryejmë shumëzimin në kllapa (x 2 +6x+5)(x 2 +6x +8) =40, Zbato zëvendësimin: x 2 +6x=t, pastaj (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0 , t 2 ( t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 nuk ka rrënjë reale.

Përgjigju. x=0, x= -6.

Shembulli 1.

Zgjidhe ekuacionin

(x 2 -3x+ 1)(x 2 +3x+2)(x 2 -9x+20)=-30.

Le të faktorizojmë trinomin e dytë dhe të tretë për ta bërë këtë, të gjejmë rrënjët e polinomeve duke zgjidhur tre ekuacione;

x 2 +3x+2=0, x 1 = -1, x 2 = -2.

x 2 -9x+20=0, x 1 = 4, x 2 = 5. Marrim ekuacionin

(x 2 -3x+ 1)(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=-30,

(x 2 -3x+ 1)((x+1)∙(x-4))((x+2)∙(x -_5))=-30,

(x 2 -3x+ 1)(x 2 -3x-4)(x 2 -3x-10)=-30, Le të prezantojmë një ndryshore të re. Le

x 2 -3x+ 1=t, pastaj t(t-5)(t-11)=-30, t=6 është rrënja e këtij ekuacioni. Le të hapim kllapat dhe të marrim t 3 -16t 2 +55t+30=0,

Pjesëtojmë polinomin t 3 -16t 2 +55t+30 me t-6, dhe në herësin marrim t 2 -10t-5.

Të zgjidhim ekuacionin t 2 -10t-5=0, t 1 =5+
, t 2 =5-.

Le të kthehemi te ndryshorja origjinale, për ta bërë këtë ne zgjidhim tre ekuacione:

Përgjigju. x 1,2 =, x 3,4 =
, x 5,6 =
.

Ekuacioni i formës (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

Zgjidhe ekuacionin:

(x – 4)(x 2 + 15 + 50)(x – 2) = 18x 2

Le të faktorizojmë x 2 + 15 + 50.

x 2 + 15 + 50 = 0, x 1 = -5, x 2 = -10, pastaj x 2 + 15x + 50 = (x + 5) (x + 10). Ekuacioni do të marrë formën:

(x – 4)(x + 5)(x + 10)(x – 2) = 18x 2,

(x 2 + x - 20) (x 2 + 8x - 20) = 18x 2. Meqenëse x = 0 nuk është një rrënjë e ekuacionit, atëherë duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me x 2, marrim

(x+1- )(x+8-)=18.

Le të prezantojmë një ndryshore të re. Le të jetë t= x-, atëherë (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0, t 1 =10, t 2 =-1 Le të kthehemi te ndryshorja origjinale:

Përgjigju. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, x= -5 +3.

Ekuacioni i formës sëpatë 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, sëpatë 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0, etj. Ekuacione të tilla quhen e kthyeshme Ata kanë një lloj "simetrie": koeficienti në x 6 është i barabartë me termin e lirë, koeficienti në x 5 dhe x, në x 4 dhe x 2 janë të barabartë. Ekuacionet reciproke zgjidhen duke përdorur zëvendësimin x +=t.

Ekuacioni x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0 nuk ka rrënjë të plota (pjesëtuesit e termit të lirë ±1 nuk janë rrënjët e ekuacionit).

Meqenëse x = 0 nuk është një rrënjë e ekuacionit, atëherë duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me x 2, marrim (x 2 + ) -2(x+)-22=0.

Le të prezantojmë një ndryshore të re. Le të jetë t= x+, pastaj x 2 +2+ =t 2, marrim ekuacionin t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Le të kthehemi te ndryshorja origjinale:

Përgjigju. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.

3.5.. Për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, përdoret metoda e izolimit të një katrori të plotë. Për të zgjidhur ekuacionet e shkallës së tretë dhe të katërt, mund të përdorni edhe formula binomiale.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit që njihni:

(x±a) 2 =x 2 ±2x+a 2;

(x±a) 3 =x 3 ±3x 2 a+3xa 2 ±a 3;

(x+a)(x-a)=x2 -a 2;

(x+a)(x 2 -x+a 2)= x 3 +a 3;

(x-a)(x 2 +x+a 2)= x 3 -a 3;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

Formula (x+a) 4 mund të merret si më poshtë: (x+a) 4 = (x+a) 3 (x+3)= (x 3 +3x 2 a+3xa 2 +a 3) (x+ a) = x 4 +4x 3 a+6x 2 a 2 +4x 3 +a 4.

Koeficientët e zgjerimit mund të gjenden duke përdorur trekëndëshin e Pascal-it

(me emër Matematikan francez Blaise Pascal):

Në çdo rresht të këtij trekëndëshi, koeficientët e shkallës, përveç të parës dhe të fundit, fitohen me mbledhjen në çift të koeficientëve më të afërt të rreshtit të mëparshëm.

