Seritë trigonometrike dhe vetitë e tyre. Seritë e numrit të kompleksitetit të shtuar

Përkufizimi i serisë trigonometrike. Funksioni /(x) i përcaktuar në numër i pakufizuar D quhet periodik nëse ekziston një numër T Ф 0 i tillë që për çdo x D plotësohet kushti. Më i vogli i këtyre numrave T quhet perioda e funksionit f(x). Shembulli 1. Një funksion i përcaktuar në një interval është periodik, pasi ekziston një numër T = 2* φ O i tillë që kushti të plotësohet për të gjitha x. Kështu, funksioni i mëkatit x ka një periudhë T = 2zh. E njëjta gjë vlen edhe për funksionin Shembulli 2. Një funksion i përcaktuar në një bashkësi numrash D është periodik, pasi ekziston një numër T Ф 0, përkatësisht, T = i tillë që për x 6 D kemi Përkufizim. Gama funksionale tipi ao SERIA FOURIER Seria trigonometrike Ortogonalitet sistemi trigonometrik Seritë Furier trigonometrike Kushtet e mjaftueshme për zbërthimin e një funksioni në një seri Furier quhen seri trigonometrike, dhe konstantet a0, a„, bn (n = 1, 2,...) quhen koeficientë të serisë trigonometrike (1). Shumat e pjesshme 5n(g) të serisë trigonometrike (1) janë kombinime lineare të funksioneve nga një sistem funksionesh të quajtur sistemi trigonometrik. Meqenëse anëtarët e kësaj serie janë funksione periodike me periodë 2π, atëherë në rastin e konvergjencës së serisë (I), shuma e saj S(x) do të jetë një funksion periodik me periodë T = 2π: Përkufizim. Zgjerimi i një funksioni periodik f(x) me periodë T = 2n në një seri trigonometrike (1) nënkupton gjetjen e një serie trigonometrike konvergjente shuma e së cilës është e barabartë me funksionin /(x). . Ortogonaliteti i sistemit trigonometrik Përkufizim. Funksionet f(x) dhe d(x), të vazhdueshme në intervalin [a, 6], quhen ortogonale në këtë interval, nëse kushti është i plotësuar, për shembull, funksionet janë ortogonale në intervalin [-1,1]. që nga Përkufizimi. Një sistem i fundëm ose i pafundëm funksionesh që janë të integrueshëm në intervalin [a, b] quhet sistem ortogonal në intervalin [a, 6), nëse për ndonjë numër të tipit të tillë që m Φ n, Teorema e barazisë 1. Sistemi trigonometrik është ortogonal në intervalin Për çdo numër të plotë n Φ 0 kemi Duke përdorur formulat e njohura trigonometria për çdo m natyrore dhe n, m Ф n, gjejmë: Së fundi, në bazë të formulës për çdo tip numër të plotë marrim serinë Trigonometrike Furierit Le t'i vendosim vetes detyrën për të llogaritur koeficientët e serisë trigonometrike (1), duke ditur Teorema e funksionit 2. Le të jetë barazia për të gjitha vlerat x, dhe seria në anën e djathtë të barazisë konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në intervalin [-3z, x]. Atëherë formulat e mëposhtme janë të vlefshme: konvergjencë uniforme seria (1) nënkupton vazhdimësinë dhe, rrjedhimisht, integrueshmërinë e funksionit f(x). Prandaj, barazitë (2) kanë kuptim. Për më tepër, seria (1) mund të integrohet term pas termi. Ne kemi nga e cila vijon e para e formulave (2) për n = 0. Le të shumëzojmë tani të dyja anët e barazisë (1) me funksioni cos mi, ku m është një numër natyror arbitrar: Seria (3), si seria (1), konvergon në mënyrë të njëtrajtshme. Prandaj, mund të integrohet term pas termi Të gjithë integralet në anën e djathtë, përveç njërit, i cili fitohet për n = m, janë të barabartë me zero për shkak të ortogonalitetit të sistemit trigonometrik. Prandaj, nga ku Në mënyrë të ngjashme, duke shumëzuar të dyja anët e barazisë (1) me sinmx dhe duke integruar nga -m në m, marrim nga ku: Le të jetë një arbitrar funksion periodik f(x) e periudhës 2*, e integrueshme në intervalin *]. Nuk dihet paraprakisht nëse mund të paraqitet si shuma e disa serive trigonometrike konvergjente. Megjithatë, duke përdorur formulat (2) është e mundur të llogariten konstantet a„ dhe bn. Përkufizimi. Një seri trigonometrike, koeficientët oq, an, b“ të së cilës përcaktohen nëpërmjet funksionit f(x) sipas formulave SERIA FOURIER Seria trigonometrike Ortogonaliteti i sistemit trigonometrik Seria trigonometrike Furier Kushtet e mjaftueshme për zbërthimin e një funksioni në një Furier. seritë quhen seri trigonometrike të Furierit të funksionit f(x), kurse koeficientët a„ , bnt të