Sfungjer Menger fraktal trenar. Koncepti i fraktaleve

Për ta marrë atë, duhet të merrni një trekëndësh (barabrinjës) me brendësi, të vizatoni vija të mesme në të dhe të hidhni atë qendror nga katër trekëndëshat e vegjël të formuar. Pastaj ju duhet të përsërisni të njëjtat hapa me secilin nga tre trekëndëshat e mbetur, etj. Fotografia tregon tre hapat e parë, dhe në demonstrimin flash mund të praktikoni dhe të merrni hapa deri në të dhjetën.

Hedhja e trekëndëshave qendrorë nuk është mënyra e vetme duke rezultuar në një trekëndësh të Sierpinskit. Ju mund të lëvizni "në drejtim të kundërt": merrni një trekëndësh fillimisht "bosh", më pas plotësoni trekëndëshin e formuar nga vijat e mesme në të, pastaj bëni të njëjtën gjë në secilin nga tre trekëndëshat e këndit, etj. Fillimisht, figurat do të të jenë shumë të ndryshme, por me rritjen e numrit të përsëritjeve, ato do të ngjajnë gjithnjë e më shumë me njëra-tjetrën dhe në kufi do të përkojnë.

Mënyra tjetër për të marrë një trekëndësh Sierpinski është edhe më e ngjashme me skemën e zakonshme për ndërtimin e fraktaleve gjeometrike duke zëvendësuar pjesë të përsëritjes së ardhshme me një fragment të shkallëzuar. Këtu, në çdo hap, segmentet që përbëjnë vijën e thyer zëvendësohen me një vijë të thyer prej tre lidhjesh (vetë është marrë në përsëritjen e parë). Ju duhet ta vendosni këtë vijë të thyer në mënyrë alternative në të djathtë dhe më pas në të majtë. Mund të shihet se tashmë përsëritja e tetë është shumë afër fraktalit dhe sa më tej të shkojë, aq më afër vijës do t'i afrohet.

Por kjo nuk është e gjitha. Rezulton se trekëndëshi i Sierpinskit është marrë si rezultat i një prej varieteteve të ecjes së rastësishme të një pike në një aeroplan. Kjo metodë quhet "loja e kaosit". Me ndihmën e tij mund të ndërtoni disa fraktale të tjera.

Thelbi i "lojës" është ky. Fiks në aeroplan trekëndëshi i rregullt A 1 A 2 A 3. Shënoni çdo pikënisje B 0 . Pastaj zgjidhni rastësisht një nga tre kulmet e trekëndëshit dhe shënoni pikën B 1 - mesi i një segmenti me skajet në këtë kulm dhe në B 0 (në figurën në të djathtë, kulmi u zgjodh rastësisht A 1). E njëjta gjë përsëritet me një pikë B 1 për të marrë B 2. Pastaj ata marrin pikët B 3 , B 4, etj. Është e rëndësishme që pika të "kërcejë" në mënyrë të rastësishme, domethënë që çdo herë kulmi i trekëndëshit të zgjidhet rastësisht, pavarësisht se çfarë është zgjedhur në hapat e mëparshëm. Është e mahnitshme që nëse shënoni pika nga një sekuencë B i, atëherë së shpejti do të fillojë të shfaqet trekëndëshi i Sierpinskit. Më poshtë është se çfarë ndodh kur shënohen 100, 500 dhe 2500 pikë.

Disa prona

Opsionet

Tapet (katror, pecetë) nga Sierpinski. Versioni katror u përshkrua nga Wacław Sierpinski në 1916. Ai arriti të provojë se çdo kurbë që mund të vizatohet në një rrafsh pa vetëkryqëzime është homeomorfike për disa nënbashkësi të këtij katrori vrimash. Ashtu si një trekëndësh, një katror mund të bëhet nga dizajne të ndryshme. Tregohet në të djathtë mënyrë klasike: Ndarja e katrorit në 9 pjesë dhe hedhja e pjesës qendrore. Më pas e njëjta gjë përsëritet për 8 katrorët e mbetur etj.

Ashtu si një trekëndësh, një katror ka sipërfaqe zero. Dimensioni fraktal i një tapeti Sierpinski është i barabartë me log 3 8, i llogaritur në mënyrë të ngjashme me dimensionin e një trekëndëshi.

Piramida e Sierpinskit. Një nga analogët tredimensionale të trekëndëshit të Sierpinskit. Është ndërtuar në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh tredimensionalitetin e asaj që po ndodh: 5 kopje të piramidës fillestare, të ngjeshura dy herë, përbëjnë përsëritjen e parë, 5 kopjet e saj do të përbëjnë përsëritjen e dytë, etj. Dimensioni fraktal është i barabartë në log 2 5. Figura ka vëllim zero (në çdo hap, gjysma e vëllimit hidhet jashtë), por në të njëjtën kohë sipërfaqja ruhet nga përsëritja në përsëritje, dhe për fraktalin është e njëjtë si për fillestarin. piramidale.

Sfungjeri i Mengerit. Përgjithësimi i tapetit të Sierpinskit në hapësirën tredimensionale. Për të ndërtuar një sfungjer, ju duhet një përsëritje e pafund e procedurës: secili prej kubeve që përbëjnë përsëritjen ndahet në 27 kube tre herë më të vegjël, nga të cilët hidhet ai qendror dhe 6 fqinjët e tij. Domethënë, çdo kub gjeneron 20 të reja, tre herë më të vogla. Prandaj, dimensioni fraktal është i barabartë me log 3 20. Ky fraktal është një kurbë universale: çdo kurbë në hapësirë tredimensionaleështë homeomorfik për disa nëngrup të sfungjerit. Sfungjeri ka volum zero (pasi në çdo hap shumëzohet me 20/27), por ka një sipërfaqe pafundësisht të madhe.

PUNË KËRKIMORE MBI TEMA

“QILIMI SIERPINSKI”

Tabela e përmbajtjes

Hyrje

Koncepti i fraktaleve.

Rreth qilimave

Waclaw Sierpinski

Trekëndëshi i Sierpinskit

Tapeti Sierpinski

Funksionet e Sierpinskit

Llojet dhe vetitë kryesore të fraktaleve

Ndërtimi i fraktaleve

Rreth përdorimit të fraktaleve

konkluzioni

Pikat kryesore

Shtojca 1

Shtojca 2

Shtojca 3

Shtojca 4

Shtojca 5

Shtojca 6

Shtojca 7 (Prezantimi)

Letërsia

Nëse njerëzit refuzojnë të besojnë

në thjeshtësinë e matematikës,

atëherë kjo është vetëm sepse ata

Ata nuk e kuptojnë kompleksitetin e jetës.

John von Neumann

Hyrje

Puna i kushtohet temës së kërkimit fraktal: Qilima Sierpinski.

Siç dihet, ky fraktal është një nga fraktalet klasike në gjeometrinë fraktal.

Qëllimi kryesor i kësaj pune është të studiojë një fraktal të quajtur Tapeti Sierpinski.

