Progresioni aritmetik emërtoni një sekuencë numrash (kushtet e një progresioni)

Në të cilin çdo term i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me një term të ri, i cili gjithashtu quhet ndryshimi i hapit ose progresionit.

Kështu, duke specifikuar hapin e progresionit dhe termin e tij të parë, mund të gjeni cilindo nga elementët e tij duke përdorur formulën

Vetitë e një progresion aritmetik

1) Çdo anëtar i një progresion aritmetik, duke filluar nga numri i dytë, është mesatarja aritmetike e anëtarëve të mëparshëm dhe të ardhshëm të progresionit

E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Nëse mesatarja aritmetike e termave tek (çift) ngjitur të një progresioni është e barabartë me termin që qëndron midis tyre, atëherë kjo sekuencë numrash është një progresion aritmetik. Duke përdorur këtë deklaratë, është shumë e lehtë të kontrollosh çdo sekuencë.

Gjithashtu, nga vetia e progresionit aritmetik, formula e mësipërme mund të përgjithësohet në vijim

Kjo është e lehtë për t'u verifikuar nëse shkruani kushtet në të djathtë të shenjës së barazimit

Shpesh përdoret në praktikë për të thjeshtuar llogaritjet në probleme.

2) Shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik llogaritet duke përdorur formulën

Mbani mend mirë formulën për shumën e një progresion aritmetik, ajo është e domosdoshme në llogaritje dhe shpesh gjendet në situata të thjeshta jetësore.

3) Nëse ju duhet të gjeni jo të gjithë shumën, por një pjesë të sekuencës duke filluar nga termi i saj k, atëherë formula e shumës së mëposhtme do t'ju jetë e dobishme

4) Me interes praktik është gjetja e shumës së n termave të një progresion aritmetik duke u nisur nga numri k-të. Për ta bërë këtë, përdorni formulën

Kjo përfundon materialin teorik dhe kalon në zgjidhjen e problemeve të zakonshme në praktikë.

Shembulli 1. Gjeni termin e dyzetë të progresionit aritmetik 4;7;...

Zgjidhja:

Sipas gjendjes që kemi

Le të përcaktojmë hapin e përparimit

Duke përdorur një formulë të njohur, gjejmë termin e dyzetë të progresionit

Shembulli 2.

Zgjidhja:

Një progresion aritmetik jepet nga termat e tij të tretë dhe të shtatë. Gjeni termin e parë të progresionit dhe shumën e dhjetë.

Le të shkruajmë elementet e dhëna të progresionit duke përdorur formulat

Ekuacionin e dytë e zbresim të parin, si rezultat gjejmë hapin e progresionit

Ne llogarisim shumën e dhjetë termave të parë të progresionit

Pa përdorur llogaritjet komplekse, gjetëm të gjitha sasitë e kërkuara.

Shembulli 3. Një progresion aritmetik jepet nga emëruesi dhe një nga termat e tij. Gjeni termin e parë të progresionit, shumën e 50 anëtarëve të tij duke filluar nga 50 dhe shumën e 100 të parëve.

Zgjidhja:

Le të shkruajmë formulën për elementin e qindtë të progresionit

dhe gjeni të parën

Bazuar në të parën, gjejmë termin e 50-të të progresionit

Gjetja e shumës së pjesës së progresionit

dhe shuma e 100 të parave

Shuma e progresionit është 250.

Shembulli 4.

Gjeni numrin e termave të një progresion aritmetik nëse:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Zgjidhja:

Le të shkruajmë ekuacionet në terma të termit të parë dhe hapit të progresionit dhe t'i përcaktojmë ato

Ne i zëvendësojmë vlerat e marra në formulën e shumës për të përcaktuar numrin e termave në shumë

Ne kryejmë thjeshtime

dhe zgjidhni ekuacionin kuadratik

Nga dy vlerat e gjetura, vetëm numri 8 i përshtatet kushteve të problemit. Kështu, shuma e tetë termave të parë të progresionit është 111.

Shembulli 5.

Zgjidhe ekuacionin

1+3+5+...+x=307.

Zgjidhje: Ky ekuacion është shuma e një progresion aritmetik. Le të shkruajmë termin e tij të parë dhe të gjejmë ndryshimin në progresion

Shumë njerëz kanë dëgjuar për progresionin aritmetik, por jo të gjithë e kanë një ide të mirë se çfarë është. Në këtë artikull do të japim përkufizimin përkatës, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë ndryshimin e një progresion aritmetik dhe të japim një numër shembujsh.

