Leksione për matematikën fillore (1898) është përkthimi më i hershëm në anglisht i botimit të Joseph Louis Lagrange në 1795, Leçons élémentaires sur les matematikes, që përmban një seri leksionesh të mbajtura në të njëjtin vit në Ecole Normale. Vepra u përkthye dhe u botua nga Thomas J. McCormack, dhe një botim i dytë, nga i cili janë marrë citimet e mëposhtme, doli në 1901.

Përmbajtja

Kuotat [redakto]

Leksioni III. Mbi algjebrën, veçanërisht zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt[redakto]

• Algjebra është një shkencë pothuajse tërësisht për shkak të modernes... sepse ne kemi një traktat nga grekët, atë të Diofantit... të vetmin që ua detyrojmë të lashtëve në këtë degë të matematikës. ...Unë flas vetëm për grekët, sepse romakët nuk kanë lënë asgjë në shkenca dhe në dukje nuk kanë bërë asgjë.

• Vepra e tij përmban elementet e para të kësaj shkence. Ai përdori për të shprehur sasinë e panjohur një shkronjë greke që përkon me tonën rr dhe që është zëvendësuar në përkthime nga N. Për të shprehur sasitë e njohura ai përdori vetëm numrat, sepse algjebra ishte e destinuar prej kohësh të kufizohej tërësisht në zgjidhjen e problemeve numerike.

• [H]e përdor njësoj sasitë e njohura dhe të panjohura. Dhe këtu qëndron praktikisht thelbi i algjebrës, që është përdorimi i sasive të panjohura, llogaritja me to siç bëjmë me sasitë e njohura dhe formimi prej tyre i një ose disa ekuacioneve nga të cilat mund të përcaktohet vlera e sasive të panjohura.

• Megjithëse vepra e Diofantit përmban pothuajse ekskluzivisht probleme të papërcaktuara, zgjidhjen e të cilave ai e kërkon në numra racionalë, - probleme që janë caktuar pas tij Probleme diofantine, - megjithatë në veprën e tij gjejmë zgjidhjen e një sërë problemesh të përcaktuara të së parës. shkallë, madje edhe të tilla që përfshijnë disa sasi të panjohura. Megjithatë, në rastin e fundit, autori pa ndryshim i drejtohet... reduktimit të problemit në një sasi të vetme të panjohur, - gjë që nuk është e vështirë.

• Ai jep, gjithashtu, zgjidhjen e ekuacionet e shkallës së dytë, por është i kujdesshëm që t'i rregullojë ato që të mos marrin kurrë formën e prekur që përmban katrorin dhe fuqinë e parë të sasisë së panjohur. ...ai gjithmonë arrin në një ekuacion në të cilin i mbetet vetëm të nxjerrë një rrënjë katrore për të arritur zgjidhjen...

• Diofanti ... nuk shkon përtej ekuacioneve të shkallës së dytë, dhe ne nuk e dimë nëse ai apo ndonjë prej pasardhësve të tij... ka shtyrë ndonjëherë... përtej kësaj pike.

• Diofanti nuk ishte i njohur në Evropë deri në fund të shekullit të gjashtëmbëdhjetë, përkthimi i parë ishte një përkthim i mjerueshëm nga Xylander i bërë në 1575. Bachet de Méziriac ... një matematikan mjaft i mirë për kohën e tij, më pas botoi (1621) një përkthim të ri ...shoqëruar me komente të gjata, tashmë të tepërta. Përkthimi i Bachet u ribotua më pas me vëzhgime dhe shënime nga Fermat.

• Para zbulimit dhe publikimit të Diophantus ... algjebra tashmë kishte gjetur rrugën e saj në Evropë. Nga fundi i shekullit të pesëmbëdhjetë u shfaq në Venecia një vepër nga... Lucas Paciolus mbi aritmetikën dhe gjeometrinë, në të cilën u shprehën rregullat elementare të algjebrës.

• Evropianët, pasi morën algjebër nga arabët, e zotëronin atë njëqind vjet përpara se vepra e Diofantit të njihej për ta. Megjithatë, ata nuk bënë asnjë përparim përtej ekuacioneve të shkallës së parë dhe të dytë.

• Në veprën e Paciolus... nuk u dha rezolucioni i përgjithshëm i ekuacioneve të shkallës së dytë. Në këtë vepër gjejmë thjesht rregulla, të shprehura në vargje të këqija latine, për zgjidhjen e çdo rasti të veçantë sipas kombinimeve të ndryshme të shenjave të termave të ekuacionit, madje këto rregulla zbatoheshin vetëm për rastin kur rrënjët ishin reale dhe pozitive. Rrënjët negative ende konsideroheshin si të pakuptimta dhe të tepërta.

• Ishte gjeometria ajo që na sugjeroi në të vërtetë përdorimin e sasive negative dhe këtu konsiston në një nga avantazhet më të mëdha që ka rezultuar nga aplikimi i algjebrës në gjeometri, një hap që ia detyrojmë Dekartit.

• Në periudhën pasuese u hetua zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së tretë dhe zbulimi për një rast të veçantë u bë përfundimisht nga... Scipio Ferreus (1515). ...Tartaglia dhe Cardan më pas përsosi zgjidhjen e Ferreus dhe e bëri atë të përgjithshme për të gjitha ekuacionet e shkallës së tretë.

• Në këtë periudhë, Italia, e cila ishte djepi i algjebrës në Evropë, ishte ende pothuajse i vetmi kultivues i shkencës dhe vetëm nga mesi i shekullit të gjashtëmbëdhjetë filluan të shfaqen traktate mbi algjebrën në Francë, Gjermani dhe Shtete te tjera.

• Veprat e Peletier dhe Buteo ishin të parat që Franca prodhoi në këtë shkencë...

• Tartaglia e shpjegoi zgjidhjen e tij në vargje të këqija italiane në një vepër që trajton pyetje dhe shpikje të ndryshme të shtypur në vitin 1546, një vepër që gëzon dallimin si një nga të parat që trajtoi fortifikimet moderne nga bastionet.

• Cardan botoi traktatin e tij Ars Magna, ose Algjebër... Cardan ishte i pari që perceptoi se ekuacionet kishin disa rrënjë dhe i dalloi ato në pozitive dhe negative. Por ai është veçanërisht i njohur për faktin se së pari ka vërejtur të ashtuquajturën rast i pareduktueshëm në të cilën shprehja e rrënjëve reale shfaqet në formë imagjinare. Cardan e bindi veten nga disa raste të veçanta në të cilat ekuacioni kishte pjesëtues racional se forma imagjinare nuk i pengonte rrënjët të kishin një vlerë reale. Por mbetej për t'u vërtetuar se jo vetëm që rrënjët ishin reale në rastin e pareduktueshëm, por ishte e pamundur që të treja së bashku të ishin reale përveç në atë rast. Kjo provë u dha më pas nga Vieta, dhe veçanërisht nga Albert Girard, nga konsideratat që preknin treprerjen e një këndi.

• [T] ai rast i pareduktueshëm i ekuacioneve të shkallës së tretë... paraqet një formë të re të shprehjeve algjebrike të cilat kanë gjetur zbatim të gjerë në analizë... ajo vazhdimisht po shkakton kërkime jofitimprurëse me synimin për ta reduktuar formën imagjinare në një formë reale dhe... paraqet kështu në algjebër një problem i cili mund të vendoset në të njëjtën bazë me problemet e famshme të dyfishimit të kubit dhe katrorit të rrethit në gjeometri.

• Matematikanët e periudhës në diskutim ishin zakon t'i propozonin njëri-tjetrit probleme për zgjidhje. Këto... ishin sfida publike dhe shërbenin për të ngacmuar dhe ruajtur atë fermentim që është i nevojshëm për ndjekjen e shkencës. Sfidat... vazhduan deri në fillim të Evropës së shekullit të tetëmbëdhjetë dhe në të vërtetë nuk pushuan deri në ngritjen e Akademive të cilat përmbushën të njëjtin qëllim... pjesërisht nga bashkimi i njohurive të anëtarëve të tyre të ndryshëm, pjesërisht nga marrëdhëniet që ata mbajtën... dhe... me botimin e kujtimeve të tyre, të cilat shërbyen për të përhapur zbulimet dhe vëzhgimet e reja...

• Të Algjebër i Bombelli përmban jo vetëm zbulimin e Ferrarit, por edhe komente të tjera të rëndësishme mbi ekuacionet e shkallës së dytë dhe të tretë dhe veçanërisht mbi teorinë e radikalëve me anë të të cilave autori arriti në disa raste të nxjerrë rrënjët imagjinare të kubit të dy binomeve. të formulës së shkallës së tretë në rastin e pareduktueshëm, pra gjetja e një rezultati krejtësisht real... prova më e drejtpërdrejtë e mundshme e realitetit të këtij lloji të shprehjeve.

• Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt u realizua shpejt. Por përpjekjet e suksesshme të matematikanëve për më shumë se dy shekuj nuk kanë arritur të kapërcejnë vështirësitë e ekuacionit të shkallës së pestë.

• Megjithatë, këto përpjekje nuk kanë qenë aspak të kota. Ato kanë krijuar shumë teorema të bukura... mbi formimin e ekuacioneve, mbi karakterin dhe shenjat e rrënjëve, mbi shndërrimin e një ekuacioni të caktuar në të tjera, rrënjët e të cilave mund të formohen me kënaqësi nga rrënjët e ekuacioni i dhënë, dhe së fundi, konsideratat e bukura në lidhje me metafizikën e zgjidhjes së ekuacioneve nga të cilat ka rezultuar metoda më e drejtpërdrejtë për të arritur në zgjidhjen e tyre, kur është e mundur.