Nevoja për konceptin e fraktalit u shfaq relativisht kohët e fundit, përkatësisht rreth 40 vjet më parë. Pastaj modele gjeometrike struktura të ndryshme natyrore janë ndërtuar tradicionalisht në bazë të formave gjeometrike relativisht të thjeshta: vija të drejta, poligone, rrathë, poliedra, sfera. Sidoqoftë, u bë e qartë se ky grup klasik, i mjaftueshëm për të përshkruar strukturat elementare, bëhet keq i zbatueshëm për objekte të tilla komplekse si skica. vijat bregdetare kontinentet, fusha e shpejtësisë në një rrjedhje lëngu të turbullt, shkarkimi i rrufesë në ajër, materialet poroze, format e reve, floket e borës, flakët e zjarrit, konturet e pemëve, etj. Në këtë drejtim, shkencëtarët filluan të prezantojnë të reja konceptet gjeometrike. Dhe një nga këto koncepte ishte koncepti i një fraktal. Ky koncept u prezantua Matematikan francez Benoit Mandelbrot me origjinë polake në 1975. Dhe megjithëse ndërtime të ngjashme në një formë ose në një tjetër u shfaqën në matematikë shumë kohë më parë, në fizikë vlera e ideve të tilla u kuptua vetëm në vitet '70 të shekullit të 20-të. Pastaj libri i Mandelbrot "Gjeometria Fraktale e Natyrës" luajti një rol të rëndësishëm në përhapjen e ideve të gjeometrisë fraktal. bazë gjeometri e reështë ideja e ngjashmërisë së vetvetes. Ai shpreh faktin se parimi hierarkik i organizimit të strukturave fraktale nuk pëson ndryshime të rëndësishme kur shikohet përmes një mikroskopi me zmadhime të ndryshme. Si rezultat, këto struktura në shkallë të vogla duken, mesatarisht, të njëjta si në shkallë të mëdha. Kjo përcakton ndryshimin midis gjeometrisë Euklidiane, e cila merret ekskluzivisht me kthesat e lëmuara, dhe kthesat fraktalale pafundësisht të thyera, vetë të ngjashme. Elementet e kurbave te Euklidi janë gjithmonë të ngjashëm me veten, por në një mënyrë të parëndësishme: të gjitha kthesat janë lokalisht të drejta, dhe një vijë e drejtë është gjithmonë e vetëngjashme. Një kurbë fraktal, në mënyrë ideale, në çdo shkallë, madje edhe më e vogla, nuk zvogëlohet në një vijë të drejtë dhe është rast i përgjithshëm gjeometrikisht i parregullt, kaotik. Për të, në veçanti, nuk ekziston koncepti i një tangjente në një pikë, pasi funksionet që përshkruajnë këto kthesa janë, në rastin e përgjithshëm, të padiferencueshëm.

Ndoshta argumenti më bindës për studimin e fraktaleve është bukuria e tyre mahnitëse.

Fraktalet kombinojnë në mënyrë të mahnitshme qasjen logjike dhe njohuritë e fenomeneve natyrore.

Shumë përparime të mëdha në gjeometrinë fraktal janë bërë të mundura me ardhjen e kompjuterëve modernë. Eksperimentet kompjuterike kanë bërë të mundur marrjen e një kuptimi mjaft të plotë të fraktaleve të ndryshme dhe arsyet e shfaqjes së tyre. Shpesh, modelimi teorik i këtyre strukturave ndonjëherë ishte edhe përpara metodave eksperimentale për studimin e objekteve reale natyrore. formë komplekse.

Me zhvillimin e gjeometrisë fraktal, u bë e qartë për shumë njerëz se format e gjeometrisë Euklidiane janë shumë inferiore ndaj shumicës së objekteve natyrore për shkak të mungesës së parregullsive, çrregullimeve dhe paparashikueshmërisë.

Aktualisht, mund të themi se gjeometria fraktal është gjerësisht e njohur dhe mjaft e rëndësishme. Kjo është për shkak se gjuha e gjeometrisë fraktal është e zbatueshme për të gjithë shkencën bota moderne përgjithësisht. Për shembull, në mjekësi për të ndërtuar një model sistemi i qarkullimit të gjakut njerëzit ose duke ekzaminuar sipërfaqet komplekse të membranave qelizore.

Koncepti i fraktaleve.

Fraktalet janë kudo rreth nesh, si në skicat e maleve ashtu edhe në një vijë dredha-dredha breg deti. Disa nga fraktalet ndryshojnë vazhdimisht, si retë lëvizëse ose flakët vezulluese, ndërsa të tjerët, si pemët ose sistemet vaskulare, ruajnë strukturën e fituar në procesin e evolucionit.
H. O. Peigen dhe P. H. Richter.

Gjeometria që studiojmë në shkollë dhe e përdorim jetën e përditshme, siç u tha më herët, daton që nga Euklidi (rreth 300 para Krishtit). Trekëndësha, katrorë, rrathë, paralelogramë, paralelopipedë, piramida, sfera, prizma - objekte tipike, konsideruar nga gjeometria klasike. Objektet e krijuara nga njeriu zakonisht përfshijnë këto figura ose fragmente të tyre. Sidoqoftë, në natyrë ato nuk gjenden shumë shpesh. Në të vërtetë, a janë, për shembull, bukuritë pyjore të bredhit të ngjashme me ndonjë nga artikujt e listuar apo kombinimin e tyre? Është e lehtë të shihet kjo, ndryshe nga format e Euklidit objekte natyrore nuk kanë butësi, skajet e tyre janë të thyera, të dhëmbëzuara, sipërfaqet janë të vrazhda, të gërryera nga çarjet, kalimet dhe vrimat.

"Pse shpesh quhet gjeometria e ftohtë dhe e thatë? Një arsye është paaftësia e saj për të përshkruar formën e një reje, një mali, një peme ose një breg deti. Retë nuk janë sfera, malet nuk janë kone, vijat bregdetare nuk janë rrathë dhe korja nuk është e lëmuar." , dhe rrufeja nuk udhëton në vijë të drejtë. Natyra na tregon më shumë se kaq. shkallë të lartë, por një nivel kompleksiteti krejtësisht i ndryshëm" , - këto fjalë fillojnë "Gjeometria Fraktale e Natyrës", shkruar nga Benoit Mandelbrot. fjalëfraktal rrjedh nga latinishtjafractus dhe do të thotë përkthyeri fragmentuar . Ajo u propozua nga Benoit Mandelbrot në 1975 për t'iu referuar të parregullt pori vetëngjashëm strukturat ku ai ishte i përfshirë. Lindja e gjeometrisë fraktal zakonisht shoqërohet me botimin e librit të Mandelbrot në 1977.Gjeometria Fraktale e Natyrës" . Veprat e tij përdorin rezultatet shkencore shkencëtarë të tjerë që punuan në periudhën 1875 -1925 në të njëjtën fushë (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Por vetëm në kohën tonë ka qenë e mundur të kombinojmë punën e tyre në një sistem të vetëm.

Roli i fraktaleve në grafikën kompjuterike sot është mjaft i madh. Ata vijnë në shpëtim, për shembull, kur është e nevojshme, duke përdorur disa koeficientë, për të përcaktuar linjat dhe sipërfaqet e formave shumë komplekse. Nga pikëpamja grafika kompjuterike, gjeometria fraktale është e domosdoshme kur krijohen re artificiale, male dhe sipërfaqe deti. Në fakt u gjet mënyrë e lehtë paraqitjet e objekteve komplekse jo-Euklidiane, imazhet e të cilave janë shumë të ngjashme me ato natyrore.

Fraktalet janë objekte gjeometrike me veti mahnitëse: çdo pjesë e një fraktali përmban imazhin e tij të reduktuar. Domethënë, sado ta zmadhoni fraktalin, një kopje e vogël e tij do t'ju shikojë nga çdo pjesë e tij.

Përkufizimi i Mandelbrot për një fraktal është:"Një fraktal është një strukturë e përbërë nga pjesë që janë në njëfarë kuptimi të ngjashme me të tërën" . Karakteristikat e brendshme të fraktaleve janë të përshtatshmepërshkruajnë karakteristikë numerike, gjysmëqë i dha emrin dimension fraktal.Le të bëjmë një eksperiment të thjeshtë. Le të marrimnjë fletë grafiku bosh dhe një skicëtim mbi të drejtvizore arbitraresegment Le të llogarisim sasinë e ngjitësitrrymë me gjatësi anësore 1 cm dhe numrin e ngjitësvepika me gjatësi anësore 1 mm, nëpër të cilatkalon këtë seksion. Sa herë njëa është numri më i madh se tjetri? Nëse eksperimenti ka të bëjë mevozitni me kujdes, pastaj mbuloni segmentinqelizat milimetra do të jenë dhjetë herëmë shumë se centimetra.

Gjeometria në natyrë nuk kufizohet në të tilla figura të thjeshta si një vijë, një rreth, seksion konik, shumëkëndëshi, sfera, sipërfaqja kuadratike, si dhe kombinimet e tyre. Për shembull, çfarë mund të jetë më e bukur se deklarata se planetët në tonë sistemi diellor lëviz rreth diellit në orbita eliptike?

