Departamenti i Arsimit, Sportit dhe Turizmit i Komitetit Ekzekutiv të Qarkut Borisov

Agjenci qeveritare arsimimi

« shkolla e mesme Nr. 16 Borisov"

trekëndëshi i Paskalit

nxënës i klasës 7 "A"

Abojan Elizaveta Alexandrovna,

Adresa e shtëpisë: Borisov,

Rruga Smolevichiskaya, 8, 76-51-80

Mbikëqyrësi:

Ishchuk Olga Eduardovna, mësuese matematike

Borisov, 2016

Tabela e përmbajtjes

Hyrje

Në këtë viti akademik filluam të studionim artikull i ri"gjeometri".

Një nga kapitujt e lëndës së gjeometrisë quhet "Trekëndëshat". Isha shumë i interesuar këtë temë. Gjithmonë kam dashur të mësoj shumë gjëra të reja për trekëndëshat, origjinën dhe kuptimin e tyre në jetën tonë. Në fund të fundit, bota e trekëndëshave është shumë misterioze dhe interesante.

Trekëndëshi është figura e parë gjeometrike e gjetur në stolitë antike. Ndërsa studioja letërsinë, mësova se në Egjipt ajo simbolizonte treshen e vullnetit shpirtëror, dashurisë, intuitës dhe inteligjencë më të lartë një person, domethënë personalitetin ose shpirtin e tij.

Aztekët përdorën imazhin e një trekëndëshi me kulmin në krye të lidhur me një trekëndësh të përmbysur si një simbol të ciklit kohor. Trekëndëshi i kombinuar me kryqin formon shenjën alkimike të Squfurit.

Trekëndësh barabrinjës, që simbolizon, sipas traditës hebraike, përsosmërinë, tek të krishterët do të thotë Triniteti - Ati, Biri dhe Fryma e Shenjtë.

Ka shumë lloje trekëndëshash, por ai që më interesoi më shumë ishte trekëndëshi i Paskalit.

Problemi i kërkimit:

Problemi i kërkimit tim është se unë u përpoqa të identifikoja dhe të tregoja se sa gjerësisht përdoren trekëndëshat në jetën praktike.

Rëndësia praktike e studimit:

Kjo punë kërkimore mund të përdoret si material shtesë për mësimet e gjeometrisë, për aktivitetet jashtëshkollore në matematikë.

Qëllimi i studimit:

Njihuni me trekëndëshin e Paskalit dhe zbatimin e tij si një lloj trekëndëshi;

Hipoteza:

Nëse numrat e trekëndëshit të Paskalit kanë veti të veçanta, atëherë mund të konsiderohet unike për zgjidhjen detyra të ndryshme

Detyrat:

Përcaktoni zbatimin e vetive të numrave të trekëndëshit të Paskalit;

Studioni literaturën me temën “Trekëndëshi i Paskalit”;

Identifikoni vetitë e numrave që përbëjnë trekëndëshin e Paskalit;

Formuloni përfundimin dhe rezultatet e studimit;

Objekti i studimit: trekëndëshi si figurë gjeometrike

Lënda e kërkimit: vetitë e trekëndëshit të Paskalit

Metodat e hulumtimit:

Punë analitike dhe statistikore me literaturë referuese, shkencore, arsimore dhe speciale;

Kërkimi i informacionit mbi burimet e internetit.

Fushat e punës:

Përzgjedhja e një problemi, burimet e literaturës, hartimi i një plani;

Puna me literaturë dhe burime të tjera;

Përpunimi i të dhënave të marra;

Analiza e rezultateve, formulimi i përfundimeve;

Trajnim multimedial.

Fazat kryesore të studimit: përgatitore; aktive;

Ecuria e studimit: reflektues; analitike; prezantuese.

Pjesa teorike puna

Hyrje në Trekëndëshin e Paskalit

Njohja ime e parë me trekëndëshin e Paskalit ndodhi gjatë studimit të temës "Ngritja e një binomi në fuqi" në një mësim algjebër.Unë tashmë i di formulat për katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës, kubin e shumës dhe kubin e diferencës. Vura re se mund të merrni formula për ngritjen e një binomi në të katërtën, të pestën, etj. shkalla është e mundur, duke pasur parasysh një model të caktuar në koeficientët dhe shkallët e secilit term.

Koeficientët e të gjitha linjave mund të rregullohen në formën e një trekëndëshi:

Kështu, u njoha me trekëndëshin e Paskalit dhe vendosa të vazhdoj të studioj trekëndëshin aritmetik.

Blaise Pascal - matematikan francez

B Les Pascal (19 qershor 1623, Clermont-Ferrand, - 19 gusht 1662, Paris) - Matematikan francez, fizikan, shkrimtar dhe filozof.

Pascal ishte një matematikan i klasit të parë. Ai ndihmoi në krijimin e dy drejtimeve të reja kryesore kërkime matematikore. Në moshën gjashtëmbëdhjetë vjeç, ai shkroi një traktat të shquar mbi temën e gjeometrisë projektive dhe në 1654 korrespondoi me Pierre de Fermat mbi teorinë e probabilitetit, e cila më pas pati një ndikim themelor në zhvillimin e ekonomisë moderne.

Trekëndëshi i Paskalit si një lloj trekëndëshi

Duke studiuar llojet e trekëndëshave, kuptova se trekëndëshi i Paskalit është një trekëndësh aritmetik i formuar nga koeficientët binomialë. Me emrin Blaise Pascal. Në fakt, trekëndëshi i Paskalit ishte i njohur shumë përpara vitit 1653, data e botimit të Traktatit mbi trekëndëshi aritmetik Pra, ky trekëndësh është riprodhuar në faqe titulli Libër mësuesi aritmetik i shkruar në fillimi i XVI Peter Apian, një astronom në Universitetin e Ingoltstadt. Një trekëndësh është përshkruar gjithashtu në një ilustrim në një libër nga një matematikan kinez i botuar në 1303. Omar Khayyam, i cili nuk ishte vetëm një filozof dhe poet, por edhe një matematikan, dinte për ekzistencën e trekëndëshit tashmë rreth vitit 1100, nga ana tjetër, duke e huazuar atë nga burimet e mëparshme kineze ose indiane.

