Vërejtje paraprake. Le të gjejmë imazhin e Furierit nga d-funksionet.
Natyrisht e drejtë dhe konvertim i anasjelltë Furier:
Dhe gjithashtu:
1. Le të jetë procesi vlerë konstante x(t)=A o . Siç është sqaruar më herët, funksioni i korrelacionit i një procesi të tillë është i barabartë me Le të gjejmë dendësinë spektrale të procesit nga konvertim i drejtpërdrejtë Funksionet e Furierit R(t):
Spektri i procesit përbëhet nga një kulm i vetëm i tipit të funksionit impuls që ndodhet në origjinë. Kështu, nëse ka vetëm një frekuencë në një proces w=0, kjo do të thotë se e gjithë fuqia e procesit është e përqendruar në këtë frekuencë, e cila konfirmon formën e funksionit S(w). Nëse një funksion i rastësishëm përmban një komponent konstante, d.m.th. atëherë vlera mesatare S(w) do të ketë një ndërprerje në origjinë dhe do të karakterizohet nga prania d-funksionon në një pikë w=0.
2. Për funksion harmonik X=A o sin(w 0 t+j) funksioni i korrelacionit:
Dendësia spektrale është
Orari S(w) do të ketë dy maja të tipit të funksionit të impulsit, të vendosura në mënyrë simetrike në lidhje me origjinën e koordinatave në w=+w 0 dhe w=-w 0 . Kjo sugjeron që fuqia e procesit është e përqendruar në dy frekuenca + w 0 dhe - w 0 .
Nëse një funksion i rastësishëm ka komponentë harmonikë, atëherë dendësia spektrale ka ndërprerje në pika w= ± w 0 dhe karakterizohet nga prania e dy funksioneve delta të vendosura në këto pika.
Zhurmë e bardhë . Zhurma e bardhë është një proces i rastësishëm që ka të njëjtat vlera dendësia spektrale në të gjitha frekuencat nga -¥ në +¥: S( w) = Konst.
Një shembull i një procesi të tillë sipas supozimeve të caktuara është zhurma termike, rrezatimi kozmik etj Funksioni korrelativ i një procesi të tillë është i barabartë me
Kështu R(t) përfaqëson funksioni i impulsit, që ndodhet në origjinë.
Ky proces është një proces thjesht i rastësishëm, sepse në çdo t¹0 nuk ka asnjë lidhje midis vlerave të mëvonshme dhe të mëparshme të funksionit të rastit. Një proces me një dendësi të tillë spektrale është fizikisht jorealist, sepse ajo korrespondon me variancën pafundësisht të madhe dhe katrorin mesatar të ndryshores së rastësishme:
Një proces i tillë korrespondon me një fuqi pafundësisht të madhe dhe një burim me një energji pafundësisht të madhe.
2. Zhurma e bardhë e kufizuar me brez. Ky proces karakterizohet nga një dendësi spektrale e formës
S(w)=C në ½ w½<w n,
S(w)=0 në ½w½>w n.
ku (- w n, w n) brezi i frekuencës për densitetin spektral.
Ky është një proces i rastësishëm, dendësia spektrale e të cilit mbetet pothuajse konstante në diapazonin e frekuencës që mund të ndikojë në sistemin e kontrollit në shqyrtim, d.m.th. në diapazonin e frekuencës të transmetuar nga sistemi. Lloji i kurbës S(w) jashtë këtij diapazoni nuk ka rëndësi, sepse pjesë e kurbës përkatëse frekuenca më të larta, nuk do të ndikojë në funksionimin e sistemit. Ky proces korrespondon me funksionin e korrelacionit
Varianca e procesit është e barabartë me
5. Sinjali tipik hyrës i një sistemi gjurmues. Si sinjal tipik merret sinjali grafiku i të cilit është paraqitur në figurën 63. Shpejtësia e rrotullimit të boshtit të lëvizjes së sistemit servo ruhet vlerë konstante për periudha të caktuara kohore t 1, t 2,...
Kalimi nga një vlerë në tjetrën ndodh menjëherë. Intervalet kohore i binden ligjit të shpërndarjes Poisson. pritje
Fig.63. Sinjali tipik
Një grafik i këtij lloji merret si përafrim i parë gjatë gjurmimit Radari pas një objektivi në lëvizje. Vlerat konstante të shpejtësisë korrespondojnë me objektivin që lëviz në një vijë të drejtë. Një ndryshim në shenjën ose madhësinë e shpejtësisë korrespondon me manovrën e synuar.
Le m-numri mesatar i ndryshimeve të shpejtësisë për 1 s. Pastaj T=1/m do të jetë vlera mesatare e intervaleve kohore gjatë të cilave shpejtësia këndore ruan vlerën e saj konstante. Në lidhje me Radari kjo vlerë do të jetë koha mesatare që objektivi lëviz në një vijë të drejtë. Për të përcaktuar funksionin e korrelacionit, është e nevojshme të gjendet vlera mesatare e produktit
Gjatë gjetjes së kësaj vlere, mund të ketë dy raste.
1. Momente në kohë t Dhe t+t i përkasin të njëjtit interval. Atëherë mesatarja e prodhimit të shpejtësive këndore do të jetë e barabartë me katrorin mesatar shpejtësia këndore ose variancë:
2. Momente në kohë t Dhe t+t i përkasin intervaleve të ndryshme. Atëherë mesatarja e produktit të shpejtësive do të jetë e barabartë me zero, duke qenë se sasitë W(t) Dhe W(t+t) për intervale të ndryshme mund të merren parasysh sasi të pavarura:
Funksioni i korrelacionit është i barabartë me:
ku P 1 është probabiliteti i gjetjes së momenteve kohore t dhe t+t në të njëjtin interval, dhe P 2 =1- P 1 probabiliteti i gjetjes së tyre në intervale të ndryshme.
Le të vlerësojmë vlerën e P 1 . Probabiliteti që një ndryshim i shpejtësisë të ndodhë në një interval të shkurtër kohor Dt është proporcional me këtë interval dhe është i barabartë me mDt ose Dt/T. Probabiliteti për të mos ndryshuar shpejtësinë për të njëjtin interval do të jetë i barabartë me 1-Dt/T. Për një interval kohor t, probabiliteti i mos ndryshimit të shpejtësisë d.m.th. probabiliteti i gjetjes së momenteve kohore t dhe t+t në të njëjtin interval shpejtësi konstante do të jetë i barabartë me produktin e probabilitetit të mos ndryshimit të shpejtësisë në çdo interval elementar Dt, sepse këto ngjarje janë të pavarura. Për një interval të fundëm gjejmë se numri i intervaleve është i barabartë me t/Dt dhe
Duke kaluar në kufi, ne marrim
100 RUR bonus për porosinë e parë
Zgjidhni llojin e punës Teza Puna e kursit Abstrakt Punimi i magjistraturës Raporti i praktikës Rishikimi i Raportit të Nenit Test Monografi për zgjidhjen e problemeve të planit të biznesit Përgjigjet e pyetjeve Punë krijuese Ese Vizatim Kompozime Përkthimi Prezantime Shtypje Të tjera Rritja e veçantisë së tekstit Teza e doktoraturës Puna laboratorike Ndihmë në internet
Zbuloni çmimin
Funksioni i rastësishëm - një funksion që, si rezultat i përvojës, mund të pranojë një ose një tjetër të panjohur paraprakisht lloj specifik. Zakonisht argumenti i një funksioni të rastësishëm (r.f.) është koha, atëherë r.f. thirrur proces i rastësishëm(s.p.).