Megjithatë, shumë sisteme natyrore janë aq komplekse dhe të parregullta saqë përdorimi i vetëm objekteve të njohura të gjeometrisë klasike për t'i modeluar ato duket i pashpresë. Si, për shembull, të ndërtoni një model vargmali apo kurorat e pemëve për nga gjeometria? Si të përshkruani larminë e konfigurimeve biologjike që vëzhgojmë në botën e bimëve dhe kafshëve? Imagjinoni kompleksitetin e sistemit të qarkullimit të gjakut, i përbërë nga shumë kapilarë dhe enë dhe që dërgon gjak në çdo qelizë trupin e njeriut. Imagjinoni sa me zgjuarsi janë rregulluar mushkëritë dhe sythat, duke kujtuar në strukturën e pemëve me një kurorë të degëzuar.

Dinamika e jetës reale mund të jetë po aq komplekse dhe e parregullt. sistemet natyrore. Si t'i qasemi modelimit të ujëvarave kaskadë ose proceseve të turbullta që përcaktojnë motin?

Fraktalet dhe kaosi matematik - mjete të përshtatshme për të eksploruar pyetjet e parashtruara. Afatifraktal i referohet disa konfigurimeve gjeometrike statike, të tilla si një fotografi e një ujëvare.Kaos është një term dinamik që përdoret për të përshkruar fenomene të ngjashme me sjelljen e motit të turbullt. Shpesh ajo që vëzhgojmë në natyrë na intrigon me përsëritjen e pafund të të njëjtit model, të rritur ose ulur sa herë të dëshirojmë. Për shembull, një pemë ka degë. Në këto degë ka degë më të vogla etj. Teorikisht, elementi i degëzimit përsëritet pafundësisht, duke u bërë gjithnjë e më i vogël. E njëjta gjë mund të shihet kur shikoni fotografinë. terren malor. Mundohuni të zmadhoni pak vargmalin - do t'i shihni përsëri malet. Kështu shfaqet vetia karakteristike e fraktalevevetëngjashmëria.

Shumë punë në fraktale përdor vetëngjashmërinë si një veti përcaktuese. Pas Benoit Madelbrot, ne pranojmë pikëpamjen se fraktale duhet të përkufizohen në termat e dimensionit fraktal (fraksional). Nga këtu vjen fjalafraktal (nga lat.fractus - thyesore).

Koncepti i dimensionit fraksional është një koncept kompleks që paraqitet në disa faza. Një vijë e drejtë është një objekt njëdimensional, ndërsa një plan është një objekt dydimensional. Nëse e përdredhni mirë vijën e drejtë dhe rrafshin, mund të rrisni dimensionin e konfigurimit që rezulton; në këtë rast, dimensioni i ri zakonisht do të jetë i pjesshëm në njëfarë kuptimi, të cilin duhet ta sqarojmë. Lidhja midis dimensionit thyesor dhe vetëngjashmërisë është se me ndihmën e vetëngjashmërisë është e mundur të ndërtohet një grup dimensionesh thyesore në mënyrën më të thjeshtë. Edhe në rastin e fraktaleve shumë më komplekse, siç është kufiri i grupit Mandelbrot, ku nuk ka vetëngjashmëri të pastër, ka një përsëritje pothuajse të plotë të formës bazë në një formë gjithnjë e më të reduktuar.

Themeluesi i gjeometrisë fraktal.

Matematikanët e neglizhuan sfidën dhe

preferoi të arratisej nga natyra me shpikje

të gjitha llojet e teorive që nuk bëjnë

shpjegojmë atë që shohim ose ndjejmë.

Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (frëngjisht: Benoit Mandelbrot; lindur më 20 nëntor 1924, Varshavë) është një matematikan francez.

Themelues dhe studiues kryesor në fushën e gjeometrisë fraktal. Laureat i Çmimit Wolf në Fizikë (1993).

Benoit Mandelbrot lindi në Varshavë në 1924 në një familje hebrenjsh lituanez. Por tashmë në vitin 1936, familja Benoit Mandelbrot emigroi në Francë, në Paris. Në Paris ai ra nën ndikimin e xhaxhait të tij Scholem Mandelbroit, një matematikan i famshëm parizian dhe anëtar i një grupi matematikanësh të njohur kolektivisht si "Nicolas Bourbaki".

Pas fillimit të luftës, Mandelbrotët ikën në jug të Francës, të lirë nga pushtimi, në qytetin e Tulle. Benoit Mandelbrot shkoi në shkollë atje, por shpejt humbi interesin për studimet e tij. Prandaj, në moshën gjashtëmbëdhjetë vjeç, ai mezi e dinte alfabetin dhe tabelën e shumëzimit deri në pesë.

Por Benoit Mandelbrot zbuloi një dhuratë të pazakontë matematikore, e cila e lejoi atë të bëhej student në Sorbonë menjëherë pas luftës. Doli se Benoit ka një imagjinatë të shkëlqyer hapësinore. Ai madje probleme algjebrike vendosi gjeometrikisht. Origjinaliteti i vendimeve të tij i lejoi Benoit Mandelbrot të hynte në universitet.

Pas diplomimit nga universiteti, Benoit Mandelbrot fillimisht u bë një "matematicien i pastër". Ai mori doktoraturën.

Në vitin 1958, ai u transferua në Shtetet e Bashkuara, ku filloi të punojë në qendrën kërkimore të IBM në Yorktown, pasi IBM në atë kohë punonte në fusha të matematikës që ishin interesante për Benoit Mandelbrot.

Ndërsa punonte në IBM, Benoit Mandelbrot u largua shumë nga pastërtia problemet e aplikuara kompanitë. Ai punoi në fushën e gjuhësisë, teorisë së lojërave, ekonomisë, aeronautikës, gjeografisë, fiziologjisë, astronomisë dhe fizikës. I pëlqente të kalonte nga një temë në tjetrën, të studionte drejtime të ndryshme.

Ndërsa studionte ekonominë, Benoit Mandelbrot zbuloi se luhatjet në dukje arbitrare të çmimeve mund të pasojnë një fshehtësi renditja matematikore në kohë, e cila nuk përshkruhet nga kthesat standarde.

Benoit Mandelbrot filloi të studionte statistikat e çmimeve të pambukut periudhë e gjatë kohë (më shumë se njëqind vjet). Luhatjet e çmimeve gjatë ditës dukeshin të rastësishme, por Mandelbrot ishte në gjendje të kuptonte trendin e ndryshimeve të tyre. Ai gjurmoi simetrinë në luhatjet afatgjata të çmimeve dhe luhatjet afatshkurtra. Ky zbulim erdhi si një surprizë për ekonomistët.

Në fakt, Benoit Mandelbrot përdori bazat e metodës së tij rekursive (fraktale) për të zgjidhur këtë problem.

Rreth qilimave.

Pak për kafshimin

Aplikim praktik fraktale

Fraktalet po gjejnë gjithnjë e më shumë aplikim më të madh në shkencë. Arsyeja kryesore për këtë është se ata përshkruajnë botën reale ndonjëherë edhe më mirë se fizika apo matematika tradicionale. Këtu janë disa shembuj:

Sistemet kompjuterike

Shumica përdorim i dobishëm Fraktalet në shkencën kompjuterike janë kompresim i të dhënave fraktal. Ky lloj kompresimi bazohet në faktin se bota reale përshkruhet mirë nga gjeometria fraktale. Në të njëjtën kohë, imazhet kompresohen shumë më mirë se kjo metodat konvencionale(të tilla si jpeg ose gif). Një avantazh tjetër i kompresimit fraktal është se kur imazhi zmadhohet, nuk ka efekt pikselimi (duke rritur madhësinë e pikave në madhësi që shtrembërojnë imazhin). Me kompresimin fraktal, pas zmadhimit, fotografia shpesh duket edhe më mirë se më parë.

Mekanika e lëngjeve

1. Studimi i turbulencës në prurje përshtatet shumë mirë me fraktale. Rrjedhat e turbullta janë kaotike dhe për këtë arsye të vështira për t'u modeluar me saktësi. Dhe këtu ndihmon kalimi në një përfaqësim fraktal, i cili lehtëson shumë punën e inxhinierëve dhe fizikantëve, duke i lejuar ata të kuptojnë më mirë dinamikën e rrjedhave komplekse.

2. Duke përdorur fraktale mund të simuloni edhe flakët.

3. Materialet poroze janë të përfaqësuara mirë në formë fraktale për faktin se kanë një gjeometri shumë komplekse. Përdoret në shkencën e naftës.

