Sistemet e ekuacioneve janë përdorur gjerësisht në industrinë ekonomike me modelimi matematik procese të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhen problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugët e logjistikës ( problem transporti) ose vendosja e pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Sistemi ekuacionet lineare emërtoni dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose vërtetimi që vlerat e përshtatshme të x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme analitike për zgjidhjen e sistemeve të tilla; zgjidhje numerike. NË kursi shkollor matematika, metoda të tilla si ndërrimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe grafike dhe metoda e matricës, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare në kurrikulën e arsimit të përgjithshëm të klasës së 7-të është mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhje ky shembull nuk shkakton vështirësi dhe ju lejon të merrni vlerën Y Hapi i fundit është të kontrolloni vlerat e marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu e papërshtatshme.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkojnë zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ata kryejnë mbledhjen term pas termi dhe shumëzimin e ekuacioneve me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar veprimet matematikore është një ekuacion me një ndryshore.

Për Aplikimet këtë metodë kërkohet praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat veprim aritmetik një nga koeficientët e ndryshores duhet të jetë i barabartë me 1.
2. Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
3. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione, gjithashtu numri i të panjohurave duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në atë standard. trinom kuadratik. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera diskriminuese nga formula e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. NË shembulli i dhënë a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi më i madh se zero, atëherë ka dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi më pak se zero, atëherë ka vetëm një zgjidhje: x= -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda është të ndërtohet mbi boshti koordinativ grafikët e çdo ekuacioni të përfshirë në sistem. Koordinatat e pikave të prerjes së kthesave dhe do të jenë vendim i përgjithshëm sistemeve.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht janë ndërtuar dy pika, vlerat e ndryshores x janë zgjedhur në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, janë gjetur vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

NË shembullin e mëposhtëm duhet gjetur zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për shënim i shkurtër sistemet e ekuacioneve lineare. Një matricë është një tabelë lloj i veçantë e mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me infinit numri i mundshëm linjat. Matricë me njësi përgjatë njërës prej diagonaleve dhe të tjerave elemente zero e quajtur njësi.

Një matricë e kundërt është një matricë, kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një matricë njësi, një matricë e tillë ekziston vetëm për atë origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe anëtarë të lirë ekuacionet, një ekuacion - një rresht i matricës.

Një rresht i një matrice thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është e barabartë me zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 - matricë e anasjelltë, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre", ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të reduktoni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me një numër i madh variablat dhe ekuacionet.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

NË matematikë e lartë Metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur sistemet e ndryshueshme me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet që përdorin zëvendësime dhe shtimi algjebrik, por më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të zvogëlojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Nga transformimet algjebrike dhe zëvendësimet, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

NË tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën Gaussian përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda e Gausit është e vështirë për t'u kuptuar nga studentët shkolla e mesme, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programe mësimore të avancuara në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe vazhdon të kryejë të nevojshmen operacionet algjebrike derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

Duke përdorur këtë programi i matematikës ju mund të zgjidhni një sistem me dy ekuacione lineare me dy metodë e ndryshueshme metoda e zëvendësimit dhe e shtimit.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por edhe jep zgjidhje e detajuar me shpjegime të hapave të zgjidhjes në dy mënyra: metoda e zëvendësimit dhe metoda e mbledhjes.

Ky program mund të jetë e dobishme për nxënësit e shkollave të mesme shkollat ​​e mesme në përgatitje për testet dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para Provimit të Bashkuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemave në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyrat e shtëpisë

në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara. Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin tuaj. vëllezërit më të vegjël

ose motrat, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.

Rregullat për futjen e ekuacioneve
Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.

Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj. Kur futen ekuacionet mund të përdorni kllapa
. Në këtë rast, ekuacionet thjeshtohen fillimisht.