S.f. argument në ndryshim të vazhdueshëm t quhet një r.v i tillë, shpërndarja e së cilës varet jo vetëm nga argumenti t=t1, por edhe se çfarë vlerash të veçanta ka marrë kjo sasi për vlerat e tjera të këtij argumenti t=t 2. Këto r.v. janë të ndërlidhura me njëra-tjetrën dhe sa më të afërta të jenë vlerat e argumenteve, aq më afër janë ato me njëri-tjetrin. Në kufi, kur intervali midis dy vlerave të argumentit tenton në zero, koeficienti i korrelacionit është i barabartë me një:
ato. t 1 dhe t1+Dt1 në Dt1®0 lidhen me një marrëdhënie lineare.
S.f. pranon si rezultat i një përvoje të panumërt (në rast i përgjithshëm i panumërueshëm) grup vlerash - një për çdo vlerë argumenti ose për çdo grup vlerash argumenti. Ky funksion ka një vlerë shumë specifike për çdo moment në kohë. Rezultati i matjes së një sasie në ndryshim të vazhdueshëm është një r.v. e tillë, e cila në secilën këtë përvojë përfaqëson funksion specifik koha.
S.f. mund të konsiderohet gjithashtu si një grup i pafund i r.v., në varësi të një ose disa parametrave që ndryshojnë vazhdimisht t. Çdo vlerë e dhënë parametri t korrespondon me një s në Xt. Së bashku të gjithë s.v. X t percaktoje s.f. X(t). Këto r.v. janë të ndërlidhura me njëra-tjetrën dhe sa më të forta aq më afër janë me njëri-tjetrin.
Elementare s.f. – ky është produkt i një r.v të zakonshëm. X te disa funksione jo të rastësishme j(t): X(t)=X×j(t), d.m.th. një s.f i tillë në të cilin nuk është e rastësishme pamja, por vetëm shkalla e saj.
S.f. 
- ka një m.o. e barabartë me zero. fq– r.v dendësia e shpërndarjes X(s.f. vlerat X(t)), marrë me një vlerë arbitrare t 1 argument t.
Zbatimi i s.f. X(t)– përshkruar nga ekuacioni x=f1(t) në t=t1 dhe ekuacioni x=f2(t) në t=t2.
Në përgjithësi funksionon x=f1(t) Dhe x=f2(t) – funksione të ndryshme. Por këto funksione janë identike dhe lineare, aq më shumë ( t1®t2) t 1 është më afër t 2.
Dendësia e probabilitetit njëdimensional s.f. p(x,t)– varet nga X dhe nga parametri t. Dendësia dydimensionale e probabilitetit p(x1,x2;t1,t2)– ligji i përbashkët i shpërndarjes së vlerave X(t1) dhe X(t2) Me. f. X(t) për dy vlera arbitrare t Dhe t¢ argument t.
. (66.5)
Në përgjithësi, funksioni X(t) karakterizohet nga një numër i madh n-ligjet dimensionale të shpërndarjes 
.
M.o. s.f. X(t)- funksion jo i rastësishëm, i cili për çdo vlerë argumenti t e barabartë me m.o. ordinatat s.f. me këtë argument t.
- funksion në varësi të x Dhe t.
Po kështu, dispersioni është një funksion jo i rastësishëm.
Shkalla e varësisë r.v. për vlera të ndryshme të argumentit karakterizohet nga një funksion autokorrelacioni.
Funksioni i autokorrelacionit s.f. X(t) Kx(ti,tj), e cila për çdo çift vlerash ti, tj e barabartë me momentin e korrelacionit të ordinatave përkatëse të s.f. (në i=j funksioni i korrelacionit (c.f.) kthehet në dispersion të c.f.);
ku - dendësia e kyçeve shpërndarjet e dy r.v. (s.f. vlerat) të marra në dy vlera arbitrare t 1 dhe t 2 argumente t. Në t1=t2=t marrim variancën D(t).
Funksioni i autokorrelacionit - një grup m.o. produktet e devijimeve të dy ordinatave s.f. , marrë me argumentet t1 Dhe t 2, nga ordinatat e funksionit jo të rastësishëm m.o. , marrë me të njëjtat argumente.
Funksioni i autokorrelacionit karakterizon shkallën e ndryshueshmërisë së s.f. kur argumenti ndryshon. Në Fig. është e qartë se varësia midis vlerave të s.f. që korrespondon me dy vlera të dhëna të argumentit t- më e dobët në rastin e parë.
Oriz. Funksionet e rastit të lidhura me korrelacionin
Nëse dy s.f. X(t) Dhe Y(t), që formojnë sistemin nuk janë të pavarur, atëherë funksioni i tyre i korrelacionit të ndërsjellë është identikisht jo zero:
ku është dendësia e shpërndarjes së përbashkët të dy r.v. (vlerat e dy s.f. X(t) Dhe Y(t)), marrë me dy argumente arbitrare ( t 1 - argumenti i funksionit X(t), t 2 - argumenti i funksionit Y(t)).
Nëse X(t) dhe Y(t) janë të pavarura, atëherë K XY( t1,t2)=0. Sistemi i n s.f. X 1(t), X2(t),...,Xn(t) karakterizuar n m.o. 
, n funksionet e autokorrelacionit dhe më shumë n(n-1)/2 funksione korrelacioni.
Funksioni i korrelacionit të ndërsjellë (karakterizon marrëdhënien ndërmjet dy s.f., d.m.th. varësinë stokastike) të dy s.f. X(t) Dhe Y(t)- funksion jo i rastësishëm i dy argumenteve t unë dhe t j, që për çdo çift vlerash t unë, t j është e barabartë me momentin e korrelacionit të seksioneve përkatëse të s.f. Vendos një lidhje midis dy vlerave të dy funksioneve (vlerat - r.v.), me dy argumente t 1 dhe t 2.
Rëndësi të veçantë janë stacionare funksione të rastësishme , karakteristikat probabilistike të të cilave nuk ndryshojnë me asnjë ndryshim në argument. M.o. stacionare s.f. është konstante (d.m.th. nuk është funksion), dhe funksioni i korrelacionit varet vetëm nga ndryshimi në vlerat e argumenteve t unë dhe t j.
Kjo madje funksion(në mënyrë simetrike OY).
Në rëndësi të madhe intervali kohor t=t2-t1 devijimi i ordinatës s.f. prej saj m.o. në një moment në kohë t 2 bëhet praktikisht i pavarur nga vlera e këtij devijimi në momentin kohor t 1. Në këtë rast funksioni KX (t), duke dhënë vlerën e momentit të korrelacionit ndërmjet X(t1) Dhe X(t2), në ½ t½®¥ priret në zero.
Shumë stacionare s.f. kanë ergodik veti, që është se me një interval vëzhgimi në rritje të pakufizuar, vlera mesatare e vrojtuar e stacionares s.f. me probabilitet të barabartë me 1, do t'i afrohet në mënyrë të pacaktuar m.o. Vëzhgimi i s.f stacionare. në kuptime të ndryshme mjafton interval i madh në një eksperiment është e barabartë me vëzhgimin e vlerave të tij në të njëjtën vlerë t në një sërë eksperimentesh.
Ndonjëherë është e nevojshme të përcaktohen karakteristikat e s.f të transformuar. sipas karakteristikave të inicialit s.f. Pra, nëse
(70.5),
Se 
ato. m.o. integral (derivativ) i s.f. e barabartë me integralin (derivativin) e m.o. ( y(t)- shkalla e ndryshimit të s.f. X(t), - shkalla e ndryshimit të m.o.).
Kur integrohen ose diferencohen s.f. marrim edhe s.f. Nëse X(t) atëherë shpërndahet normalisht Z(t) Dhe Y(t) gjithashtu shpërndahen normalisht. Nëse X(t)– stacionare s.f., pastaj Z(t) jo më stacionare s.f., sepse 
varet nga t.
Shembuj të funksioneve të korrelacionit.
1) 
(nga (2) në b®0); 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5)
(nga (3) me b®0); 6) 
(nga (4) me b®0).