Telekomunikacioni

Për transmetimin e të dhënave në distanca, përdoren antena me forma fraktal, gjë që zvogëlon shumë madhësinë dhe peshën e tyre.

Fizika e sipërfaqeve

Fraktalet përdoren për të përshkruar lakimin e sipërfaqeve. Një sipërfaqe e pabarabartë karakterizohet nga një kombinim i dy fraktaleve të ndryshme.

Bar

1.Ndërveprimet biosensore.

2.Rrahje zemre

Biologjia

Modelimi i proceseve kaotike, veçanërisht kur përshkruhen modelet e popullsisë.

Aplikimi i fraktaleve në teknologjinë e antenave

Bazuar në idetë dhe algoritmet e diskutuara më parë në pjesën e parë, u propozua metodë e re metodat e përdorimit të elementeve fraktale në vargjet e antenave. Përdorimi i tij bën të mundur rritjen e densitetit të vendosjes dhe reduktimin e ndërlidhjeve ndërmjet elementeve. Përveç kësaj, bazuar në teorinë fraktal, u studiuan vetitë dhe lloji i rrezatimit të antenave të tilla. Përdorimi i teorisë fraktal bën të mundur marrjen e antenave që janë elektrikisht të gjata, por fizikisht kompakte dhe të zëna zonë e vogël. Falë kësaj veçorie, mund të arrihet miniaturizimi i antenës.

Antenat moderne kërkojnë saktësi të lartë dhe dimensione minimale. Komunikimet me radio kërkojnë sisteme që mund të funksionojnë sasia maksimale vargjet e frekuencës. Sistemet e antenave ajrore kërkojnë që antenat të miniaturohen sa më shumë që të jetë e mundur. Për të arritur këto qëllime, u propozua metoda të ndryshme aplikimet e fraktaleve në teorinë e antenës. Le të tregojmë fushat e mundshme të aplikimit të fraktaleve në teknologjinë e antenave:

a) antenat me tela, antenat mikrostrip - këto antena kanë një strukturë fizike fraktal;

b) antenat me model rrezatimi fraktal (RP), vargje me shpërndarje të rrymës fraktal - antenat ndërtohen në bazë të modelimit kompjuterik të karakteristikave fraktal.

Le të japim një shembull të përdorimit të një strukture fraktal për një antenë unazore të thjeshtë.

Shërimi i rrjetës do të duket kështu:

R - sasinë totale cikle; N =4 – numri i elementeve në një unazë; – faza (zhvendosja) e elementit,; – faktori fraktal i shkallës.

12.Përfundim

Fraktalet na rrethojnë kudo: pemë, male, re. Por, përveç kësaj, fraktale gjenden në objekte të padukshme për syrin e njeriut: këto janë qeliza të indeve të ndryshme të gjalla, çarje në koren e tokës dhe shumë më tepër. Grafikat fraktale mund të përdoren në shumë fusha shkencat natyrore. Përdoret jo vetëm në matematikë, por edhe në ekonomi, gjeografi, astronomi, biologji, fizikë dhe madje edhe në letërsi. Fraktalet ndihmojnë gjeofizikanët të përcaktojnë formën dhe natyrën e plasaritjes kores së tokës dhe veçoritë e shpërndarjes së elementeve të ndryshme kimike në shtresat e tij, dhe astronomët mund të simulojnë formimin sistemet planetare dhe galaktikat, natyra e shpërndarjes së rrezeve dhe pluhurit kozmik.

Shkenca fraktale është shumë e re dhe ka një të ardhme të madhe përpara. Bukuria e fraktaleve nuk është e rraskapitur dhe do të na japë akoma mjaft kryevepra - ato që kënaqin syrin dhe ato që sjellin kënaqësi të vërtetë në mendje.

Jo të gjitha fushat mbulohen në punën time njohuritë njerëzore, ku teoria e fraktaleve gjeti aplikimin e saj. Dua të them vetëm se nuk ka kaluar më shumë se një e treta e një shekulli që nga lindja e teorisë, por gjatë kësaj kohe fraktalet u bënë një fenomen i papritur për shumë studiues. dritë e ndritshme në netët që ndriçonin fakte dhe modele të panjohura deri tani në fusha të veçanta të dhënash. Me ndihmën e teorisë së fraktaleve, ata filluan të shpjegojnë evolucionin e galaktikave dhe zhvillimin e qelizave, shfaqjen e maleve dhe formimin e reve, lëvizjen e çmimeve në bursë dhe zhvillimin e shoqërisë dhe familjes. Ndoshta, në fillim, ky pasion për fraktalet ishte edhe shumë intensiv dhe përpjekjet për të shpjeguar gjithçka duke përdorur teorinë e fraktaleve ishin të pajustifikuara. Por, pa dyshim, kjo teori ka të drejtë të ekzistojë.

Duke punuar në temën e kërkimit, thellova ndjeshëm njohuritë e mia për matematikën dhe zgjerova horizontet e mia matematikore.

Ndërsa studioja fraktale, zbulova se shumë prej tyre kanë veti të mahnitshme dhe përdoren gjerësisht në fusha të ndryshme të shkencës.

Bazuar në rezultatet e hulumtimit tim, kam krijuar prezantim kompjuterik, me ndihmën e së cilës kushdo që është i interesuar mund të ketë një ide të qartë për llojet dhe vetitë e pazakonta të fraktaleve.

U binda se matematika është një shkencë unike dhe e mahnitshme, metodat e së cilës bëjnë të mundur përshkrimin e modeleve dhe strukturës së dukuri të pazakonta botën përreth. Përveç kësaj, modele fraktal me forma të çuditshme dinamike– një nga simbolet e unitetit të matematikës dhe artit. Krijuar kompjuterë modernë Fraktalet formojnë emocione të thella estetike që ngjallin respekt dhe interes për matematikën.

Unë besoj se puna që kam bërë në studimin e fraktaleve është shumë e dobishme për veten time dhe rezultatet e saj mund të përdoren me sukses në mësimet e matematikës dhe në aktivitetet jashtëshkollore. Sepse është vërtet interesante!

13.Pikat kryesore .

1. Teoria e fraktaleve është shumë e re. Ajo u shfaq në fund të viteve gjashtëdhjetë falë Benoit Mandelbrot.

2. Një fraktal është një strukturë e vetëngjashme, imazhi i së cilës nuk varet nga shkalla. Ky është një model rekurziv, secila pjesë e të cilit përsërit në zhvillimin e saj zhvillimin e të gjithë modelit në tërësi.

3. Fraktalet përdoren gjithnjë e më shumë në shkencë. Për shembull, në sistemet kompjuterike, mekanika e lëngjeve, mjekësia, biologjia dhe të tjera.

4. Ka shumë fraktale të ndryshme: Set Cantor, trekëndëshi i Sierpinskit, tapeti i Sierpinskit, kurba Koch, fjolla e borës Koch, dragoi Harter-Hathway dhe të tjerët.

6. Fraktalet e bëjnë shumë më të lehtë procese komplekse dhe objekte, gjë që është shumë e rëndësishme për modelim. Ato ju lejojnë të përshkruani sisteme dhe procese të paqëndrueshme dhe, më e rëndësishmja, të parashikoni të ardhmen e objekteve të tilla.

Shtojca 1

Fraktale dinamike dhe stokastike

Le të marrim një pikënisje z 0 në plan kompleks. Tani merrni parasysh një sekuencë të pafundme numrash në rrafshin kompleks, secila prej të cilave vijon nga ai i mëparshmi: z 0 , z 1 = f(z 0 ), z 2 = f(z 1 ), ... z n+1 = f(z n ), Kuf( z) – çdo funksion i një ndryshoreje komplekse. Në varësi të pikënisje z 0 një sekuencë e tillë mund të sillet ndryshe: priren në pafundësi si n → ∞; konvergojnë në një pikë fundore; të marrë në mënyrë ciklike një seri vlerash fikse; më shumë janë të mundshme opsione komplekse. Kur ngjyroset ngjyra të ndryshme Pikat në planin kompleks që sillen ndryshe shpesh rezultojnë në forma që kanë veti fraktale.