Ekuacionet pas thjeshtimeve duhet të jenë lineare, d.m.th. të formës ax+nga+c=0 me saktësinë e renditjes së elementeve. Për shembull: 6x+1 = 5(x+y)+2 Ju mund të përdorni jo vetëm numra të plotë në ekuacione, por edhe

numrat thyesorë
në formë dhjetore dhe thyesa të zakonshme. Rregullat për futjen e thyesave dhjetore. E tërë dhe pjesë thyesore V
dhjetore

mund të ndahet ose me pikë ose me presje.
Për shembull: 2.1n + 3.5m = 55
Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese. Emëruesi nuk mund të jetë negativ. Kur hyni /
thyesa numerike Numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: &

E gjithë pjesa
e ndarë nga thyesa me një ampersand:
Shembuj.

Shembull: 3x-4y = 5
Shembull: 6x+1 = 5(x+y)+2
U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutemi prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. Metoda e zëvendësimit

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit:
1) shpreh një variabël nga disa ekuacione të sistemit në terma të një tjetri;
2) zëvendësoni shprehjen që rezulton në një ekuacion tjetër të sistemit në vend të kësaj ndryshoreje;

$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \djathtas. $$

Le ta shprehim y në terma x nga ekuacioni i parë: y = 7-3x. Duke zëvendësuar shprehjen 7-3x në ekuacionin e dytë në vend të y, marrim sistemin:
$$ \majtas\( \fillimi(grupi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \djathtas. $$

Është e lehtë të tregohet se sistemi i parë dhe i dytë kanë të njëjtat zgjidhje. Në sistemin e dytë, ekuacioni i dytë përmban vetëm një ndryshore. Le të zgjidhim këtë ekuacion:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Shigjeta djathtas -5x+14-6x=3 \Shigjeta djathtas -11x=-11 \Shigjeta djathtas x=1 $$

Duke zëvendësuar numrin 1 në vend të x në barazinë y=7-3x, gjejmë vlerën përkatëse të y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Djathtas y=4 $$

Çifti (1;4) - zgjidhje e sistemit

Quhen sisteme ekuacionesh në dy ndryshore që kanë zgjidhje të njëjta ekuivalente. Sistemet që nuk kanë zgjidhje konsiderohen gjithashtu ekuivalente.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me mbledhje

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare - metodën e mbledhjes. Kur zgjidhim sisteme duke përdorur këtë metodë, si dhe kur zgjidhim duke përdorur metodën e zëvendësimit, kalojmë nga një sistem i caktuar në një sistem tjetër ekuivalent, në të cilin njëri prej ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes:
1) shumëzoni ekuacionet e sistemit term me term, duke zgjedhur faktorët në mënyrë që koeficientët për një nga variablat të bëhen numra të kundërt;
2) shtoni anët e majta dhe të djathta të ekuacioneve të sistemit term pas termi;
3) zgjidh ekuacionin që rezulton me një ndryshore;
4) gjeni vlerën përkatëse të ndryshores së dytë.

Shembull. Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:
$$ \left\( \fillimi(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Në ekuacionet e këtij sistemi, koeficientët e y janë numra të kundërt. Duke mbledhur anët e majta dhe të djathta të ekuacioneve term pas termi, fitojmë një ekuacion me një ndryshore 3x=33. Le të zëvendësojmë një nga ekuacionet e sistemit, për shembull të parën, me ekuacionin 3x=33. Le të marrim sistemin
$$ \left\( \fillimi(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Nga ekuacioni 3x=33 gjejmë se x=11. Duke e zëvendësuar këtë vlerë x në ekuacionin \(x-3y=38\) marrim një ekuacion me ndryshoren y: \(11-3y=38\). Le të zgjidhim këtë ekuacion:
\(-3y=27 \Djathtas y=-9 \)

Kështu, ne gjetëm zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve me mbledhje: \(x=11; y=-9\) ose \((11;-9)\)

Duke përfituar nga fakti se në ekuacionet e sistemit koeficientët e y janë numra të kundërt, zgjidhjen e tij e reduktuam në zgjidhjen e një sistemi ekuivalent (duke mbledhur të dyja anët e secilit prej ekuacioneve të sistemit origjinal), në të cilin një e ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Një sistem ekuacionesh lineare është një grup ekuacionesh lineare të konsideruara së bashku.