Mësova gjithashtu nga libri “Novelat matematikore” (M., Mir, 1974) të Martin Gardnerit se “trekëndëshi i Paskalit është aq i thjeshtë sa që edhe një fëmijë dhjetëvjeçar mund ta shkruajë atë në të njëjtën kohë thesare dhe lidh së bashku aspekte të ndryshme matematikanët që në shikim të parë nuk kanë asgjë të përbashkët me njëri-tjetrin. Veti të tilla të pazakonta e bëjnë trekëndëshin e Paskalit një nga diagramet më elegante në të gjithë matematikën."

Shikova skemën për ndërtimin e një trekëndëshi të propozuar nga Hugo Steinhaus në klasiken e tij " Kaleidoskopi matematik": supozoni se hyni në qytet siç tregohet në diagram me shigjetën blu, dhe mund të ecni vetëm përpara, ose më saktë, duke zgjedhur vazhdimisht, përpara majtas ose përpara djathtas. Nyjet që mund të arrihen vetëm në një mënyrë shënohen me emoticon të gjelbër, një pikë që mund të arrihet në dy mënyra tregohet me një emoticon të kuq dhe tre, përkatësisht, me emoticon rozë. Kjo është një nga opsionet për ndërtimin e një trekëndëshi.

(Figura 1)

Duke studiuar literaturë e veçantë, mësova se fjalët shpjegojnë strukturën e trekëndëshit të Paskalit edhe më thjesht: çdo numër është i barabartë me shumën e dy numrave mbi të .

Gjithçka është elementare, por ka kaq shumë mrekulli të fshehura në të. Nëse përshkruani trekëndëshin e Pascal-it, do të merrni një trekëndësh dykëndësh. Në këtë trekëndësh, ka në krye dhe në anët. Çdo numër është i barabartë me shumën e dy numrave mbi të. Trekëndëshi mund të vazhdohet pafundësisht. Është simetrik në lidhje me boshti vertikal, duke kaluar nëpër majën e saj. Përgjatë diagonaleve (për aq sa një trekëndësh mund të ketë diagonale, por le të mos grindemi, një terminologji e tillë gjendet në botime), paralel me anët trekëndësh (të shënuar me vija të gjelbra në figurë) ndërtohen numrat trekëndësh dhe përgjithësimet e tyre në rastin e hapësirave të të gjitha dimensioneve. Numrat trekëndësh në formën më të zakonshme dhe më të njohur tregojnë se sa rrathë prekës mund të rregullohen në formën e një trekëndëshi - si shembull klasik rregullimi fillestar i topave në bilardo. Mund të bashkëngjitni dy të tjera në një monedhë - për një total prej tre - në dy mund të bashkëngjitni tre të tjera - për një total prej gjashtë.

Numrat trekëndësh i morëm në figurë: 3; 6; 10; 15.

Duke vazhduar të rrisim rreshtat duke ruajtur formën e trekëndëshit, marrim rreshtin 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., gjë që tregon i dyti. vijë e gjelbër. Ky serial i mrekullueshëm, secili anëtar i të cilit e barabartë me shumën seritë natyrore të numrave (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), gjithashtu përmban shumë njohje të njohura për adhuruesit e matematikës: 6 dhe 28 janë numra të përsosur, 36 - numër katror, 8 dhe 21 janë numra Fibonacci.

Vija tjetër e gjelbër do të na tregojë numrat katërkëndësh - mund të vendosim një top në tre - gjithsej katër, mund të vendosim gjashtë nën tre - gjithsej dhjetë, e kështu me radhë.

Për të gjetur shumën e numrave në çdo diagonale nga fillimi deri në vendin e interesit për ne, thjesht shikoni numrin e vendosur më poshtë dhe në të majtë të termit të fundit (në të majtë për diagonalen e djathtë, në të djathtë për të majtën diagonale, dhe në përgjithësi - më afër mesit të trekëndëshit). Le të duam, për shembull, të llogarisim shumën e numrave në serinë natyrore nga 1 në 9. Duke "zbritur" diagonalisht në numrin 9, do të shohim numrin 45 në pjesën e poshtme të majtë të tij shumën e kërkuar. Sa është shuma e tetë numrave të parë trekëndësh? Gjejmë numrin e tetë në diagonalen e dytë dhe lëvizim poshtë dhe majtas. Përgjigje: 120.

(Figura 2)

Trekëndëshi i Paskalit ka aplikime në teorinë e probabilitetit dhe ka veti të jashtëzakonshme.

Vetitë e trekëndëshit të Paskalit dhe zbatimi i tyre në zgjidhjen e problemave

Pascal eksploroi në detaje vetitë dhe aplikimet e "trekëndëshit" të tij. Do të jap si shembull vetëm 3 veti të “trekëndëshit”, të gjetura nga vetë Paskali; në këtë rast, unë do të vazhdoj nga vendndodhja e "trekëndëshit" në aeroplan, i cili u tregua nga Pascal, dhe do të flas për rreshtat horizontale dhe vertikale.

Vetia 1: Çdo numër A në tabelë është i barabartë me shumën e numrave të rreshtit të mëparshëm horizontal, duke filluar nga ai më i majti deri tek ai menjëherë mbi numrin A (në të cilin qelizat që përmbajnë termat që mblidhen në A janë me hije).(Figura 4)

(Figura 4)(Figura 5)(Figura 6)

Vetia 2: Çdo numër A në tabelë është i barabartë me shumën e numrave të të mëparshmit rresht vertikal, duke filluar nga lart deri tek numri A menjëherë në të majtë.(Figura 5)

Prona 3:Çdo numër në tabelë, duke u reduktuar me një, është i barabartë me shumën e të gjithë numrave që mbushin drejtkëndëshin e kufizuar nga ato rreshta vertikale dhe horizontale në kryqëzimin e të cilave qëndron numri A (vetë këto rreshta nuk përfshihen në drejtkëndësh në pyetje).(Figura 6)

Trekëndëshi i Paskalit dhe teoria e probabilitetit.