përcaktuar nga këto formula quhen koeficientët Furier të funksionit /(x). Çdo funksion f(x) i integrueshëm në intervalin [-тр, -к] mund të shoqërohet me serinë e tij Furier, d.m.th. seri trigonometrike, koeficientët e të cilave përcaktohen me formula (2). Megjithatë, nëse nuk kërkojmë asgjë nga funksioni f(x) përveç integrueshmërisë në intervalin [--i*, m], atëherë shenja e korrespondencës në relacionin e fundit, në përgjithësi, nuk mund të zëvendësohet me shenjën e barabartë. Komentoni. Shpesh është e nevojshme të zgjerohet në një seri trigonometrike funksioni /(x), i përcaktuar vetëm në intervalin (-*, n\ dhe, për rrjedhojë, jo periodik. Meqenëse në formulat (2) për koeficientët Furier, integralet llogariten mbi intervalin *], atëherë për një funksion të tillë, mund të shkruajmë edhe një seri Furiere trigonometrike. Në të njëjtën kohë, nëse vazhdojmë funksionin f(x) në mënyrë periodike përgjatë gjithë boshtit Ox, fitojmë një funksion F(x), periodik. me periodë 2n, që përkon me /(x) në intervalin (-ir, l): Ky funksion F(x) quhet shtrirje periodike e funksionit /(x) Për më tepër, funksioni F(x) nuk ka përkufizim i paqartë në pikat x = ±n, ±3r, ±5r,.... Seria Fourier për funksionin F(x) është identike me serinë Furier për funksionin /(x). Përveç kësaj, nëse seria Fourier për funksionin /(x) konvergjon me të, atëherë shuma e saj, duke qenë një funksion periodik, jep një vazhdim periodik të funksionit /(x) nga segmenti |-jt, n\ në të gjithë. bosht kau. Në këtë kuptim, të flasim për serinë Furier për funksionin /(x), të përcaktuar në intervalin (-i-, jt|, është e barabartë me të folurit për serinë Furier për funksionin F(x), e cila është një vazhdim periodik. i funksionit /(x) mbi të gjithë boshtin Ox rezulton se mjafton të formulohen kriteret për konvergjencën e serive Furiere për funksionet periodike §4 Kushtet e mjaftueshme për zbërthimin e një funksioni në një seri Furier. tregues të mjaftueshëm konvergjenca e serisë Fourier, d.m.th., ne formulojmë kushtet në funksioni i dhënë, sipas të cilit seria Fourier e ndërtuar prej saj konvergjon, dhe ne do të zbulojmë se si sillet shuma e kësaj serie. Është e rëndësishme të theksohet se megjithëse klasa e funksioneve monotonike pjesë-pjesë e dhënë më poshtë është mjaft e gjerë, funksionet për të cilat konvergojnë seritë Fourier nuk shterohen prej tyre. Përkufizimi. Një funksion f(x) quhet pjesë-pjesë monoton në segmentin [a, 6] nëse ky segment mund të ndahet në intervale me një numër të kufizuar pikash, në secilën prej të cilave f(x) është monoton, d.m.th. ose nuk zvogëlohet ose nuk rritet (shih Fig. 1). Shembulli 1. Funksioni është pjesë-pjesë monoton në intervalin (-oo,oo), pasi ky interval mund të ndahet në dy intervale (-co, 0) dhe (0, +oo), në të parën prej të cilave zvogëlohet (dhe prandaj nuk rritet), por në të dytën rritet (dhe për rrjedhojë nuk zvogëlohet). Shembulli 2. Funksioni është pjesë-pjesë monoton në segmentin [-зг, jt|, pasi ky segment mund të ndahet në dy intervale ku i pari cos i rritet nga -I në +1 dhe në të dytin zvogëlohet nga. Teorema 3. Një funksion f(x), pjesë-pjesë monotonik dhe i kufizuar në intervalin (a, b], mund të ketë në të vetëm pika ndërprerje të llojit të parë. Le të jetë, për shembull, një pikë ndërprerjeje e funksionit f(x Më pas, për shkak të funksionit të kufirit f(x) dhe monotonisë, ka kufij të fundëm të njëanshëm në të dy anët e pikës c. Kjo do të thotë se pika c është një pikë ndërprerjeje e llojit të parë (Fig. 2). Teorema 4. Nëse një funksion periodik f(x) me periodë 2π është pjesërisht monoton dhe është i kufizuar në intervalin [-m, m), atëherë seria e tij Furiere konvergon në çdo pikë x të këtij intervali. në këtë seri plotësohen barazitë: Prmmer3. Funksioni /(z) i periudhës 2jt, i përcaktuar në intervalin (-*,*) nga barazia (Fig. 3), i plotëson kushtet e teoremës. Prandaj, ajo mund të zgjerohet në një seri Fourier. Ne gjejmë koeficientët Furier për të: Seria Fourier për këtë funksion ka formën Shembulli 4. Zgjero funksionin në një seri Furier (Fig. 4) në interval Ky funksion plotëson kushtet e teoremës. Le të gjejmë koeficientët Fourier. Përdorimi i vetive të aditivitetit integral i caktuar