• Vieta dhe Descartes ... Harriot ... dhe Hudde ... ishin të parët pas italianëve ... që përsosën teorinë e ekuacioneve, dhe që nga koha e tyre, vështirë se ka një matematikan të njohur që nuk e ka zbatuar vetë ...

Leksioni V. Mbi përdorimin e kurbave në zgjidhjen e problemave[redakto]

• Për sa kohë që algjebra dhe gjeometria udhëtonin shtigje të ndara, përparimi i tyre ishte i ngadaltë dhe aplikimet e tyre të kufizuara. Por kur këto dy shkenca u bashkuan, ata morën nga njëra-tjetra vitalitet të freskët dhe më pas ecën përpara me një ritëm të shpejtë drejt përsosmërisë. Dekartit ia detyrojmë aplikimin e algjebrës gjeometrisë, një aplikim që ka dhënë çelësin e zbulimeve më të mëdha në të gjitha degët e matematikës.

• Metoda... për gjetjen dhe demonstrimin e vetive të përgjithshme të ekuacioneve duke marrë në konsideratë kurbat që i përfaqësojnë ato, është një lloj aplikimi i gjeometrisë në algjebër... [T]kjo metodë ka aplikime të zgjeruara dhe është në gjendje të zgjidhë me lehtësi probleme zgjidhja e drejtpërdrejtë e të cilit do të ishte jashtëzakonisht e vështirë apo edhe e pamundur... [T]lënda e tij... nuk gjendet zakonisht në veprat elementare mbi algjebër.

• [A]n ekuacion të çdo shkalle mund të zgjidhet me anë të një lakore, nga e cila abscissæ përfaqëson sasinë e panjohur të ekuacionit, dhe ordinatat vlerat që merr anëtari i majtë për çdo vlerë të sasisë së panjohur. . ...[T]kjo metodë mund të zbatohet përgjithësisht për të gjitha ekuacionet, pavarësisht nga forma e tyre, dhe... kërkon vetëm që ato të zhvillohen dhe rregullohen sipas fuqive të ndryshme të sasisë së panjohur.
[redakto]
• Leksione për matematikën fillore botimi i 2-të. (1901) @GoogleBooks

Testi i matematikës SAT mbulon një sërë metodash matematikore, me theks në zgjidhjen e problemeve, modelet matematikore dhe përdorimin strategjik të njohurive matematikore.

Testi SAT i Matematikës: ashtu si në botën reale

Në vend që t'ju testojë për çdo temë matematikore, SAT-i i ri teston aftësinë tuaj për të përdorur matematikën në të cilën do të mbështeteni shumicën e rasteve dhe në shumë situata të ndryshme. Pyetjet e testit të matematikës janë krijuar për të pasqyruar zgjidhjen e problemeve dhe modelet me të cilat do të merreni

Studimet universitare, duke studiuar drejtpërdrejt matematikën, si dhe shkencat natyrore dhe shoqërore;
- Aktivitetet tuaja profesionale të përditshme;
- Jeta juaj e përditshme.

Për shembull, për t'iu përgjigjur disa pyetjeve, do t'ju duhet të përdorni disa hapa - sepse në botën reale, situatat ku mjafton një hap i thjeshtë për të gjetur një zgjidhje janë jashtëzakonisht të rralla.

Formati i matematikës SAT

Testi SAT Math: Fakte Bazë

Seksioni SAT Math fokusohet në tre fusha të matematikës që luajnë një rol udhëheqës në shumicën e lëndëve akademike në arsimin e lartë dhe karriera profesionale:
- Zemra e Algjebrës: Bazat e algjebrës, e cila fokusohet në zgjidhjen e ekuacioneve dhe sistemeve lineare;
- Zgjidhja e problemeve dhe analiza e të dhënave: Zgjidhja e problemeve dhe analiza e të dhënave thelbësore për arsimimin e përgjithshëm matematikor;
- Pasaporta për matematikë të avancuar: Bazat e matematikës së avancuar, e cila shtron pyetje që kërkojnë manipulimin e ekuacioneve komplekse.
Testi i matematikës bazohet gjithashtu në tema shtesë në matematikë, duke përfshirë gjeometrinë dhe trigonometrinë, të cilat janë më të rëndësishmet për studimet universitare dhe karrierën profesionale.

Testi i matematikës SAT: video

Bazat e algjebrës
Zemra e Algjebrës

Ky seksion i SAT Math fokusohet në algjebër dhe konceptet kryesore që janë më të rëndësishme për suksesin në kolegj dhe karrierë. Ai vlerëson aftësinë e nxënësve për të analizuar, zgjidhur dhe ndërtuar lirisht ekuacionet lineare dhe pabarazitë. Studentëve do t'u kërkohet gjithashtu të analizojnë dhe zgjidhin rrjedhshëm ekuacionet dhe sistemet e ekuacioneve duke përdorur metoda të shumta Për të vlerësuar plotësisht njohuritë e këtij materiali, problemet do të ndryshojnë ndjeshëm në llojin dhe përmbajtjen. Ato mund të jenë mjaft të thjeshta ose kërkojnë mendim dhe kuptim strategjik, si për shembull interpretimi i ndërveprimit midis shprehjeve grafike dhe algjebrike ose paraqitja e një zgjidhjeje si një proces arsyetimi. Testuesit duhet të demonstrojnë jo vetëm njohuri për teknikat e zgjidhjes, por edhe një kuptim më të thellë të koncepteve që qëndrojnë në themel të ekuacioneve dhe funksioneve lineare. SAT Math Fundamentals of Algjebër vlerësohet në një shkallë nga 1 deri në 15.

Ky seksion do të përmbajë detyra për të cilat përgjigja paraqitet me shumë zgjedhje ose llogaritet në mënyrë të pavarur nga studenti. Përdorimi i një kalkulator ndonjëherë lejohet, por jo gjithmonë i nevojshëm ose i rekomanduar.

1. Ndërtoni, zgjidhni ose interpretoni një shprehje ose ekuacion linear me një ndryshore, në kontekstin e disa kushteve specifike. Një shprehje ose ekuacion mund të ketë koeficientë racionalë dhe mund të kërkohen disa hapa për të thjeshtuar shprehjen ose për të zgjidhur ekuacionin.

2. Ndërtoni, zgjidhni ose interpretoni pabarazitë lineare me një ndryshore, në kontekstin e disa kushteve specifike. Një pabarazi mund të ketë koeficientë racionalë dhe mund të kërkojë disa hapa për të thjeshtuar ose zgjidhur.

3. Ndërtoni një funksion linear që modelon një marrëdhënie lineare midis dy madhësive. Testuesi duhet të përshkruajë një marrëdhënie lineare që shpreh kushte të caktuara duke përdorur ose një ekuacion me dy ndryshore ose një funksion. Ekuacioni ose funksioni do të ketë koeficientë racionalë dhe mund të kërkohen disa hapa për të ndërtuar dhe thjeshtuar ekuacionin ose funksionin.

4. Ndërtoni, zgjidhni dhe interpretoni sisteme të pabarazive lineare me dy ndryshore. Ekzaminuesi do të analizojë një ose më shumë kushte që ekzistojnë midis dy variablave duke ndërtuar, zgjidhur ose interpretuar një pabarazi me dy ndryshore ose një sistem pabarazish me dy ndryshore, brenda kushteve të caktuara të specifikuara. Ndërtimi i një pabarazie ose një sistemi pabarazish mund të kërkojë disa hapa ose përkufizime.

5. Ndërtoni, zgjidhni dhe interpretoni sisteme të dy ekuacioneve lineare në dy ndryshore. Ekzaminuesi do të analizojë një ose më shumë kushte që ekzistojnë midis dy variablave duke ndërtuar, zgjidhur ose analizuar një sistem ekuacionesh lineare, brenda kushteve të caktuara të specifikuara. Ekuacionet do të kenë koeficientë racionalë dhe mund të kërkohen disa hapa për të thjeshtuar ose zgjidhur sistemin.

6. Zgjidh ekuacionet lineare (ose inekuacionet) me një ndryshore. Ekuacioni (ose pabarazia) do të ketë koeficientë racionalë dhe mund të kërkojë disa hapa për t'u zgjidhur. Ekuacionet mund të mos kenë zgjidhje, një zgjidhje ose një numër të pafund zgjidhjesh. Ekzaminuesit mund t'i kërkohet gjithashtu të përcaktojë vlerën ose koeficientin e një ekuacioni që nuk ka zgjidhje ose ka një numër të pafund zgjidhjesh.

7. Zgjidh sistemet e dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore. Ekuacionet do të kenë koeficientë racionalë dhe sistemi mund të mos ketë zgjidhje, një zgjidhje ose një numër të pafund zgjidhjesh. Ekzaminuesit mund t'i kërkohet gjithashtu të përcaktojë vlerën ose koeficientin e një ekuacioni në të cilin sistemi mund të mos ketë zgjidhje, një zgjidhje ose një numër të pafund zgjidhjesh.

8. Shpjegoni marrëdhëniet ndërmjet shprehjeve algjebrike dhe grafike. Identifikoni grafikun e përshkruar nga një ekuacion linear i dhënë ose ekuacionin linear që përshkruan një grafik të caktuar, përcaktoni ekuacionin e një rreshti të dhënë duke përshkruar verbalisht grafikun e tij, identifikoni tiparet kryesore të grafikut të një funksioni linear nga ekuacioni i tij, përcaktoni se si një grafik mund të ndikohet nga ndryshimi i ekuacionit të tij.