Përkufizimi matematik

Pra, nëse po flasim për një progresion aritmetik ose algjebrik (këto koncepte përcaktojnë të njëjtën gjë), atëherë kjo do të thotë se ekziston një seri e caktuar numrash që plotëson ligjin e mëposhtëm: çdo dy numra ngjitur në seri ndryshojnë me të njëjtën vlerë. Matematikisht është shkruar kështu:

Këtu n nënkupton numrin e elementit a n në sekuencë, dhe numri d është ndryshimi i progresionit (emri i tij rrjedh nga formula e paraqitur).

Çfarë do të thotë të njohësh ndryshimin d? Rreth asaj se sa "larg" janë numrat fqinjë nga njëri-tjetri. Megjithatë, njohja e d-së është një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm për përcaktimin (rikthimin) e të gjithë progresionit. Ju duhet të dini një numër më shumë, i cili mund të jetë absolutisht çdo element i serisë në shqyrtim, për shembull, një 4, a10, por, si rregull, ata përdorin numrin e parë, domethënë një 1.

Formulat për përcaktimin e elementeve të progresionit

Në përgjithësi, informacioni i mësipërm tashmë është i mjaftueshëm për të kaluar në zgjidhjen e problemeve specifike. Sidoqoftë, përpara se të jepet përparimi aritmetik dhe do të jetë e nevojshme të gjejmë ndryshimin e tij, ne do të paraqesim disa formula të dobishme, duke lehtësuar kështu procesin e mëvonshëm të zgjidhjes së problemeve.

Është e lehtë të tregohet se çdo element i sekuencës me numër n mund të gjendet si më poshtë:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Në të vërtetë, çdokush mund ta kontrollojë këtë formulë me një kërkim të thjeshtë: nëse zëvendësoni n = 1, ju merrni elementin e parë, nëse zëvendësoni n = 2, atëherë shprehja jep shumën e numrit të parë dhe diferencës, e kështu me radhë.

Kushtet e shumë problemeve janë të përbëra në atë mënyrë që, duke pasur parasysh një çift numrash të njohur, numrat e të cilëve janë dhënë gjithashtu në sekuencë, është e nevojshme të rindërtohet e gjithë seria e numrave (gjeni ndryshimin dhe elementin e parë). Tani do ta zgjidhim këtë problem në formë të përgjithshme.

Pra, le të jepen dy elementë me numra n dhe m. Duke përdorur formulën e marrë më sipër, mund të krijoni një sistem prej dy ekuacionesh:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

Për të gjetur sasi të panjohura, do të përdorim një teknikë të njohur të thjeshtë për zgjidhjen e një sistemi të tillë: zbresim anën e majtë dhe të djathtë në çifte, barazia do të mbetet e vlefshme. Ne kemi:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Kështu, ne kemi përjashtuar një të panjohur (a 1). Tani mund të shkruajmë shprehjen përfundimtare për përcaktimin e d:

d = (a n - a m) / (n - m), ku n > m

Ne morëm një formulë shumë të thjeshtë: për të llogaritur diferencën d në përputhje me kushtet e problemit, është e nevojshme vetëm të merret raporti i dallimeve midis vetë elementëve dhe numrave të tyre serial. Një pikë e rëndësishme duhet t'i kushtohet vëmendje: dallimet merren midis anëtarëve "të vjetër" dhe "të rinj", domethënë n > m ("i lartë" do të thotë të qëndrosh më larg nga fillimi i sekuencës, vlera e tij absolute mund të jetë ose element më i madh ose më pak më "junior").

Shprehja për progresionin e ndryshimit d duhet të zëvendësohet në cilindo nga ekuacionet në fillim të zgjidhjes së problemit për të marrë vlerën e termit të parë.

Në epokën tonë të zhvillimit të teknologjisë kompjuterike, shumë nxënës përpiqen të gjejnë zgjidhje për detyrat e tyre në internet, kështu që shpesh lindin pyetje të këtij lloji: gjeni ndryshimin e një përparimi aritmetik në internet. Për një kërkesë të tillë, motori i kërkimit do të kthejë një numër faqesh në internet, duke shkuar në të cilat do t'ju duhet të vendosni të dhënat e njohura nga kushti (kjo mund të jetë ose dy terma të progresionit ose shuma e një numri të caktuar të tyre ) dhe merrni menjëherë një përgjigje. Sidoqoftë, kjo qasje për zgjidhjen e problemit është joproduktive për sa i përket zhvillimit të studentit dhe kuptimit të thelbit të detyrës që i është caktuar.