Në shkencë dhe teknologji shpesh duhet të përballemi me dukuri periodike, d.m.th. ato që riprodhohen pas një periudhe të caktuar kohore T, i quajtur një periudhë. Më e thjeshta nga funksionet periodike (përveç një konstante) është sasia sinusoidale: Asin(x+ ), lëkundje harmonike, ku ka një “frekuencë” të lidhur me periudhën sipas raportit: . Nga funksione të tilla të thjeshta periodike mund të përbëhen më komplekse. Natyrisht, sasitë sinusoidale përbërëse duhet të jenë të frekuencave të ndryshme, pasi shtimi i sasive sinusoidale të së njëjtës frekuencë rezulton në një sasi sinusoidale të së njëjtës frekuencë. Nëse shtoni disa sasi të formularit

Si shembull, ne riprodhojmë këtu shtimin e tre madhësive sinusoidale: . Le të shohim grafikun e këtij funksioni

Ky grafik është dukshëm i ndryshëm nga një valë sinus. Kthehu brenda në një masë më të madhe kjo ndodh për shumën e një serie të pafundme të përbërë nga terma të këtij lloji. Le të shtrojmë pyetjen: a mund të jetë ky funksion periodik i periudhës T përfaqësojnë si një shumë të fundme ose të paktën numër i pafund sasi sinusoidale? Rezulton se në lidhje me një klasë të madhe funksionesh, kjo pyetje mund të përgjigjet në mënyrë pozitive, por kjo është vetëm nëse përfshijmë të gjithë sekuencën e pafundme të termave të tillë. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se grafiku i një funksioni periodik fitohet duke mbivendosur një seri sinusoidësh. Nëse marrim parasysh secilin vlerë sinusoidale si disa harmonike lëvizje osciluese, atëherë mund të themi se ky është një lëkundje komplekse e karakterizuar nga një funksion ose thjesht harmonika e tij (e para, e dyta, etj.). Procesi i zbërthimit të një funksioni periodik në harmonikë quhet analiza harmonike.

Është e rëndësishme të theksohet se zgjerime të tilla shpesh rezultojnë të jenë të dobishme në studimin e funksioneve të specifikuara vetëm në një interval të caktuar të fundëm dhe që nuk gjenerohen nga ndonjë fenomen oshilues.

Përkufizimi. Një seri trigonometrike është një seri e formës:

Ose (1).

Numrat realë quhen koeficientë të serisë trigonometrike. Kjo seri mund të shkruhet edhe kështu:

Nëse një seri e tipit të paraqitur më sipër konvergjon, atëherë shuma e saj është një funksion periodik me periodë 2p.

Përkufizimi. Koeficientët Furier të një serie trigonometrike quhen: (2)

(3)

(4)

Përkufizimi. Fourier afër për funksion f(x) quhet seri trigonometrike koeficientët e së cilës janë koeficientët Furier.

Nëse seria Furiere e funksionit f(x) konvergon me të në të gjitha pikat e tij të vazhdimësisë, atëherë themi se funksioni f(x) zgjerohet në një seri Fourier.

Teorema.(Teorema e Dirichletit) Nëse një funksion ka një periudhë prej 2p dhe është i vazhdueshëm në një interval ose ka numri përfundimtar pikat e ndërprerjes së llojit të parë, segmenti mund të ndahet në një numër të fundëm segmentesh në mënyrë që brenda secilit prej tyre funksioni të jetë monoton, pastaj seria Fourier për funksionin konvergjon për të gjitha vlerat X, dhe në pikat e vazhdimësisë së funksionit shuma e tij S(x)është e barabartë me , dhe në pikat e ndërprerjes shuma e saj është e barabartë me , d.m.th. mesatarja aritmetike e vlerave kufitare majtas dhe djathtas.

Në këtë rast, seria Furier e funksionit f(x) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në çdo segment që i përket intervalit të vazhdimësisë së funksionit.

Një funksion që plotëson kushtet e kësaj teoreme quhet pjesë-pjesë i qetë në segment.

Le të shqyrtojmë shembuj të zgjerimit të një funksioni në një seri Fourier.

Shembulli 1. Zgjeroni funksionin në një seri Fourier f(x)=1-x, duke pasur një periodë 2p dhe jepet në segmentin .

Zgjidhje. Le ta përshkruajmë këtë funksion

Ky funksion është i vazhdueshëm në segmentin, domethënë në një segment me gjatësi një periodë, prandaj mund të zgjerohet në një seri Furier, duke konverguar me të në çdo pikë të këtij segmenti. Duke përdorur formulën (2) gjejmë koeficientin e kësaj serie: .