Zgjidhja e problemeve dhe analiza e të dhënave
Zgjidhja e problemeve dhe analiza e të dhënave

Ky seksion i SAT Math pasqyron kërkime që kanë identifikuar se çfarë është e rëndësishme për suksesin në kolegj ose universitet. Testet kërkojnë zgjidhje problemi dhe analizë të të dhënave: aftësia për të përshkruar matematikisht një situatë të caktuar, duke marrë parasysh elementët e përfshirë, për të njohur dhe përdorur vetitë e ndryshme të veprimeve dhe numrave matematikorë. Problemet në këtë kategori do të kërkojnë përvojë të konsiderueshme në arsyetimin logjik.

Ekzaminuesit do t'u kërkohet të dinë llogaritjen e vlerave mesatare të treguesve, modeleve të përgjithshme dhe devijimeve nga pamja e përgjithshme dhe shpërndarja në grupe.

Të gjitha pyetjet për zgjidhjen e problemeve dhe analizën e të dhënave testojnë aftësinë e të ekzaminuarve për të përdorur të kuptuarit dhe aftësitë e tyre matematikore për të zgjidhur problemet që mund të hasin në botën reale. Shumë nga këto çështje janë pyetur në kontekste akademike dhe profesionale dhe ka të ngjarë të lidhen me shkencën dhe sociologjinë.

Zgjidhja e problemeve dhe analiza e të dhënave është një nga tre nënseksionet e matematikës SAT që vlerësohen nga 1 në 15.

Ky seksion do të përmbajë pyetje me përgjigje të shumëfishta ose me përgjigje të llogaritura vetë. Përdorimi i një kalkulatori këtu është gjithmonë i lejuar, por jo gjithmonë i nevojshëm ose i rekomanduar.

Në këtë pjesë të SAT Math, mund të hasni pyetjet e mëposhtme:

1. Përdorni raportet, normat, përmasat dhe vizatimet e shkallës për të zgjidhur problemet me një dhe shumë hapa. Testuesit do të përdorin një marrëdhënie proporcionale midis dy variablave për të zgjidhur një problem me shumë hapa për të përcaktuar një raport ose normë; Llogaritni raportin ose shkallën dhe më pas zgjidhni problemin me shumë hapa duke përdorur raportin ose raportin e dhënë për të zgjidhur problemin me shumë hapa.

2. Zgjidh problema me një dhe me shumë hapa me përqindje. Ekzaminuesi do të zgjidhë një problem me shumë nivele për të përcaktuar përqindjen. Llogaritni përqindjen e një numri dhe më pas zgjidhni një problem me shumë nivele. Duke përdorur një përqindje të caktuar, zgjidhni një problem me shumë nivele.

3. Zgjidh problemet e llogaritjes me një dhe me shumë hapa. Ekzaminuesi do të zgjidhë një problem me shumë nivele për të përcaktuar njësinë e normës; Llogaritni një njësi matëse dhe më pas zgjidhni një problem me shumë hapa; Zgjidh një problem me shumë nivele për të përfunduar konvertimin e njësisë; Zgjidhja e problemit të llogaritjes së densitetit me shumë faza; Ose përdorni konceptin e densitetit për të zgjidhur një problem me shumë hapa.

4. Duke përdorur diagramet e shpërndarjes, zgjidhni modele lineare, kuadratike ose eksponenciale për të përshkruar se si variablat lidhen. Duke pasur parasysh grafikun e shpërndarjes, zgjidhni ekuacionin e vijës ose kurbës së përshtatjes; Interpretoni rreshtin në kontekstin e situatës; Ose përdorni vijën ose kurbën që i përshtatet më mirë parashikimit.

5. Duke përdorur marrëdhënien ndërmjet dy variablave, eksploroni funksionet kryesore të grafikut. Ekzaminuesi do të bëjë lidhje midis shprehjes grafike të të dhënave dhe vetive të grafikut duke zgjedhur një grafik që përfaqëson vetitë e përshkruara ose duke përdorur një grafik për të përcaktuar vlerat ose grupet e vlerave.

6. Krahasoni rritjen lineare me rritjen eksponenciale. Ekzaminuesi do të duhet të përputhet me dy variabla për të përcaktuar se cili lloj modeli është optimal.

7. Duke përdorur tabela, llogaritni të dhëna për kategori të ndryshme sasish, frekuenca relative dhe probabilitete të kushtëzuara. Ekzaminuesi përdor të dhëna nga kategori të ndryshme për të llogaritur frekuencat e kushtëzuara, probabilitetet e kushtëzuara, shoqërimin e variablave ose pavarësinë e ngjarjeve.

8. Nxirrni përfundime rreth parametrave të popullsisë bazuar në të dhënat e mostrës. I ekzaminuari vlerëson parametrin e popullsisë, duke marrë parasysh rezultatet e një kampioni të rastësishëm të popullsisë. Statistikat e mostrës mund të ofrojnë intervale besimi dhe gabime në matje që studenti duhet t'i kuptojë dhe t'i përdorë pa pasur nevojë t'i llogaritë ato.

9. Përdorni metoda statistikore për të llogaritur mesataret dhe shpërndarjet. Testuesit do të llogarisin mesataren dhe/ose shpërndarjen për një grup të caktuar të dhënash ose do të përdorin statistika për të krahasuar dy grupe të veçanta të dhënash.

10. Vlerësoni raportet, nxirrni përfundime, justifikoni përfundimet dhe përcaktoni përshtatshmërinë e metodave të mbledhjes së të dhënave. Raportet mund të përbëhen nga tabela, grafikë ose përmbledhje tekstesh.

Bazat e Matematikës së Lartë
Pasaporta për matematikë të avancuar

Ky seksion i matematikës SAT përfshin tema që janë veçanërisht të rëndësishme që studentët t'i zotërojnë përpara se të kalojnë në matematikë të avancuar. Çelësi këtu është të kuptuarit e strukturës së shprehjeve dhe aftësisë për të analizuar, manipuluar dhe thjeshtuar ato shprehje. Kjo përfshin gjithashtu aftësinë për të analizuar ekuacione dhe funksione më komplekse.

Ashtu si dy seksionet e mëparshme të matematikës SAT, pyetjet këtu vlerësohen nga 1 në 15.

Ky seksion do të përmbajë pyetje me përgjigje të shumëfishta ose të vetëllogaritura Përdorimi i një kalkulatori ndonjëherë lejohet, por nuk është gjithmonë i nevojshëm ose i rekomanduar.

Në këtë pjesë të SAT Math, mund të hasni pyetjet e mëposhtme:

1. Krijo një funksion ose ekuacion kuadratik ose eksponencial që modelon kushtet e dhëna. Ekuacioni do të ketë koeficientë racionalë dhe mund të kërkojë disa hapa për të thjeshtuar ose zgjidhur.

2. Përcaktoni formën më të përshtatshme të shprehjes ose ekuacionit për të identifikuar një atribut të caktuar, duke pasur parasysh kushtet e dhëna.

3. Ndërtoni shprehje ekuivalente që përfshijnë eksponentë dhe radikalë racionalë, duke përfshirë thjeshtimin ose shndërrimin në një formë tjetër.

4. Ndërtoni një formë ekuivalente të shprehjes algjebrike.

5. Zgjidh një ekuacion kuadratik që ka koeficientë racionalë. Ekuacioni mund të paraqitet në një gamë të gjerë formash.

6. Shtoni, zbritni dhe shumëzoni polinomet dhe thjeshtoni rezultatin. Shprehjet do të kenë koeficientë racionalë.

7. Zgjidh një ekuacion në një ndryshore që përmban radikale ose përmban një ndryshore në emëruesin e thyesës. Ekuacioni do të ketë koeficientë racionalë.

8. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare ose kuadratike. Ekuacionet do të kenë koeficientë racionalë.

9. Thjeshtoni shprehjet e thjeshta racionale. Testuesit do të shtojnë, zbresin, shumëzojnë ose pjesëtojnë dy shprehje racionale ose do të ndajnë dy polinome dhe do t'i thjeshtojnë ato. Shprehjet do të kenë koeficientë racionalë.

10. Të interpretojë pjesët e shprehjeve jolineare sipas termave të tyre. Testuesit duhet të lidhin kushtet e dhëna me një ekuacion jolinear që modelon ato kushte.

11. Të kuptojë lidhjen ndërmjet zerove dhe faktorëve në polinome dhe të përdorë këto njohuri për të ndërtuar grafikë. Testuesit do të përdorin vetitë e polinomeve për të zgjidhur probleme që përfshijnë zero, të tilla si përcaktimi nëse një shprehje është një faktor i një polinomi, duke pasur parasysh informacionin e dhënë.

12. Të kuptojë marrëdhënien ndërmjet dy ndryshoreve duke vendosur lidhje ndërmjet shprehjeve të tyre algjebrike dhe grafike. Ekzaminuesi duhet të jetë në gjendje të zgjedhë një grafik që korrespondon me një ekuacion të caktuar jolinear; interpretojnë grafikët në kontekstin e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve; zgjidhni një ekuacion jolinear që i përgjigjet grafikut të dhënë; të përcaktojë ekuacionin e kurbës duke marrë parasysh përshkrimin verbal të grafikut; të identifikojë tiparet kryesore të grafikut të një funksioni linear nga ekuacioni i tij; të përcaktojë efektin në grafikun e ndryshimit të ekuacionit qeverisës.

Çfarë teston seksioni i matematikës SAT?

Zotërim i përgjithshëm i disiplinës

Një test matematike është një shans për të treguar se ju:

Kryen detyrat matematikore në mënyrë fleksibël, saktë, efikase dhe duke përdorur strategji zgjidhjeje;
- Zgjidhini problemet shpejt duke identifikuar dhe përdorur qasjet më efektive për zgjidhje. Kjo mund të përfshijë zgjidhjen e problemeve duke
kryerja e zëvendësimeve, shkurtoreve ose riorganizimit të informacionit që jepni;

Kuptimi konceptual

Ju do të demonstroni të kuptuarit tuaj të koncepteve, operacioneve dhe marrëdhënieve matematikore. Për shembull, mund t'ju kërkohet të bëni lidhje midis vetive të ekuacioneve lineare, grafikëve të tyre dhe termave që ato shprehin.