Një sistem mund të ketë çdo numër ekuacionesh me çdo numër të panjohurash.

Një zgjidhje për një sistem ekuacionesh është një grup vlerash të panjohurash që plotëson të gjitha ekuacionet e sistemit, domethënë duke i kthyer ato në identitete.

Një sistem që ka një zgjidhje quhet konsistent, ndryshe quhet i paqëndrueshëm.

Për zgjidhjen e sistemit përdoren metoda të ndryshme.

Le
(numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave).

Metoda Cramer

Le të shqyrtojmë zgjidhjen sistemet prej tre ekuacione lineare me tre të panjohura:

(7)

Për të gjetur të panjohurat
Le të zbatojmë formulën e Cramer:

(8)

Ku - përcaktor i sistemit, elementet e të cilit janë koeficientët e të panjohurave:

.

përftohet duke zëvendësuar kolonën e parë të përcaktorit kolona e anëtarëve të lirë:

.

Po kështu:

;
.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin duke përdorur formulën e Cramer:

.

Zgjidhja: Le të përdorim formulat (8):

;

;

;

;

Përgjigje:
.

Për çdo sistem ekuacionet lineare me të panjohurat mund të shprehen:

Zgjidhja e matricës

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemit (7) të tre ekuacioneve lineare me tre të panjohura duke përdorur metodën e matricës.

Duke përdorur rregullat e shumëzimit të matricës, ky sistem ekuacionesh mund të shkruhet si:
, Ku

.

Lëreni matricën jo i degjeneruar, d.m.th.
. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit të matricës në të majtë me matricën
, inversi i matricës , marrim:
.

Duke pasur parasysh atë
, kemi

(9)

Shembulli 2. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e matricës:

.

Zgjidhja: Le të prezantojmë matricat:

- nga koeficientët e të panjohurave;

- kolona e anëtarëve të lirë.

Atëherë sistemi mund të shkruhet si një ekuacion matricë:
.

Le të përdorim formulën (9). Le të gjejmë matricën e anasjelltë
sipas formulës (6):

;

.

Prandaj,

Marrë:

.

Përgjigje:
.

Metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave (metoda Gauss)

Ideja kryesore e metodës së përdorur është të eliminojë në mënyrë sekuenciale të panjohurat. Le të shpjegojmë kuptimin e kësaj metode në sistem tre ekuacione me tre të panjohura:

.

Le të supozojmë se
(Nëse
, atëherë ndryshojmë rendin e ekuacioneve, duke zgjedhur si ekuacion të parë atë në të cilin koeficienti në jo e barabartë me zero).

Hapi i parë: a) pjesëtoni ekuacionin
në
; b) shumëzojeni ekuacionin që rezulton me
dhe zbres nga
; c) pastaj shumëzojeni rezultatin me
dhe zbres nga
. Si rezultat i hapit të parë do të kemi sistemin:

,

Hapi i dytë: kemi të bëjmë me ekuacionin
Dhe
saktësisht e njëjtë si me ekuacionet
.

Si rezultat, sistemi origjinal shndërrohet në të ashtuquajturën formë hap pas hapi:

Nga sistemi i transformuar, të gjitha të panjohurat përcaktohen në mënyrë sekuenciale pa vështirësi.

Koment. Në praktikë, është më e përshtatshme të reduktohet në një formë hap pas hapi jo vetë sistemi i ekuacioneve, por një matricë e koeficientëve, të panjohurave dhe termave të lirë.

Shembulli 3. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

.

Ne do të shkruajmë kalimin nga një matricë në tjetrën duke përdorur shenjën e ekuivalencës ~.

~
~
~
~

~
.

Duke përdorur matricën që rezulton, ne shkruajmë sistemin e transformuar:

.

Përgjigje:
.

Shënim: Nëse sistemi ka e vetmja zgjidhje, atëherë sistemi i hapave reduktohet në një trekëndësh, domethënë në atë në të cilin ekuacioni i fundit do të përmbajë një të panjohur. Në rastin e një sistemi të pasigurt, që është, ai në të cilin numri i të panjohurave më shumë numër ekuacionet lineare të pavarura, nuk do të ketë sistem trekëndor, pasi ekuacioni i fundit do të përmbajë më shumë se një të panjohur (sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh). Kur sistemi është i paqëndrueshëm, atëherë, pas reduktimit të tij në formë hap pas hapi, ai do të përmbajë të paktën një vlera e formës
, domethënë një ekuacion në të cilin të gjitha të panjohurat kanë koeficientë zero dhe ana e djathtë është jozero (sistemi nuk ka zgjidhje). Metoda Gaussian është e zbatueshme për sistemi arbitrar ekuacionet lineare (për çdo
Dhe ).

Teorema e ekzistencës për një zgjidhje të një sistemi ekuacionesh lineare

Kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Gaussian, përgjigja në pyetjen nëse ky sistem është i pajtueshëm apo jo konsistent mund të jepet vetëm në fund të llogaritjeve. Megjithatë, shpesh është e rëndësishme të zgjidhet çështja e përputhshmërisë ose papajtueshmërisë së një sistemi ekuacionesh pa gjetur vetë zgjidhjet. Përgjigja për këtë pyetje jepet nga teorema e mëposhtme Kronecker-Capelli.

Le të jepet sistemi
ekuacionet lineare me i panjohur:

(10)

Në mënyrë që sistemi (10) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së sistemit

.

ishte e barabartë me gradën e matricës së saj të zgjeruar

.

Për më tepër, nëse
, atëherë sistemi (10) ka një zgjidhje unike; nëse
, atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Konsideroni një sistem homogjen (të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero) ekuacionesh lineare:

.

Ky sistem është gjithmonë konsistent pasi ka një zgjidhje zero.

Teorema e mëposhtme jep kushtet në të cilat sistemi gjithashtu ka zgjidhje të ndryshme nga zero.

Terema. Në mënyrë që të sistem homogjen ekuacionet e linjës kanë një zgjidhje zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktorja e saj ishte e barabartë me zero:

.

Kështu, nëse
, atëherë zgjidhja është e vetmja. Nëse
, atëherë ka një numër të pafund zgjidhjesh të tjera jo zero. Le të tregojmë një nga mënyrat për të gjetur zgjidhje për një sistem homogjen të tre ekuacioneve lineare me tre të panjohura në rastin
.

Mund të vërtetohet se nëse
, dhe ekuacioni i parë dhe i dytë janë joproporcionalë (linearisht të pavarur), atëherë ekuacioni i tretë është pasojë e dy të parëve. Zgjidhja e një sistemi homogjen prej tre ekuacionesh me tre të panjohura reduktohet në zgjidhjen e dy ekuacioneve me tre të panjohura. Shfaqet një e ashtuquajtur e panjohur e lirë, së cilës mund t'i caktohen vlera arbitrare.

Shembulli 4. Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemit:

.

Zgjidhje. Përcaktues i këtij sistemi

.

Prandaj, sistemi ka zero zgjidhje. Ju mund të vini re se dy ekuacionet e para, për shembull, nuk janë proporcionale, prandaj, ato janë linearisht të pavarura. E treta është pasojë e dy të parave (rezulton nëse i shtojmë dy herë të dytën ekuacionit të parë). Duke e refuzuar atë, marrim një sistem prej dy ekuacionesh me tre të panjohura:

.

Duke supozuar, për shembull,
, marrim

.

Duke zgjidhur një sistem me dy ekuacione lineare, shprehemi Dhe përmes :
. Prandaj, zgjidhja e sistemit mund të shkruhet si:
, Ku - numër arbitrar.

Shembulli 5. Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemit:

.

Zgjidhje. Është e lehtë të shihet se në këtë sistem ekziston vetëm një ekuacion i pavarur (dy të tjerët janë në përpjesëtim me të). Një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura është reduktuar në një ekuacion me tre të panjohura. Shfaqen dy të panjohura të lira. Gjetja, për shembull, nga ekuacioni i parë
për arbitrare Dhe , ne marrim zgjidhje për këtë sistem. Forma e përgjithshme e zgjidhjes mund të shkruhet, ku Dhe - numra arbitrar.

Pyetje vetë-testimi

Formuloni rregullën e Cramer-it për zgjidhjen e sistemit ekuacionet lineare me i panjohur.

Cili është thelbi i metodës së matricës së zgjidhjes së sistemeve?

Cila është metoda e Gausit për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare?

Tregoni teoremën Kronecker-Capelli.

Formuloni një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për ekzistencën e zgjidhjeve jozero në një sistem homogjen ekuacionesh lineare.

Shembuj për vetë-zgjidhje

Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemeve:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Përcaktoni në çfarë vlerash Dhe sistemi i ekuacioneve

a) ka një zgjidhje unike;

b) nuk ka zgjidhje;

c) ka pafundësisht shumë zgjidhje.

16.
; 17.
;

Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemeve homogjene të mëposhtme:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Përgjigjet e shembujve

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- numër arbitrar.

6.
, Ku - numër arbitrar.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Ku - numër arbitrar.

12. , ku Dhe - numra arbitrar.

13.
; 14.
Ku Dhe - numra arbitrar.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., ku - numër arbitrar.

21. , ku - numër arbitrar.

22. , ku - numër arbitrar.

23. , ku Dhe - numra arbitrar.

Video tutorial 2:Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve

Ligjërata: Sistemet më të thjeshta të ekuacioneve me dy të panjohura

Ekuacione me dy të panjohura

Në këtë temë do të shikojmë ekuacionet që përmbajnë dy të panjohura. Shpesh, për të zgjidhur këto lloj ekuacionesh, duhet të kemi aq ekuacione sa të panjohura.

Ekuacionet me dy të panjohura kanë formën e mëposhtme:

a, b, c, d- këto janë numra duke qëndruar afër në variabla (x, y).

Zgjidhja e ekuacionit të sistemit- kjo do të thotë gjetja e vlerës së variablave që do të sjellin të dy ekuacionet në barazinë e saktë.

Çdo ekuacion mund të ketë përgjigje të shumta, por përgjigja për sistemin e ekuacioneve do të jetë çifti i numrave që i përshtatet të dy ekuacioneve.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh mund të interpretohet në mënyrë analitike, disa prej të cilave do t'i shqyrtojmë më vonë dhe në mënyrë grafike.

Metoda grafike për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh

Për secilën prej ekuacionet e dhëna ju mund të ndërtoni grafikun tuaj në një aeroplan - mund të jetë cilido prej tyre Listat e famshme funksionet. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve do të jetë pika në të cilën kryqëzohen grafikët. Kjo pikë do të ketë koordinatën e vet, e cila do t'i përgjigjet ordinatës dhe abshisës, që do të jetë zgjidhja.

Nga grafiku mund të merren disa lloje zgjidhjesh:

1. Shumë zgjidhje. Për shembull, nëse do të përfaqësohej një ekuacion funksioni trigonometrik, dhe e dyta është një vijë e drejtë, për shembull, paralele me boshtin OX, atëherë kjo drejtëz do të presë grafikun e funksionit të dytë në shumë pika me një periodicitet të caktuar.

2. Një zgjidhje. Në këtë rast, grafikët e funksioneve do të kryqëzohen në një pikë. Në mënyrë tipike, kjo pamje vërehet nëse grafikët e ekuacioneve janë vija të drejta.

3. Dy zgjidhje. Kjo do të thotë, grafikët e ekuacioneve do të kryqëzohen në dy pika. Kjo zakonisht vërehet kur grafiku i njërit prej funksioneve është një parabolë.

4. Nuk ka zgjidhje. Disa grafikë funksioni mund të mos kryqëzohen fare, në këtë rast sistemi nuk do të ketë zgjidhje.

Metodat themelore të zgjidhjes analitike

Zgjidhja duke përdorur një grafik nuk është gjithmonë e përshtatshme, pasi pika e kryqëzimit të funksioneve mund të jetë mjaft larg nga origjina e koordinatave, ose do të ketë koordinata të pjesshme. Për të gjetur më saktë zgjidhjen e sistemit, është më mirë të përdoret metodat analitike zgjidhjet.

1. Zëvendësimi

Për të zgjidhur një sistem duke përdorur metodën e zëvendësimit, duhet të shprehni një nga të panjohurat në një nga ekuacionet dhe ta zëvendësoni atë në ekuacionin e dytë.

x = (c – nga) / a

d (c – nga) / a + ey = f

Pas këtij zëvendësimi, një nga ekuacionet do të ketë një të panjohur, pas së cilës ekuacioni zgjidhet në një mënyrë të njohur. Kur gjendet një nga variablat, vlera e tij zëvendësohet në ekuacionin e parë dhe, kështu, gjendet ndryshorja e dytë.

2. Metoda e mbledhjes ose zbritjes së ekuacioneve

Kjo metodë ju lejon të heqni qafe një nga të panjohurat. Pra, le të imagjinojmë se dëshironi të hiqni qafe variablin "x". për të këtë metodë ndodhi, ju duhet të shumëzoni ekuacionin e parë termalisht me d, dhe ekuacionin e dytë të shumëzoni termalisht me a. Pas kësaj do të merrni të njëjtat koeficientë për variablin "x". Nëse zbrisni një ekuacion nga një tjetër, do të jeni në gjendje të hiqni qafe një të panjohur. Më tej, ekuacioni kryhet duke përdorur metoda të njohura.

Në lëndën e matematikës së klasës së 7-të hasim për herë të parë ekuacionet me dy ndryshore, por ato studiohen vetëm në kuadrin e sistemeve të ekuacioneve me dy të panjohura. Kjo është arsyeja pse një seri e tërë problemesh në të cilat vendosen kushte të caktuara në koeficientët e ekuacionit që i kufizojnë ato bien jashtë syve. Përveç kësaj, metodat për zgjidhjen e problemeve si "Zgjidhja e një ekuacioni në numra natyrorë ose numra të plotë" gjithashtu injorohen, megjithëse në Materialet e Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe me radhë provimet pranuese Problemet e këtij lloji po bëhen gjithnjë e më të zakonshme.

Cili ekuacion do të quhet ekuacion me dy ndryshore?

Kështu, për shembull, ekuacionet 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ose xy = 12 janë ekuacione në dy ndryshore.

Konsideroni ekuacionin 2x – y = 1. Bëhet i vërtetë kur x = 2 dhe y = 3, kështu që ky çift vlerash të ndryshueshme është një zgjidhje për ekuacionin në fjalë.

Kështu, zgjidhja e çdo ekuacioni me dy ndryshore është një grup çiftesh të renditura (x; y), vlerat e variablave që e kthejnë këtë ekuacion në një barazi të vërtetë numerike.

Një ekuacion me dy të panjohura mund të:

A) kanë një zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + 5y 2 = 0 ka një zgjidhje unike (0; 0);

b) kanë zgjidhje të shumta. Për shembull, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ka 4 zgjidhje: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nuk ka zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + y 2 + 1 = 0 nuk ka zgjidhje;

G) kanë pafundësisht shumë zgjidhje. Për shembull, x + y = 3. Zgjidhjet e këtij ekuacioni do të jenë numra, shuma e të cilëve është e barabartë me 3. Bashkësia e zgjidhjeve ekuacioni i dhënë mund të shkruhet në formën (k; 3 – k), ku k është çdo numër real.

Metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve me dy variabla janë metodat e bazuara në faktorizimin e shprehjeve, izolimi i një katrori të plotë dhe përdorimi i vetive ekuacioni kuadratik, kufizimet e shprehjeve, metodat e vlerësimit. Ekuacioni zakonisht shndërrohet në një formë nga e cila mund të merret një sistem për gjetjen e të panjohurave.