Le të zbatojmë formulën e integrimit sipas pjesëve dhe të gjejmë nga formulat (3) dhe (4), përkatësisht:

Duke zëvendësuar koeficientët në formulën (1), marrim ose .

Kjo barazi vlen në të gjitha pikat përveç pikave dhe (pikave ku janë bashkuar grafikët). Në secilën prej këtyre pikave, shuma e serisë është e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave të saj kufizuese djathtas dhe majtas, domethënë.

Le të paraqesim një algoritëm për zbërthimin e funksionit në serinë Fourier.

Procedura e përgjithshme Zgjidhja e problemit zbret në sa vijon.

Nga kosinuset dhe sinuset e harqeve të shumëfishta, pra një seri e formës

ose në formë komplekse

Ku një k,b k ose, në përputhje me rrethanat, c k thirrur koeficientët T.r
Për herë të parë T.r. gjetur në L. Euler (L. Euler, 1744). Ai mori dekompozim

në mes. shekulli i 18-të Në lidhje me studimin e problemit të dridhjes së lirë të një vargu, u ngrit pyetja për mundësinë e paraqitjes së një funksioni karakterizues pozicioni fillestar vargje, në trajtën e shumës së T. r. Kjo çështje shkaktoi një debat të ashpër që zgjati disa dekada, midis analistëve më të mirë të kohës - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Eu1er). Mosmarrëveshjet lidhur me përmbajtjen e konceptit të funksionit. Në atë kohë, funksionet zakonisht shoqëroheshin me funksionet e tyre analitike. detyrë, e cila çoi në shqyrtimin e vetëm analitike ose pjesë-pjesë funksionet analitike. Dhe këtu u bë e nevojshme që një funksion, grafiku i të cilit është mjaft arbitrar të ndërtojë një TR që përfaqëson këtë funksion. Por rëndësia e këtyre mosmarrëveshjeve është më e madhe. Në fakt, ata diskutuan ose u ngritën në lidhje me pyetje që lidhen me shumë në thelb koncepte të rëndësishme dhe idetë e matematikës. analiza në përgjithësi - paraqitja e funksioneve sipas serive Taylor dhe analitike. vazhdimi i funksioneve, përdorimi i serive divergjente, kufijtë, sistemet e pafundme të ekuacioneve, funksionet me polinome etj.
Dhe në të ardhmen, si në këtë periudhë fillestare, teoria e tr. shërbeu si burim i ideve të reja në matematikë.
Integral Furier, funksione pothuajse periodike, seri të përgjithshme ortogonale, abstrakte. Hulumtimi mbi T.r. shërbeu si pikënisje për krijimin e teorisë së grupeve. T.r. janë një mjet i fuqishëm për përfaqësimin dhe eksplorimin e funksioneve.

Çështja, e cila çoi në mosmarrëveshje midis matematikanëve të shekullit të 18-të, u zgjidh në 1807 nga J. Fourier, i cili tregoi formula për llogaritjen e koeficientëve të termodinamikës. (1), e cila duhet. përfaqësojnë funksionin f(x): dhe i zbatoi ato në zgjidhjen e problemeve të përçueshmërisë termike. Formulat (2) quhen formula të Furierit, edhe pse ato u gjetën më herët në A. Clairaut (1754), dhe L. Euler (1777) arriti në to duke përdorur integrimin term pas termi. T.r. (1), koeficientët e të cilave përcaktohen nga formula (2), të quajtura. Seritë Furiere të funksionit f, dhe numrat a k, b k
- Koeficientët Furier. Natyra e rezultateve të marra varet nga mënyra se si kuptohet paraqitja e një funksioni me një seri, si kuptohet integrali në formulat (2). Teori moderne
T.r. fituar pas shfaqjes së integralit Lebesgue. Teoria e T.r. mund të ndahet në dy seksione të mëdha - teori, Seria Furier
në të cilën supozohet se seria (1) është seria Furier e një funksioni të caktuar, dhe teoria e termodinamikës së përgjithshme, ku një supozim i tillë nuk bëhet. Më poshtë janë rezultatet kryesore të marra në teorinë e termodinamikës së përgjithshme. (në këtë rast, grupet dhe matshmëria e funksioneve kuptohen sipas Lebesgue).
E para sistematike Studimi i TR, në të cilin nuk supozohej se këto seri janë seri Furier, ishte disertacioni i W. Riemann (W. Riemann, 1853). Prandaj, teoria e gjeneralit T. r. thirrur ndonjëherë teoria Riemanniane e T. r. Për të studiuar vetitë e një TR arbitrare. (1) me koeficientë që priren në zero B. Riemann funksion të vazhdueshëm , F(x)