Kompleti Mandelbrot

Bashkësia Mandelbrot është bashkësia e pikave c në rrafshin kompleks për të cilin sekuenca (z n ), Kuz 0 =0,z n+1 = z n 2 + c, e fundme (d.m.th., nuk shkon në pafundësi).

Seti Mandelbrot është një nga fraktalet më të famshëm, edhe jashtë matematikës, për shkak të vizualizimeve të tij me ngjyra. Fragmentet e tij nuk janë rreptësisht të ngjashëm me grupin origjinal, por me zmadhimin e përsëritur, pjesë të caktuara bëhen gjithnjë e më shumë të ngjashme me njëra-tjetrën.

Është vërtetuar se i gjithë grupi ndodhet tërësisht brenda një rrethi me rreze 2 në aeroplan. Prandaj, do të supozojmë se nëse për një pikëc sekuenca e përsëritjeve të funksionitf c = z 2 + c me vlerë fillestarez = 0 pas një numri të madh të tyreN (të themi, 100) nuk shkoi përtej këtij rrethi, atëherë pika i përket grupit dhe është lyer me ngjyrë të zezë. Prandaj, nëse në një fazë më pakN , elementi i modulit të sekuencës bëhet më i madh se 2, atëherë pika nuk i përket grupit dhe mbetet e bardhë. Kështu, është e mundur të merret një imazh bardh e zi i grupit, i cili është marrë nga Mandelbrot. Për ta bërë atë me ngjyrë, për shembull, mund të lyeni çdo pikë jo nga grupi në një ngjyrë që korrespondon me numrin e përsëritjes në të cilin sekuenca e saj shkoi përtej rrethit.

set Julia

Çdo pikë z e planit kompleks ka sjelljen e vet (mbetet e fundme, priret në pafundësi, merr vlera fikse) gjatë përsëritjeve të funksionit f(z), dhe i gjithë rrafshi ndahet në pjesë. Për më tepër, grupet e pikave që kanë një lloj sjelljeje specifike shpesh kanë veti fraktale. Këto janë grupet Julia për funksionin f(z).

Duke shtuar perturbacione të rastësishme në formulat që përcaktojnë një fraktal, mund të përftohen fraktale stokastike që përfaqësojnë në mënyrë shumë të besueshme disa objekte reale.

Shtojca 2

Shembuj të fraktaleve dhe të tyre veti të mahnitshme

Variantet e flokeve të dëborës Koch

a) Floku i borës Koch "përkundrazi" fitohet nëse ndërtojmë kthesat e Koch brenda trekëndëshit barabrinjës origjinal.

b) Vijat Cesaro: në vend të trekëndëshave barabrinjës përdoren trekëndëshat dykëndësh me kënd bazë nga 60° deri në 90°. Në figurë, këndi është 88°.

c) Opsioni katror: katrorët janë plotësuar.

H -fraktale

E gjitha fillon me një figurë në formën e shkronjës H, në të cilën segmentet vertikale dhe horizontale janë të barabarta. Pastaj një kopje e saj, e zvogëluar përgjysmë, i bashkëngjitet secilit nga 4 skajet e figurës. Në çdo fund (janë tashmë 16 prej tyre) është bashkangjitur një kopje e shkronjës H, e reduktuar tashmë me 4 herë. Dhe kështu me radhë.

Në kufi, ju merrni një fraktal që mbush një katror të caktuar, kështuH-fraktali i referohet linjave që mbushin një pjesë të një plani, megjithatëgjatësia totale e të gjitha segmenteve që formohenH-fraktale, e pafundme.

Kjo pronë H-fraktale përdoren gjerësisht në prodhimin e mikroqarqeve elektronike: nëse është e nevojshme skema komplekse numër i madh elementët morën të njëjtin sinjal në të njëjtën kohë, atëherë ato mund të vendosen në skajet e segmenteve të një përsëritjeje të përshtatshme të H-fraktalit dhe të lidhen në përputhje me rrethanat.

Ka kthesa të tjera fraktal që mbushin një pjesë të aeroplanit. Një objekt i tillë u shfaq për herë të parë në një punim të matematikanit italian Giuseppe Peano në 1890. Peano u përpoq të gjente një shpjegim vizual të faktit që një segment dhe një katror janë me trashësi të barabartë (nëse i konsiderojmë si grupe pikash). Kjo teoremë u vërtetua më parë nga matematikani gjerman Georg Cantor në kuadrin e teorisë së grupeve që ai shpiku. Shembulli i Peanos ishte një konfirmim i mirë i korrektësisë së Cantor-it.

Ndonjëherë shprehja kurbë Peano nuk i referohet një shembulli specifik, por çdo kurbë që mbush një pjesë të një plani ose hapësire.

Kurba e Hilbertit u përshkrua nga matematikani gjerman David Hilbert në 1891.

Një shembull tjetër është fraktali "Kryqi Grek":

Kurba Gosper, ose Flokë dëbore Gosper (përshkruar nga matematikani dhe programuesi amerikan Bill Gosper):

Pema e Pitagorës

Ky fraktal quhet kështu sepse secila treshe katrorësh që prekin në çift lidhin një drejtkëndësh. trekëndëshi dykëndësh dhe rezultati është një fotografi që përdoret shpesh për të ilustruar teoremën e Pitagorës, "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet".

Është qartë e dukshme se e gjithë pema është e kufizuar. Nëse katrori më i madh është njësi, atëherë pema do të përshtatet në një drejtkëndësh 6 × 4 Kjo do të thotë se sipërfaqja e saj nuk i kalon 24. Por nga ana tjetër, sa herë që shtohet dy herë më shumë treshe katrorë se në atë të mëparshmin, dhe dimensionet e tyre lineare janë herë më pak. Prandaj, në çdo hap, shtohet e njëjta zonë, e cila është e barabartë me sipërfaqen e konfigurimit fillestar, domethënë 2. Duket se atëherë sipërfaqja e pemës duhet të jetë e pafundme, por në fakt atje këtu nuk ka kontradiktë, sepse shumë shpejt sheshet fillojnë të mbivendosen, dhe zona rritet jo aq shpejt. Është ende e kufizuar, por ende vlerën e saktëështë i panjohur dhe është një çështje e hapur.

Nëse ndryshoni këndet në bazën e trekëndëshit në pemën e Pitagorës, do të merrni forma paksa të ndryshme të pemëve, të quajtura pemë të pitagorës së fryrë. Dhe në një kënd prej 60 °, të tre katrorët do të jenë të barabartë, dhe pema do të kthehet në një model periodik në aeroplan:

Kurba e Levit

Edhe pse ky objekt u studiua nga italiani Ernesto Cesaro në vitin 1906, vetëngjashmëria dhe vetitë e tij fraktale u hulumtuan në vitet 1930 nga francezi Paul Pierre Levy.

Për shkak të ngjashmërisë së saj me shkronjën "C", e shkruar me një font të lulëzuar, ajo quhet edhe kurba C e Lewy.

Nëse shikoni nga afër, do të vini re se kurba e Levy është e ngjashme me formën e kurorës së një peme pitagorase.

Variantet e kurbës së Levy

a) Një kurbë e anuar do të fitohet nëse, në vend të një izosceles trekëndësh kënddrejtë në çdo hap përdorni një trekëndësh tjetër kënddrejtë.

b) Një version tjetër i kurbës Levy C mund të ndërtohet nëse nuk filloni me një segment, por me shkronjën P. Hapi i parë tre, i teti dhe i njëmbëdhjetë i ndërtimit të kësaj lakore janë paraqitur më poshtë:

c) Nëse marrim një katror si bazë, marrim ishullin Levi:

Harter-Dragoi i autostradës

Besohet se fraktali e mori këtë emër për ngjashmërinë e tij me dragonjtë tradicionalë kinezë.