Blaise Pascal dhe të tjerë francez i madh, Pierre Fermat, u bënë themeluesit e teorisë së probabilitetit kur Pascal dhe Fermat dhanë në mënyrë të pavarur shpjegim i saktë i ashtuquajturi paradoksi i ndarjes së normës. Dy lojtarë luajnë një lojë "të padëmshme" (d.m.th., të dy kanë të njëjtin shans për të fituar), duke rënë dakord që i pari që do të fitojë gjashtë ndeshje do të marrë të gjithë çmimin. Le të supozojmë se loja ndaloi përpara se njëri prej tyre të fitonte një çmim (për shembull, lojtari i parë fitoi pesë ndeshje dhe lojtari i dytë fitoi tre). Si ta ndani çmimin në mënyrë të drejtë? Kështu, sipas një vendimi, çmimi duhet të ishte ndarë në një raport 5: 3, d.m.th. në proporcion me lojërat e fituara, sipas një tjetër - në raportin 2: 1 (këtu arsyetimi me sa duket u krye si më poshtë: meqenëse lojtari i parë fitoi dy lojëra të tjera, që është një e treta e gjashtë ndeshjeve të nevojshme për të fituar, ai duhet të marrë një të tretën e çmimit, dhe pjesa e mbetur duhet të ndahet në gjysmë).

Ndërkohë, duhet të ndani në një raport 7:1. Si Pascal ashtu edhe Fermat e trajtuan paradoksin e ndarjes së basteve si një problem probabiliteti, duke përcaktuar se një ndarje e drejtë ishte proporcionale me shanset e lojtarit të parë për të fituar çmimin. Supozoni se lojtarit të parë i ka mbetur vetëm një lojë për të fituar, dhe i dyti duhet të fitojë edhe tre ndeshje të tjera për të fituar, dhe lojtarët vazhdojnë lojën dhe luajnë të tre ndeshjet, edhe nëse disa prej tyre rezultojnë të panevojshme për të përcaktuar fituesin. . Për një vazhdimësi të tillë, të gjitha 2 3 = 8 rezultate të mundshme do të jenë po aq të mundshme. Meqenëse lojtari i dytë merr një çmim vetëm në një rezultat (nëse fiton të tre ndeshjet), dhe lojtari i parë fiton në raste të tjera, raporti është 7:1.

Në shkencë dhe praktikë, shpesh ka probleme në të cilat për të zgjidhur është e nevojshme të krijohen kombinime të ndryshme të numër i fundëm elementet dhe numëroni numrin e kombinimeve. Probleme të tilla quhen probleme të kombinuara..

Le të shqyrtojmë formulat bazë kombinatorika:

Ky është çdo nëngrup i porositurmnga elementet e kompletitn.

Në trekëndëshin e Paskalitnjë numër që tregon se sa mënyra mund të zgjidhnikelemente nga një grup që përmbann elemente të ndryshme, qëndron në kryqëzimk-të diagonale dhen-linja e saj. Për të llogaritur kombinimin , nShkoj në diagonalen e shtatë nga lart dhe numëroj tre numra horizontalisht. Unë marr numrin 35.

Ju gjithashtu mund të përdorni trekëndëshin e Pascal për të llogaritur vendosjet.

.Nëse duhet të numërojmë, atëherë duke e ditur atë , dhe 3!=6, marrim vlerën e kësaj vendosjeje 210.

Arrita në përfundimin se vetitë e konsideruara të trekëndëshit të Paskalit konfirmojnë fjalët e Martin Gardner se trekëndëshi i Paskalit është një nga skemat më elegante në të gjithë matematikën.

Rëndësia e studimit është për shkak të ndërlikimit vjetor të detyrave të CT, gjë që kërkon njohuri të thelluara jo vetëm në algjebër, por edhe në gjeometri.

Pjesa praktike puna

Në të tijën punë praktike Unë kam zgjedhur një numër problemesh në temën "Trekëndëshi i Paskalit"

Problemi 1. Dyqani Filateli shet 8 grupe të ndryshme pullash të dedikuara për tema sportive. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 grupe prej tyre?

Zgjidhja:

Në trekëndëshin e Paskalit, një numër që tregon se në sa mënyra k elemente mund të zgjidhen nga një grup që përmban n elementë të ndryshëm qëndron në kryqëzimin e diagonales k-të dhe rreshtit të n-të.

Do të gjej diagonalen e tetë nga lart dhe do të numëroj tre numra horizontalisht. Unë marr numrin 56.(Figura 8)

Detyra 2. Nga gjashtë mjekët në klinikë, dy duhet të dërgohen në kurse trajnimi të avancuara. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhja:

Do të gjej diagonalen e gjashtë nga lart dhe do të numëroj dy numra horizontalisht. Unë marr numrin 15.

(P (Figura 9)

Detyra 3. Paketa përmban 7 fletore me rreshta dhe 5 fletore në katror të madhësisë së njëjtë. Merrni 3 fletore në mënyrë të rastësishme nga paketa. Sa është probabiliteti që të tre fletoret të përfundojnë në një katror?

Zgjidhje. Së pari le të gjejmë numri total rezultatet e mundshme, d.m.th. në sa mënyra mund të zgjedhim 3 fletore nga 12 fletore?

Detyra 4. Në një rrafsh ka 10 drejtëza dhe midis tyre nuk ka vija paralele dhe saktësisht dy drejtëza kalojnë në secilën pikë të kryqëzimit të tyre. Sa pika kryqëzimi kanë?

Zgjidhja: Përgjigja është në kryqëzimin e -45 pikëve!

Detyra 5.Në çantë ka 10 topa, të numëruar nga 1 deri në 10. 2 topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që këta të jenë topa me numër 7 dhe 3?

Mund të hiqni 2 topa nga 10 të disponueshëm në 45 mënyra. Probabiliteti i ngjarjes sonë është 2 nga 45.(Figura 11)

Gjatë kërkimeve praktike, arrita përfundimet e mëposhtme: kur zgjidhni probleme kombinatorike dhe probleme në teorinë e probabilitetit, mund të përdorni jo vetëm formulat e kombinatorikës, por edhe të përdorni vetitë e trekëndëshit të Paskalit

konkluzioni

Puna në temën e zgjedhur u krye në përputhje të plotë me planin e kërkimit, përkatësisht: u vendosën objekti dhe lënda e studimit, qëllimet dhe objektivat dhe u përcaktuan rezultatet e pritura. U treguan metodat e përdorura të kërkimit dhe u përcaktua problemi.