Në tabela a= 1, b= 5, s= 1.
a- karakterizon shkallën e uljes lidhje korrelacioni ndërmjet ordinatave të s.f. me ndryshim në rritje ndërmjet argumenteve të këtyre ordinatave t.
a/b- karakterizon "shkallën e parregullsisë së procesit". Në nivel të ulët a/b ordinatat e procesit rezultojnë të jenë shumë të ndërlidhura dhe zbatimi i procesit është i ngjashëm me një sinusoid; në liri a/b 
(71.5).
Formula (71) për një funksion të palëvizshëm merr formën:
Funksioni i korrelacionit s.f. dhe derivati i tij 
. Për një proces stacionar të diferencueshëm, ordinata s.f. dhe derivati i tij i marrë në të njëjtin moment në kohë janë të pakorreluara r.v. (dhe për një proces normal, të pavarur).
Kur shumëzohet s.f. tek ai përcaktues fitojmë s.f. Z(t)=a(t)X(t), funksioni i korrelacionit të të cilit është i barabartë me
KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),
Ku a(t)- funksion përcaktues.
Shuma e dy s.f. është edhe s.f. Z(t)=X(t)+Y(t) dhe funksioni i tij i korrelacionit në prani të një korrelacioni midis X(t) dhe Y(t):
KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1,t2),(73.5)
Ku KXY(t1,t2)- shih (68.5) - funksioni i korrelacionit të ndërsjellë të dy s.f. X(t) Dhe Y(t).
Nëse X(t) Dhe Y(t) atëherë janë të pavarur KXY(t1,t2)=0. M.o. s.f. Z(t): 
.
Në të gjithë paragrafët e mëparshëm të këtij kapitulli supozohej se kontrolli dhe ndikimet shqetësuese janë funksione të caktuara të kohës. Megjithatë, për sistemet e kontrollit automatik që veprojnë në kushte reale, është karakteristikë se këto ndikime janë të rastësishme dhe thelbësisht të paparashikueshme.
Konsideroni, për shembull, funksionimin e një sistemi gjurmues që kontrollon një antenë radari. Për këtë sistem, veprimi i kontrollit është pozicioni i objektivit, dhe ndikimet shqetësuese mund të konsiderohen ngarkesat e erës në antenë, devijimet e rrezes nga drejtimi drejt objektivit për shkak të thyerjes në atmosferë, zhurma e brendshme në rrugën e amplifikimit. të sistemit, ndërhyrje nga furnizimet me energji etj. Të gjitha këto procese shkaktohen nga shumë arsye ndërvepruese dhe janë të tilla karakter kompleks, se ato nuk mund të përfaqësohen nga ndonjë funksion i caktuar i kohës. E njëjta gjë mund të thuhet për veprimin e kontrollit. Në praktikë, ai nuk mund të konsiderohet një sinjal tipik, për shembull, një sinjal i shkallëzuar, në rritje lineare, sinusoidal ose ndonjë sinjal i rregullt. Në realitet, objektivi është duke manovruar, kështu që pozicioni i tij në çdo moment pasues nuk mund të parashikohet me saktësi. Ky manovrim shoqërohet me bredhje të vazhdueshme të pikës reflektuese përgjatë trupit të objektivit.
Kështu, sinjalet e kontrollit dhe shqetësimet në kushte reale janë procese të rastësishme. Procesi i rastësishëm ose stokastik
është një funksion i kohës që është një ndryshore e rastësishme për secilën vlerë të argumentit. Nëse në vend të kohës përdoret një variabël tjetër i pavarur, atëherë përdoret termi funksion i rastësishëm. Kur kushtet për një proces të rastësishëm riprodhohen në mënyrë të përsëritur, ky i fundit merr vlera të ndryshme çdo herë. vlera specifike. Këto vlera në funksion të kohës quhen realizime të një procesi të rastësishëm. Në Fig. XIII. 14.
Përshkrimi matematikor i një procesi të rastësishëm. Për një vlerë fikse të argumentit, procesi i rastësishëm është një ndryshore e rastësishme, përshkrimi i plotë i së cilës jepet nga funksioni i shpërndarjes
dmth probabiliteti që në për momentin ndryshorja e rastësishme do të marrë një vlerë më të vogël se Siç dihet nga teoria e probabilitetit, në vend të funksionit të shpërndarjes shpesh është më i përshtatshëm të përdoret densiteti i probabilitetit, i cili është derivati i tij (në kuptimin e përgjithësuar):
Nëse fiksojmë dy momente në kohë, atëherë vlerat e procesit të rastësishëm formojnë një sistem me dy ndryshore të rastësishme ose një vektor të rastësishëm dydimensional. Për të përshkrim i plotë duhet të dini funksionin e shpërndarjes dydimensionale
Oriz. XIII.14. Procesi stokastik i gabimit në matjen e koordinatës këndore të një objektivi të gjurmuar nga një stacion radar
ose dendësia dydimensionale
të cilat varen nga të dy parametrat.
Për më shumë përshkrim i detajuar Procesi i rastësishëm në momente arbitrare kohore, funksionet e shpërndarjes dhe densitetit të rendit më të lartë janë paraqitur në mënyrë të ngjashme. Kështu, i plotë përshkrim statistikor një funksion (proces) i rastësishëm jepet nga një sekuencë e kufizuar e funksioneve të tij të shpërndarjes:
ose një sekuencë të derivateve të tyre
Secili prej anëtarëve të këtyre sekuencave ka vetitë e zakonshme të funksioneve të shpërndarjes ose, përkatësisht, densiteteve. Përveç kësaj, çdo anëtar i mëpasshëm i sekuencës përcakton të gjitha ato të mëparshme. Për shembull, nëse vendosim atëherë
Ne kemi formula të ngjashme për çdo moment tjetër të kohës.
Ky kusht quhet kushti i konsistencës për një familje funksionesh shpërndarjeje. Kushti i simetrisë është gjithashtu i vlefshëm:
Në përgjithësi, funksioni i densitetit ose i shpërndarjes është më shumë se rendit të lartë nuk përcaktohen nga dendësia ose funksionet e rendit më të ulët.
Sidoqoftë, shpesh është e dobishme të merret në konsideratë i ashtuquajturi proces absolutisht i rastësishëm, vlerat e të cilit janë të pavarura në total për cilindo Për një proces të tillë, dendësia e shpërndarjes së çdo rendi përcaktohet përmes njëdimensionale:
Një proces i tillë është një thjeshtim matematikor, pasi për vlera mjaft të afërta, vlerat e çdo procesi real janë të afërta dhe, për rrjedhojë, të varura. Tek të tjerët rast ekstremështë një proces i degjeneruar ose i vetëm i përcaktuar nga një ose më shumë ndryshore të rastësishme; Për shembull,
ku është një ndryshore e rastësishme; - konstante të njohura. Një proces i tillë bëhet plotësisht i njohur nëse mund të matet në çdo moment në kohë. Në një rast më të përgjithshëm, një proces i rastësishëm i vetëm karakterizohet nga një grup variablash të rastësishëm, për shembull,
ku janë të zakonshëm (funksionet përcaktuese të kohës).
Oriz. XIII.15. Implementime të mundshme të dy funksioneve të rastësishme: a - me komponentë me frekuencë të lartë; b - me komponentë me frekuencë të ulët
Funksionet e momentit. NË probleme praktike zakonisht përdorin më shumë karakteristika të thjeshta procese të rastësishme- funksionet e momentit. Momenti i rendit të parë ose pritshmëria matematikore e procesit quhet shprehje
Nëse ky funksion merret parasysh në varësi të atëherë, të gjitha implementimet e procesit të rastësishëm do të grupohen rreth vlerës mesatare të funksionit (Fig. XIII.15).