Fractal Dragon gjithashtu ka pronë interesante: Nëse prisni disa pllaka në formën e një fraktali dragoi, ato mund të vendosen pranë njëra-tjetrës në mënyrë të tillë që të mos mbeten boshllëqe. Nëse ka shumë pllaka të tilla, atëherë mund të shtroni një pjesë të avionit me to:

Shtojca 3

Dimensionet fraktale dhe topologjike

Le të shqyrtojmë në mënyrë më të detajuar një nga vetitë e një grupi fraktal dhe të prezantojmë konceptet e dimensioneve topologjike dhe fraktale. Dimensioni topologjik është numri i koordinatave të nevojshme për të specifikuar pozicionin e një pike brenda një figure. Pra, çdo vijë (për shembull, një rreth ose vijë e drejtë) është njëdimensionale - mjafton vetëm një koordinatë për të treguar me saktësi një pikë, dhe rrafshi dhe sipërfaqja e topit janë dy-dimensionale. Tani le të shohim përkufizimin e dimensionit fraktal.Vini re se nëse marrim dy katrorë me brinjët 1 dhe 2, atëherë katrori i parë do të jetë 4 herë më i vogël se i dyti. Pra dimensioni i katrorit ështëD= 2, dhe

Kështu, dimensioni fraktal mund të përkufizohet gjithashtu si më poshtë: nëse, kur figura origjinale zvogëlohet nëNsapo ajo përshtatet në vetveteMherë, atëherë dimensioni i kësaj figure është numriD, Ku

Le të gjejmë dimensionin fraktal të kurbës Koch duke përdorur këtë përkufizim. Vini re se kurba Koch përbëhet nga 4 pjesë (njëra prej tyre është e theksuar në figurën më poshtë), secila prej të cilave është e ngjashme me të gjithë kurbën në tërësi, por secila prej këtyre pjesëve është 3 herë më e vogël se kurba:

Kjo është, në në këtë rast N = 3, M= 4. Zgjidhja e këtij ekuacioni:

ne e gjejmë atëD ≈ 1,261859...

Pra, meqenëse fraktali i diskutuar më sipër është një kurbë, dimensioni topologjik i tij është 1, dhe dimensioni fraktal është ≈ 1,261859... Kështu, dimensioni fraktal i kësaj figure është më i madh se ai topologjik dhe është i pjesshëm, siç thuhet në veti. .

Shtojca 4

Fraktale në natyrë dhe teknologji

Në ditët e sotme, teoria e fraktaleve përdoret gjerësisht në fusha të ndryshme. veprimtaria njerëzore. Në fizikë, fraktalet lindin natyrshëm kur modelojnë procese jolineare, të tilla si rrjedha e lëngut turbulent, proceset komplekse të difuzionit dhe adsorbimit, flakët, retë, etj. Fraktalet përdoren në modelimin e materialeve poroze, për shembull, në petrokimikat. Në biologji, ato përdoren për të modeluar popullatat dhe për të përshkruar sistemet. organet e brendshme(sistemi i enëve të gjakut). Pas krijimit të kurbës Koch, u propozua përdorimi i saj në llogaritjen e gjatësisë së vijës bregdetare.

Fraktalet përdoren në teorinë e informacionit për të kompresuar të dhënat grafike (vetia e vetë-ngjashmërisë së fraktaleve përdoret kryesisht këtu - në fund të fundit, për të kujtuar një fragment të vogël të një fotografie dhe transformimet me të cilat mund të merrni pjesët e mbetura, aq më pak memorie kërkohet sesa të ruhet i gjithë skedari). Fraktalet përdoren gjithashtu për të krijuar muzikë fraktal dhe për kriptim të të dhënave.

Në radio elektronike dekadën e fundit filloi të prodhonte antena me formë fraktal. Duke zënë pak hapësirë, ato sigurojnë marrjen e sinjalit me cilësi të lartë.

Dhe ekonomistët përdorin fraktale për të përshkruar kurbat e luhatjes së kursit të monedhës (kjo pronë u zbulua nga Mandelbrot më shumë se 30 vjet më parë).

Por fraktalet përdoren më gjerësisht në pikturën kompjuterike, pasi fraktalet janë objekte gjeometrike jashtëzakonisht të bukura dhe misterioze që kombinojnë një gamë të pasur ngjyrash, shumëllojshmëri dhe përsëritshmëri të formave gjeometrike.

Shtojca 5

Lojëra me trekëndëshin dhe tapetin Sierpinski

Ne e konsiderojmë trekëndëshin e Sierpinskit si një nëngrup të planit kompleks dhe aplikojmë transformime të ndryshme të rrafshit kompleks në të. Për shembull, le të ndërtohet trekëndëshi i Sierpinskit segment njësi bosht real.

Dhe tani ne aplikojmë transformimin e përmbysjes në lidhje me qendrën e trekëndëshit në planin kompleks:. Pastaj marrim foton e mëposhtme.

Më poshtë janë fotot përShndërrimi i përmbysjes në raport me qendrën e tapetit ka formën Rezulton se trekëndëshi i Sierpinskit është marrë si rezultat i një prej varieteteve të ecjes së rastësishme të një pike në një aeroplan. Kjo metodë quhet "loja e kaosit". Me ndihmën e tij mund të ndërtoni disa fraktale të tjera.

Thelbi i "lojës" është ky. Një trekëndësh i rregullt është i fiksuar në një aeroplanA 1 A 2 A 3 . Shënoni çdo pikënisjeB 0 . Pastaj zgjidhni rastësisht një nga tre kulmet e trekëndëshit dhe shënoni pikënB 1 - mesi i një segmenti me skajet në këtë kulm dhe nëB 0 (në foton në të djathtë, kulmi u zgjodh aksidentalishtA 1 ). E njëjta gjë përsëritet me një pikëB 1 për të marrëB 2 . Pastaj ata marrin pikëtB 3 , B 4 , etj. Është e rëndësishme që pika të “kërcejë” në mënyrë të rastësishme, domethënë që çdo herë kulmi i trekëndëshit të zgjidhet rastësisht, pavarësisht se çfarë është zgjedhur në hapat e mëparshëm. Është e mahnitshme që nëse shënoni pika nga një sekuencëB i , atëherë së shpejti do të fillojë të shfaqet trekëndëshi i Sierpinskit. Më poshtë është se çfarë ndodh kur shënohen 100, 500 dhe 2500 pikë.

Shtojca 6.

Riprodhimi i zhvillimeve të matematikanit Sierpinski në shtëpi

Bukuria e matematikës ka një natyrë unike dhe nuk është e lehtë për një laik të papërgatitur ta vlerësojë atë. Por është e mundur - për shembull, duke përdorur shembullin spektakolar dhe vizualisht të dukshëm të fraktaleve, me të cilat ushtruan një grup njerëzish. Këta shokë të gëzuar lëvizën komponentët forma gjeometrike me vetinë e vetëngjashmërisë në shtëpi, duke përfshirë kuzhinën.

Ata huazuan dy fraktale të famshme me emrin e shpikësit: trekëndëshin Sierpinski dhe tapetin Sierpinski. Duke shfrytëzuar faktin se ndërtimi i tyre bazohet në forma të thjeshta dhe një metodë e qartë, duart e shkathëta të entuziastëve morën argjilën dhe brumin. Rezultati ishte dy produkte: skulptura balte dhe biskota me çokollatë - të gjitha me udhëzime hap pas hapi Lloji "Bëje vetë".

Siç mund ta shihni, në këtë rast trekëndëshi i Sierpinskit është derdhur nga balta me dy ngjyra. Asgjë nuk ju pengon të përdorni plastelinë më të përballueshme, si dhe të rritni numrin e ngjyrave. Gjëja kryesore është të matni me kujdes gjithçka me një sundimtar dhe të jeni të kujdesshëm. Dhe metoda është e arritshme për të kuptuar fëmijën, sepse konsiston në përsëritjen e të njëjtave operacione. Teorikisht, procesi është i pafund, por në një ushtrim me argjilë rekomandohet të kufizoheni në gjashtë përsëritje: në këtë mënyrë kontrasti mbetet ende i fortë dhe modeli bëhet mbresëlënës.

Sa i përket tapetit Sierpinski, parimi i krijimit të tij është i ngjashëm me ndërtimin e trekëndëshit të treguar më lart, por për zbatimin në shtëpi është edhe më pak i ndërlikuar. Prandaj, një amvise e qëllimshme dhe kureshtare mund të bëjë një fraktal të tillë jo vetëm për bukurinë, por edhe për ushqimin - për shembull, duke përdorur dy lloje brumi.