Zbatimi i njohurive lëndore

Shumë pyetje të matematikës SAT janë marrë nga probleme të jetës reale dhe ju kërkojnë të analizoni problemin, të identifikoni elementët bazë të nevojshëm për ta zgjidhur atë, ta shprehni problemin matematikisht dhe të gjeni një zgjidhje.

Duke përdorur kalkulatorin

Llogaritësit janë mjete të rëndësishme për kryerjen e llogaritjeve matematikore. Për të studiuar me sukses në një universitet, duhet të dini se si dhe kur t'i përdorni ato. Në pjesën Math Test-Calculator të testit, do të mund të përqendroheni në gjetjen e zgjidhjes dhe vetë analizës, sepse kalkulatori juaj do t'ju ndihmojë të kurseni kohën tuaj.

Megjithatë, një kalkulator, si çdo mjet, është po aq i zgjuar sa personi që e përdor atë. Ka disa pyetje në Testin e Matematikës ku është mirë të mos përdorni një makinë llogaritëse, edhe nëse ju lejohet ta bëni këtë. Në këto situata, testuesit që mund të mendojnë dhe arsyetojnë ka të ngjarë të arrijnë në përgjigje përpara atyre që përdorin verbërisht një makinë llogaritëse.

Pjesa Test Math-Pa Calculator e bën të lehtë vlerësimin e njohurive tuaja të përgjithshme për lëndën dhe të kuptuarit tuaj të koncepteve të caktuara matematikore. Ai gjithashtu teston njohjen me teknikat llogaritëse dhe të kuptuarit e koncepteve të numrave.

Pyetjet me përgjigje futen në një tabelë

Megjithëse shumica e pyetjeve në testin e matematikës janë me shumë zgjedhje, 22 për qind janë pyetje ku përgjigjet janë rezultat i llogaritjeve të vetë testuesit - këto quhen grid-ins. Në vend që të zgjidhni përgjigjen e saktë nga një listë, ju duhet të zgjidhni problemet dhe të vendosni përgjigjet tuaja në rrjetet e dhëna në fletën e përgjigjeve.

Përgjigjet futen në një tabelë

Shënoni jo më shumë se një rreth në çdo kolonë;
- Vetëm përgjigjet e treguara nga plotësimi i rrethit do të numërohen (Nuk do të merrni pikë për çdo gjë të shkruar në fushat e vendosura më lart
rrathë).
- Nuk ka rëndësi se në cilën kolonë filloni të shkruani përgjigjet tuaja; Është e rëndësishme që përgjigjet të shkruhen brenda rrjetit, atëherë do të merrni pikë;
- Rrjeti mund të përmbajë vetëm katër shifra dhjetore dhe mund të pranojë vetëm numra pozitivë dhe zero.
- Përveç nëse specifikohet ndryshe në detyrë, përgjigjet mund të futen në rrjet si dhjetore ose thyesore;
- Thyesat si 3/24 nuk kanë nevojë të reduktohen në vlerat minimale;
- Të gjithë numrat e përzier duhet të shndërrohen në thyesa të pasakta përpara se të shkruhen në rrjet;
- Nëse përgjigja është një numër dhjetor i përsëritur, studentët duhet të përcaktojnë vlerat më të sakta që do
konsideroni.

Më poshtë është një shembull i udhëzimeve që testuesit do të shohin në provimin e matematikës SAT:

Përdorimi i makinës llogaritëse në mësimin e matematikës fillore

Ky artikull diskuton nëse një makinë llogaritëse duhet të përdoret apo jo në mësimin e matematikës në klasat fillore dhe si ta përdorim atë me mençuri.

"Beteja" për përdorimin e kalkulatorit

Disa njerëz thonë se një makinë llogaritëse u mundëson fëmijëve të përqendrohen në të kuptuarit dhe konceptet matematikore në vend që të kalojnë kohë në llogaritjet e lodhshme. Ata thonë se një makinë llogaritëse ndihmon në zhvillimin e kuptimit të numrave dhe i bën studentët më të sigurt për aftësitë e tyre matematikore.

Të tjerë janë kundër përdorimit të kalkulatorit në mësimin e matematikës në nivele më të ulëta, duke thënë se kjo i bën fëmijët të mos mësojnë faktet e tyre themelore, i pengon studentët të zbulojnë dhe kuptojnë konceptet themelore matematikore dhe në vend të kësaj i inkurajon ata të provojnë rastësisht veprime të ndryshme pa kuptuar se çfarë po bëjnë.

Ata thonë se kalkulatorët i pengojnë studentët të përfitojnë nga një nga arsyet më të rëndësishme për të mësuar matematikën: për të trajnuar dhe disiplinuar mendjen dhe për të promovuar arsyetimin logjik.

Ka një bilanc

Sipas mendimit tim, një makinë llogaritëse mund të përdoret në mënyrë të mirë ose të keqe në mësim - gjithçka varet nga qasja e mësuesit në shoqërinë e sotme, kështu që nxënësit duhet të mësojnë ta përdorin atë në kohën kur të mbarojnë shkollën.

Në të njëjtën kohë, fëmijët DUHET të mësojnë faktet e tyre themelore, të jenë në gjendje të bëjnë llogaritjet mendore dhe të zotërojnë ndarjen e gjatë dhe algoritme të tjera bazë me laps letre. Matematika është një fushë studimi që bazohet në fakte të përcaktuara më parë. Një fëmijë që nuk i njeh faktet bazë të shumëzimit (dhe pjesëtimit) do ta ketë të vështirë të mësojë faktorizimin, numrat e thjeshtë, thjeshtimin e thyesave dhe veprimet e tjera të thyesave, vetinë e shpërndarjes, etj. etj. Algoritmet bazë të aritmetikës janë një bazë e nevojshme për të kuptuar veprimet përkatëse me polinomet në algjebër. Përvetësimi i pjesëtimeve të gjata pararendëse duke kuptuar sesi thyesat korrespondojnë me dhjetoret përsëritëse (jopërfunduese), gjë që më pas hap rrugën për të kuptuar numrat irracionalë dhe numrat realë. Gjithçka lidhet së bashku!

Për këtë arsye, këshillohet që të kufizohet përdorimi i makinës llogaritëse në klasat e ulëta, derisa fëmijët të dinë faktet e tyre themelore dhe të mund të mbledhin, zbresin, shumëzojnë dhe pjesëtojnë edhe numra të mëdhenj me laps dhe letër. KJO, për mendimin tim, ndërton kuptimin e numrave, ashtu si edhe llogaritjet mendore.

Kjo nuk do të thotë që ju nuk mund të përdorni makinën llogaritëse herë pas here në klasat fillore për projekte të veçanta, kur mësoni koncepte specifike, ose për ndonjë argëtim, për shembull, në projekte shkencore ose gjeografike, për të eksploruar disa koncepte të reja lojëra me numra ose kontrolli i detyrave të shtëpisë Shihni më poshtë për disa ide.

Diskutimi këtu nuk vlen për kalkulatorët grafikë në shkollë të mesme. Unë jam fuqimisht në favor të përdorimit të kalkulatorëve grafikë ose një softueri grafiku kur studioj grafikun dhe llogaritjen. Edhe pse atje, sigurisht që duhet të mësohet ideja bazë se si bëhet grafiku në letër.

Gjërat që duhen mbajtur parasysh kur përdorni një kalkulator

Kur kalkulatori përdoret më lirshëm, duhet t'i kushtoni vëmendje pikave të mëposhtme:

• Llogaritësi është a mjet për të bërë llogaritë. Kështu janë edhe mendja njerëzore, letra dhe lapsi. Fëmijët duhet të mësohen kur për të përdorur një kalkulator dhe kur llogaritja mendore (ose edhe letra dhe lapsi) janë më efektive ose më të përshtatshme. Zgjedhja e "mjetit" të duhur është pjesë e një procesi efektiv të zgjidhjes së problemeve.
• Është shumë e rëndësishme që studentët mësoni si të vlerësoni rezultati përpara se të bëni llogaritjen. Është shumë e lehtë të bësh gabime kur futësh numrat në një kalkulator. Një student nuk duhet të mësojë të mbështetet në kalkulator pa kontrolluar nëse përgjigja është e arsyeshme.
• Një kalkulator nuk duhet të përdoret për të provuar në mënyrë të rastësishme të gjitha operacionet e mundshme dhe për të kontrolluar se cili prej tyre jep përgjigjen e duhur. Është thelbësore që studentët të mësojnë dhe të kuptojnë veprimet e ndryshme matematikore, në mënyrë që ata të dinë KUR të përdorin cilin - dhe kjo është e vërtetë nëse llogaritja aktuale bëhet mendërisht, në letër ose me një makinë llogaritëse.

Ide për përdorimin e kalkulatorit në matematikën fillore

Nëse i përdorni këto ide, sigurohuni që fëmijët të mos e kuptojnë se një makinë llogaritëse heq nevojën për të mësuar matematikën mendore. Mund të shërbejë si një mjet për t'i lënë fëmijët të eksplorojnë dhe vëzhgojnë, por më pas mësuesi duhet të shpjegojë konceptet, të arsyetojë rregullat e matematikës dhe i bashkoni të gjitha.

• Kopshtet e fëmijëve dhe nxënësit e klasës së parë mund të eksplorojnë numrat duke duke shtuar 1 në mënyrë të përsëritur(që mund të bëhet duke shtypur fillimisht 1 + 1 = dhe më pas duke shtypur butonin = në mënyrë të përsëritur) ose duke zbritur 1 në mënyrë të përsëritur. Vëzhgoni fytyrat e tyre kur godasin numra negativë! Ose, lërini të hetojnë se çfarë ndodh me një numër kur i shtoni zero.
• Puzzles model llogaritës: Ky është një zgjerim i idesë së mësipërme, ku fëmijët e klasës së parë deri në klasën e tretë shtojnë ose zbresin të njëjtin numër në mënyrë të përsëritur duke përdorur një makinë llogaritëse. Fëmijët do të vëzhgojnë modele që shfaqen kur shtoni, le të themi, 2, 5, 10 ose 100 në mënyrë të përsëritur. Për shembull, ata mund të fillojnë me 17 dhe të shtojnë 10 në mënyrë të përsëritur ose të fillojnë me 149 dhe të zbresin 10 në mënyrë të përsëritur. Një ide tjetër është t'i lini fëmijët të bëjnë "puzzlet e modelit" të tyre, të cilat janë sekuenca numrash me një model ku disa numra hiqen, për shembull 7, 14, __, __, 35, __, 49. Aktiviteti mund të lidhet me idenë të shumëzimit shumë lehtë.
• Veprimtaria e vlerës së vendit me një makinë llogaritëse : Nxënësit ndërtojnë numra me makinë llogaritëse, për shembull:
  Bëni një numër treshifror me një 6 në vendin e dhjetësheve; OSE Bëni një numër katërshifror më të madh se 3500 me një katër në vendin njësh; OSE Bëni një numër katërshifror me një 3 në dhjetëshe dhe një 9 në qindra vende; etj.
  Më pas mësuesi rendit disa numra në tabelë dhe diskuton se cilat numra të përbashkët kanë bërë nxënësit, si p.sh.: të gjithë numrat janë gjashtëdhjetë e ca.
• Shkruani numrin një milion në tabelë. Kërkojuni studentëve të zgjedhin një numër që do ta shtojnë në mënyrë të përsëritur me makinë llogaritëse për të arritur një milion brenda një kohe të arsyeshme klase. Nëse ata zgjedhin numra të vegjël, të tillë si 68 ose 125, ata nuk do ta arrijnë atë. Kjo mund t'u mësojë fëmijëve se sa i madh është numri një milion.
• Kur prezantoni pi, bëni studentët të matin perimetrin dhe diametrin e disa objekteve rrethore dhe të llogarisin raportin e tyre me një makinë llogaritëse (që kursen kohë dhe mund të ndihmojë në mbajtjen e fokusit në koncept).

Përdorimi i Llogaritësve është në qendër të mësimdhënies së mirë - një artikull nga Susan Ray; jo më online

Komentet

Unë jap mësim në një shkollë shumë të vogël dhe aktualisht u jap mësim Algjebrës 1, shkencat e klasës së 8-të, dhe më pas fizikën për maturantët dhe kam një grup të vogël që ka përfunduar llogaritjen e shkollës së mesme dhe ne po bëjmë një algjebër lineare. Unë vetë, kam një Master në Fizikë.

Përpara se të lexoja disa nga këto postime, ndjeva se isha një anti-llogaritëse mjaft e tërbuar, por tani mendoj se jam më shumë në mes të rrugës.

Komentet për të bërë rrënjë katrore në letër janë të mira. Jo, nuk kemi nevojë të dimë më si ta bëjmë këtë me saktësi të mirë. Megjithatë, do të doja shumë që të gjithë studentët e mi të ishin në gjendje t'ju tregojnë se në çfarë dy numrash është. Shembull: 8
Vetëm vitin e kaluar zbulova se si të fusja të dhëna në një TI-83 dhe ta bëj atë të nxjerrë mesataren dhe devijimin standard. Në kontekstin e një klase të fizikës, nuk dua të shpenzoj shumë kohë për gjërat që ata duhet të mësojnë në një klasë statistikore. Por nëse kalkulatori e bën atë lehtësisht, atëherë mund të prezantoj butësisht konceptin dhe shpresoj që fillimi ekspozimi i ka përgatitur ata për atë që duhet të mësojnë në Statistikat.

Në Algjebër 1, megjithatë, unë nuk i lejoj studentët të përdorin fare kalkulatorë. Dhe, në shkollën time, zbuloj se shumica e fëmijëve vijnë në kursin tim pa një makinë llogaritëse ose një prirje për ta përdorur atë. Mendoj se përmbledhja bazë në matematika në Algjebër 1 duhet të jetë: 80% e numrave duhet të përdorin informacionin bazë në një tabelë shumëzimi 12x12 që fëmijët duhet të kenë mësuar përmendësh 15% e numrave. Dhe 5% e fundit duhet të jenë gjëra për të cilat ata kanë nevojë për një kalkulator.

Për mendimin tim, gjërat për numrat i mëson kur duhet t'i bësh në kokë. Nëse dëshironi të bëni faktorët kryesorë të 357, mund të filloni me idenë se është më pak se 400, kështu që ju duhet të kontrolloni vetëm deri në 20. Ju gjithashtu e dini se është tek, kështu që nuk duhet të kontrolloni 2 ose ndonjë nga ngjarjet. Atëherë mund të kuptoni se nuk duhet të kontrolloni asnjë nga numrat jo të thjeshtë midis 1 dhe 20. Pra, duhet të kontrolloni vetëm 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Kjo i ndihmon studentët të fillojnë të zhvillojnë disa koncepte themelore që lidhen me grupet. Ka grupe numrash që ndajnë veti të përbashkëta, si çiftet, rastet dhe numrat e thjeshtë. Ky është një koncept i thellë që mund të mos e merrni nëse nuk duhet të thjeshtoni një proces për veten tuaj.

Por, gjithashtu, thjeshtimi i një procesi për veten tuaj është me të vërtetë i rëndësishëm. Supozoni se jeni mekanik kryesor në një makinë Sprint Cup NASCAR. Ata thyhen gjatë gjithë kohës. Çfarë duhet të bëni për t'i rregulluar ato? Çfarë është e jashtme për problemin? Cili është numri më i vogël i gjërave që duhet t'i provoni/rregulloni dhe në çfarë rendi duhet t'i provoni ato? Kjo është një zgjatje e gjatë nga zhvillimi i mendimit algoritmik në klasën e matematikës në shkollën e mesme. Por unë do të argumentoja se është më e vështirë të arrish atje nëse je ushqyer me përgjigje nga një makinë gjatë gjithë jetës tënde.

E di që kjo po zgjat shumë. Dy pika të tjera... Nuk do të përdorja kurrë një kalkulator grafik për të bërë grafik. Unë kam një softuer prej 100 dollarësh në laptopin tim që nxjerr nga uji çdo kalkulator grafike të dorës.

Më në fund, më tërhoqi vëmendjen komenti për nëpunësit e dyqaneve dhe makinat llogaritëse. Bota sigurisht ka nevojë për njerëz për të drejtuar arkat në dyqane. Por në një farë mënyre mendoj se qëllimi për të marrë një arsim të mirë është që më vonë të mund të zgjedhësh një karrierë që e ke pasion. Arkëtarët që janë të apasionuar pas shitjes me pakicë janë të paktë. Unë do të shpresoja që studentët e mi të kenë një grup më të gjerë zgjedhjesh kur të mbarojnë shkollën.

David Iverson

Unë mendoj se të dyja duhet të përdoren. Jam dakord që duhet të mësojmë bazat në shkollën fillore, mbledhjen, zbritjen, etj.) Megjithatë, kur shkoni në Macy's, Olive Garden ose Mc Donald's, arkëtari nuk përdor letër dhe laps. Ne jetojmë në një epokë kompjuterike Nuk jemi më në Revolucionin Industrial, kështu që le të shkojmë në shekullin e 21-të.

Përshëndetje, unë jam Kelly. Unë jam studente e parë në kolegj në St. Kolegji i komunitetit Charles në Misuri. Faqja juaj është e mrekullueshme. Po e kërkoja për motrën time më të vogël. Diçka që do të doja t'u tregoja të gjithëve dhe kujtdo që planifikon të shkojë në kolegj është të ndalojë menjëherë përdorimin e një kalkulatori. Përdoreni atë vetëm për grafikimin e regjistrave dhe gjërave të nevojshme si kjo. E mbarova shkollën e mesme në një klasë llogaritjeje duke përdorur një kalkulator edhe për problemet më të thjeshta të shumëzimit dhe pjesëtimit, dhe kur arrita në kolegj m'u desh të filloja nga e para në ALGEBRA FILLIMORE sepse nuk dija të shumëzoja dhe pjesëtoja pa një makinë llogaritëse. Pra, ju lutemi bëni të gjithëve një nder dhe kërkojuni atyre ose thuaju të mos përdorin një makinë llogaritëse Ata do të më falënderojnë për të më vonë.

Përshëndetje, emri im është Rafeek dhe jam student i parë në kolegjet Hobart dhe William Smith në Gjenevë, NY. Unë jam duke bërë një letër mbi teknologjinë dhe efektet e saj, kështu që vendosa të zgjedh makinën llogaritëse. Kam hasur në këtë faqe në kërkimin tim. Dua të theksoj atë që tha Kelly. E njëjta gjë më ndodhi edhe mua, isha i shkëlqyeshëm në matematikën e shkollës së mesme, praktikisht i kalova të gjitha provimet e matematikës, pastaj erdha këtu për orientim dhe më thanë që duhet të bëj testin e matematikës pa llogaritje. Nuk e kuptova që nuk mund të bëja shumë nga problemet e thjeshta, sepse gjithmonë e futja në kalc dhe merrja përgjigjen. Kjo po bëhet diçka serioze, unë tashmë i kam hequr vëllain dhe motrat e mia të vogla kalc. dhe u tha atyre derisa të jenë në kolegj se nuk do të përdorin një llogaritje (të paktën jo para meje). Tani po marr pre-calc. dhe qëllimi im është të mos përdor kalcium. MOS MOS VAROSET NGA LLOGARITESIT TUAJ!!!