Në këtë vepër u dha karakteristikat e përgjithshme trekëndësh si figura gjeometrike, trekëndëshi i Paskalit dhe vetitë e tij u shqyrtuan në detaje.

Kam arritur në përfundimin se një nga skemat numerike më të famshme dhe elegante në të gjithë matematikën është trekëndëshi i Paskalit. Trekëndëshi i Paskalit është një koncept shumë më i gjerë nga sa e imagjinoja. Ai jo vetëm që ka veti të mahnitshme, por u përdor gjithashtu në arkitekturën e Mesjetës për të ndërtuar skema proporcionaliteti dhe për të ndërtuar kënde të drejta nga topografët dhe arkitektët. Duke përdorur trekëndëshin e Paskalit, ju mund të zgjidhni probleme nga teoria e probabilitetit dhe kombinatorika.ME probleme kombinuese Jam takuar në mësimet e matematikës në klasën e 6-të dhe kur zgjidhja probleme të olimpiadës

Rëndësia praktike e kësaj pune është si vijon: Unë, pasi kam studiuar shumë literaturë mbi këtë çështje, fitova njohuri shtesë në fushën e matematikës, më forcoi interesimin për këtë shkencë.

Mësova se përdoret trekëndëshi i Paskalit:

Algjebër i vetëdijshëm

Gjatë zgjidhjes së problemeve të kombinuara

Për të zgjidhur probleme të ndryshme në fushën e fizikës

Me ardhjen kompjuterët ndërtimi i trekëndëshit të Pascal-it është bërë një problem i preferuar për fillestarët kur mësojnë bazat e programimit.

Puna për këtë temë doli të jetë interesante dhe e dobishme.

Lista e burimeve dhe literaturës së përdorur

1. Abachiev S.K., Fraktaliteti i ylberit të trekëndëshit të Paskalit / S.K Abachiev, - Minsk, 1999.-168f.

2. Galkin E.V. Detyra jo standarde në matematikë. Detyra logjike. Libër për studentët e klasave 5-11, Moskë, "Iluminizmi", 1996. – 194 f.

3. Martin Gardner. Kapitulli 17. Sharmi i pashtershëm i trekëndëshit të Paskalit / Romane matematikore. - Minsk: Mir, 1974.- 456 f.

4. Trekëndëshi i Paskalit. V. A. Uspensky. - Ed. 2. – Moskë: Nauka, 1979. – 48 f.

5. Fuchs D., Fuchs M., Aritmetika e koeficientëve binomial / Kuantike. - 1970. - Nr 6. - F.17-25.

6. Enciklopedi për fëmijë. T 11. Matematikë / Ch. ed. M. Aksenova; metodë. dhe respekt. ed. V. Volodin. – M.: Avanta+, 2004. – 688s.

8. http:// davaiknam. ru/ teksti/ volshebnij- treugolenik.

Koeficientët binomialë janë koeficientë në zgjerimin e (1 + x)n në fuqitë e x (i ashtuquajturi binomi i Njutonit): Me fjalë të tjera, (1 + x)n është funksioni gjenerues për koeficientët binomialë. Kuptimi koeficienti binom përcaktuar për të gjithë numrat e plotë... ... Wikipedia

Wiktionary ka një hyrje për "trekëndësh" Triangle in në një kuptim të gjerë objekt formë trekëndore, ose një treshe objektesh, lidhje në çift... Wikipedia

Tabela e numrave që janë koeficientë binomialë. Në këtë tabelë në anët trekëndëshi dykëndësh janë një, dhe secili nga numrat e mbetur është i barabartë me shumën e dy numrave mbi të majtas dhe djathtas: Në rreshtin me numër n+1... ... Enciklopedia Matematikore

Fraktali i trekëndëshit të Sierpinskit, një nga analogët dydimensionale të grupit Cantor, i propozuar nga matematikani polak Sierpinski ... Wikipedia

Ndërtimi i trekëndëshit Reuleaux Trekëndëshi Reuleaux [* 1] përfaqësohet nga ... Wikipedia

Trekëndësh tabela e numrave për përpilimin e koeficientëve binomialë (shih binomin e Njutonit). P. t u propozua nga B. Pascal (Shih Pascal). Shikoni trekëndëshin aritmetik...

Trekëndëshi i Paskalit, një tabelë numrash trekëndore për ndërtimin e koeficientëve binomialë (shih binomin e Njutonit). Në anët e A. t ka njësi, brenda shumës së dy numrave të sipërm. Në rreshtin (n + 1) të koeficientëve binomial A.T. Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Njësoj si trekëndëshi i Paskalit... Enciklopedia Matematikore

Në matematikë, koeficientët binomialë janë koeficientët në zgjerimin e binomit të Njutonit në fuqinë x. Koeficienti për shënohet ose dhe lexohet "koeficienti binomial nga n në k" (ose "ze nga n në k"): Në ... Wikipedia

Koeficientët në zgjerimin e (1 + x)n në fuqitë e x (i ashtuquajturi binomi i Njutonit): Me fjalë të tjera, (1 + x)n është funksioni gjenerues për koeficientët binomialë. Vlera e koeficientit binomial përcaktohet për të gjithë numrat e plotë n dhe k. Formula eksplicite ... Wikipedia

librat

trekëndëshi i Paskalit. Libri 102, V. A. Uspensky. Ky leksion diskuton një tabelë të rëndësishme numerike (e cila quhet trekëndëshi i Paskalit), e dobishme në zgjidhjen e një numri problemesh llogaritëse. Krahas zgjidhjes së problemeve të tilla...
trekëndëshi i Paskalit. Libri Nr. 102, V.A. Uspensky Ky leksion diskuton një tabelë të rëndësishme numerike (e cila quhet trekëndëshi i Paskalit), i dobishëm në zgjidhjen e një numri problemesh llogaritëse. Krahas zgjidhjes së problemeve të tilla...