Zgjidhje pa përdorur formula

Le të zgjidhim problemin e parë pa përdorur asnjë nga formulat e dhëna. Le të jepen elementet e serisë: a6 = 3, a9 = 18. Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik.

Elementet e njohur qëndrojnë pranë njëri-tjetrit në një rresht. Sa herë duhet t'i shtohet diferenca d më të voglit për të marrë më të madhin? Tre herë (herën e parë duke shtuar d, marrim elementin e 7-të, herën e dytë - të tetën, më në fund, herën e tretë - të nëntën). Cilin numër duhet t'i shtohet tre tre herë për të marrë 18? Ky është numri pesë. Vërtet:

Kështu, ndryshimi i panjohur d = 5.

Natyrisht, zgjidhja mund të ishte kryer duke përdorur formulën e duhur, por kjo nuk është bërë me qëllim. Një shpjegim i detajuar i zgjidhjes së problemit duhet të bëhet një shembull i qartë dhe i qartë se çfarë është një progresion aritmetik.

Një detyrë e ngjashme me atë të mëparshme

Tani le të zgjidhim një problem të ngjashëm, por ndryshojmë të dhënat hyrëse. Pra, duhet të gjeni nëse a3 = 2, a9 = 19.

Natyrisht, përsëri mund të drejtoheni në metodën e zgjidhjes "kokë-më". Por meqenëse janë dhënë elementët e serisë, të cilat janë relativisht larg njëri-tjetrit, kjo metodë nuk do të jetë plotësisht e përshtatshme. Por përdorimi i formulës që rezulton do të na çojë shpejt në përgjigjen:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Këtu kemi rrumbullakosur numrin përfundimtar. Shkalla në të cilën ky rrumbullakim çoi në një gabim mund të gjykohet duke kontrolluar rezultatin:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ky rezultat ndryshon vetëm me 0,1% nga vlera e dhënë në kusht. Prandaj, rrumbullakimi i përdorur në të qindtat më të afërta mund të konsiderohet një zgjedhje e suksesshme.

Problemet që përfshijnë zbatimin e formulës për termin an

Le të shqyrtojmë një shembull klasik të një problemi për të përcaktuar të panjohurën d: gjeni ndryshimin e një progresion aritmetik nëse a1 = 12, a5 = 40.

Kur jepen dy numra të një sekuence të panjohur algjebrike, dhe njëri prej tyre është elementi a 1, atëherë nuk keni nevojë të mendoni gjatë, por duhet të zbatoni menjëherë formulën për termin a n. Në këtë rast kemi:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Ne morëm numrin e saktë gjatë pjesëtimit, kështu që nuk ka kuptim të kontrollojmë saktësinë e rezultatit të llogaritur, siç u bë në paragrafin e mëparshëm.

Le të zgjidhim një problem tjetër të ngjashëm: duhet të gjejmë ndryshimin e një progresion aritmetik nëse a1 = 16, a8 = 37.

Ne përdorim një qasje të ngjashme me atë të mëparshme dhe marrim:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Çfarë tjetër duhet të dini për progresionin aritmetik?

Përveç problemeve të gjetjes së një ndryshimi të panjohur ose elementeve individuale, shpesh është e nevojshme të zgjidhen problemet e shumës së termave të parë të një sekuence. Shqyrtimi i këtyre problemeve është përtej qëllimit të artikullit, megjithatë, për plotësinë e informacionit, ne paraqesim një formulë të përgjithshme për shumën e n numrave në një seri:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Problemet mbi progresionin aritmetik ekzistonin tashmë në kohët e lashta. Ata u shfaqën dhe kërkuan zgjidhje sepse kishin nevojë praktike.

Kështu, një nga papiruset e Egjiptit të lashtë, i cili ka përmbajtje matematikore, papirusi Rhind (shek. 19 p.e.s.), përmban detyrën e mëposhtme: ndani dhjetë masa bukë mes dhjetë njerëzve, me kusht që ndryshimi midis secilit prej tyre të jetë një e teta e masën.”