e cila është shuma e një serie uniforme konvergjente

atëherë kjo çon në përmbledhjen e serisë (1), të gjeneruar nga faktorët thirrur Metoda e përmbledhjes së Riemann-it. Duke përdorur funksionin F, formulohet parimi i lokalizimit të Riemann-it, sipas të cilit sjellja e serisë (1) në pikën x varet vetëm nga sjellja e funksionit F në një lagje të vogël arbitrarisht të kësaj pike.
Nëse T. r. konvergon në një grup masash pozitive, atëherë koeficientët e tij priren në zero (Cantor-Lebesgue). Përpjekja për koeficientët zero të TR. rrjedh edhe nga konvergjenca e saj në një grup të kategorisë së dytë (W. Young, W. Young, 1909).
Një nga problemet qendrore teoritë e gjeneralit T. r. është problemi i përfaqësimit të një funksioni arbitrar të një TR. Duke forcuar rezultatet e N. N. Luzin (1915) mbi paraqitjen e funksioneve të T. R., të përmbledhura me metodat Abel-Poisson dhe Riemann, D. E. Menshov vërtetoi (1940) teoremën e mëposhtme në lidhje me rastin më të rëndësishëm, kur paraqitet funksioni f kuptohet si T.r. te f(x) pothuajse kudo. Për çdo funksion f që është i matshëm dhe i fundëm pothuajse kudo, ekziston një ekuacion linear që konvergjon me të pothuajse kudo (teorema e Menshov). Duhet të theksohet se edhe nëse f është e integrueshme, atëherë, në përgjithësi, është e pamundur të merret seria Fourier e një funksioni f si një seri e tillë, pasi ka seri Furier që ndryshojnë kudo.
Teorema e Menshov më sipër lejon sqarimin e mëposhtëm: nëse një funksion f është i matshëm dhe i fundëm pothuajse kudo, atëherë ekziston i tillë që pothuajse kudo dhe seria Furiere e diferencuar sipas termit të funksionit j konvergon në f(x) pothuajse kudo (N.K. Bari, 1952).
Nuk dihet (1984) nëse në teoremën e Menshov është e mundur të hiqet kushti që funksioni f të jetë i fundëm pothuajse kudo. Në veçanti, nuk dihet (1984) nëse T. r. konvergojnë pothuajse kudo në
Prandaj, problemi i paraqitjes së funksioneve që mund të marrin vlera të pafundme në një grup masash pozitive u mor në konsideratë për rastin kur ai zëvendësohet nga kërkesa më e dobët - . Konvergjenca në masë me funksionet që mund të marrin vlera të pafundme përcaktohet si më poshtë: shuma të pjesshme T. p. s n(x)konvergon në masë me funksionin f(x) . nëse ku fn(x)konvergojnë në / (x)pothuajse kudo, dhe sekuenca konvergon në zero në masë. Në këtë formulim, çështja e përfaqësimit të funksioneve zgjidhet plotësisht: për çdo funksion të matshëm ekziston një TR që konvergon me të në masë (D. E. Menshov, 1948).
Shumë studime i janë kushtuar problemit të veçantisë së TR-ve: nëse dy TR të ndryshme mund të ndryshojnë në të njëjtin funksion; në një formulim tjetër: nëse T. r. konvergon në zero, atëherë a rezulton se të gjithë koeficientët e serisë janë të barabartë me zero. Këtu mund të nënkuptojmë konvergjencë në të gjitha pikat ose në të gjitha pikat jashtë një grupi të caktuar. Përgjigja e këtyre pyetjeve në thelb varet nga vetitë e atij grupi, jashtë të cilit nuk supozohet konvergjenca.
Është krijuar terminologjia e mëposhtme. Shumë emra unike nga shumë ose U- vendosur, nëse nga konvergjenca e T. r. në zero kudo, përveç, ndoshta, pikave të grupit E, rrjedh se të gjithë koeficientët e kësaj serie janë të barabartë me zero. Ndryshe Yenaz. M-set.
Siç tregoi G. Cantor (G. Cantor, 1872), si dhe çdo grup i kufizuar janë grupe U. Një arbitrar është gjithashtu një grup U (W. Jung, 1909). Nga ana tjetër, çdo grup matjesh pozitive është një grup M.
Ekzistenca e grupeve matëse M u vërtetua nga D. E. Menshov (1916), i cili ndërtoi shembullin e parë të një grupi të përsosur që zotëronte këto veti. Ky rezultat ka një rëndësi thelbësore në problemin e unike. Nga ekzistenca e M-bashkësive të masës zero, rezulton se kur funksionet e një serie trekëndore përfaqësohen si konverguese pothuajse kudo, këto seri përcaktohen në një mënyrë dukshëm unike.
Kompletet perfekte mund të jenë edhe grupe U (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Në problemin e veçantisë, një rol shumë të rëndësishëm luhet nga karakteristikat delikate grupe matëse zero. Pyetje e përgjithshme mbi klasifikimin e grupeve të masës zero në M- dhe grupi U mbetet i hapur (1984). Nuk zgjidhet as për komplete perfekte.
Problemi i mëposhtëm lidhet me problemin e veçantisë. Nëse T. r. konvergon në një funksion atëherë kjo seri duhet të jetë një seri Furiere e funksionit /. P. Du Bois-Reymond (1877) i dha një përgjigje pozitive kësaj pyetjeje nëse f është i integrueshëm Riemannian dhe seria konvergjon në f(x) në të gjitha pikat. Nga rezultatet e III. J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) vijon se përgjigja është pozitive edhe në rastin kur kudo, përveç një grupi të numërueshëm pikash, seria konvergon dhe shuma e saj është e fundme.
Nëse një seri konvergjon absolutisht në një pikë të caktuar x 0, atëherë pikat e konvergjencës së kësaj serie, si dhe pikat e konvergjencës absolute të saj, janë të vendosura në mënyrë simetrike në raport me pikën x 0. (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Sipas Teorema Denjoy - Luzin nga konvergjenca absolute e TR. (1) në një grup masash pozitive seria konvergon dhe prandaj konvergjencë absolute rreshti (1) për të gjithë X. Këtë veti e kanë edhe grupet e kategorisë së dytë, si dhe grupet e caktuara të masës zero.
Ky rishikim mbulon vetëm TR-të njëdimensionale. (1). Ka rezultate të veçanta në lidhje me gjeneralin T. r. nga disa variabla. Këtu, në shumë raste, është ende e nevojshme të gjenden formulime natyrale të problemeve.