Koeficientët binomialë janë koeficientë në zgjerimin e (1 + x)n në fuqitë e x (i ashtuquajturi binomi i Njutonit): Me fjalë të tjera, (1 + x)n është funksioni gjenerues për koeficientët binomialë. Vlera e koeficientit binomial përcaktohet për të gjithë numrat e plotë... ... Wikipedia

Trekëndëshi (kuptimet)- Wiktionary ka një artikull "trekëndësh" Një trekëndësh në kuptimin e gjerë është një objekt në formë trekëndëshi, ose një treshe objektesh të lidhura në çift... Wikipedia

TREKËNDËSHI I PASCALIT- një tabelë numrash që janë koeficientë binomialë. Në këtë tabelë, ka të tillë në brinjët e një trekëndëshi dykëndësh dhe secili nga numrat e mbetur është i barabartë me shumën e dy numrave mbi të majtas dhe djathtas: Në rreshtin e numëruar n+1... .. . Enciklopedia Matematikore

Trekëndëshi i Sierpinskit- Fraktali i trekëndëshit të Sierpinskit, një nga analogët dydimensionale të grupit Cantor, i propozuar nga matematikani polak Sierpinski ... Wikipedia

Trekëndëshi Reuleaux- Ndërtimi i trekëndëshit Reuleaux Trekëndëshi Reuleaux [* 1] përfaqësohet nga ... Wikipedia

trekëndëshi i Paskalit- tabela numerike trekëndore për përpilimin e koeficientëve binomialë (shih binomin e Njutonit). P. t u propozua nga B. Pascal (Shih Pascal). Shikoni trekëndëshin aritmetik...

Trekëndëshi aritmetik- Trekëndëshi i Paskalit, një tabelë numerike trekëndore për përpilimin e koeficientëve binomialë (shih binomin e Njutonit). Në anët e A. t ka njësi, brenda shumës së dy numrave të sipërm. Në rreshtin (n + 1) të koeficientëve binomial A.T. Enciklopedia e Madhe Sovjetike

TREKËNDËSH ARITHMETIK- njësoj si trekëndëshi i Paskalit... Enciklopedia Matematikore

Koeficienti binomial- Në matematikë, koeficientët binomialë janë koeficientët në zgjerimin e binomit të Njutonit në fuqitë e x. Koeficienti për shënohet ose dhe lexohet "koeficienti binomial nga n në k" (ose "ze nga n në k"): Në ... Wikipedia

Koeficientët binomialë- koeficientët në zgjerimin e (1 + x)n në fuqitë e x (i ashtuquajturi binomi i Njutonit): Me fjalë të tjera, (1 + x)n është funksioni gjenerues për koeficientët binomialë. Vlera e koeficientit binomial përcaktohet për të gjithë numrat e plotë n dhe k. Formula eksplicite ... Wikipedia

librat

trekëndëshi i Paskalit. Libri 102, V. A. Uspensky. Ky leksion diskuton një tabelë të rëndësishme numerike (e cila quhet trekëndëshi i Paskalit), e dobishme në zgjidhjen e një numri problemesh llogaritëse. Së bashku me zgjidhjen e problemeve të tilla... Blini për 211 UAH (vetëm në Ukrainë)
trekëndëshi i Paskalit. Libri Nr. 102, V.A. Uspensky Ky leksion diskuton një tabelë të rëndësishme numerike (e cila quhet trekëndëshi i Paskalit), i dobishëm në zgjidhjen e një numri problemesh llogaritëse. Krahas zgjidhjes së problemeve të tilla...

Të gjithë mësojnë për trekëndëshin e Paskalit në rininë e tyre. Por, me sa duket, nuk njihen të gjitha mrekullitë që përmban trekëndëshi. Në fakt, ne ende jemi duke zbuluar gjëra të reja!

Ndërtimi i një trekëndëshi është mjaft i lehtë: duhet të vendosni njësi përgjatë skajeve të jashtme, dhe çdo numër brenda është i barabartë me shumën e dy numrave që janë mbi të. Pra, numri i tretë në rreshtin e gjashtë është i barabartë me , sepse është shuma e numrave dhe .

Kujdes! Në fakt do të themi se cili është numri i dytë në rreshtin e pestë. Për arsye që së shpejti do të bëhen të qarta, fillojmë të numërojmë rreshtat dhe kolonat e trekëndëshit nga e para. Për shembull, numri i dytë në rreshtin e katërt është .

Duke ditur rregullin e shtimit, mund të vazhdoni pafundësisht: mund të shkruani aq rreshta sa të lejon durimi.

10 rreshtat e parë të trekëndëshit të Paskalit

Pascal prezantoi trekëndëshin e tij në 1653 në Arithmétique Traité du trekëndësh si pjesë e një problemi në studimin e probabilitetit dhe për llogaritjen. Pyetjet ishin diçka e tillë: "Nëse dua të zgjedh dy persona nga katër të dhëna të dhëna, sa çifte të mundshme ka?" ose "Sa është probabiliteti për të marrë një shtëpi të plotë ( shënim në poker, tre letra me një vlerë dhe dy të një tjetri) kur shpërndahen pesë letra nga një kuvertë e përzier mirë?'' Pascal dhe Fermat diskutuan kryesisht probabilitetin në letrat që shkëmbyen në atë kohë. Ju mund të shihni trekëndëshin origjinal të Pascal.

Si lidhet trekëndëshi me probabilitetin? Epo, nëse doni të zgjidhni objekte nga të dhënat, atëherë numri opsionet e mundshme zgjedhja është e barabartë me numrin e th në rreshtin e tretë të trekëndëshit. Mos harroni se numrat e rreshtave dhe numrat në vijat e një trekëndëshi fillojnë nga zero! Duke përdorur këtë rregull, ne shohim se ekzistojnë saktësisht dy mënyra për të zgjedhur dy persona nga katër vlerat e dhëna. Dhe kështu - numri i tretë në rreshtin e nëntë të trekëndëshit, atëherë ekziston një mënyrë për të zgjedhur tre persona nga nëntë të dhëna. Pasi të mësoni se si ta llogaritni këtë, do të bëni një hap të vogël drejt llogaritjes së të gjitha probabiliteteve të mundshme.

Në pamje të parë, duket mjaft e paqartë pse një trekëndësh i jep përgjigjen e saktë kësaj pyetjeje. Mund të duket gjithashtu e çuditshme që duhet të fillojmë gjithmonë nga e para për ta bërë atë të funksionojë. Për të parë se e gjithë kjo është absolutisht e saktë, do të bëjmë dy vërejtje.

Së pari, nëse keni një grup objektesh, në sa mënyra mund të zgjidhni zero objekte prej tyre? Ekziston saktësisht një mënyrë për të zgjedhur zero objekte, dhe kjo është thjesht duke deklaruar se nuk merrni asnjë prej tyre. Për më tepër, ju keni vetëm një mënyrë për të zgjedhur të gjitha objektet. Dhe kjo korrespondon saktësisht me ato në dy skajet e çdo rreshti.

Blaise Pascal

Së dyti, nëse duam të zgjedhim artikuj nga të dhënat, vërejmë se ekzistojnë dy skenarë reciprokisht ekskluzivë: ose artikulli ynë i preferuar është një nga të përzgjedhurit, ose nuk është. Nëse e zgjedhim atë, atëherë duhet të zgjedhim edhe një artikull nga artikujt e mbetur në mënyrë që të zgjedhim saktësisht artikujt. Nëse nuk zgjedhim një artikull të caktuar, atëherë duhet të zgjedhim të gjithë artikujt nga të dhënat e artikullit që mbeten pas eliminimit të artikullit tonë të preferuar. Meqenëse këto janë mundësi reciproke ekskluzive për t'u marrë sasinë totale opsionet, duhet të shtojmë numrin e opsioneve në secilin skenar.

Shkurtimisht, për të marrë numrin e mënyrave për të zgjedhur objektet nga të dhënat, duhet të shtojmë numrin e mënyrave për të zgjedhur një objekt nga , dhe numrin e mënyrave për të zgjedhur objektet nga . Por ky është pikërisht rregulli i mbledhjes për trekëndëshin e Paskalit!

Ne tashmë e dimë se një trekëndësh përcaktohet plotësisht nga rregullimi i njësive në anët e tij dhe rregulli i mbledhjes. Meqenëse këto veti vlejnë edhe për përgjigjen e pyetjes për numrin e opsioneve për zgjedhjen e objekteve, trekëndëshi duhet të japë përgjigjen e saktë edhe këtu.

Aftësia për të bërë llogaritje të tilla është e paçmueshme në shumë raste. Prandaj nuk është befasi që Pascal nuk ishte i pari. Këta numra u ekzaminuan nga matematikanët indianë, kinezë dhe iranianë kohë të ndryshme, duke filluar më shumë se një mijë vjet më parë. Dhe, sigurisht, të gjithë do të njohin trekëndëshin e Yang Hui, 1303:

Është qesharake, edhe pa mundur të dallosh numrat, mund të gjesh një gabim shtypi në këtë trekëndësh që është mbi 700 vjeç! Këshillë: Rregulli i mbledhjes e bën trekëndëshin e Paskalit simetrik në lidhje me vijën vertikale që kalon nëpër kulmin e tij. Nëse shikoni nga afër, në trekëndëshin e Yang Hui kjo simetri është thyer në një vend.

Ka shumë gjëra të mrekullueshme në trekëndësh. Ku janë mrekullitë? Disa prej tyre dallohen lehtësisht. Nëse shtoni numrat në rreshtin e tretë të një trekëndëshi, gjithmonë do të arrini në një fuqi (për shembull, ). Është goxha e mërzitshme për ne.

Disi më interesant është fakti se nëse i mbledh numrat në diagonalet e një trekëndëshi, del sekuenca e numrave Fibonacci. Dhe vetë sekuenca Fibonacci përmban shumë surpriza.

Kohët e fundit, diçka befasuese dhe e re u zbulua në trekëndëshin e Pascal. Siç e kemi parë, kur mbledhni numrat në një rresht të një trekëndëshi, ndodh diçka interesante. Ky fakt për shumat është po aq i vjetër sa vetë trekëndëshi. Megjithatë, deri në vitin 2012, para Harlan Brothers, askush nuk u përpoq të kuptonte se çfarë do të ndodhte nëse shumëzoje numrat në çdo rresht.

Le të shënojmë me prodhimin e numrave në rreshtin e trekëndëshit. Pra, , dhe kështu me radhë. Numrat që prodhohen nuk duket se kanë ndonjë veti të dukshme mrekullibërëse. Vëllezërit kishin idenë të shihnin se çfarë do të ndodhte nëse i ndanit këto produkte të llogaritura për rreshtat ngjitur. Më saktësisht, ai gjeti numrat e marrë me formulën e mëposhtme:

Kjo do të thotë, për çdo rresht ai konsideroi një thyesë numëruesi i së cilës e barabartë me produktin të gjithë numrat në rreshtin poshtë tij dhe në vijën sipër tij, dhe emëruesi është prodhimi në katror i të gjithë numrave në atë rresht.

Dhe këtu është gjëja mahnitëse: ndërsa bëhet më i madh, ky raport i afrohet numrit! Mbani mend, kjo është numër dhjetor Me numër i pafund numra afërsisht të barabartë me . Ai shfaqet në kapitalizimin e interesit, modelet e rritjes së popullsisë dhe situata të tjera me rritje eksponenciale. Është e mahnitshme që ky numër mund të jetë kaq i bukur në një mënyrë të thjeshtë gjendet në trekëndëshin e Paskalit. Meqenëse e dini se çfarë të kërkoni, është e lehtë të kuptosh se raporti në fjalë i afrohet me të vërtetë ndërsa rritesh. Siç mund ta shihni, llogaritjet kërkojnë vetëm pak algjebër.