Dhe në veprat matematikore të grekëve të lashtë ka teorema elegante që lidhen me progresionin aritmetik. Kështu, Hipsiku i Aleksandrisë (shek. II, i cili përpiloi shumë probleme interesante dhe shtoi librin e katërmbëdhjetë Elementeve të Euklidit), formuloi idenë: “Në një progresion aritmetik që ka një numër çift termash, shuma e termave të gjysmës së dytë është më e madhe se shuma e termave të 1-së në katrorin 1/2 të numrit të anëtarëve."

Sekuenca shënohet me një. Numrat e një sekuence quhen anëtarë të saj dhe zakonisht përcaktohen me shkronja me indekse që tregojnë numrin serial të këtij anëtari (a1, a2, a3 ... lexo: "a 1", "a 2", "a 3" dhe kështu me radhë).

Sekuenca mund të jetë e pafundme ose e fundme.

Çfarë është një progresion aritmetik? Me të nënkuptojmë atë që fitohet duke shtuar termin e mëparshëm (n) me të njëjtin numër d, që është diferenca e progresionit.

Nëse d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atëherë ky progresion konsiderohet në rritje.

Një progresion aritmetik quhet i fundëm nëse merren parasysh vetëm termat e parë të tij. Me një numër shumë të madh anëtarësh, ky është tashmë një progres i pafund.

Çdo progresion aritmetik përcaktohet me formulën e mëposhtme:

an =kn+b, ndërsa b dhe k janë disa numra.

Pohimi i kundërt është absolutisht i vërtetë: nëse një sekuencë jepet me një formulë të ngjashme, atëherë është pikërisht një progresion aritmetik që ka vetitë:

Çdo term i progresionit është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij pasues.
Anasjelltas: nëse, duke filluar nga i dyti, çdo term është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij të mëpasshëm, d.m.th. nëse kushti plotësohet, atëherë kjo sekuencë është një progresion aritmetik. Kjo barazi është në të njëjtën kohë shenjë e progresionit, prandaj zakonisht quhet veti karakteristike e progresionit.
Në të njëjtën mënyrë, teorema që pasqyron këtë veti është e vërtetë: një sekuencë është një progresion aritmetik vetëm nëse kjo barazi është e vërtetë për cilindo nga termat e sekuencës, duke filluar nga i dyti.

Vetia karakteristike për çdo katër numra të një progresioni aritmetik mund të shprehet me formulën an + am = ak + al, nëse n + m = k + l (m, n, k janë numra të progresionit).

Në një progresion aritmetik, çdo term i nevojshëm (N-të) mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Për shembull: termi i parë (a1) në një progresion aritmetik është dhënë dhe i barabartë me tre, dhe ndryshimi (d) është i barabartë me katër. Ju duhet të gjeni termin e dyzet e pestë të këtij progresi. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) ju lejon të përcaktoni termin e n-të të një progresioni aritmetik përmes cilitdo prej termave të tij k-të, me kusht që të dihet.

Shuma e termave të një progresioni aritmetik (që do të thotë n-të e para të një progresioni të fundëm) llogaritet si më poshtë:

Sn = (a1+an) n/2.

Nëse dihet edhe termi i parë, atëherë një formulë tjetër është e përshtatshme për llogaritjen:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Shuma e një progresion aritmetik që përmban n terma llogaritet si më poshtë:

Zgjedhja e formulave për llogaritjet varet nga kushtet e problemeve dhe të dhënat fillestare.

Seria natyrore e çdo numri, si p.sh. 1,2,3,...,n,..., është shembulli më i thjeshtë i një progresion aritmetik.

Përveç progresionit aritmetik, ekziston edhe një progresion gjeometrik, i cili ka vetitë dhe karakteristikat e veta.

Koncepti i një sekuence numrash nënkupton që çdo numër natyror korrespondon me një vlerë reale. Një seri e tillë numrash mund të jetë ose arbitrare ose të ketë veti të caktuara - një progresion. Në rastin e fundit, çdo element (anëtar) pasues i sekuencës mund të llogaritet duke përdorur atë të mëparshëm.

Një progresion aritmetik është një sekuencë vlerash numerike në të cilat anëtarët e tij fqinjë ndryshojnë nga njëri-tjetri me të njëjtin numër (të gjithë elementët e serisë, duke filluar nga i dyti, kanë një pronë të ngjashme). Ky numër - ndryshimi midis termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm - është konstant dhe quhet ndryshim i progresionit.