Ndezur.: Bari N.K., Seria trigonometrike, M., 1961; Zygmund A., Seria trigonometrike, përkth. nga anglishtja, vëll. 1-2, M., 1965; Luzin N.N., Seritë integrale dhe trigonometrike, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., përkth. nga gjermanishtja, M.-L., 1948, f. 225-61.
S. A. Telyakovsky.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike.

I. M. Vinogradov.

1977-1985. Shihni se çfarë është "SERIA TRIGONOMETRIC" në fjalorë të tjerë:

Një seri e formës ku koeficientët a0, a1, b1, a2, b2 ... nuk varen nga ndryshorja x ...

Fjalori i madh enciklopedik Në matematikë, një seri trigonometrike është çdo seri e formës: Një seri trigonometrike quhet seria Furier e një funksioni nëse koeficientët dhe përcaktohen si më poshtë... Wikipedia

Seritë funksionale të formës, (1), domethënë një seri e vendosur përgjatë sinuseve dhe kosinuseve të harqeve të shumëfishta. Shpesh T.r. të shkruar në formë komplekse Numrat an, bn ose cn quhen koeficientë T.… Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Një seri e formës ku koeficientët a0, a1, b1, a2, b2, ... nuk varen nga ndryshorja x. * * * SERIA TRIGONOMETRIK SERIA TRIGONOMETRIK, një seri e formës ku koeficientët a0, a1, b1, a2, b2 ... nuk varen nga ndryshorja x ... Fjalor Enciklopedik Paraqitja trigonometrike e serisë Furier të një funksioni arbitrar me një pikë në formën e një serie (1) ose duke përdorur

hyrje komplekse, në formën e një serie: . Përmbajtja... Wikipedia seritë e pafundme trigonometrike të Furierit

- - Temat e telekomunikacionit, konceptet bazë EN seria Fourier ...

Ne do të shqyrtojmë shprehjet e serisë Fourier në formë trigonometrike dhe komplekse, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje kushteve të Dirichlet për konvergjencën e serisë Fourier. Përveç kësaj, ne do të ndalemi në detaje në shpjegimin e një koncepti të tillë si frekuenca negative e spektrit të sinjalit, e cila shpesh shkakton vështirësi në njohjen me teorinë e analizës spektrale.

Sinjali periodik. Seria Trigonometrike Furier

Si shembull, Figura 1 tregon një sekuencë pulsesh drejtkëndëshe me kohëzgjatje c, të përsëritura me një periudhë c.

Figura 1. Sekuenca periodike

Impulse drejtkëndëshe

Nga kursi analiza matematikore dihet se sistemi i funksioneve trigonometrike

Kushtet e Dirichlet për konvergjencën e serisë Fourier kërkojnë që një sinjal periodik të specifikohet në segment dhe të plotësojë kushtet e mëposhtme:

Për shembull, funksioni periodik nuk i plotëson kushtet e Dirichlet sepse funksioni ka ndërprerje të llojit të dytë dhe merr vlera të pafundme në , ku është një numër i plotë arbitrar. Pra funksioni nuk mund të përfaqësohet nga një seri Fourier. Ju gjithashtu mund të jepni një shembull të funksionit , i cili është i kufizuar, por gjithashtu nuk i plotëson kushtet e Dirichlet-it, pasi ka një numër të pafund pikash ekstreme ndërsa i afrohet zeros. Grafiku i një funksioni treguar në figurën 2.

Figura 2. Grafiku i funksionit :

A - dy periudha përsëritjeje; b - në afërsi

Figura 2a tregon dy periudha përsëritjeje të funksionit , dhe në figurën 2b - zona në afërsi të . Mund të shihet se ndërsa i afrohet zeros, frekuenca e lëkundjeve rritet pafundësisht dhe një funksion i tillë nuk mund të përfaqësohet nga një seri Furier, sepse nuk është pjesë-pjesë monotonike.

Duhet të theksohet se në praktikë nuk ka sinjale me vlera të pafundme të rrymës ose tensionit. Funksionon me numër i pafund ekstreme të llojit gjithashtu në problemet e aplikuara nuk takohen. Të gjitha sinjalet periodike reale plotësojnë kushtet e Dirichlet dhe mund të përfaqësohen nga një seri e pafundme trigonometrike Fourier e formës:

Në shprehjen (2), koeficienti specifikon komponentin konstant të sinjalit periodik.

Në të gjitha pikat ku sinjali është i vazhdueshëm, seria Fourier (2) konvergon në vlerat e sinjalit të dhënë, dhe në pikat e ndërprerjes së llojit të parë - në vlerën mesatare, ku dhe janë kufijtë në të majtë dhe në të djathtë të pikës së ndërprerjes, përkatësisht.

Dihet gjithashtu nga kursi i analizës matematikore se përdorimi i një serie të cunguar Furier, që përmban vetëm termat e parë në vend të një shume të pafundme, çon në një paraqitje të përafërt të sinjalit:

Figura 3. Përafrimi i sinjaleve duke përdorur një seri të shkurtuar Furier:

A - impulse drejtkëndëshe; b - sinjali i dhëmbit të sharrës

Seritë Furier në formë komplekse

Kështu, një sinjal periodik mund të përfaqësohet nga shuma e një komponenti konstante dhe eksponencialeve komplekse që rrotullohen në frekuenca me koeficientë për frekuenca pozitive dhe për eksponenciale komplekse që rrotullohen në frekuenca negative.

Le të shqyrtojmë koeficientët për eksponencialet komplekse që rrotullohen me frekuenca pozitive:

Shprehjet (6) dhe (7) përkojnë përveç kësaj, komponenti konstant mund të shkruhet edhe përmes një eksponenciale komplekse me frekuencë zero;

Kështu, (5), duke marrë parasysh (6)-(8), mund të përfaqësohet si një shumë e vetme kur indeksohet nga minus pafundësia në pafundësi:

Shprehja (9) është një seri Furier në formë komplekse. Koeficientët e serisë Fourier në formë komplekse lidhen me koeficientët e serisë në formë trigonometrike, dhe përcaktohen si për frekuenca pozitive ashtu edhe për ato negative. Nënshkrimi në përcaktimin e frekuencës tregon numrin e harmonikës diskrete, me nënshkrime negative që korrespondojnë me frekuencat negative.

Nga shprehja (2) rezulton se për një sinjal real koeficientët e serisë (2) janë gjithashtu real. Megjithatë, (9) lidh një sinjal real me një grup koeficientësh komplekse të ndërlidhur që lidhen me frekuencat pozitive dhe negative.

Disa shpjegime të serisë Fourier në formë komplekse

Së pari, puna me eksponentë kompleksë është në shumicën e rasteve më e lehtë sesa puna me funksione trigonometrike. Për shembull, gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të eksponentëve kompleks, mjafton vetëm të mblidhen (zbriten) eksponentët, ndërsa formulat për shumëzimin dhe pjesëtimin e funksioneve trigonometrike janë më të rënda.

Diferencimi dhe integrimi i eksponencialeve, madje edhe ato komplekse, është gjithashtu më i lehtë se funksionet trigonometrike, të cilat ndryshojnë vazhdimisht gjatë diferencimit dhe integrimit (sinusi kthehet në kosinus dhe anasjelltas).

Nëse sinjali është periodik dhe real, atëherë seria trigonometrike Furier (2) duket më e qartë, sepse të gjithë koeficientët e zgjerimit , dhe mbeten realë. Megjithatë, shpesh duhet të merret me sinjale periodike komplekse (për shembull, kur modulohet dhe demodulohet, përdoret një paraqitje kuadratike e mbështjelljes komplekse). Në këtë rast, kur përdoret seria Furier trigonometrike, të gjithë koeficientët , dhe zgjerimet (2) do të bëhen komplekse, ndërsa kur përdoret seria Fourier në formë komplekse (9), të njëjtat koeficientë zgjerimi do të përdoren si për sinjalet hyrëse reale ashtu edhe për ato komplekse. .

Dhe së fundi, është e nevojshme të ndalemi në shpjegimin e frekuencave negative që u shfaqën në (9). Kjo pyetje shpesh shkakton keqkuptime. NË jetën e përditshme nuk hasim në frekuenca negative. Për shembull, ne kurrë nuk akordojmë radion tonë në një frekuencë negative. Le të shqyrtojmë analogjinë e mëposhtme nga mekanika. Le të ketë një lavjerrës mekanik me sustë që lëkundet lirshëm me një frekuencë të caktuar. A mund të lëkundet një lavjerrës me një frekuencë negative? Sigurisht që jo. Ashtu si nuk ka stacione radio që transmetojnë në frekuenca negative, frekuenca e lëkundjeve të një lavjerrës nuk mund të jetë negative. Por një lavjerrës pranveror është një objekt njëdimensional (lavjerrësi lëkundet përgjatë një linje të drejtë).