Referencat

A. D. Morozov "Hyrje në teorinë e fraktaleve". Moskë, 2002.

E. Feder “Fractals”. "Bota", 1997.

R. M. Kronover “Fractalet dhe zaos in sistemet dinamike" Moskë, 2000

A. I. Azevich "Fraktalet: gjeometria dhe arti" // "Matematika në shkollë". – 2005. – Nr.4.

Bozhogin S.V. Fraktale dhe multifraktale.

Shlyk V.A. Nëpërmjet Gjeometrisë Fraktal në një perceptim të ri të botës.

Mandelbrot B.B. "Gjeometria Fraktale e natyrës".

Interneti global.

Një fraktal i rregullt, i quajtur një pecetë Sierpinski, përftohet duke prerë në mënyrë sekuenciale trekëndëshat barabrinjës qendrorë siç tregohet në Fig. 2

Figura 2 - Ndërtimi i një pecete Sierpinski

Rezultati është një figurë "vrima" (shih Fig. 3), e përbërë nga numër i pafund pika të izoluara. Dimensioni fraktal i pecetës Sierpinski llogaritet duke përdorur formulën (3)

Këtu në hapin zero kemi një trekëndësh barabrinjës me gjatësinë e brinjës, dhe në tre trekëndëshat e ardhshëm barabrinjës me brinjë. Prandaj, një,. Peceta ka sipërfaqe zero sepse është e lehtë të verifikohet që në procesin e ndërtimit të saj zona saktësisht e barabartë me sipërfaqen trekëndëshi origjinal. Këtë e tregon edhe vlera e dimensionit fraktal, i cili është më i vogël se dimensioni i rrafshit në të cilin ndodhet ky objekt.

Tani le të llogarisim perimetrin e zonave të përjashtuara. Nëse brinja e trekëndëshit origjinal ishte e barabartë me 1, atëherë në hapin e parë të ndërtimit perimetri i trekëndëshit qendror është i barabartë me 3/2. Në hapin e dytë, i shtohen tre trekëndësha të rinj me të perimetri i përbashkët, e barabartë me 9/4, etj. Është e qartë se në hapi i nëntë perimetri P përcaktohet nga shuma e progresionit gjeometrik

Algoritmi fraktal i tapetit Sierpinski

Figura 3 - Pecetë Sierpinski

Nga ana tjetër, shkalla e gjatësisë në hapin e n-të është e barabartë. Prandaj, formula merr një formë të ngjashme me formulën (1) për gjatësinë e vijës bregdetare

ku D përcaktohet me formulën (6)

Figura 4 - Elementi iniciues dhe gjeneratori për kurbën e Sierpinskit

Është e mundur të ndërtohet një linjë e vazhdueshme që ka këtë dimension fraktal dhe gjeometrikisht është ekuivalente me një pecetë Sierpinski. Elementi inicues për një ndërtim të tillë është një segment me gjatësi njësi, i cili më pas zëvendësohet nga një strukturë e quajtur gjenerator, e përbërë nga tre segmente me gjatësi 1/2, të vendosura në një kënd prej 120° me njëri-tjetrin (shih Fig. 4 ). Pastaj secili prej këtyre tre segmenteve zëvendësohet, nga ana tjetër, nga një gjenerator sa gjysma e madhësisë, siç tregohet në Fig. 5 në të majtë. Ana e djathte E njëjta figurë përshkruan hapin tjetër të procedurës. Konturet e pecetës së ardhshme Sierpinski shfaqen qartë në dy fazat e ardhshme (shih Fig. 5).

Figura 5 - Hapi i dytë dhe i tretë në ndërtimin e kurbës Sierpinski

Kjo procedurë përsëritet pafundësisht. Është e lehtë të shihet se çdo imazh pasues mund të merret nga ai i mëparshmi duke ngjitur tre kopje të reduktuara përgjysmë, dy prej të cilave do të rrotullohen në një kënd prej 120° dhe - 120° në krahasim me origjinalin.

Figura 6 - Dy hapat e ardhshëm në ndërtimin e kurbës Sierpinski

Ngjashëm me pecetën Sierpinski, mund të ndërtohet një qilim katror Sierpinski, i cili është një analog dydimensional i grupit Cantor të të tretave të mesme të përjashtuara.

Figura 7 - Ndërtimi i një tapeti katror Sierpinski

Receta për krijimin e saj është si më poshtë. Së pari, merrni një katror me një gjatësi anësore e barabartë me një. Pastaj secila anë e katrorit ndahet në tre pjesë të barabarta, dhe i gjithë katrori, përkatësisht, në nëntë katrorë identikë me një anë të barabartë me 1/3. Një shesh qendror është prerë nga figura që rezulton. Pastaj katrori pritet duke përdorur të njëjtën procedurë. Pse secili nga 8 katrorët e mbetur i nënshtrohet të njëjtës procedurë etj. (shih Fig. 7)

Figura 8 - Tapeti i Sheshit Sierpinski

Rezultati është një qilim Sierpinski katror me vrima me një vlerë dimensioni fraktal

Ai gjithashtu përfaqëson një shembull të një fraktali ideal të vetë-ngjashëm. Dimensioni i saj fraktal, megjithatë, është më i madh se ai i pecetës Sierpinski, d.m.th. është në një farë kuptimi më pak i rrjedhshëm.

viti. I njohur gjithashtu si "rrjeti" ose "pecetë" e Sierpinskit.

Ndërtimi

Merret një trekëndësh barabrinjës i ngurtë dhe në hapin e parë pjesa e brendshme e trekëndëshit të mesit hiqet nga qendra. Hapi i dytë heq tre trekëndëshat e mesëm nga tre trekëndëshat e mbetur, etj. Pasi ta përsërisni këtë procedurë pafundësisht, nga trekëndësh i fortë mbetet një nëngrup - trekëndëshi i Sierpinskit.

Ndërtimi i trekëndëshit të Sierpinskit

Trekëndëshi i Sierpinskit gjithashtu mund të merret duke përdorur algoritmin e mëposhtëm:

Merrni tre pika në aeroplan dhe vizatoni një trekëndësh.
Zgjidhni rastësisht çdo pikë brenda trekëndëshit dhe lëvizni gjysmën e distancës nga kjo pikë në ndonjë nga tre kulmet e trekëndëshit.
Shënoni pozicionin aktual.
Përsëriteni nga hapi 2.

Vetitë

Shihni gjithashtu

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është "Sierpinski Napkin" në fjalorë të tjerë:

Fraktali i trekëndëshit të Sierpinskit, një nga analogët dydimensionale të grupit Cantor, i propozuar nga matematikani polak Sierpinski ... Wikipedia

Qilim Sierpinski (katror) Qilim Sierpinski (katror Sierpinski) fraktal, një nga analogët dydimensionale të grupit Cantor, i propozuar nga matematikani polak Vac... Wikipedia

Tapeti Sierpinski është një fraktal, një nga analogët dydimensionale të grupit Cantor të propozuar nga matematikani polak Waclaw Sierpinski. Gjithashtu i njohur si sheshi Sierpinski. Përmbajtja 1 Ndërtimi ... Wikipedia

- (në tekstin e mëtejmë kurba) përkufizimi më i përgjithshëm (por jo i tepruar) i një kurbë, i prezantuar nga Urysohn në 1921. Ky përkufizim e përgjithëson përkufizimin e Cantor-it në një dimension arbitrar. Përkufizimi është formuluar si më poshtë: Një kurbë është një e lidhur... ... Wikipedia

Kurba e Urysohn (në tekstin e mëtejmë kurba) është përkufizimi më i përgjithshëm (por jo i tepruar) i një kurbë, i prezantuar nga Urysohn në 1921. Ky përkufizim e përgjithëson përkufizimin e Cantor-it në një dimension arbitrar. Përkufizimi është formuluar si më poshtë: Kurba... ... Wikipedia

Qilima Sierpinski Qilima Sierpinski është një fraktal, një nga analogët dydimensionale të grupit Cantor të propozuar nga matematikani polak Waclaw Sierpinski. Gjithashtu i njohur si sheshi Sierpinski. Përmbajtja 1 Ndërtimi ... Wikipedia

Kompleti Mandelbrot është një shembull klasik i një fraktal... Wikipedia

, Gashkov S.B.. Libri flet për lidhjen kurioze midis problemit të mbledhjes së numrave në shënim binar me algjebrën e logjikës, polinomeve Zhegalkin, trekëndëshit të Paskalit, pecetës së Sierpinskit dhe teoremës së Kummerit...
Mbledhja e numrave njëbitësh. Trekëndëshi i Paskalit, peceta e Sierpinskit dhe teorema e Kummerit, S. B. Gashkov. Libri flet për lidhjen interesante midis problemit të mbledhjes së numrave në notacion binar me algjebrën e logjikës, polinomet Zhegalkin, trekëndëshin e Paskalit, pecetën e Sierpinskit dhe teoremën e Kummerit...