Kur në universitet merrja kurse matematike për BMath, ne nuk na lejoheshin kalkulatorë për shumë nga provimet (për të parandaluar kontrabandën e njerëzve në pajisje kompjuterike xhepi, do të thosha se të qenit në gjendje të bëjë shuma në letër është thelbësore). .

Emily Bell

Unë kurrë nuk kam qenë i mirë në matematikë dhe kështu, kur mora në dorë makinën time llogaritëse dhe sa inkurajuese është në shkollën e mesme, u dashurova me të. kjo ndodhi derisa bëra testin tim të kualifikimit në kolegj. Bëra diçka të tmerrshme. Nuk munda madje mbani mend se si të bëni një problem të thjeshtë ndarjeje mendërisht. Problemi me shkollat ​​sot është se ato shqetësohen dhe inkurajojnë shumë për makinat llogaritëse. Nxënësit duhet të kenë një bazë të fortë të matematikës mendore përpara se të mësojnë të përdorin kalkulatorin dhe nëse më pyetni nota K-3 nuk është e mjaftueshme, ajo nuk duhet të lejohet deri në kolegj.

Unë jam një i sapodiplomuar në kolegj. Drejtimi im ishte Inxhinieri Elektrike. Meqenëse kursi im i studimit përfshinte një pjesë të madhe të matematikës, ndihem i detyruar të flas për këtë çështje të rëndësishme. Sipas mendimit tim, makina llogaritëse nuk duhet të përdoren kurrë për asnjë klasë matematike, qoftë edhe në nivelin e kolegjit. Përdorimi i një kalkulatori për çdo lëndë do të bëjë që përdoruesi të bëhet dembel mendor dhe të paaftë për aftësitë themelore matematikore. Kurrë nuk duhet të përdorni një makinë llogaritëse kur mësoni se si të shumëzoni, të bëni pjesëtim të gjatë apo edhe të grafikoni një funksion.

"Disa njerëz thonë se kalkulatori u mundëson fëmijëve të përqendrohen në të kuptuarit dhe studimin e koncepteve matematikore në vend që të shpenzojnë kohë në llogaritjet e lodhshme. Ata thonë se kalkulatori ndihmon në zhvillimin e sensit të numrave dhe i bën studentët më të sigurt për aftësitë e tyre matematikore."

Deklarata e mësipërme është shpëlarja totale e derrave. Mënyra e vetme për të zhvilluar kuptimin e numrave dhe për të kuptuar konceptet matematikore është të derdhni orë të tëra llogaritje të lodhshme. E vetmja mënyrë për të zhvilluar besimin në aftësitë e dikujt në matematikë është përdorimi i një lapsi dhe letre sa herë që përballeni me një problem matematike për të shkuar së bashku me ideale të tilla shkatërruese.

E vetmja kohë kur llogaritësit duhet të përdoren në shkollë është në klasën e laboratorit kur jeni duke bërë llogaritje në numra me më shumë se 4 shifra domethënëse. Përndryshe, studenti duhet të mbështetet në një letër, një laps dhe trurin e tij.

Llogaritësi nuk ka vend; NUK KA VEND; në një klasë të shkollës fillore. Periudha. Unë jam një mësues matematike në shkollë të mesme dhe shumica e nxënësve të mi kanë kuptim absolutisht zero. Ata "po përdorin kalkulatorë për të bërë probleme të shumëzimit njëshifror që duhet t'i kenë mësuar përmendësh me të drejtë në klasën e tretë. Ata janë të pafuqishëm pa to. Unë vendos 100% të fajit në përdorimin e makinës llogaritëse në klasat e hershme.

Fëmijët e mi janë 4 dhe 2 vjeç. Vajza ime do të shkojë në kopsht vitin e ardhshëm, dhe unë do t'i udhëzoj mësueset e saj çdo vit, dhe periodikisht gjatë gjithë vitit, ajo Ndalohet të përdorë një makinë llogaritëse për ÇDO nga puna e saj derisa të jetë në shkolla e mesme Nuk ka asgjë në programin e shkollës fillore ose të mesme që kërkon përdorimin e një kalkulatori.

AS për këtë deklaratë "Këshilli Kombëtar i Mësuesve të Matematikës (1989) ka rekomanduar që ndarjet e gjata dhe "praktikimi i llogaritjeve të lodhshme me laps dhe letër" t'i kushtohet vëmendje më e vogël në shkolla dhe që kalkulatorët të jenë të disponueshëm për të gjithë studentët në çdo kohë." Kuptimi im është se ky ishte një reagim ndaj një sondazhi të kohës së kaluar në temat e matematikës në klasë dhe gati një e treta e klasës së katërt dhe të pestë u shpenzua duke mësuar të bënte pjesëtimin me pjesëtues dhjetorë dhe dyshifrorë (dmth. 340/.15 ose 500/15) Po mësuesit shpenzonin më shumë se dy muaj nga secili prej tyre! Kjo thjesht nuk pasqyronte situatën e matematikës në botën aktuale.

Personalisht, kam parë shumë përdorime të shkëlqyera të kalkulatorëve. Ato lejojnë përsëritje pa gabime në mënyrë që të mund të zbuloj modele. Shumë nga konvertimet dhe truket e shpejta që mund të bëj ishin sepse kisha vetëm një kalkulator bazë gjatë gjithë rrugës së llogaritjes. BTW, NCMT ka përditësuar gjithashtu standardet e saj për të përfshirë rrjedhshmërinë për faktet e matematikës në klasat e dyta dhe të katërta. Si mësues matematike dëgjoja nga prindërit gjatë gjithë kohës se fëmijët nuk kalonin asnjë kohë në shkollë duke mësuar përmendësh faktin bazë.

Ndoshta do të më kishte pëlqyer në planin afatgjatë nëse nuk do të më lejohej të përdorja një makinë llogaritëse të paktën deri në shkollën e mesme (Gjeometria për mua i njihni ato lojëra Nintendo DS Brainage). Unë mund ta bëj atë, thjesht më merr shumë më tepër kohë.

Si mësues i shkollës së mesme dhe të mesme të Matematikës, Para-Algjebrës dhe Algjebrës I, e gjej veten duke e luftuar këtë betejë çdo vit. Ndërsa po, kalkulatorët ofrojnë një mënyrë të shpejtë për të gjetur përgjigje, nuk di ndonjë problem në asnjë nga tre tekstet që përdor aktualisht që kërkon që nxënësi të zgjidhë problemet e pjesëtimit të gjatë deri në vendin e 1-të pas dhjetorit (që është një argument i përbashkët).

Megjithatë, unë pres që studentët e mi të jenë në gjendje të bëjnë funksionet themelore të matematikës pa përdorimin e një kalkulatori. Ndërsa hyjnë në Algjebër, ata shpenzojnë shumë kohë duke u përpjekur të kuptojnë se si të bëjnë gjëra në makinë llogaritëse që nuk janë të mundshme me kalkulatorët që kanë, unë gjithashtu pres që ata të tregojnë punën e tyre në teste dhe kuize (po ashtu edhe e reja teste për pikat e pjesshme) në mënyrë që unë e di që ata e dinë procesin "kam përdorur një makinë llogaritëse" nuk më tregon se ata e dinë procesin dhe rregullat ose "përse" funksionon. dhe "ah-ha"-të e matematikës.

Unë shpesh u kujtoj studentëve se makinat llogaritëse u shpikën shumë kohë pasi filluan rregullat matematikore; prandaj e gjithë matematika mund të bëhet pa përdorimin e kalkulatorit. Mendjet e mëdha, mos u bëni të shkëlqyer duke marrë rrugën e lehtë.

Për sa i përket punëtorëve të shitjes me pakicë, ndërkohë që shumë klientë që rrinin në radhë do të ishin të padurueshëm me shitësin që kuptonte gjithçka me dorë, si mësues kur shkoj në një lokal ushqimi, dhe ai studenti im i pafat është kamarieri/kamerierja/etj. Unë pres që ata të më numërojnë ndryshimin. Unë jam i vetëdijshëm kur i bëj këto "kontrollime" dhe shumica e menaxherëve (ju njihni ata që mund të bëjnë matematikë pa një makinë llogaritëse) zakonisht vlerësojnë që punonjësit e tyre dinë t'i numërojnë ndryshimet.

M'u desh të qeshja pak me komentin në lidhje me "arkëtarët në Macy", Olive Garden, McDonalds... përdorni kalkulatorë, kompjuterë." E vërtetë, por ky nuk është argument për përdorimin e tyre. A keni qenë ndonjëherë në një nga këto ruan kur "kompjuterët nuk funksionojnë?" të rinjtë tanë do të kalonin në një fatkeqësi/emergjencë të vërtetë kur mund të mos ketë energji elektrike, telefona celularë, kompjuterë, aftësi interneti, etj. Si prind që shkollohet në shtëpi, një nga synimet e mia është që fëmija im të ketë aftësi të mira bazë në mënyrë të vendosur në mënyrë që ata mund të funksionojë mirë në çdo lëndë pa ndihmë elektronike.

Unë kam një djalë që shkon në klasën e tretë dhe i bleva një kalkulator jashtëzakonisht të thjeshtë (vetëm +,-,*,/). Ai është shumë i mirë në zgjidhjen e problemeve, ai i njeh tabelat e tij të shumëzimit, mund të bëjë mbledhje dhe zbritje me 12 shifra në letër, po mëson se si të bëjë shumëzimet në letër etj... dhe unë në fakt po kërkoja disa probleme kuptimplota për t'i zgjidhur. me një kalkulator kur e gjeta këtë debat emocional.
Tani, jam plotësisht dakord që një makinë llogaritëse nuk duhet të jetë një zëvendësues për të mësuarit për të bërë operacione mendore dhe për të mësuar se si ta bëni atë në letër. Ju duhet të jeni në gjendje t'i bëni këto gjëra vetë, edhe nëse është e ngathët.

Por çështja është se shoqëria përparon. Aty ku ishte e dobishme të bësh saktë dhe shpejt shumat e 20 numrave në një shënim të vogël, dhe njerëzit madje të paguanin për atë aftësi 40 vjet më parë, shumica prej nesh nuk mësojnë se si të vrasin një lepur me hark dhe shigjetë - ndërsa kjo ishte një aftësi thelbësore për paraardhësit tanë që jetonin në shpella.

Kur shikoj komentet këtu, duket se të vetmet probleme me të cilat përballeshin njerëzit kur nuk ishin në gjendje të llogaritnin pa një kalkulator ishte në një mjedis artificial ku kjo ishte një kompetencë e testuar shprehimisht. Gjuetia e lepurit me shigjetë dhe hark do të përbënte gjithashtu një problem nëse kjo nuk do të mësohej dhe nuk do të testohej në mënyrë eksplicite për një ose një provim tjetër. Unë mendoj se në "jetën reale" tani është e rëndësishme të jesh i dobishëm me një kalkulator - edhe pse sigurisht që dikush duhet të jetë në gjendje të bëjë pa të, por ndoshta jo *të shpuar* për ta bërë atë në mënyrë efikase, korrekte dhe të shpejtë pa.

BTW, kush di ende si të marrë rrënjë katrore në letër? A nuk është kjo një aftësi e rëndësishme Unë nuk them se të dish të bësh një shtesë në letër është folklor, duhet të dish ta bësh atë, por pyes veten se cila është arsyeja për të qenë në gjendje ta bësh atë shpejt dhe me efikasitet. shpenzoni orë të tëra duke u stërvitur për të). A nuk mund ta përdorni atë kohë tani për të bërë gjëra më të dobishme?

Unë do të thosha, ajo që është ende një aftësi praktike është llogaritja *mendore*, llogaritja e saktë mendore dhe llogaritja e përafërt për të marrë një ide të rendit të madhësisë. Nëse bësh shumëzime të dy numrave me 6 ose 7 shifra është ende një gjë shumë e mirë. aftësi të dobishme për t'u stërvitur, kam dyshimet e mia - megjithëse, përsëri, njeriu duhet të jetë në gjendje të dijë se si bëhet.

Gjërat që bëhen interesante me kalkulatorët, janë ndërtime si trekëndëshi i Paskalit, ose seria e Fibonaccit, ose faktorët, kombinimet dhe gjëra të tilla, dhe që janë shumë të lodhshme për t'i bërë me dorë.

Patrick Van Esch

Pyetje: Cilat janë arsyet kryesore të mospërdorimit të makinave llogaritëse në formularët një deri në tre të shkollave të mesme?

Nuk jam i sigurt se cilat janë format një deri në tre, por supozoj se po flisni për shkollën e mesme.

Unë personalisht nuk do ta mohoja përdorimin e kalkulatorit të gjimnazistëve. Fëmijët duhet të mësojnë të përdorin makinën llogaritëse dhe ta përdorin atë me mençuri - që do të thotë se ata duhet të mësojnë KUR është mirë ta përdorin atë dhe kur jo. Ndoshta dikush do të mohonte përdorimin e makinës llogaritëse në shkollën e mesme nëse një nxënës e keqpërdor vazhdimisht atë, në të tjera fjalët që e përdorin atë për 6 x 7 etj., në të cilin rast një studenti i tillë mund të ketë nevojë të rishikojë matematikën e klasave më të ulëta.

Unë jam një nxënës aktual i klasës së gjashtë, e di që shumica e fëmijëve të moshës sime preferojnë të përdorin një makinë llogaritëse jo për të kontrolluar punën, por duke bërë një pjesë të madhe të tyre janë matematikë me kalkulatorë. Llogaritësi duhet të përdoret vetëm për të kontrolluar punën, kohët e fundit mësimi im i matematikës ka Praktikisht na detyron të përdorim kalkulatorë TI30 xa, siç e dini, shkolla ofron një kalkulator që mund të shtojë, zbresë, shumëzojë dhe pjesëtojë, dhe kjo duket se është e mjaftueshme kohët e fundit unë jam duke e kapur veten duke u mbështetur në kalkulatorë për të bërë gjithçka timen Punoj, por sot gjatë orës sime të matematikës vendosa të mos bëja më makinë llogaritëse, një problem që duhej të zgjidhja ishte 3,8892 pjesëtuar me 3 dhe nuk mbaja mend si ta bëja. Dhe një ditë tjetër nëna ime më dha një problem të thjeshtë matematikor ndërsa merrja gaz dhe m'u deshën 5 minuta për të bërë këtë problem bazë të mbledhjes. Prindërit e mi nuk përdornin kalkulatorë kur ishin në shkollë dhe nëse ata nuk kishin nevojë për to, atëherë as ne nuk kemi nevojë. Por sapo të gjithë nxënësit tanë aktualë të shkollës së mesme të jenë të rritur, sistemi ynë shkollor do të shohë që të rriturit do të jenë shumë prapa në matematikë duke u mbështetur në kompjuterë dhe kalkulatorë për të bërë të gjitha veprat.

Unë pata fatin të mësoja faktet bazë të matematikës (shumëzimi, pjesëtimi, thyesat, vlerësimi, etj.) përpara se të merrja një kalkulator në klasën e 8-të, por u bëra shumë i varur nga dobia ime grafikuese TI 83 për klasat e mia të algjebrës/parallogaritjes në shkollën e mesme. Unë do të grafikoja funksionin për të gjetur zerat në vend që të përdor formulën kuadratike dhe gjëra të tilla.

Klasa ime e llogaritjes së parë nuk më lejonte kalkulatorë, dhe dështova pasi ia dola mjaft mirë në parallogaritjen e shkollës së mesme Kur kisha A-në e lehtë në shkollën e mesme) dhe përfundimisht përsërita klasën më të vështirë të llogaritjeve shumë më të përgatitura orët e serisë sime të jetës/shkencave shoqërore lejuan shërbime me 4 funksione, por jo grafikuese Gjithashtu, në kolegj më duhej të tregoja punën time. për të marrë ndonjë kredit, edhe nëse përgjigja ishte e drejtë, mendoj se një problem është se unë u mbylla shumë në gjetjen e përgjigjeve në vend që të mësoja procesin.

Nga ana tjetër, motra ime ka një makinë llogaritëse që nga klasa e 3-të, dhe ajo fjalë për fjalë nuk mund të shumëzojë 6*7 pa një makinë llogaritëse ose të bëjë një problem me fjalë, megjithëse ajo merr notat B në matematikën e shkollës së mesme.

Si student i diplomuar në Fëmijërinë e Hershme/Edukimin Fillor, e kuptoj rëndësinë e të pasurit njohuri se si të përdorni një makinë llogaritëse, sepse po, ne jetojmë në një epokë ku teknologjia përdoret gjerësisht. Megjithatë, si shumë prej jush, kur erdha për herë të parë në kolegj dhe u desh të bëja provime pa përdorur makinën llogaritëse, isha në telashe të mëdha! Unë ende ia dola shumë mirë, por m'u desh shumë kohë për të rimësuar të gjitha funksionet bazë të matematikës. Nga përvojat e mia personale në këtë fushë dhe përmes kurseve të mia, unë rekomandoj një ekuilibër të qëndrueshëm midis dy metodave!!

Unë jap matematikë në një kolegj ku një makinë llogaritëse është e ndaluar. Fatkeqësisht shumë studentë janë rrënuar duke përdorur një kalkulator. Ata kanë vështirësi të bëjnë edhe algjebrën më të thjeshtë. Kjo ka shkaktuar një rritje të matematikës korrigjuese në kolegje kudo deri në 95%. Ekziston një libër i quajtur "The Deliberate Dumbing Down Of America" ​​i shkruar nga një ish-bilbil nga Departamenti i Arsimit (i njohur gjithashtu si DOE që duhet të jetë Dopes Of Education)

Menuja e mësimeve të matematikës

Një kurrikulë elementare e matematikës për shkollën plotësuese ose në shtëpi duhet të mësojë shumë më tepër sesa "si duhet" të aritmetikës së thjeshtë. Një kurrikulë e mirë e matematikës duhet të ketë aktivitete matematikore elementare që ndërtojnë një bazë solide e cila është sa e thellë dhe e gjerë, konceptuale dhe "si të bëhet".

Time4Learning mëson një kurrikulë gjithëpërfshirëse të matematikës që lidhet me standardet shtetërore. Duke përdorur një kombinim mësimesh multimediale, fletë pune të printueshme dhe vlerësime, aktivitetet elementare të matematikës janë krijuar për të ndërtuar një bazë të fortë matematikore. Mund të përdoret si një , një , ose si një për pasurim.

Time4Learning nuk ka tarifa të fshehura, ofron një garanci 14-ditore të kthimit të parave për anëtarët e rinj dhe i lejon anëtarët të fillojnë, të ndalojnë ose të ndalojnë në çdo kohë. Provoni interaktivin ose shikoni tonën për të parë se çfarë është në dispozicion.