Ky animacion i bukur nga Richard Greene tregon qartë rezultatin e Harlan Brothers:

Ka një tjetër mrekulli në trekëndësh që të gjithë duhet ta dinë. Le të ngjyrosim çdo numër në trekëndësh në njërën nga dy ngjyrat, në varësi të faktit nëse është çift apo tek. Për shembull, ne mund të pikturojmë numra çift të bardha, dhe ato të çuditshme - blu. Nëse e bëjmë këtë për 500 rreshtat e parë të trekëndëshit, marrim këtë model:

Ky është një fraktal i famshëm i njohur si trekëndëshi i Sierpinskit! Kjo çon në lloje te ndryshme pyetje. Një numër është çift ose tek nëse, kur pjesëtohet me, jep një mbetje ose, përkatësisht. Çfarë ndodh kur ndajmë me? Mbetjet mund të jenë të barabarta me ose . Çfarë ndodh nëse përdorni tetë ngjyra dhe ngjyrosni secilin numër sipas mbetjes kur pjesëtohet me tetë? Për 500 rreshtat e parë të trekëndëshit marrim një pamje të bukur:

Komentet: 6

1 Murad:

Gabime të rënda - absurditete të bëra nga paraardhësit tanë dhe ne

Hulumtimi im zbuloi gabimet e mëposhtme të rënda - absurditetet e bëra nga paraardhësit tanë dhe ne:
1. Ata besonin se njeriu është i vdekshëm, por rezulton se ai është i përjetshëm dhe ideal. Në Univers, trupat e krijuar, prej nga erdhën, nuk kthehen kurrë atje. Atëherë nuk ka vdekje - të gjithë trupat e krijuar në Univers janë të gjallë. Gjithçka deri tani i lindur nga njeriu janë rikthyer në një formë të përjetshme dhe ideale, çdo kod 30-bitësh - numrat gjejnë çiftet e tyre ideale, dhe shuma e kodeve - numrave të çifteve është 30 nëntë.
2. Ne ngrihemi vetëm në 4 faza të zhvillimit mendor, dhe ka 7 prej tyre: Vlera e mëtejshme e pandashme 1butto = 1000 st.-7 = 10 st.-21 - fillimi, pesha dhe vëllimi i një qelize të gjallë - një shpirt i gjallë dhe vlera e mëtejshme e pazgjerueshme 1sap = 1000 st.7 = 10 st.21. Kjo është madhësia e secilit sistemi diellor dhe do të ketë 3 sektilion prej tyre.
3. Të gjithë trupat e krijuar në Univers përbëhen nga të njëjtat qeliza - kube, peshë dhe vëllim 1butto = 10-21. Gruaja ideale Një 25-vjeçar përbëhet nga 360 sekstilion qeliza, dhe mashkull ideal Një 25-vjeçar është 366 sekstilion = 366x10st.21 qeliza, ku çdo qelizë është një person vetë. Kjo do të thotë që pjesa është e barabartë me të tërën: Një "Unë" për të gjitha "366x10st.21I" dhe "366x10st.21 I" për një "Unë" - kjo është për burrat.
4. Pjesa është e barabartë me të tërën dhe nuk ka numrat thyesorë, por ata menduan të kundërtën. Atëherë nuk ka irracionale dhe numrat transcendental. Nuk ka gjithashtu logaritëm, funksionet trigonometrike, kufijtë, diferencialet dhe integralet, llogaritja variacionale, teoria e probabilitetit dhe statistikat. Universi dhe dija janë të fundme, por ata menduan të kundërtën. Nuk ka nevojë të përdoren shprehje radikale.
5. Ne konsideruam barazinë Zn = Xn +Yn teorema e madhe Ekuacioni Fermat ose Diophantine është një zgjidhje e ekuacionit (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Atëherë Zn = – (Xn +Yn) është zgjidhje e ekuacionit (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn. Ata e ngatërruan zgjidhjen me ekuacionin, por nuk e dinin vetë ekuacionin. Kjo është absurde, një turp për matematikanët!
Zgjidhjet problemet e optimizimitçoi në sisteme lineare, të fuqisë dhe ekuacionet diferenciale. Rezulton se ne e ngatërruam zgjidhjen me ekuacionin e sistemit dhe nuk e dinim vetë ekuacionin: Zn = Xn + Yn është një zgjidhje e ekuacionit (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Zgjidhja Zn = Xn +Yn është +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) dhe -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n- 1)). Çdo 103n = 10n x 102n është baza e një kubi dhe në të njëjtën kohë një Rubik i rendit 10n.
Barazinë c2 = a2+ b2: katrori i hipotenuzës = shuma e katrorit të këmbëve e konsideruam teorema e Pitagorës, por rezulton se është zgjidhje e ekuacionit (c2- a2) a2 = (c2- b2 ) b2. Atëherë c2= – (a2+ b2) është zgjidhje e ekuacionit (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2. Kjo do të thotë se nga 2 të barabarta trekëndëshat kënddrejtë, këmbët e barabarta mund të formojnë një katror - bazën e një kubi. Nga 12 trekëndësha të barabartë kënddrejtë, këmbët e barabarta mund të formojnë një kub. Në varësi të gjatësisë së këmbës, mund të formoni kube të ndryshëm dhe në të njëjtën kohë rubikë.
6. Nuk e kuptuam kuptimin e mbledhjes dhe shumëzimit të 1 (njësive). Nëse ka 9 burra dhe 9 gra, atëherë 9 + 9 = 18 persona. 10 burra dhe 9 gra, pastaj 10 + 9 = 19 persona, 10 burra dhe 10 gra, pastaj 10 +10 = 20 persona, 11 burra dhe 10 gra, pastaj 11 +10 = 21 persona. Produktet 1 (njësi):
111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321. 0111111111 x 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 x 1111111110 = 01234567899876543210. Këto operacione janë në numra të plotë negativ dhe pozitiv 1-bit.
Nëse vendosim 2 kube në skajet e një segmenti me gjatësi 20 njësi. Le t'i japim njërit një tarifë minus, të dytit një plus, pastaj ato takohen njëkohësisht në mes të segmentit, secila kalon 10 njësi të rrugës, nëse nuk ka pengesa në rrugë: 01234567899876543210. Pastaj u japim të njëjtat tarifa, atëherë ata do të pushtojnë pozicionet fillestare, dhe numrat ndryshojnë: 98765432100123456789.