Faktorizimi

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin: xy – 2 = 2x – y.

Zgjidhje.

Ne grupojmë termat për qëllim të faktorizimit:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Nga çdo kllapa nxjerrim një faktor të përbashkët:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Kemi:

y = 2, x – çdo numër real ose x = -1, y – çdo numër real.

Kështu, përgjigja janë të gjitha çiftet e formës (x; 2), x € R dhe (-1; y), y € R.

E barabartë me zero nuk është numrat negativë

Shembulli 2.

Zgjidheni ekuacionin: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Zgjidhje.

Grupimi:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Tani çdo kllapa mund të paloset duke përdorur formulën e diferencës në katror.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Shuma e dy shprehjeve jo negative është zero vetëm nëse 3x – 2 = 0 dhe 2y – 3 = 0.

Kjo do të thotë x = 2/3 dhe y = 3/2.

Përgjigje: (2/3; 3/2).

Metoda e vlerësimit

Shembulli 3.

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Zgjidhje.

Në çdo kllapa nënvizojmë një katror të plotë:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Le të vlerësojmë kuptimi i shprehjeve në kllapa.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dhe (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atëherë ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë të paktën 2. Barazia është e mundur nëse:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dhe (y – 2) 2 + 2 = 2, që do të thotë x = -1, y = 2.

Përgjigje: (-1; 2).

Le të njihemi me një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve me dy variablat e dyta gradë. Kjo metodë konsiston në trajtimin e ekuacionit si katror në lidhje me disa ndryshore.

Shembulli 4.

Zgjidheni ekuacionin: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Zgjidhje.

Le ta zgjidhim ekuacionin si ekuacion kuadratik për x. Le të gjejmë diskriminuesin:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ekuacioni do të ketë një zgjidhje vetëm kur D = 0, d.m.th., nëse y = 4. Zëvendësoni vlerën e y në ekuacioni origjinal dhe gjejmë se x = 3.

Përgjigje: (3; 4).

Shpesh në ekuacionet me dy të panjohura ato tregojnë kufizimet në variabla.

Shembulli 5.

Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Zgjidhje.

Le ta rishkruajmë ekuacionin si x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ana e djathte ekuacioni që rezulton kur pjesëtohet me 5 jep një mbetje prej 2. Prandaj, x 2 nuk pjesëtohet me 5. Por katrori i një numri që nuk pjesëtohet me 5 jep një mbetje prej 1 ose 4. Kështu, barazia është e pamundur dhe nuk ka asnjë zgjidhjet.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 6.

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Zgjidhje.

Le të theksojmë katrore perfekte në çdo kllapa:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ana e majtë ekuacioni është gjithmonë më i madh ose i barabartë me 3. Barazia është e mundur nën kushtin |x| – 2 = 0 dhe y + 3 = 0. Kështu, x = ± 2, y = -3.

Përgjigje: (2; -3) dhe (-2; -3).

Shembulli 7.

Për çdo çift të numrave të plotë negativ (x;y) që plotëson ekuacionin
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, njehso shumën (x + y). Ju lutemi tregoni shumën më të vogël në përgjigjen tuaj.

Zgjidhje.

Le të zgjedhim katrorë të plotë:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Meqenëse x dhe y janë numra të plotë, edhe katrorët e tyre janë numra të plotë. Ne marrim shumën e katrorëve të dy numrave të plotë të barabartë me 37 nëse mbledhim 1 + 36. Prandaj:

(x – y) 2 = 36 dhe (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 dhe (y + 2) 2 = 36.

Duke zgjidhur këto sisteme dhe duke marrë parasysh se x dhe y janë negative, gjejmë zgjidhje: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Përgjigje: -17.

Mos u dëshpëroni nëse keni vështirësi në zgjidhjen e ekuacioneve me dy të panjohura. Me pak praktikë, mund të përballoni çdo ekuacion.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet në dy ndryshore?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.