Mund të japim edhe një analogji tjetër nga mekanika: një rrotë që rrotullohet me një frekuencë prej . Rrota, ndryshe nga lavjerrësi, rrotullohet, d.m.th. një pikë në sipërfaqen e rrotës lëviz në një plan dhe nuk lëkundet thjesht përgjatë një linje të drejtë. Prandaj, për të specifikuar në mënyrë unike rrotullimin e rrotës, vendosja e shpejtësisë së rrotullimit nuk është e mjaftueshme, sepse është gjithashtu e nevojshme të vendosni drejtimin e rrotullimit. Kjo është pikërisht arsyeja pse ne mund të përdorim shenjën e frekuencës.

Pra, nëse rrota rrotullohet me një frekuencë rad/s në të kundërt të akrepave të orës, atëherë konsiderojmë se rrota rrotullohet me një frekuencë pozitive, dhe nëse në drejtim të akrepave të orës, atëherë frekuenca e rrotullimit do të jetë negative. Kështu, për një komandë rrotullimi, një frekuencë negative pushon së qeni e pakuptimtë dhe tregon drejtimin e rrotullimit.

Dhe tani gjëja më e rëndësishme që duhet të kuptojmë. Dridhja e një objekti njëdimensional (për shembull, lavjerrësi pranveror) mund të përfaqësohet si shuma e rrotullimeve të dy vektorëve të paraqitur në figurën 4.

Figura 4. Lëkundje e një lavjerrës sustë

Si shuma e rrotullimeve të dy vektorëve

në plan kompleks

Lavjerrësi lëkundet përgjatë boshtit real të planit kompleks me një frekuencë prej ligji harmonik. Lëvizja e lavjerrësit tregohet si një vektor horizontal. Vektori i sipërm rrotullohet në planin kompleks me një frekuencë pozitive (në drejtim të kundërt të akrepave të orës), dhe vektori i poshtëm rrotullohet me një frekuencë negative (në drejtim të akrepave të orës). Figura 4 ilustron qartë lidhjen e njohur nga kursi i trigonometrisë:

Kështu, seria Fourier në formë komplekse (9) paraqet sinjale periodike njëdimensionale si një shumë e vektorëve në planin kompleks që rrotullohen me frekuenca pozitive dhe negative. Në të njëjtën kohë, le të vërejmë se në rastin e një sinjali real, sipas (9), koeficientët e zgjerimit për frekuencat negative janë komplekse të konjuguara me koeficientët përkatës për frekuencat pozitive. Në rastin e një sinjali kompleks, kjo veti e koeficientëve nuk vlen për faktin se dhe janë gjithashtu komplekse.

Spektri i sinjaleve periodike

Meqenëse sinjalet periodike vendosen në një rresht vetëm në një rrjet me frekuencë fikse, spektri i sinjaleve periodike është linjë (diskrete).

Figura 5. Spektri i një sekuence periodike

Impulset drejtkëndore:

A - spektri i amplitudës; b - spektri fazor

Figura 5 tregon një shembull të amplitudës dhe spektrit fazor të një sekuence periodike pulsesh drejtkëndëshe (shih Figurën 1) në c, kohëzgjatjen e pulsit c dhe amplituda e pulsit B.

Spektri i amplitudës së sinjalit origjinal origjinal është simetrik në lidhje me frekuencën zero, dhe spektri i fazës është antisimetrik. Në të njëjtën kohë, vërejmë se vlerat e spektrit fazor dhe korrespondojnë me të njëjtën pikë në rrafshin kompleks.

Mund të konkludojmë se të gjithë koeficientët e zgjerimit të sinjalit të reduktuar janë thjesht real, dhe spektri fazor korrespondon me koeficientët negativë.

Ju lutemi vini re se dimensioni i spektrit të amplitudës përkon me dimensionin e sinjalit. Nëse përshkruan ndryshimin e tensionit me kalimin e kohës, i matur në volt, atëherë amplituda e harmonikave të spektrit do të ketë edhe dimensionin e volteve.

konkluzione

U ndalëm në detaje në shprehjen e serisë Furier në formë komplekse dhe treguam se sinjalet periodike, reale dhe komplekse, përfaqësohen nga një sërë eksponencialesh komplekse me frekuenca pozitive dhe negative. Në këtë rast, koeficientët e zgjerimit janë gjithashtu kompleks dhe karakterizojnë amplituda dhe spektri fazor i sinjalit periodik.

NË seksioni tjetër Ne do të shqyrtojmë më në detaje vetitë e spektrave të sinjaleve periodike.

Implementimi i softuerit në bibliotekën DSPL