Nëse vendosim 2 kube në skajet e një segmenti me gjatësi 200 njësi. Le t'i japim njërës një ngarkesë minus, të dytit një plus, pastaj ato takohen njëkohësisht në mes të segmentit, secila kalon 100 njësi të shtegut, nëse nuk ka pengesa gjatë rrugës: 00...9999...00. Pastaj u japim ngarkesa me të njëjtin emër, ata do të marrin pozicionet fillestare, dhe numrat ndryshojnë: 99...0000...99.
Nëse vendosim 2 kube në skajet e një segmenti me gjatësi 2000 njësi. Le t'i japim njërës një ngarkesë minus, të dytit një plus, pastaj ato takohen njëkohësisht në mes të segmentit, secila kalon 1000 njësi të shtegut, nëse nuk ka pengesa në rrugë: 000...999999...000. Pastaj u japim ngarkesa me të njëjtin emër, ata do të marrin pozicionet fillestare, dhe numrat ndryshojnë: 999...000000...999.
Duke vazhduar këtë proces, arrijmë në 2 sekstilion njësi, më pas çdo kub, pasi të ketë kaluar, 1 sekstilion shtigje takohen në mes. Ligji i tërheqjes së Njutonit plotësohet me zmbrapsjen. Çdo shtegu 1 (njësi) duhet t'i caktohet një numër, duke filluar me 21 zero dhe duke përfunduar me 21 nëntë.
Kodi - numrat e caktuar për çdo çift - trupa të krijuar në univers, është prodhimi i numrave të plotë të përbërë nga numrat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Për shembull. , çdo çifti njerëzor i caktohet një kod - numër 30-bitësh, shuma e tyre është 30 nëntë. Caktimi i një kodi - numri i çdo personi fillon me 30 zero dhe përfundon me 30 nëntë.
Përdorimi i numrave të plotë për nevojat e njerëzimit është i mjaftueshëm në shkallën e 3-të:
-(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n); -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2);
-(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3); -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4);
7. Besohej se 1Kb = 1024b, dhe 1Kb =1000b, 1Kg =1000g, 1m =1000mm. Koha ka një bazë prej 60. 1 orë = 60 minuta, 1 minutë. = 60 sek, 1 sek = 60 mili sek, 1 mili sek = 60 mikro sek, 1 mikro sek = 60 nano sek, 1 nano sek = 60 pik sek, 1 foto sek = 60 femto sek, 1 fem sek = 60 sek. , 1 otto sek = 60 butona sek.
8. Bota ka një sistem koordinativ kub (bazë katror), jo drejtkëndor (jo kartezian). Kjo ndodh sepse X = a, Y = a, X + Y =2a, XY= a x a është baza. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ= a x a x a.
Një sistem koordinativ drejtkëndor (kartezian) fitohet nga vetia e numrave të plotë: Shuma e 2 numrave X dhe Y nuk ndryshon nga mbledhja dhe zbritja e numrit b, por prodhimet ndryshojnë.
X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
9. Modeli i Tokës nuk është një glob, por një kub dhe në të njëjtën kohë një Rubik i rendit 24 - sipërfaqja është një katror i madh, i ndarë në 576 katrorë të vegjël, të njëjtën madhësi. Gjatësia anësore katror i vogël 1000 km = 10 rr 6 m. m e sipërfaqes së Tokës duhet të mbulohet me avull, por ne jetojmë në absurditete.
10. Qendra e Tokës (fillimi, kërthiza) dhe fillimi i kohës është në veri të Turkmenistanit (Kunya-Urgench, vend i shenjtë 360), dhe ata besuan se koha filloi në Greenwich.
11. Ka shumë kalendarë në botë, por duhet të ketë kalendar universal Saparova M;
12. Viti i Ri për të përshëndetur lindjen e diellit dhe hënën e re në mbrëmje.
13. Mban një orë që tregon 24 orë. Një ditë -24 orë fillon dhe mbaron me lindjen e diellit;
14. Ka shumë alfabete dhe gjuhë në botë, por duhet të ketë një gjuhë të vetme dixhitale.
15 Ka shumë shkenca në botë, por duhet të ketë vetëm një shkencë - Arithgraph.
16. Një person lind pas 9 muajsh = ¾ e vitit, dhe ne festojmë ditëlindjen e tij çdo vit tjetër. Mosha e një personi përcaktohet me formulën: (4n)/3, ku n është numri që pjesëtohet me 3 - pas 3 vjetësh shtoni 1 vit = 9 muaj.
17.B Tabela periodike elementet kimike të D. I. Mendeleev secili element kimik një organizëm i gjallë, të gjitha paratë janë letër, metal dhe gjithashtu organizmat e gjallë, ato që hamë, pimë, marrim frymë dhe ecim janë gjithashtu organizma të gjallë. Për këtë do të bindemi duke marrë vlerën 1butto=10st.-21.
Ju mund të shtoni absurditete dhe si t'i korrigjoni ato, ne do të përfitojmë nga kjo, së shpejti do të bëhemi të përjetshëm dhe idealë.
Ekziston vetëm një rrugëdalje - një kalim i plotë në sistemin e numrave të 10-të. Nëse korrigjojmë të gjitha absurditetet, atëherë kokat tona - kompjuterët do të punojnë 1000 herë 1000 operacione në sekondë, dhe të gjitha problemet tona do të zgjidhen.
Për gjithçka në teoremaferma.far.ru, të publikuara në blogje dhe komunitete në facebook.com dhe në grupe në yandex.ru.

Për të marrë trekëndëshi i Paskalit, ne e rishkruajmë tabelën 1 nga seksioni "Formulat e shkurtuara të shumëzimit: shkalla e shumës dhe shkalla e ndryshimit" në formën e mëposhtme (Tabela P.):

Tabela P. – Grada natyrore binomi x + y

№	Diplomë	Zgjerimi në shumën e monomëve
0	(x + y) 0 =	1
1	(x + y) 1 =	1x + 1y
2	(x + y) 2 =	1x 2 + 2xy + 1y 2
3	(x + y) 3 =	1x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 1y 3
4	(x + y) 4 =	1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4
5	(x + y) 5 =	1x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + 1y 5
6	(x + y) 6 =	1x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + 1y 6
…	…	…

Tani, duke përdorur kolonën e tretë të tabelës P., ne do të përpilojmë tabelën e mëposhtme - trekëndëshi i Paskalit:

Niveli 0:

(x + y) 0 =

Niveli 1:

(x + y) 1 =