Pritshmëritë matematikore janë më shumë shkallë të lartë quhen momentet fillestare të rendit
Një funksion i rastësishëm ka zero mesatare dhe quhet i përqendruar. Momenti qendror-quhet rendi i procesit pritje matematikore shkalla e procesit të përqendruar
Masa e shpërndarjes së vlerave të një procesi të rastësishëm në lidhje me pritjen e tij matematikore përcaktohet nga momenti i rendit të dytë, më shpesh i quajtur dispersion:
Megjithatë, karakteristikat e një procesi të rastësishëm të bazuar në densitetin e parë nuk pasqyrojnë ndryshimet në zbatime me kalimin e kohës. Për shembull, dy procese me të njëjtën densitet të parë (Fig. XIII. 15, a dhe b) ndryshojnë në shkallën e ndryshimit të zbatimeve, d.m.th., në shkallën e marrëdhënies midis dy vlerave të pranuara në një zbatim në momente të ndryshme koha. Për të përshkruar të përkohshmen strukturën e brendshme proceset e rastësishme përdorin funksionin e korrelacionit
Ky funksion shpesh quhet autokorrelacion ose kovariancë, ai luan një rol të madh në teorinë e proceseve të rastësishme.
Është e lehtë të tregohet se funksioni i korrelacionit është simetrik në lidhje me argumentet e tij dhe kur vlera e tij është e barabartë me variancën e procesit të rastësishëm. Në fakt,
Për të karakterizuar saktësinë e sistemeve të kontrollit automatik, është i përshtatshëm të përdorni një funksion korrelacioni të paqëndruar:
i quajtur edhe momenti i dytë fillestar i procesit.
Lidhja ndërmjet krijohet nga transformimet e mëposhtme:
Kur katrori mesatar i procesit do të jetë
Në sistemet e kontrollit automatik, shpesh funksionojnë disa sinjale të rastësishme shqetësuese ose kontrolli, të pavarura ose të ndërlidhura. Një masë e marrëdhënies midis dy proceseve të rastësishme është funksioni i korrelacionit të ndërsjellë
ku është dendësia e probabilitetit të përbashkët për proceset e pavarura
Funksioni i ndërlidhjes plotëson barazinë
Quhet teoria e proceseve të rastësishme, e cila përdor vetëm momente të rendit të parë dhe të dytë teoria e korrelacionit. Ajo u krijua punime seminale A. N. Kolmogorova, D. Ya Khinchina, N. Viiera. Shkencëtarët sovjetikë V.S. Pugachev, V.V. Solodovnikov dhe të tjerët dhanë një kontribut të madh në zhvillimin e tij.
Proceset e rastit stacionare. Kur merren parasysh procese të ndryshme të rastësishme, dallohet një grup procesesh, vetitë statistikore të cilat nuk ndryshojnë me ndërrimin e kohës. Procese të tilla quhen stacionare. Duke marrë parasysh implementimet e shumta të procesit të rastësishëm të paraqitur në Fig. XIII. 14, mund të supozohet se në në këtë rast fillimi i numërimit të kohës mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare, d.m.th. ka një proces të palëvizshëm. Përkundrazi, në Fig. XIII. 15, padyshim, kemi shembuj të proceseve jo-stacionare.
Studimi i sistemeve në të cilat proceset e rastësishme janë të palëvizshme është shumë më i thjeshtë se studimi i sistemeve me proceset jo stacionare. Megjithatë, proceset në shumë sisteme kontrolli mund të konsiderohen përafërsisht të palëvizshme. Kjo ka të mrekullueshme vlerë e aplikuar në teorinë e proceseve të rastësishme stacionare.
Sipas përkufizimit të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm, pritshmëria e tij matematikore duhet të jetë konstante kur argumenti zhvendoset nga çdo interval T:
dhe funksioni i korrelacionit e plotëson relacionin
Duke supozuar se zbulojmë se funksioni korrelativ i një procesi të palëvizshëm varet vetëm nga ndryshimi në lexime
Vetitë ergodike të proceseve të rastësishme. Nëse kemi një grup, ose, siç thonë ata, një ansambël realizimesh, atëherë pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit fitohen duke matur mbi ansamblin e realizimeve të një procesi të rastësishëm, domethënë, "përgjatë" procesit në një ose , respektivisht, dy nga seksionet e tij. Është gjithashtu interesante të merren parasysh rezultatet e mesatares së zbatimeve të një procesi të palëvizshëm me kalimin e kohës përgjatë boshtit në interval, duke përcaktuar këtë operacion në një mënyrë të natyrshme:
Kjo vlerë është e ndryshme për implementime të ndryshme procesi i rastësishëm është në vetvete i rastësishëm. Mund të tregohet se pritshmëria e tij matematikore për një proces të palëvizshëm është e barabartë me . Në të njëjtën kohë, shpërndarja e kësaj sasie, siç tregojnë llogaritjet e drejtpërdrejta,
Oriz. XIII.16. Diagrami i bllokut korrelator
Kushtet që një proces të jetë ergodik në lidhje me , të formuluara nga V.S Pugachev, përmbajnë momente më të larta të një procesi të rastësishëm dhe nuk janë dhënë këtu.
Vetitë e ergodicitetit të proceseve të rastësishme bëjnë të mundur zëvendësimin e mesatares mbi zbatime të shumta, gjë që është rrallë e realizueshme në praktikë, me mesataren e kohës që merret mbi një zbatim kur T është i madh.
Jo të gjitha proceset stacionare kanë veti ergodike. Për shembull, një proces të gjitha implementimet e të cilit janë variablat e rastësishëm, të cilat nuk ndryshojnë me kalimin e kohës, siç shihet lehtë, është jo-ergodike. Nga kjo rrjedh se kuptimi fizik ergodiciteti konsiston në “përzierjen e mirë” të realizimeve të një procesi të rastësishëm. Meqenëse kjo ndodh pothuajse në të gjitha aplikimet, në atë që vijon do të supozojmë se proceset në shqyrtim janë ergodike.
Për procese të tilla, është e mundur që në mënyrë eksperimentale të përcaktohet vlera mesatare dhe funksioni i korrelacionit të procesit duke përdorur pajisje speciale - korrelatorë. Parimi i funksionimit të korrelatorëve është i qartë nga Fig. XIII.16.
Duke ushqyer një sinjal të vetëm në hyrjen e korrelatorit, në daljen e tij me një kohë integrimi mjaft të madh T do të kemi vlerën mesatare të procesit x, përafërsisht që përkon me pritshmërinë e tij matematikore Nëse, atëherë, si rezultat do të kemi e dyta momenti i fillimit nga e cila është e lehtë të përcaktohet funksioni i korrelacionit.
Deri më tani kemi studiuar vetëm variabla të rastësishme skalare ose vektoriale, secila prej të cilave, si rezultat i eksperimentit, merr një vlerë specifike, përkatësisht skalar ose vektor. Megjithatë, në aplikacione hasen edhe variabla të tillë të rastësishëm, vlerat e të cilave në çdo eksperiment të caktuar ndryshojnë në varësi të kohës ose disa argumenteve të tjera. Çdo ndryshore e tillë e rastësishme merr, si rezultat i eksperimentit, një grup vlerash të panumërta (në përgjithësi, të panumërta) - një për secilën vlerë të argumentit ose për çdo grup vlerash të argumenteve. Kështu, për shembull, si rezultat i matjes së një sasie që ndryshon vazhdimisht, marrim një funksion që përcakton ligjin e ndryshimit të rezultatit të matjes me kalimin e kohës gjatë procesit të matjes. Ky funksion ka një vlerë shumë specifike për çdo moment në kohë në intervalin gjatë të cilit bëhet matja. Duke përsëritur matjen, në dukje në të njëjtat kushte, do të marrim funksione të ndryshme për shkak të pasaktësisë së instrumenteve matëse. Kështu, rezultati i matjes së një sasie që ndryshon vazhdimisht është një ndryshore e rastësishme që në çdo eksperiment të caktuar përfaqëson një funksion të caktuar të kohës, dhe në përvoja të ndryshme, të prodhuara në dukje saktësisht në të njëjtat kushte, përfaqësojnë funksione të ndryshme të kohës. Variabla të tilla të rastësishme janë funksione të rastësishme. Rezultati i matjes së njëkohshme të disa sasive vazhdimisht në ndryshim (për shembull, koordinatat e një objekti në lëvizje) mund të shërbejë si shembull i një funksioni të rastësishëm vektorial, d.m.th., një koleksion i disa funksioneve të rastit.