Shembull.1.

Për (x+a) 7: eksponent e barabartë me numrin 7, që do të thotë se koeficientët e tij janë në rreshtin e tetë, këto janë 1,7,21,35,35,21,7,1, të cilat janë marrë nga rreshti i mëparshëm si kjo:

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

Marrim: (x+a) 7 =x 7 +7x 6 a+21x 5 a 2 +35x 4 a 3 +35x 3 a 4 +21x 2 a 5 +7x 6 +a 7.

Kur shkruani formula për shumëzimin e shkurtuar të fuqive më të larta, ekzistojnë parimet e mëposhtme:

Numri i termave të polinomit që rezulton për njësi më shumë se treguesi gradë;

Eksponent Xçdo term tjetër ka një më pak, dhe eksponentin a− edhe një;

Shuma e eksponentëve të x dhe a është konstante dhe e barabartë me eksponentin e polinomit;

Koeficientët e një polinomi të baraslarguar nga fillimi dhe fundi janë të barabartë.

Zgjidheni ekuacionin x 3 +6x 2 +12x-16=0.

Zgjidhje: përdorni formulën (x+a) 3 = 1∙x 3 +3x 2 a+3xa 2 +1∙a 3.

x 3 +6x 2 +12x+16=0, (x 3 +3∙2x 2 +3∙2 2 x+2 3) +8=0, (x+2) 3 +2 3 =0, (x+ 2 +2)((x+2) 2 -2 (x+2)+4)=0, 1. x=-4, 2. (x+2) 2 -2 (x+2)+ 4=0 ,

x 2 +2x +4=0, D=-12, nuk ka rrënjë reale.

Përgjigju. x = -4.

Zgjidhe ekuacionin x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48=0, x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48= (x 4 -4x 3 ∙3+6x 2 3 2 -4x3 3 + 4 4 ) -4 4 +48= (x-3) 4 -64+48=0, (x-3) 4 - 16=0. Le të zbatojmë diferencën e katrorëve (x-3-4)(x-3+4)=0, (x-7)(x+1)=0, x=7, x=-1.

Përgjigje: x=-1, x=7.

3.6. Zbatimi i teoremës së Vietës.

1.Teorema e Vietës për ekuacionin kub:

nëse x 1, x 2, x 3 ─ rrënjët e ekuacionit x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, Se

X 1 + x 2 + x 3 =- b,

Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 X 2 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 2 X 3 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 3 = c,

X 1 X 2 X 3 = - d.

2.Teorema e Vietës për ekuacionet e shkallës së katërt:

nëse x 1, x 2, x 3, x 4 janë rrënjët e ekuacionit x 4 + b x 3 +cx 2 +x+dx+e=0, Se

X 1 + x 2 + x 3 +x 4 =- b,

Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 X 2 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 X 3 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 X 4 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 2 X 3 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 2 Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 4 +x 3 X 4 = c,

X 1 X 2 X 3 X 4 = e,

Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 X 2 X 3 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 X 2 X 4 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 1 X 3 X 4 + Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 2 X 3 Shembulli 4: Zgjidheni ekuacionin kuadratik 7 4 = - d.

Zgjidheni ekuacionin x 3 -4 x 2 +x+6=0.

le x 1, x 2, x 3, x 4 ─ rrënjët e ekuacionit, pastaj x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. Le të kontrollojmë se cilët nga numrat ±1, ±2, ±3, ±6 plotësojnë kushtet: x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. Këto janë x=-1, x=2 dhe x=3.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Letërsia

1. Vygodsky M.Ya. Doracak i matematikës fillore. – M. Shtëpia Botuese Shtetërore e Letërsisë Fizike Matematikore, 1970.

2. Galitsky M.L., Goldman M., Zvavich L.I. Koleksioni i problemeve në algjebër për klasat 8-9: një libër shkollor për nxënësit e shkollave dhe klasave me studim të thelluar të matematikës: botimi i 4-të - M.: Prosveshchenie, 1997.

3. Yu.M. Kolyagin. Algjebra dhe fillimet e analizës: tekst shkollor (profili dhe niveli bazë) për klasën e 10-të të institucioneve të arsimit të përgjithshëm - M.: Mnemosyna 2006.

4. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Kapituj shtesë për tekstin shkollor. Klasa e 8-të M., Arsimi, 1996.

5. K.S. Muravin. Algjebra 8: tekst shkollor për institucionet arsimore - M: Drofa, 2008

6. Fjalor Enciklopedik i një Matematikani të Ri. – M.: Pedagogji, 2007.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

KONTAKTET:

347611, rajoni i Rostovit, rrethi Salsky, x. Mayak, rr. Qendrore, 4

Me një të panjohur, pra ekuacionet të formës (*) Pn(x)= ...