Një shembull tjetër i një fraktali të thjeshtë vetë të ngjashëm është Tapeti Sierpinski(Fig. 2.3.1), shpikur nga matematikani polak Waclaw Sierpinski në 1915. Vetë termi qilim(Guarnitura) i përket Mandelbrot. Në metodën e ndërtimit më poshtë, ne fillojmë me një rajon të caktuar dhe eliminojmë në mënyrë sekuenciale nënrajonet e brendshme. Më vonë do të shqyrtojmë metoda të tjera, veçanërisht përdorimin e sistemeve L, si dhe të bazuara në funksione të përsëritura.

Figura 2.3.1. Tapeti Sierpinski

Le të jetë bashkësia fillestare S 0 një trekëndësh barabrinjës së bashku me rajonin që rrethon. Le ta ndajmë S0 në katër zona më të vogla trekëndore, duke lidhur mesin e brinjëve të trekëndëshit origjinal me segmente. Le të heqim pjesën e brendshme të zonës së vogël trekëndore qendrore. Le ta quajmë grupin e mbetur S 1 (Fig. 2.3.2). Më pas e përsërisim procesin për secilin nga tre trekëndëshat e vegjël të mbetur për të marrë përafrimin e mëposhtëm S 2 . Duke vazhduar në këtë mënyrë, ne marrim një sekuencë grupesh të mbivendosur S n, kryqëzimi i të cilave formon një qilim S.

Nga konstruksioni është e qartë se i gjithë tapeti është një bashkim i N = 3 kopjesh thelbësisht të shkëputura të pakësuara përgjysmë; koeficienti i ngjashmërisë r = S (si horizontalisht ashtu edhe vertikalisht). Prandaj, S është një fraktal i vetë-ngjashëm me dimensionin:

d = log(3)/log(2) ~ 1,5850.

Oriz. 2.3.2. Ndërtimi i një tapeti Sierpinski

Natyrisht, sipërfaqja totale e pjesëve të hedhura gjatë ndërtimit është saktësisht e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit origjinal. Në hapin e parë hodhëm ¼ pjesë të zonës. Në hapin tjetër, hodhëm tre trekëndësha, me sipërfaqen e secilit të barabartë me ½ 2 të sipërfaqes së asaj origjinale. Duke arsyetuar në këtë mënyrë, ne jemi të bindur se pjesa totale e sipërfaqes së hedhur ishte:

1/4 + 3 * (1/4 2) + 3 2 * (1/4 3) + … + 3 n -1 * (1/4 n) + … .

Kjo shumë është e barabartë me 1 (provë në ). Rrjedhimisht, mund të pretendojmë se grupi i mbetur S, domethënë tapeti, ka një sipërfaqe matëse zero. Kjo e bën S një grup "perfekt", në kuptimin që e ndan komplementin e tij në një numër të pafund zonash trekëndore, ndërkohë që ka trashësi zero.

3. L-sistemet.

Koncepti L-sistemet, i lidhur ngushtë me fraktale të ngjashme, u shfaq vetëm në vitin 1968 falë Aristrid Lindenmayer. Sistemet L fillimisht u prezantuan në studimin e gjuhëve formale dhe u përdorën gjithashtu në modelet biologjike të përzgjedhjes. Ato mund të përdoren për të ndërtuar shumë fraktale të njohura vetë të ngjashme, duke përfshirë flok dëbore Koch dhe tapetin Sierpinski. Disa të tjerë ndërtimet klasike, për shembull, kthesat e Peano (vepra nga Peano, Hilbert, Sierpinski), gjithashtu përshtaten në këtë skemë. Dhe sigurisht, sistemet L hapin rrugën për një shumëllojshmëri të pafundme fraktalesh të reja, gjë që ishte arsyeja e përdorimit të tyre të gjerë në grafikat kompjuterike për ndërtimin e pemëve dhe bimëve fraktale. Ne do të shqyrtojmë përcaktuese L-sistemet dhe grafika në një aeroplan.

Për zbatimin grafik të sistemeve L, të ashtuquajturat breshkë-grafika (breshka – breshkë). Në këtë rast, pika (breshka) lëviz nëpër ekran në hapa diskrete, zakonisht duke gjurmuar shenjën e saj, por nëse është e nevojshme, ajo mund të lëvizë pa vizatim. Ne kemi në dispozicion tre parametra ( x, y, a) , Ku (x, y) - koordinatat e breshkës, a- drejtimi në të cilin po shikon. Breshka është trajnuar për të interpretuar dhe ekzekutuar një sekuencë komandash të dhëna nga një fjalë kodi, shkronjat e së cilës lexohen nga e majta në të djathtë. Fjala kod është rezultat i sistemit L dhe mund të përfshijë shkronjat e mëposhtme:

F - ecni përpara një hap, duke tërhequr një gjurmë.

b - ecni përpara një hap PA vizatuar një gjurmë.

[ - hap degën (shih më poshtë për detaje)

] - mbyllni degën (shih më poshtë për detaje)

Rritja e këndit a nga shuma q

Zvogëloni këndin a nga shuma q

Madhësia e hapit dhe madhësia e rritjes së këndit q janë vendosur paraprakisht dhe mbeten të pandryshuara për të gjitha lëvizjet e breshkës. Nëse drejtimi fillestar i lëvizjes A(këndi i matur nga drejtimi pozitiv i boshtit X) nuk tregohet, atëherë supozojmë A e barabartë me zero.

Disa shembuj ilustrojnë përdorimin e komandave të degës (të shënuara me ],[) dhe të ndryshoreve ndihmëse (të shënuara me X, Y, etj.). Komandat e degëzimit përdoren për të ndërtuar pemë dhe variablat ndihmës e bëjnë shumë më të lehtë ndërtimin e disa sistemeve L.

Formalisht, një sistem L determinist përbëhet nga alfabeti, një fjalë inicializimi e quajtur aksiomë ose iniciator, dhe vendoseni rregullat gjeneruese, duke treguar se si fjala duhet të transformohet kur lëviz nga niveli në nivel (nga përsëritja në përsëritje). Për shembull, mund të zëvendësoni shkronjën F duke përdorur një rregull gjenerues newf= F-F++F-F, që korrespondon me sistemin L për flok dëbore Koch të diskutuar më poshtë. Simbolet +, -, ], [ nuk përditësohen, por thjesht mbeten në vendet ku ndodhin. Përditësimi i shkronjave në një fjalë të caktuar supozohet të jetë i njëkohshëm, domethënë, shkronjat e një fjale në një nivel përditësohen përpara çdo shkronje në nivelin tjetër.

Sistemi L që korrespondon me flok dëbore Koch (Fig. 2.2.1) është përcaktuar si më poshtë:

fq =  /3

Aksioma: F++F++F

Rregulli gjenerues: newf = F-F++F-F

Paraqitja grafike e aksiomës F++F++F është një trekëndësh barabrinjës. Breshka bën një hap përpara, pastaj kthen qoshet A rritet me 2/3 dhe breshka bën një hap tjetër.

Në hapin e parë, çdo shkronjë F në fjalën fillestare F++F++F zëvendësohet me F-F++F-F:

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

Duke përsëritur këtë proces, në hapin e dytë marrim:

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F -F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

etj. Për më tepër, pasi kam mësuar nga përvoja ime në programimin e sistemeve L, e di që për një flok dëbore Koch në përsëritjen e 20-të, rregulli i gjenerimit merr disa megabajt tekst!

Këtu janë disa fraktale të tjera të ndërtuara duke përdorur sistemin L: