Ekuacionet me parametra: metoda e zgjidhjes grafike

Klasat 8-9

Artikulli diskuton një metodë grafike për zgjidhjen e disa ekuacioneve me parametra, e cila është shumë efektive kur duhet të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion në varësi të parametrit. a.

Problemi 1. Sa rrënjë ka ekuacioni? | | x | – 2 | = a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | | x | – 2 | dhe y = a. Grafiku i funksionit y = | | x | – 2 | treguar në figurë.

Grafiku i funksionit y = a është një drejtëz paralele me boshtin Ox ose që përkon me të (nëse a = 0).

Nga vizatimi shihet se:

Nëse a= 0, pastaj drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | | x |
– 2 | dy pika të përbashkëta; kjo do të thotë se ekuacioni origjinal ka dy rrënjë (në këtë rast, rrënjët mund të gjenden: x 1,2 = d 2).< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Nëse 0 a Nëse
Nëse 0 a= 2, atëherë drejtëza y = 2 ka tre pika të përbashkëta me grafikun e funksionit. Atëherë ekuacioni origjinal ka tre rrënjë. a> 2, pastaj drejtëza y =

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. a < 0, то корней нет;
Nëse a = 0, a Nëse
Nëse a> 2, atëherë ka dy rrënjë;
= 2, pastaj tre rrënjë;< a < 2, то четыре корня.

nëse 0 Problemi 2. Sa rrënjë ka ekuacioni? a në varësi të parametrit a?

| x 2 – 2| x | – 3 | = a.

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | x 2 – 2| x | – 3 | dhe y = a = 0).

Grafiku i funksionit y = | x 2 – 2| x | – 3 | treguar në figurë. Grafiku i funksionit y = a është një drejtëz paralele me Ox ose që përkon me të (kur

Nëse a= 0, pastaj drejtëza y = a Nga vizatimi mund të shihni: a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | x2 – 2| x | – 3 | dy pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y = a do të ketë me grafikun e funksionit y = | x 2 – 2| x | – 3 | dy pika të përbashkëta në a> 4. Pra, kur a= 0 dhe
– 2 | dy pika të përbashkëta; kjo do të thotë se ekuacioni origjinal ka dy rrënjë (në këtë rast, rrënjët mund të gjenden: x 1,2 = d 2).< a < 3, то прямая y = a> 4 ekuacioni origjinal ka dy rrënjë. a ka me grafikun e funksionit y = | x 2 – 2| x | – 3 | a katër pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y=< a < 3, a do të ketë katër pika të përbashkëta me grafikun e funksionit të ndërtuar në
Nëse 0 a= 4. Pra, në 0 a= 4 ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
= 3, pastaj drejtëza y =< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Nëse 0 a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. a < 0, то корней нет;
Nëse a = 0, a pret grafikun e një funksioni në pesë pika; prandaj, ekuacioni ka pesë rrënjë.
= 2, pastaj tre rrënjë;< a < 3, a Nëse 3
Nëse a> 4, pastaj dy rrënjë;
= 4, pastaj katër rrënjë;< a < 4, то шесть корней.

= 3, pastaj pesë rrënjë;

nëse 3 a?

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një grafik të funksionit në sistemin koordinativ (x; y) por fillimisht le ta paraqesim në formën:

Drejtëzat x = 1, y = 1 janë asimptota të grafikut të funksionit. Grafiku i funksionit y = | x | + a përftohet nga grafiku i funksionit y = | x | zhvendosja nga një njësi përgjatë boshtit Oy.

Grafikët e funksioneve kryqëzohen në një pikë në a> – 1; Kjo do të thotë që ekuacioni (1) për këto vlera parametrash ka një zgjidhje.

Në a = – 1, a= – 2 grafikë kryqëzohen në dy pika; Kjo do të thotë se për këto vlera parametrash, ekuacioni (1) ka dy rrënjë.
Në – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. a> – 1, pastaj një zgjidhje;
Nëse a = – 1, a= – 2, atëherë ka dy zgjidhje;
nëse - 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Komentoni. Gjatë zgjidhjes së ekuacionit (1) të problemit 3, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet rastit kur a= – 2, pasi pika (– 1; – 1) nuk i përket grafikut të funksionit por i përket grafikut të funksionit y = | x | + a.

Le të kalojmë në zgjidhjen e një problemi tjetër.

Problemi 4. Sa rrënjë ka ekuacioni?

x + 2 = a| x – 1 |

nëse 3 a?

(2) a Zgjidhje. Vini re se x = 1 nuk është një rrënjë e këtij ekuacioni, pasi barazia 3 = a· 0 nuk mund të jetë e vërtetë për asnjë vlerë parametri . Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me | x – 1 |(| x – 1 | nr. 0), atëherë ekuacioni (2) do të marrë formën

Në sistemin koordinativ xOy do të vizatojmë funksionin a Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në figurë. Grafiku i funksionit y = a = 0).

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. aështë një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox ose që përkon me të (nëse
Ј – 1, atëherë nuk ka rrënjë;< a nëse - 1
Nëse aЈ 1, pastaj një rrënjë;

> 1, atëherë ka dy rrënjë.

Le të shqyrtojmë ekuacionin më kompleks. a Problemi 5. Në cilat vlera të parametrit

a ekuacioni

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

ka tre zgjidhje? a Zgjidhje. 1. Vlera e kontrollit të parametrit për këtë ekuacion do të jetë numri a= 0, në të cilin ekuacioni (3) merr formën 0 + | x – 1 | = 0, prej nga x = 1. Prandaj, kur

= 0, ekuacioni (3) ka një rrënjë, e cila nuk i plotëson kushtet e problemit. a № 0.

2. Shqyrtoni rastin kur a Le të rishkruajmë ekuacionin (3) në formën e mëposhtme: a < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Vini re se ekuacioni do të ketë zgjidhje vetëm kur a Në sistemin koordinativ xOy do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | x – 1 | dhe y = a x 2 . Grafiku i funksionit y = | x – 1 | treguar në figurë. Grafiku i funksionit y = a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë, pasi a Ekuacioni (3) do të ketë tre zgjidhje vetëm kur drejtëza y = – x + 1 është tangjente me grafikun e funksionit y=

x 2 . a Le të jetë x 0 abshisa e pikës së tangjences së drejtëzës y = – x + 1 me parabolën y =

x 2 . Ekuacioni tangjent ka formën

y = y(x 0) + y "(x 0) (x – x 0).

Le të shkruajmë kushtet e tangjes:

Le të shqyrtojmë një metodë tjetër. Le të përdorim faktin që nëse drejtëza y = kx + b ka një pikë të vetme të përbashkët me parabolën y = a x 2 + px + q, pastaj ekuacioni a x 2 + px + q = kx + b duhet të ketë një zgjidhje unike, domethënë, diskriminuesi i saj është zero. Në rastin tonë kemi ekuacionin a x 2 = - x + 1 ( a nr. 0). Ekuacioni diskriminues

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

6. Sa rrënjë ka ekuacioni në varësi të parametrit a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) nëse a<0, то корней нет; если a=0, a>3, pastaj dy rrënjë; Nëse a=3, pastaj tre rrënjë; nëse 0<a<3, то четыре корня;
2) nëse a<1, то корней нет; если a=1, atëherë ka një grup të pafund zgjidhjesh nga intervali [– 2; a– 1]; Nëse
> 1, atëherë ka dy zgjidhje; a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a 3) nëse a=1, pastaj gjashtë rrënjë; Nëse a=3, atëherë ka tre zgjidhje; Nëse
>3, atëherë ka dy zgjidhje; a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a 4) nëse a=4, pastaj gjashtë rrënjë; Nëse a=5, pastaj tre rrënjë; Nëse

>5, atëherë ka dy rrënjë. a 7. Sa rrënjë ka ekuacioni | x + 1 | = a?

(x – 1) në varësi të parametrit .

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Përgjigje: nëse a > 1, a J-1,<a<0, то два корня; если 0<a=0, pastaj një rrënjë; nëse - 1

Ј 1, atëherë nuk ka rrënjë. a 8. Sa rrënjë ka ekuacioni x + 1 =? a?

| x – 1 |në varësi të parametrit

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Vizatoni një grafik (shih figurën).<aЈ –1, atëherë nuk ka rrënjë; nëse - 1 aЈ 1, pastaj një rrënjë; Nëse

>1, atëherë ka dy rrënjë.

9. Sa rrënjë ka ekuacioni?

nëse 3 a?

2| x | – 1 = a (x – 1)

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Shënim. Zvogëloni ekuacionin për të formuar a>2, a J-2,<a<1, то два корня; если 1<a=1, pastaj një rrënjë; nëse -2

Ј 2, atëherë nuk ka rrënjë.

nëse 3 a?

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë aЈ 0, a 10. Sa rrënjë ka ekuacioni?<a<2, то два корня.

i 2, pastaj një rrënjë; nëse 0 a Problemi 5. Në cilat vlera të parametrit

11. Në cilat vlera të parametrit a x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 a Shënim. Zvogëloni ekuacionin në formën x 2 = -

| x – 2 |. a Përgjigje: kur

J – 8. a Problemi 5. Në cilat vlera të parametrit

a 12. Në cilat vlera të parametrit

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 a Shënim. Përdorni problemin 5. Ky ekuacion ka tre zgjidhje vetëm nëse ekuacioni a x 2 + x + 1 = 0 ka një zgjidhje, dhe rasti

= 0 nuk i plotëson kushtet e problemit, domethënë, rasti mbetet kur

13. Sa rrënjë ka ekuacioni? a

nëse 3 a?

x | x – 2 | = 1 - Shënim. Zvogëloni ekuacionin në formën –x |x – 2| + 1 =

nëse 3 a?

a

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a<0, a Shënim. Ndërtoni grafikët e anës së majtë dhe të djathtë të këtij ekuacioni. a>2, atëherë ka dy rrënjë; nëse 0J

Ј 2, pastaj një rrënjë.

nëse 3 a?

16. Sa rrënjë ka ekuacioni? Shënim. Ndërtoni grafikët e anës së majtë dhe të djathtë të këtij ekuacioni. Për të grafikuar një funksion

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante të shprehjeve x + 2 dhe x: a>– 1, pastaj një zgjidhje; Nëse<a<–1, то четыре решения; если a= – 1, atëherë ka dy zgjidhje; nëse - 3

Ј –3, atëherë ka tre zgjidhje.

Kjo temë është pjesë përbërëse e kursit të algjebrës shkollore. Qëllimi i kësaj pune është ta studiojmë këtë temë më thellë, të identifikojmë zgjidhjen më racionale që të çon shpejt në një përgjigje. Kjo ese do të ndihmojë studentët e tjerë të kuptojnë përdorimin e metodës grafike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra, të mësojnë për origjinën dhe zhvillimin e kësaj metode.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Hyrje2

Kapitulli 1. Ekuacionet me një parametër

Historia e shfaqjes së ekuacioneve me parametrin3

Teorema e Vietës4

Konceptet bazë5

Kapitulli 2. Llojet e ekuacioneve me parametra.

Ekuacionet lineare6

Ekuacionet kuadratike………………………………………………………………………………………

Kapitulli 3. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve me një parametër

Metoda analitike…………………………………………….8

Metoda grafike. Historia e origjinës………………………………9

Algoritmi i zgjidhjes me metodën grafike……………………………….10

Zgjidhja e ekuacionit me modul…………………………………………………….11

Pjesa praktike……………………………………………………………12

konkluzioni………………………………………………………………………………………………………………………………………………….19

Referencat………………………………………………………………… 20

Hyrje.

Zgjodha këtë temë sepse është pjesë përbërëse e kursit të algjebrës shkollore. Në përgatitjen e kësaj pune, vendosa synimin për një studim më të thellë të kësaj teme, duke identifikuar zgjidhjen më racionale që të çon shpejt në një përgjigje. Eseja ime do t'i ndihmojë studentët e tjerë të kuptojnë përdorimin e metodës grafike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra, të mësojnë rreth origjinës dhe zhvillimit të kësaj metode.

Në jetën moderne, studimi i shumë proceseve fizike dhe modeleve gjeometrike shpesh çon në zgjidhjen e problemeve me parametrat.

Për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, metoda grafike është shumë efektive kur duhet të përcaktoni se sa rrënjë ka ekuacioni në varësi të parametrit α.

Problemet me parametrat janë me interes thjesht matematikor, kontribuojnë në zhvillimin intelektual të nxënësve dhe shërbejnë si material i mirë për praktikimin e aftësive. Ato kanë vlerë diagnostike, pasi mund të përdoren për të testuar njohuritë e degëve kryesore të matematikës, nivelin e të menduarit matematikor dhe logjik, aftësitë fillestare të kërkimit dhe mundësitë premtuese për të zotëruar me sukses një kurs matematike në institucionet e arsimit të lartë.

Eseja ime diskuton llojet e ekuacioneve të hasura shpesh dhe shpresoj se njohuritë që kam marrë në procesin e punës do të më ndihmojnë gjatë dhënies së provimeve shkollore, sepseekuacionet me parametrakonsiderohen me të drejtë një nga problemet më të vështira të matematikës shkollore. Janë pikërisht këto detyra që përfshihen në listën e detyrave në Provimin e Bashkuar të Shtetit.

Historia e shfaqjes së ekuacioneve me një parametër

Problemet mbi ekuacionet me një parametër tashmë janë hasur në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

αx 2 + bx = c, α>0

Koeficientët në ekuacion, përveç parametrit, gjithashtu mund të jetë negativ.

Ekuacionet kuadratike nga al-Khwarizmi.

Në traktatin algjebrik el-Kuarizmi jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike me parametrin a. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. αx 2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", d.m.th. αx 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. αx = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. αx 2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. αx 2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = αx 2 .

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik me një parametër në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieta, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 12-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike mori formën e saj moderne.

Teorema e Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien ndërmjet parametrave, koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, të emërtuar sipas Vietës, u formulua nga ai për herë të parë në vitin 1591. Si vijon: “Nëse b + d shumëzuar me α minus α 2 , është e barabartë me bc, atëherë α është e barabartë me b dhe e barabartë me d.”

Për të kuptuar Vietën, duhet të kujtojmë se α, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (x-në tonë), ndërsa zanoret b, d janë koeficientë për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë:

Nëse ka

(α + b)x - x 2 = αb,

Kjo do të thotë, x 2 - (α -b)x + αb =0,

atëherë x 1 = α, x 2 = b.

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Vieta vendosi uniformitet në metodat për zgjidhjen e ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vietit është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët ishin pozitive.

Konceptet Bazë

Parametri - një ndryshore e pavarur, vlera e së cilës konsiderohet një numër fiks ose arbitrar, ose një numër që i përket intervalit të përcaktuar nga gjendja e problemit.

Ekuacioni me parametër- matematikoreekuacioni, pamjen dhe zgjidhja e të cilave varet nga vlerat e një ose më shumë parametrave.

Vendosni ekuacioni me mesataren e parametrave për secilën vlerëgjeni vlerat e x që plotësojnë këtë ekuacion dhe gjithashtu:

1. 1. Hulumtoni se në cilat vlera të parametrave ka rrënjë ekuacioni dhe sa ka për vlera të ndryshme të parametrave.
2. 2. Gjeni të gjitha shprehjet për rrënjët dhe tregoni për secilën prej tyre ato vlera të parametrave në të cilat kjo shprehje përcakton në të vërtetë rrënjën e ekuacionit.

Merrni parasysh ekuacionin α(x+k)= α +c, ku α, c, k, x janë madhësi të ndryshueshme.

Sistemi i vlerave të lejuara të variablave α, c, k, xështë çdo sistem vlerash të ndryshueshme në të cilin të dyja anët e majta dhe të djathta të këtij ekuacioni marrin vlera reale.

Le të jetë A bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të α, K bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të k, X bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të x, C bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të c. Nëse për secilën nga bashkësitë A, K, C, X zgjedhim dhe rregullojmë, përkatësisht, një vlerë α, k, c dhe i zëvendësojmë në ekuacion, atëherë marrim një ekuacion për x, d.m.th. ekuacion me një të panjohur.

Ndryshoret α, k, c, të cilat konsiderohen konstante gjatë zgjidhjes së një ekuacioni, quhen parametra dhe vetë ekuacioni quhet ekuacion që përmban parametra.

Parametrat shënohen me shkronjat e para të alfabetit latin: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, kurse të panjohurat me shkronjat x, y, z.

Quhen dy ekuacione që përmbajnë të njëjtat parametra ekuivalente nëse:

a) kanë kuptim për vlerat e njëjta të parametrave;

b) çdo zgjidhje e ekuacionit të parë është zgjidhje e ekuacionit të dytë dhe anasjelltas.

Llojet e ekuacioneve me parametra

Ekuacionet me parametra janë: lineare dhe katror.

1) Ekuacioni linear. Pamje e përgjithshme:

α x = b, ku x është i panjohur;α, b - parametrat.

Për këtë ekuacion, vlera speciale ose e kontrollit të parametrit është ajo në të cilën koeficienti i të panjohurës zhduket.

Kur zgjidhet një ekuacion linear me një parametër, konsiderohen rastet kur parametri është i barabartë me vlerën e tij të veçantë dhe i ndryshëm nga ai.

Një vlerë e veçantë e parametrit α është vleraα = 0.

1.Nëse, dhe ≠0, pastaj për çdo çift parametrashα dhe b ka një zgjidhje unike x = .

2.Nëse, dhe =0, atëherë ekuacioni merr formën:0 x = b . Në këtë rast vlera b = 0 është një vlerë e veçantë e parametrit b.

2.1. Në b ≠ 0 ekuacioni nuk ka zgjidhje.

2.2. Në b =0 ekuacioni do të marrë formën:0 x =0.

Zgjidhja e këtij ekuacioni është çdo numër real.

Ekuacioni kuadratik me parametër.

Pamje e përgjithshme:

α x 2 + bx + c = 0

ku parametri α ≠0, b dhe c - numra arbitrar

Nëse α =1, atëherë ekuacioni quhet ekuacion kuadratik i reduktuar.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik gjenden duke përdorur formulat

Shprehja D = b 2 - 4 α c quhet diskriminues.

1. Nëse D> 0, ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme.

2. Nëse D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Nëse D = 0, ekuacioni ka dy rrënjë të barabarta.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve me një parametër:

1. Analitike - një metodë e zgjidhjes së drejtpërdrejtë, duke përsëritur procedurat standarde për gjetjen e përgjigjes në një ekuacion pa parametra.
2. Grafik - në varësi të kushteve të problemit merret parasysh pozicioni i grafikut të funksionit kuadratik përkatës në sistemin koordinativ.

Metoda analitike

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Para se të filloni të zgjidhni një problem me parametrat duke përdorur metodën analitike, duhet të kuptoni situatën për një vlerë numerike specifike të parametrit. Për shembull, merrni vlerën e parametrit α =1 dhe përgjigjuni pyetjes: a është vlera e parametrit α =1 e nevojshme për këtë detyrë.

Shembulli 1. Zgjidh relativisht X ekuacioni linear me parametrin m:

Sipas kuptimit të problemës (m-1)(x+3) = 0, pra m= 1, x = -3.

Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me (m-1)(x+3), marrim ekuacionin

marrim

Pra, në m= 2.25.

Tani duhet të kontrollojmë nëse ka ndonjë vlerë të m për të cilën

vlera e x-it të gjetur është -3.

duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë se x është e barabartë me -3 me m = -0.4.

Përgjigje: me m=1, m =2,25.

Metoda grafike. Historia e origjinës

Studimi i varësive të përbashkëta filloi në shekullin e 14-të. Shkenca mesjetare ishte skolastike. Me këtë natyrë, nuk mbetej vend për studimin e varësive sasiore, bëhej fjalë vetëm për cilësitë e objekteve dhe lidhjet e tyre me njëra-tjetrën. Por midis studiuesve u ngrit një shkollë që argumentonte se cilësitë mund të jenë pak a shumë intensive (veshja e një personi që ka rënë në lumë është më e lagësht se ajo e dikujt që sapo është zënë nga shiu)

Shkencëtari francez Nikolai Oresme filloi të përshkruante intensitetin me gjatësitë e segmenteve. Kur ai vendosi këto segmente pingul me një vijë të caktuar, skajet e tyre formuan një vijë, të cilën ai e quajti "vija e intensitetit" ose "vija e skajit të sipërm" (grafiku i varësisë funksionale përkatëse Oresme madje studioi "planare). ” dhe cilësitë “fizike”, pra funksionet, në varësi të dy ose tre ndryshoreve.

Arritja e rëndësishme e Oresmes ishte përpjekja e tij për të klasifikuar grafikët që rezultojnë. Ai identifikoi tre lloje cilësish: uniforme (me intensitet konstant), uniform-pabarabartë (me një shkallë konstante ndryshimi në intensitet) dhe të pabarabartë-pabarabartë (të gjitha të tjerat), si dhe vetitë karakteristike të grafikëve të cilësive të tilla.

Për të krijuar një aparat matematikor për studimin e grafikëve të funksioneve, nevojitej koncepti i një ndryshoreje. Ky koncept u fut në shkencë nga filozofi dhe matematikani francez Rene Descartes (1596-1650). Ishte Dekarti ai që doli me idetë për unitetin e algjebrës dhe gjeometrisë dhe rolin e variablave, Dekarti prezantoi një segment njësi fikse dhe filloi të marrë në konsideratë marrëdhëniet e segmenteve të tjera me të.

Kështu, grafikët e funksioneve gjatë gjithë periudhës së ekzistencës së tyre kanë kaluar nëpër një sërë transformimesh themelore, të cilat i çuan ata në formën me të cilën jemi mësuar. Çdo fazë ose fazë në zhvillimin e grafikëve të funksioneve është një pjesë integrale e historisë së algjebrës dhe gjeometrisë moderne.

Metoda grafike e përcaktimit të numrit të rrënjëve të një ekuacioni në varësi të parametrit të përfshirë në të është më e përshtatshme se ajo analitike.

Zgjidhja e algoritmit me metodën grafike

Grafiku i një funksioni - një grup pikash në të cilatabshissajanë vlera të vlefshme argumenti, A ordinatat- vlerat përkatësefunksionet.

Algoritmi për zgjidhjen grafike të ekuacioneve me një parametër:

1. Gjeni domenin e përkufizimit të ekuacionit.
2. Ne shprehim α në funksion të x.
3. Në sistemin e koordinatave ndërtojmë një grafik të funksionitα (x) për ato vlera të x që përfshihen në fushën e përkufizimit të këtij ekuacioni.
4. Gjetja e pikave të kryqëzimit të një drejtëzeα =с, me grafikun e funksionit

α(x). Nëse drejtëza α =с kalon grafikunα (x), pastaj përcaktojmë abshisat e pikave të kryqëzimit. Për ta bërë këtë, mjafton të zgjidhet ekuacioni c = α (x) në lidhje me x.

1. Shkruani përgjigjen

Zgjidhja e ekuacioneve me modul

Kur zgjidhen ekuacionet me një modul që përmban një parametër grafikisht, është e nevojshme të ndërtohen grafikët e funksioneve dhe të merren parasysh të gjitha rastet e mundshme për vlera të ndryshme të parametrit.

Për shembull, │х│= a,

Përgjigje: nëse a < 0, то нет корней, a > 0, atëherë x = a, x = - a, nëse a = 0, atëherë x = 0.

Zgjidhja e problemeve.

Problemi 1. Sa rrënjë ka ekuacioni?| | x | - 2 | =a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | | x | - 2 | dhe y = a . Grafiku i funksionit y = | | x | - 2 | treguar në figurë.

Grafiku i funksionit y =α a = 0).

Nga grafiku shihet se:

Nëse a = 0, atëherë drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | | x | - 2 | dy pika të përbashkëta; kjo do të thotë se ekuacioni origjinal ka dy rrënjë (në këtë rast, rrënjët mund të gjenden: x 1,2 = + 2).
Nëse 0< a < 2, то прямая y = α ka me grafikun e funksionit y = | | x | - 2 | katër pika të përbashkëta dhe, për rrjedhojë, ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
Nëse a = 2, atëherë drejtëza y = 2 ka tre pika të përbashkëta me grafikun e funksionit. Atëherë ekuacioni origjinal ka tre rrënjë.
Nëse a > 2, pastaj drejtëza y = a do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë.

Përgjigje: nëse a < 0, то корней нет;
nëse a = 0, a > 2, atëherë ka dy rrënjë;
nëse a = 2, atëherë ka tre rrënjë;
nëse 0< a < 2, то четыре корня.

Problemi 2. Sa rrënjë ka ekuacioni?| x 2 - 2| x | - 3 | =a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | x 2 - 2| x | - 3 | dhe y = a.

Grafiku i funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 | treguar në figurë. Grafiku i funksionit y =α është një vijë e drejtë paralele me Ox ose që përkon me të (kur a = 0).

Nga grafiku mund të shihni:

Nëse a = 0, atëherë drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | x2 - 2| x | - 3 | dy pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y = a do të ketë me grafikun e funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 | dy pika të përbashkëta në a > 4. Pra, për a = 0 dhe a > 4 ekuacioni origjinal ka dy rrënjë.
Nëse 0< a< 3, то прямая y = a ka me grafikun e funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 | katër pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y= a do të ketë katër pika të përbashkëta me grafikun e funksionit të ndërtuar në a = 4. Pra, në 0< a < 3, a = 4 ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
Nëse a = 3, pastaj drejtëza y = a pret grafikun e një funksioni në pesë pika; prandaj, ekuacioni ka pesë rrënjë.
Nëse 3< a< 4, прямая y = α pret grafikun e funksionit të ndërtuar në gjashtë pika; Kjo do të thotë që për këto vlera parametrash ekuacioni origjinal ka gjashtë rrënjë.
Nëse a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α nuk e pret grafikun e funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Përgjigje: nëse a < 0, то корней нет;
nëse a = 0, a > 4, atëherë ka dy rrënjë;
nëse 0< a < 3, a = 4, pastaj katër rrënjë;

nëse a = 3, pastaj pesë rrënjë;
nëse 3< a < 4, то шесть корней.

Problemi 3. Sa rrënjë ka ekuacioni?

në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një grafik të funksionit në sistemin koordinativ (x; y)

por fillimisht le ta paraqesim në formën:

Drejtëzat x = 1, y = 1 janë asimptota të grafikut të funksionit. Grafiku i funksionit y = | x | + a përftohet nga grafiku i funksionit y = | x | zhvendosja nga një njësi përgjatë boshtit Oy.

Grafikët e funksioneve kryqëzohen në një pikë në a > - 1; Kjo do të thotë që ekuacioni (1) për këto vlera parametrash ka një zgjidhje.

Kur a = - 1, a = - 2 grafikë kryqëzohen në dy pika; Kjo do të thotë se për këto vlera parametrash, ekuacioni (1) ka dy rrënjë.
Në - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Përgjigje: nëse a > - 1, pastaj një zgjidhje;
nëse a = - 1, a = - 2, atëherë ka dy zgjidhje;
nëse - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Komentoni. Me rastin e zgjidhjes së ekuacionit të problemit, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet rastit kur a = - 2, pasi pika (- 1; - 1) nuk i përket grafikut të funksionitpor i përket grafikut të funksionit y = | x | + a.

Problemi 4. Sa rrënjë ka ekuacioni?

x + 2 = a | x - 1 |

në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Vini re se x = 1 nuk është një rrënjë e këtij ekuacioni, pasi barazia 3 = a 0 nuk mund të jetë e vërtetë për asnjë vlerë parametri a . Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me | x - 1 |(| x - 1 |0), atëherë ekuacioni merr formënNë sistemin koordinativ xOy do të vizatojmë funksionin

Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në figurë. Grafiku i funksionit y = a është një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox ose që përkon me të (nëse a = 0).