Një funksion i rastësishëm është një funksion vlera e të cilit për secilin vlera e dhënë argument (ose disa argumente)
është një ndryshore e rastësishme. Si rezultat i përvojës, një funksion i rastësishëm mund të marrë forma të ndryshme specifike. Çdo funksion me të cilin një funksion i rastësishëm mund të rezultojë i barabartë si rezultat i eksperimentit quhet realizim i një funksioni të rastësishëm (ose një vlerë e mundshme e një funksioni të rastit). Në përputhje me miratuar në këtë libër Sipas rregullit për përcaktimin e variablave të rastësishëm dhe vlerave të tyre të mundshme, ne do të përcaktojmë funksione të rastit me shkronja të mëdha Alfabeti latin, për shembull, Realizimet e funksioneve të rastësishme do të shënohen me shkronjat e vogla përkatëse, për shembull x, y, etj.
Argumenti i një funksioni të rastësishëm ose grupi i të gjitha argumenteve të tij do të shënohet me shkronjën ose shkronjën 5 dhe do të shkruhet, siç është zakonisht, në kllapa pas përcaktimit të vetë funksionit, për shembull nëse argumenti i një funksioni të rastit është një grup variablash skalar, atëherë ai mund të konsiderohet si një vektor -dimensional. Kështu, argumentet e funksioneve të rastësishme në teorinë e paraqitur më poshtë mund të jenë skalare arbitrare ose sasive vektoriale
Një funksion i rastësishëm mund të konsiderohet gjithashtu si një koleksion i pafund (në përgjithësi, i panumërueshëm) i variablave të rastësishëm, në varësi të një ose më shumë parametrave që ndryshojnë vazhdimisht variablat përcaktojnë funksionin e rastësishëm Ky interpretim i funksionit të rastësishëm tregon se një funksion i rastësishëm si objekt kërkime matematikore shumë më komplekse se një ndryshore e zakonshme e rastësishme, domethënë, është ekuivalente me një grup të pafundëm (në përgjithësi, të panumërueshëm) të ndryshoreve të rastit.
Në aplikimet fizike dhe teknike shpesh është e nevojshme të merren parasysh funksionet e rastësishme të kohës. Funksione të tilla të rastësishme quhen zakonisht procese të rastësishme ose stokastike. Prandaj, teoria e funksioneve të rastësishme të një ndryshoreje të pavarur shpesh quhet teoria e proceseve të rastësishme (stokastike). Një shembull i një funksioni të rastësishëm të kohës është gabimi i matjes së një sasie që ndryshon vazhdimisht. Në Fig. Figura 18 tregon një regjistrim të gabimit në matjen e koordinatës këndore të një avioni me anë të radarit, të huazuar nga.
Në fizikë, shpesh duhet të marrim parasysh funksionet e rastësishme të koordinatave të një pike në hapësirë. Një hapësirë me një shpërndarje të vlerave të një sasie të caktuar të specifikuar në të quhet fushë e kësaj sasie. Një funksion i rastësishëm i koordinatave të një pike në hapësirë jep
(kliko për të parë skanimin)
çdo pikë në hapësirë i caktohet një ndryshore e rastësishme. Si rezultat, kur studiojmë një funksion të rastësishëm të koordinatave të një pike në hapësirë, mund të flasim për një fushë të rastësishme. Prandaj, teoria e funksioneve të rastësishme të koordinatave të një pike në hapësirë shpesh quhet teoria e fushave të rastit. Një shembull i një fushe të rastësishme është fusha e vektorit të shpejtësisë së erës në një gjendje të qëndrueshme atmosferë e trazuar. Në rastin e përgjithshëm të një atmosfere të paqëndrueshme, vektori i shpejtësisë së erës është një funksion i rastësishëm i koordinatave të një pike në hapësirë dhe kohë.
Meqenëse për secilën vlerë të dhënë të argumentit, vlera e funksionit të rastit është një ndryshore e zakonshme skalare e rastësishme, atëherë e plotë karakteristikë probabiliste kjo vlerë është ligji i shpërndarjes së tij. Ky ligj i shpërndarjes quhet ligji i shpërndarjes njëdimensionale të një funksioni të rastësishëm. ligji i shpërndarjes dimensionale të një funksioni të rastësishëm është një karakteristikë e mjaftueshme e një funksioni të rastësishëm për ato probleme në të cilat vlerat e funksionit të rastit në kuptime të ndryshme argumentet konsiderohen të ndara nga njëri-tjetri. Për të zgjidhur problemet në të cilat është e nevojshme të merren parasysh së bashku vlerat e një funksioni të rastësishëm për dy ose më shumë vlera të argumentit, është e nevojshme të futen ligje të përbashkëta për shpërndarjen e vlerave të një funksioni të rastësishëm për disa vlera të argumentit.
Ligji dydimensional Shpërndarja e një funksioni të rastësishëm është ligji i përbashkët i shpërndarjes së vlerave të tij për dy vlera të marra në mënyrë arbitrare të argumentit Në përgjithësi, ligji i shpërndarjes dimensionale të një funksioni të rastësishëm është ligji i shpërndarjes së tërësisë së vlerave të tij. Për vlerat e marra në mënyrë arbitrare të argumentit Ne do të karakterizojmë ligjin -dimensionale të shpërndarjes së një funksioni të rastësishëm me densitetin e probabilitetit të tij -dimensional, i cili në rastin e përgjithshëm varet nga vlerat e argumentit si parametra.
Duke ditur densitetin e probabilitetit dy-dimensional të një funksioni të rastësishëm, mund të përcaktohet densiteti i probabilitetit të tij njëdimensional duke përdorur formulën (15.8). Si rezultat, marrim lidhjen
Në përgjithësi, duke ditur densitetin e probabilitetit -dimensional të një funksioni të rastësishëm, mund të përcaktoni të gjitha densitetet e probabilitetit të tij të numrave të dimensioneve më pak se duke përdorur formulën (15.17). Si rezultat
Kështu, duke specifikuar densitetin e probabilitetit -dimensional të një funksioni të rastësishëm, ne përcaktojmë në këtë mënyrë të gjitha densitetet e probabilitetit të tij të një numri më të vogël dimensionesh. Ligji i shpërndarjes së një funksioni të rastësishëm më shumë matjet janë një karakteristikë më e plotë e një funksioni të rastësishëm sesa çdo ligj i shpërndarjes numër më i vogël matjet. Megjithatë, ligji i shpërndarjes së çdo numri të fundëm dimensionesh nuk mund të shërbejë në rastin e përgjithshëm si një karakteristikë shteruese e një funksioni të rastësishëm, pasi njohja e ligjit të shpërndarjes -dimensionale në rastin e përgjithshëm nuk është e mjaftueshme për të përcaktuar ligjet e shpërndarjes më shumë se numri i dimensioneve. Vetëm në raste të veçanta ligji i shpërndarjes së një numri të fundëm matjesh mund të shërbejë si një karakteristikë shteruese e një funksioni të rastit. Në përgjithësi, për karakteristikat e plota një funksioni të rastësishëm duhet t'i jepet e gjithë sekuenca e ligjeve të tij të shpërndarjes, d.m.th., densiteti i probabilitetit për të gjitha vlerat
Nëse vlerat e një funksioni të rastësishëm për çdo vlerë të ndryshme të argumentit janë variabla të rastësishme të pavarura, atëherë densiteti i probabilitetit dimensional të funksionit të rastit sipas formulës (16.9) dhe përkufizimi i pavarësisë së ndryshoreve të rastit (§ 16 ), për cilindo, shprehet përmes densitetit të probabilitetit njëdimensional me formulën
Kjo formulë tregon se një karakteristikë shteruese e një funksioni të rastësishëm me vlera të pavarura është ligji i tij i shpërndarjes njëdimensionale.
Një shembull i funksioneve të rastësishme, karakteristikat shteruese të të cilave janë ligjet e shpërndarjes dy-dimensionale, janë proceset e rastësishme Markov. Një proces i rastësishëm Markov, ose një proces i rastësishëm pa pasoja, është një funksion i rastësishëm skalar ndryshore e vlerës e cila, për çdo vlerë të ndryshores, formon qark i thjeshtë Markova. Sipas përkufizimit të një zinxhiri të thjeshtë Markov,
dhënë në § 47, ligji i kushtëzuar i shpërndarjes së vlerës së një funksioni të rastësishëm varet vetëm nga vlera e ndryshores së rastësishme dhe nuk varet nga vlerat e ndryshoreve të rastësishme, prandaj, duke aplikuar në mënyrë sekuenciale formulë e përgjithshme(16.17), marrim formulën për densitetin e probabilitetit -dimensional të një procesi të rastësishëm Markov
Por dendësia e probabilitetit të kushtëzuar bazuar në formulën (16.6) është e barabartë me:
Formulat (48.4) dhe (48.5) japin:
Formulat (48.1) dhe (48.6) tregojnë se dendësia -dimensionale e probabilitetit të një procesi të rastësishëm Markov për cilindo mund të përcaktohet nëse dihet densiteti i probabilitetit të tij dydimensional. Rrjedhimisht, ligji i shpërndarjes dydimensionale është një karakteristikë shteruese e një procesi të rastësishëm Markov.
Shembulli i dytë i funksioneve të rastit, për të cilët një ligj i shpërndarjes dydimensionale është një karakteristikë shteruese, mund të jenë funksione të rastësishme të shpërndara normalisht. Ne do të konsiderojmë që një funksion i rastësishëm shpërndahet normalisht nëse grupi i vlerave të tij për çdo ndryshim në argument formon një vektor të rastësishëm të shpërndarë normalisht. Në § 23 pamë se -dimensionale ligj normal shpërndarja përcaktohet plotësisht nga pritjet matematikore, dispersionet dhe momentet e korrelacionit të ndryshoreve të rastit. Por pritjet matematikore dhe dispersionet e ndryshoreve të rastit përcaktohen plotësisht nga ligji i shpërndarjes njëdimensionale të një funksioni të rastësishëm, dhe momentet e korrelacionit të tyre - nga ligji i shpërndarjes dydimensionale të një funksioni të rastësishëm një funksion i rastësishëm i shpërndarë normalisht përcakton plotësisht ligjin e tij të shpërndarjes dimensionale për çfarëdo arsye dhe është karakteristikë e tij shteruese.
Disi më i përgjithshëm se funksioni i rastësishëm me vlera të pavarura është funksioni i rastësishëm me vlera të pakorreluara. Sidoqoftë, një funksion i rastësishëm me vlera të pakorreluara në rastin e përgjithshëm nuk mund të karakterizohet plotësisht nga ndonjë ligj i shpërndarjes me dimensione të fundme. Pavarësisht kësaj,
Funksionet e rastësishme me vlera të pakorreluara luajnë një rol të madh në teorinë e aplikuar të funksioneve të rastësishme.
Është e lehtë të kuptohet se integrali i një funksioni të rastësishëm me vlera të pakorreluara (në rastin e veçantë të pavarur) është një funksion i rastësishëm me rritje të pakorreluara (të pavarura) në zonat jo të mbivendosura të ndryshimit në argument. Në § 54 do të tregohet se integrali i një funksioni të rastësishëm me vlera të pakorreluara ka variancë të fundme vetëm nëse varianca e këtij funksioni të rastit është e pafundme. Si rezultat, funksionet e rastësishme me vlera të pakorreluara dhe variancë të pafund, zakonisht të quajtur zhurmë e bardhë, janë veçanërisht të rëndësishme për aplikacionet. Ne do ta quajmë zhurmë të bardhë çdo funksion të rastësishëm me vlera të pakorreluara që ka variancë të pafundme dhe variancë të fundme të integralit të tij mbi çdo gamë të kufizuar të variacionit të argumentit. Ky term bazohet në koncepte fizike që lidhen me sasitë që ndryshojnë me shpejtësi, vlerat e të cilave, të ndara nga periudha shumë të shkurtra kohore, janë praktikisht të pavarura. Do të shohim më tej se kur zbërthejmë funksione të tilla të rastësishme në elementare dridhjet harmonike harmonikat e të gjitha frekuencave rezultojnë të jenë të barabarta në intensitet. Kjo analogji me dritën e bardhë është arsyeja pse funksione të tilla të rastësishme quhen zhurmë e bardhë. Është i përshtatshëm për të zgjeruar këtë emër për të gjitha funksionet e rastësishme që kanë pronat e listuara, pavarësisht nga natyra fizike (ose matematikore) e argumenteve të tyre.
Zhurma e bardhë në formën e saj të pastër nuk ekziston në natyrë. Siç do të shohim në § 74, kërkohet fuqi e pafund për të realizuar zhurmën e bardhë. Prandaj koncepti i zhurmës së bardhë është abstraksioni matematik, i përshtatshëm për të ndërtuar një teori. Në praktikë, ne mund të flasim vetëm për një shkallë më të madhe ose më të vogël të përafrimit me zhurmë e bardhë, që intervali kohor minimal që ndan vlerat e një funksioni të rastësishëm që mund të konsiderohet praktikisht i pakorreluar është mjaft i vogël në mënyrë që të mund të shpërfillet.
Natyrisht, në vend që të karakterizohet një funksion i rastësishëm nga sekuenca e ligjeve të shpërndarjes së tij numra të ndryshëm matjet, mund të karakterizohet nga një ligj i shpërndarjes njëdimensionale dhe sekuenca ligjet e kushtëzuara shpërndarjet që mund të specifikohen nga dendësia përkatëse e probabilitetit të kushtëzuar
Në të njëjtën mënyrë siç u përcaktua ligji i shpërndarjes dydimensionale të një funksioni të rastësishëm, ligji i shpërndarjes dydimensionale të dy funksioneve të rastësishme është përcaktuar ligji i shpërndarjes dydimensionale të funksioneve të rastit vektor i rastësishëm, përbërësit e të cilit
janë vlera e një funksioni të rastësishëm për një vlerë të caktuar të argumentit dhe vlera e një funksioni të rastësishëm për një vlerë të caktuar të argumentit. Ligjet e përbashkëta të shpërndarjes së numrave të tjerë të dimensioneve të dy ose më shumë funksioneve të rastit përcaktohen në mënyrë të ngjashme.
Një karakteristikë shteruese e një funksioni të rastësishëm është masa e tij e probabilitetit, përkufizimi i së cilës është dhënë në § 14 për çdo objekt të rastit, duke përfshirë funksionet e rastit. Masa e probabilitetit të një funksioni të rastësishëm mund të përcaktohet nëse njihen ligjet e shpërndarjes së tij për të gjithë numrat e matjeve. Le të zgjedhim së pari nga grupi i të gjitha realizimeve të mundshme të një funksioni të rastësishëm X bashkësinë e të gjitha realizimeve, vlerat e të cilave në pika i përkasin këtyre grupeve numerike, sipas përcaktimit të një mase probabiliteti, vlerën e masës së probabilitetit të a Funksioni i rastësishëm X, që korrespondon me grupin e realizimeve të tij, përcaktohet nga formula
Kjo formulë përcakton masën e probabilitetit të një funksioni të rastësishëm X për të gjitha grupet e tipit të konsideruar për çdo zgjedhje të grupeve numerike, tani le të lidhim çdo vlerë të argumentit të funksionit të rastësishëm X grup numrash dhe konsideroni bashkësinë A të të gjitha zbatimeve të një funksioni të rastësishëm, vlerat e të cilit, për të gjitha, i përkasin bashkësive përkatëse Për të përcaktuar vlerën e masës së probabilitetit të një funksioni të rastësishëm X për një grup të tillë zbatimesh të tij. caktoni çdo numri të plotë pozitiv një ndarje të fushës së variacionit të argumentit të funksionit të rastësishëm X në qeliza në mënyrë të tillë që madhësitë e të gjitha qelizave të priren në zero në . Në secilën qelizë të ndarjes që zgjedhim pikë arbitrare në mënyrë që grupi i pikave të përmbajë të gjitha pikat që u korrespondojnë ndarjeve të mëparshme. Le të shënojmë me bashkësinë e realizimeve të një funksioni të rastësishëm X, vlerat e të cilit në pika i përkasin përkatësisht bashkësive. . Le të supozojmë se prodhimi i të gjitha bashkësive (d.m.th., bashkësia e realizimeve të një funksioni të rastësishëm X që i përket të gjitha bashkësive përkon me grupin origjinal të realizimeve A, me përjashtim të disa realizimeve të jashtëzakonshme që kanë zero probabiliteti total pamja, për çdo zgjedhje të një grupi të tillë realizimesh A. Ky supozim imponon kufizime të caktuara mbi natyrën e realizimeve të mundshme të një funksioni të rastit. Domethënë, është e nevojshme që çdo grup i zbatimeve të tij të mund të përcaktohet me çdo shkallë saktësie, duke vendosur kufizime ndaj tyre në numër i kufizuar pika që janë mjaft afër njëra-tjetrës. Duke supozuar në formulën (48.7)
le të gjejmë vlerat e masës së probabilitetit të një funksioni të rastësishëm për grupet Numrat formojnë një sekuencë monotone jo në rritje numrat jonegativë. Prandaj ka një kufi
e cila është vlera e masës së probabilitetit të funksionit të rastësishëm X për grupin e konsideruar të zbatimeve të tij A.
Formulat (48.7) dhe (48.8) përcaktojnë masën e probabilitetit të një funksioni të rastësishëm për të gjitha grupet cilindrike të realizimeve. Kjo është e mjaftueshme për ta përcaktuar atë për çdo grup implementimesh.
Për një funksion të rastësishëm, mund të përcaktoni gjithashtu funksionin e shpërndarjes, i cili është një përgjithësim natyror i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Në përputhje me përkufizimin e funksionit të shpërndarjes (14.13), funksioni i shpërndarjes i një funksioni të rastësishëm X është probabiliteti që pabarazia të plotësohet për të gjitha vlerat e argumentit
ku në mënyrë arbitrare funksioni i dhënë. Sasia është funksionale, pasi varet nga lloji i funksionit. Intervali gjysmë i pafundëm përkatës. Prandaj, bazuar në (48.8) dhe (48.7), funksioni i rastësishëm i shpërndarjes X shprehet me formulën.
Masa e probabilitetit dhe funksioni i shpërndarjes së një funksioni të rastësishëm nuk kanë ende shumë rëndësi praktike, për faktin se metodat për llogaritjen e integraleve të tipit (18.12) për një masë probabiliteti të dhënë në mënyrë arbitrare janë aktualisht shumë pak të zhvilluara.
Koncepti mund të përgjithësohet në një mënyrë krejtësisht të ngjashme funksioni karakteristik për funksione të rastësishme. Duke marrë parasysh një funksion të rastësishëm si një koleksion numër i pafund variablat e rastësishëm në varësi të një parametri që ndryshon vazhdimisht dhe duke përgjithësuar përkufizimin e funksionit karakteristik të një vektori të rastit -dimensionale (28.1), do të duhet të zgjerojmë shumën në eksponent në të gjitha vlerat e mundshme parametri që ndryshon vazhdimisht Në këtë rast, do t'ju duhet të merrni dhe zëvendësoni shumën me një integral. Si rezultat, marrim përkufizimin e funksionalitetit karakteristik të një funksioni real të rastit
ku integrali shtrihet në të gjithë domenin e variacionit të argumentit Funksionaliteti karakteristik i një funksioni të rastësishëm varet nga funksioni (d.m.th., nga vlerat e këtij funksioni për të gjitha vlerat e argumentit.
Funksionalja karakteristike është një karakteristikë shteruese e një funksioni të rastësishëm, duke përcaktuar funksionin k si një kombinim linear i funksioneve të impulsit.
Bazuar në vetitë e funksionit -, marrim:
Duke e krahasuar këtë shprehje me (28.1), arrijmë në përfundimin se sasia është një funksion karakteristik i një vektori të rastësishëm -dimensional me komponentë Prandaj, duke përdorur formulën (28.14), mund të përcaktojmë densitetin -dimensional të probabilitetit të një funksioni të rastit. Kështu, nëse funksionit karakteristik i jepet funksioni i rastësishëm, atëherë vlerat e tij për lloje të veçanta funksionesh përcaktojnë të gjitha ligjet e shpërndarjes së një funksioni të rastësishëm.
Ju mund të jepni më shumë përkufizim i përgjithshëm funksionale karakteristike. Për ta bërë këtë, së pari është e nevojshme të përcaktohet një funksional linear. Një funksional linear është një sasi që varet nga funksioni dhe plotëson kushtin
ku janë konstantet arbitrare dhe funksionet arbitrare. Integrali në eksponentin në formulën (48.11) është padyshim një funksional linear i një funksioni të rastësishëm. Shuma në eksponentin e formulës (48.13) është gjithashtu një funksional linear i një funksioni të rastit duke hequr kllapat dhe shënimin e argumentit të funksionit x.
Duke përgjithësuar përkufizimin (48.11), ne mund të përcaktojmë funksionalitetin karakteristik të një funksioni të rastit me formulën
ku A është një funksional linear arbitrar. Duke specifikuar në formulën (48.15) funksionalin linear A në formën e një integrali ose shumës, marrim formulat (48.11) dhe (48.13) si raste të veçanta të formulës (48.15). Formula (48.15) përcakton funksionalin karakteristik edhe në rastin kur argumenti i funksionit të rastësishëm X është një vektor, disa komponentë të të cilit janë variabla që ndryshojnë vazhdimisht, dhe komponentët e tjerë janë variabla diskrete, ndërsa formula (48.11) përcakton vetëm funksionalin karakteristik. në veçanti rastin kur të gjithë komponentët e vektorit ndryshojnë vazhdimisht variabla.
Nëse funksioni karakteristik i një funksioni të rastësishëm X përcaktohet nga formula
ku janë disa funksione, dhe indekset e funksioneve lineare A tregojnë funksionet e cilave argumente zbatohen, pastaj funksionet karakteristike të të gjithë numrave të dimensioneve të funksionit të rastësishëm A
do të jetë normale dhe, për rrjedhojë, funksioni i rastësishëm X është i shpërndarë normalisht. Kështu, formula (48.16) përcakton funksionalitetin karakteristik të një funksioni të rastësishëm të shpërndarë normalisht. Kjo formulë është një përgjithësim i dukshëm i formulës (28.18) për funksionin karakteristik të një vektori të rastësishëm të shpërndarë normalisht.
Shembulli 1. Gjeni densitetin e probabilitetit të një funksioni të rastësishëm të një ndryshoreje të pavarur skalare me rritje të pavarura, nëse vlera e saj është e barabartë me zero, dhe rritja e saj në çdo interval është e shpërndarë normalisht dhe ka një pritje matematikore të barabartë me zero dhe variancë
Në këtë rast, vlera e funksionit të rastësishëm X për cilindo është e barabartë me shumën e vlerës së tij për ( e barabartë me zero) dhe rritjet e tij në interval, për rrjedhojë, densiteti i probabilitetit njëdimensional i një funksioni të rastësishëm X përcaktohet nga formula.
Funksioni i rastësishëm në shqyrtim është padyshim një proces i rastësishëm Markov, pasi rritja e tij në çdo interval nuk varet nga vlerat e tij jashtë këtij intervali dhe, për rrjedhojë, vlera e tij në fund të intervalit lidhet vetëm me vlerën e tij në fillim. të intervalit dhe nuk ka lidhje të drejtpërdrejtë statistikore me vlerat e tij në pikat që i paraprijnë fillimit të intervalit. Si rezultat, për të përcaktuar të gjitha densitetet e probabilitetit të një funksioni të rastësishëm X në këtë rast, mjafton të gjesh densitetin e probabilitetit të kushtëzuar të vlerës së tij në fund të çdo intervali në lidhje me vlerën e tij në fillim të intervalit. Kjo densitet i probabilitetit të kushtëzuar shprehet qartë nga formula
Një funksion kompleks me shtresa quhet funksion
Z(t)=X(t)+Y(t)i,
Ku X(t) Dhe Y(t)-funksionet reale të rastit të një argumenti real t.
Le të përgjithësojmë përkufizimet e pritshmërisë dhe variancës matematikore në funksione komplekse të rastësishme në mënyrë që, në veçanti, në Y = 0, këto karakteristika të përkojnë me karakteristikat e paraqitura më parë për funksionet e rastësishme reale, d.m.th., në mënyrë që të plotësohen kërkesat:
m z(t)=m x(t)(*)
D z(t)=D x(t)(**)
Matematikore,duke pritur,funksioni kompleks i rastësishëm Z(t)=X(t)+Y(t)i thirrur funksion kompleks(jo rastësore)
m z ( t)=m x(t)+m y(t)i.
Në veçanti, për Y=0 marrim t z(t)=t x(t), ato. kërkesa (*) është përmbushur.
Dispersioni i funksionit kompleks të rastit Z(t) është pritshmëria matematikore e modulit në katror të një funksioni të përqendruar Z(t):
D z(t)=M[| (t)| 2 ].
Në veçanti, për Y==0 marrim D z ( t)= M[| (t)|] 2 =D x(t), pra kërkesa (**) është përmbushur.
Duke marrë parasysh se pritshmëria matematikore e shumës është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave, kemi
D z(t)=M[| (t)| 2 ]=M{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=M[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=D x(t)+D y(t).
Pra, varianca e një funksioni të rastësishëm kompleks është e barabartë me shumën e variancave të pjesëve të tij reale dhe imagjinare:
D z ( t)=D x(t)+D y(t).
Dihet se funksioni korrelativ i një funksioni real të rastit X(t) për vlera të ndryshme të argumenteve është e barabartë me variancën D x(t). Le të përgjithësojmë përkufizimin e funksionit të korrelacionit në funksione të rastësishme komplekse Z(t) në mënyrë që kur vlera të barabarta argumentet t 1 =t 2 =t funksioni i korrelacionit K z(t,t) ishte e barabartë me variancën D z(t), d.m.th., në mënyrë që kërkesa të plotësohet
K z(t,t)=D z(t). (***)
Funksioni i korrelacionit të funksionit kompleks të rastit Z(t) quhen momenti i korrelacionit seksionet ( t 1) dhe ( t 2)
K z(t 1 ,t 2)= M.
Në veçanti, me vlera të barabarta të argumenteve
K z(t,t)= M=M[| | 2 ]=D z(t).
dmth kërkesa (***) është përmbushur.
Nëse funksionet reale të rastit X(t) Dhe Y(t) janë të ndërlidhura, atëherë
K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].
Nëse X(t) Dhe Y(t) nuk janë të ndërlidhura, atëherë
K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).
Le të përgjithësojmë përkufizimin e funksionit të ndërlidhjes me funksione të rastësishme komplekse Z 1 (t)=X 1 (t)+Y 1 (t)i Dhe Z 2 (t)=X 2 (t)+Y 2 (t)i në mënyrë që, në veçanti, kur Y 1 =Y 2 = Kërkesa 0 plotësohet
Funksioni i ndërlidhjes së dy funksioneve komplekse të rastit thirrni një funksion (jo rastësor)
Në veçanti, kur Y 1 =Y 2 =0 marrim
dmth kërkesa (****) plotësohet.
Funksioni i ndërlidhjes së dy funksioneve komplekse të rastit shprehet përmes funksioneve të ndërlidhjes së pjesëve të tyre reale dhe imagjinare. formulën e mëposhtme:
Detyrat
1. Gjeni pritshmërinë matematikore të funksioneve të rastit:
a) X(t)=Ut 2 ku U- ndryshore e rastësishme, dhe M(U)=5 ,
b)X(t)= U cos2 t+Vt, Ku U Dhe V- variablat e rastësishëm, dhe M(U)=3 ,M(V)=4 .
Rep. a) m x (t)=5t2; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. K x(t 1 ,t 2) funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionet e korrelacionit të funksioneve të rastit:
a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)X(t); V) Y(t)=4X(t).
Rep. a) K y (t 1,t 2)= K x (t 1,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1) (t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.
3. Varianca është specifikuar D x(t) funksion i rastësishëm X(t). Gjeni variancën e funksioneve të rastit: a) Y(t)=X(t)+e t b)Y(t)=tX(t).
Përgjigju. a) Dy(t)=D x(t); b) Dy(t)=t 2 D x(t).
4. Gjeni: a) pritjen matematikore; b) funksioni i korrelacionit; c) variancën e një funksioni të rastit X(t)=Usin 2t, Ku U- ndryshore e rastësishme, dhe M(U)=3 ,D(U)=6 .
Përgjigju. A) m x(t) =3mëkat 2t; b) K x(t 1 ,t 2)= 6mëkat 2t 1 mëkat 2t 2 ; V) D x(t)=6mëkat 2 2t.
5. Gjeni funksionin e korrelacionit të normalizuar të funksionit të rastit X(t), duke ditur funksionin e tij korrelativ K x(t 1 ,t 2)=3cos(t 2 -t 1).
Rep. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Gjeni: a) funksionin e korrelacionit të ndërsjellë; b) funksioni i ndërlidhur i normalizuar i dy funksioneve të rastit X(t)=(t+1)U, dhe Y( t)= (t 2 + 1)U, Ku U- ndryshore e rastësishme, dhe D(U)=7.
Përgjigju. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 + l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.
7. Janë dhënë funksionet e rastësishme X(t)= (t- 1)U Dhe Y(t)=t 2 U, Ku U Dhe V- variabla të rastësishme të pakorreluara, dhe M(U)=2, M(V)= 3,D(U)=4 , D(V)=5 . Gjeni: a) pritjen matematikore; b) funksioni i korrelacionit; c) variancën e shumës Z(t)=X(t)+Y(t).
Shënim. Sigurohuni që funksioni i ndërlidhjes së funksioneve të rastit të dhënë është i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, X(t) Dhe Y(t) nuk janë të ndërlidhura.
Përgjigju. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2 ; b) K z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) D z(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.
8. Jepet pritshmëria matematikore m x(t)=t 2 +1 funksion i rastësishëm X(t). Gjeni pritshmërinë matematikore të derivatit të tij.
9. Jepet pritshmëria matematikore m x(t)=t 2 +3 funksion i rastësishëm X(t). Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni të rastësishëm Y(t)=tX"(t)+t 3.
Rep. m y (t)=t 2 (t+2).
10. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 ,t 2)= funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionin e korrelacionit të derivatit të tij.
11. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 ,t 2)= funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionet e ndërlidhjes.