Mësimdhënia e strategjive të matematikës fillore

Fëmijët duhet të fitojnë aftësi matematikore duke përdorur aktivitete elementare matematikore që mësojnë një kurrikulë në një sekuencë të duhur të krijuar për të ndërtuar një themel të fortë për sukses. Le të fillojmë me atë që duket të jetë një fakt i thjeshtë matematikor: 3 + 5 = 8

Ky fakt duket si një mësim i mirë matematike për t'u dhënë, pasi një fëmijë mund të llogarisë. Por aftësia për të vlerësuar konceptin "3 + 5 = 8" kërkon një kuptim të këtyre koncepteve elementare matematikore:

• sasi– duke kuptuar se numrat e artikujve mund të numërohen. Sasia është një koncept i zakonshëm nëse po numërojmë gishtat, qentë apo pemët.
• Njohja e numrave– njohja e numrave sipas emrit, numrit, paraqitjes me pikturë ose një sasie të artikujve.
• Kuptimi i numrit– zgjidhja e konfuzionit midis numrave që i referohen një sasie ose pozicionit në një sekuencë (numrat kardinal kundrejt numrave rendorë.
• Operacionet– Të kuptuarit se sasitë mund të shtohen dhe se ky proces mund të përshkruhet me figura, fjalë ose numra.

Për të paraqitur një tablo më ekstreme, përpjekja për të mësuar shtimin me "mbartje" përpara se të keni një kuptim të fortë të vlerës së vendit është një recetë për konfuzion. Vetëm pasi të ketë zotëruar konceptet bazë të matematikës, një fëmijë duhet të provojë aktivitete më të avancuara elementare matematikore, si mbledhja. Përpjekja për të mësuar strategji elementare të matematikës përpara se të zotëroni konceptet bazë të matematikës shkakton konfuzion, duke krijuar një ndjenjë të humbur ose të dobët në matematikë. Një fëmijë mund të përfundojë duke zhvilluar një imazh të dobët për veten ose një pikëpamje negative për matematikën, të gjitha për shkak të një kurrikule të dobët të matematikës.

Është e rëndësishme të zbatohet një kurrikulë elementare e matematikës që mëson matematikën në një sekuencë, duke përdorur aktivitete elementare të matematikës që i lejojnë fëmijët të ndërtojnë në mënyrë progresive mirëkuptim, aftësi dhe besim. Mësimdhënia dhe kurrikula cilësore ndjek një sekuencë cilësore.

Time4Learning mëson një kurrikulë të personalizuar të matematikës elementare të përshtatur me nivelin aktual të aftësive të fëmijës suaj. Kjo ndihmon për të siguruar që fëmija juaj të ketë një bazë solide matematikore përpara se të prezantojë strategji elementare matematikore më të vështira dhe më komplekse. Silleni fëmijën tuaj në rrugën e duhur, në lidhje me strategjitë e Time4Learning për mësimin e matematikës fillore.

Kurrikula e Matematikës Fillore e Time4Learning

Kurrikula e matematikës e Time4Learning përmban një gamë të gjerë aktivitetesh elementare matematikore, të cilat mbulojnë më shumë sesa thjesht aritmetikë, fakte matematikore dhe operacione. Kurrikula jonë elementare e matematikës mëson këto pesë fillesa të matematikës.*

• Kuptimi i numrave dhe operacionet– Njohja e paraqitjes së numrave, njohja e "sa" janë në një grup dhe përdorimi i numrave për të krahasuar dhe paraqitur hap rrugën për të kuptuar teorinë e numrave, vlerën e vendit dhe kuptimin e veprimeve dhe mënyrën se si ato lidhen me njëri-tjetrin.
• Algjebër– Aftësia për të renditur dhe renditur objekte ose numra dhe njohja dhe ndërtimi mbi modele të thjeshta janë shembuj të mënyrave se si fëmijët fillojnë të përjetojnë algjebrën. Ky koncept elementar i matematikës vendos bazën për të punuar me variablat algjebrike ndërsa përvoja e fëmijës në matematikë rritet.
• Gjeometria dhe sensi hapësinor– Fëmijët ndërtojnë njohuritë e tyre për format bazë për të identifikuar forma më komplekse 2-D dhe 3-D duke vizatuar dhe renditur. Më pas ata mësojnë të arsyetojnë në hapësirë, lexojnë harta, vizualizojnë objektet në hapësirë ​​dhe përdorin modelimin gjeometrik për të zgjidhur problemet. fëmijët do të jenë në gjendje të përdorin gjeometrinë e koordinatave për të specifikuar përfundimisht vendndodhjet, për të dhënë drejtime dhe për të përshkruar marrëdhëniet hapësinore.
• Matja– Të mësuarit se si të matet dhe të krahasohet përfshin konceptet e gjatësisë, peshës, temperaturës, kapacitetit dhe parasë. Tregimi i kohës dhe përdorimi i parave lidhet me të kuptuarit e sistemit të numrave dhe përfaqëson një aftësi të rëndësishme jetësore.
• Analiza dhe probabiliteti i të dhënave– Ndërsa fëmijët mbledhin informacione për botën që i rrethon, ata do ta kenë të dobishme të shfaqin dhe përfaqësojnë njohuritë e tyre. Përdorimi i grafikëve, tabelave, grafikëve do t'i ndihmojë ata të mësojnë të ndajnë dhe të organizojnë të dhëna.

Kurrikulat elementare të matematikës që mbulojnë vetëm një ose dy nga këto pesë fillesa të matematikës janë të ngushta dhe çojnë në një kuptim të dobët të matematikës. Ndihmoni fëmijën tuaj të ndërtojë një bazë të fortë dhe të gjerë matematikore.

Lesia M. Ohnivchuk

Abstrakt

Artikulli shqyrton mënyrën për të zgjeruar funksionalitetin e LMS Moodle kur krijoni kurse e-learning për shkencat matematikore, në veçanti kurset e mësimit elektronik "Matematika Elementare" duke përdorur teknologjinë flash dhe aplikacionet Java. Ka shembuj të përdorimit të aplikacioneve flash dhe Java-apleteve në lëndën "Matematika Elementare".

Fjalë kyçe

LMS Moodle; kurse e-learning; blic teknologjik; Apleti Java, GeoGebra

Referencat

Brandão, L. O., "iGeom: një softuer falas për gjeometrinë dinamike në ueb", Konferenca Ndërkombëtare për Arsimin e Shkencave dhe Matematikës, Rio de Zhaneiro, Brazil, 2002.

Brandão, L. O. dhe Eisnmann, A. L. K. "Puna në progres: Projekti iComb - një miniaplikacion matematikor për mësimdhënien dhe mësimin e kombinatorikës përmes ushtrimeve" Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2

Kamiya, R. H dhe Brandão, L. O. “iVProg – një sistem për programim hyrës përmes një modeli vizual në internet. Procedurat e XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (në portugalisht).

Moodle.org: mjete të bazuara në komunitet me burim të hapur për të mësuar [Burimi elektronik]. – Mënyra e hyrjes: http://www.moodle.org.

MoodleDocs [Burimi elektronik]. – Mënyra e hyrjes: http://docs.moodle.org.

Teknologjitë ndërvepruese: teori, praktikë, dëshmi: udhëzues metodik për instalimin automatik: O. Pometun, L. Pirozhenko. – K.: APN; 2004. – 136 f.

Dmitri Pupinin. Lloji i pyetjes: Flash [Burimi elektronik]. – Mënyra e hyrjes: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26/02/14.

Andreev A.V., Gerasimenko P.S.. Përdorimi i Flash dhe SCORM për të krijuar detyrat përfundimtare të kontrollit [Burimi elektronik]. – Mënyra e hyrjes: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –02.26.14.

GeoGebra. Materialet [Burimi elektronik]. – Mënyra e hyrjes: http://tube.geogebra.org.

Hohenvator M. Hyrje në GeoGebra / M. Hohenvator / përkth. T. S. Ryabova. – 2012. – 153 f.

REFERENCAT (TË PËRKTHYRA DHE TË PËRKTHYRA)

Brandão, L. O. "iGeom: një softuer falas për gjeometrinë dinamike në ueb", Konferenca Ndërkombëtare për Arsimin e Shkencave dhe Matematikës, Rio de Zhaneiro, Brazil, 2002 (në anglisht).

Brandão, L. O. dhe Eisnmann, A. L. K. “Work in Progress: iComb Project - një miniaplikacion matematikor për mësimdhënien dhe mësimin e kombinatorikës përmes ushtrimeve” Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2 (në anglisht).

Kamiya, R. H dhe Brandão, L. O. “iVProg – një sistem për programim hyrës përmes një modeli vizual në internet. Procedurat e XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (në anglisht)..

Moodle.org: mjete të bazuara në komunitet me burim të hapur për të mësuar. – Në dispozicion nga: http://www.moodle.org (në anglisht).

MoodleDocs. – Në dispozicion nga: http://docs.moodle.org (në anglisht).

Pometun O. I., Pirozhenko L. V. Mësimi modern, Kiev, ASK Publ., 2004, 192 f. (në gjuhën ukrainase).

Dmitri Pupinin. Lloji i pyetjes: Flash. – Në dispozicion nga: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14 (në anglisht).

Andreev A., Gerasimenko R. Përdorimi i Flash dhe SCORM për të krijuar detyrat e kontrollit përfundimtar. – Në dispozicion nga: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 26.02.14 (në Rusisht).

Wiki GeoGebra. – Në dispozicion nga: http://www.geogebra.org (në anglisht).

Hohenwarter M. Hyrje në GeoGebra / M. Hohenwarter. – 2012. – 153 s. (në Anglisht).

E drejta e autorit (c) 2015 Lesia M. Ohnivchuk