Dallimi i progresionit: përkufizim

Konsideroni një sekuencë të përbërë nga j vlera A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j i përket grupit të numrave natyrorë N. Një aritmetike progresioni, sipas përkufizimit të tij, është një sekuencë, në të cilën a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vlera d është diferenca e dëshiruar e këtij progresi.

d = a(j) – a(j-1).

Theksoj:

Një progresion në rritje, në të cilin rast d > 0. Shembull: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Zvogëlimi i progresionit, pastaj d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresioni i ndryshimit dhe elementet e tij arbitrare

Nëse njihen 2 terma arbitrare të progresionit (i-të, k-të), atëherë ndryshimi për një sekuencë të caktuar mund të përcaktohet bazuar në marrëdhëniet:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, që do të thotë d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Dallimi i progresionit dhe termi i tij i parë

Kjo shprehje do të ndihmojë në përcaktimin e një vlere të panjohur vetëm në rastet kur dihet numri i elementit të sekuencës.

Diferenca e progresionit dhe shuma e tij

Shuma e një progresion është shuma e termave të tij. Për të llogaritur vlerën totale të elementeve të tij të parë j, përdorni formulën e duhur:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, por meqenëse a(j) = a(1) + d(j – 1), pastaj S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Për shembull, sekuenca \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... është një progresion aritmetik, sepse çdo element i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me tre (mund të merret nga ai i mëparshmi duke shtuar tre):

Në këtë progresion, diferenca \(d\) është pozitive (e barabartë me \(3\)), dhe për këtë arsye çdo term tjetër është më i madh se ai i mëparshmi. Përparime të tilla quhen në rritje.

Megjithatë, \(d\) mund të jetë gjithashtu një numër negativ. Për shembull, në progresion aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ndryshimi i progresionit \(d\) është i barabartë me minus gjashtë.

Dhe në këtë rast, çdo element tjetër do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Këto përparime quhen në rënie.

Shënimi aritmetik i progresionit

Përparimi tregohet me një shkronjë të vogël latine.

Numrat që formojnë një progresion quhen anëtarët(ose elemente).

Ato shënohen me të njëjtën shkronjë si një progresion aritmetik, por me një indeks numerik të barabartë me numrin e elementit në rend.

Për shembull, progresioni aritmetik \(a_n = \majtas\( 2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\) përbëhet nga elementet \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dhe kështu me radhë.

Me fjalë të tjera, për progresionin \(a_n = \majtas\(2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\)

Zgjidhja e problemeve të progresionit aritmetik

Në parim, informacioni i paraqitur më sipër është tashmë i mjaftueshëm për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik (përfshirë ato të ofruara në OGE).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet \(b_1=7; d=4\). Gjeni \(b_5\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_5=23\)

Shembull (OGE). Janë dhënë tre termat e parë të një progresioni aritmetik: \(62; 49; 36…\) Gjeni vlerën e termit të parë negativ të këtij progresioni..
Zgjidhja:

	Na janë dhënë elementët e parë të sekuencës dhe e dimë se është një progresion aritmetik. Kjo do të thotë, çdo element ndryshon nga fqinji i tij me të njëjtin numër. Le të zbulojmë se cili prej tyre duke zbritur atë të mëparshëm nga elementi tjetër: \(d=49-62=-13\).
	Tani ne mund të rivendosim përparimin tonë në elementin (e parë negativ) që na nevojitet.
	Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje.

Përgjigje: \(-3\)

Shembull (OGE). Jepen disa elemente të njëpasnjëshme të një progresion aritmetik: \(…5; x; 10; 12.5...\) Gjeni vlerën e elementit të caktuar me shkronjën \(x\).
Zgjidhja:

	Për të gjetur \(x\), duhet të dimë se sa ndryshon elementi tjetër nga ai i mëparshmi, me fjalë të tjera, ndryshimi i progresionit. Le ta gjejmë atë nga dy elementë fqinjë të njohur: \(d=12,5-10=2,5\).
	Dhe tani ne mund të gjejmë lehtësisht atë që kërkojmë: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje.

Përgjigje: \(7,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet e mëposhtme: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Gjeni shumën e gjashtë anëtarëve të parë të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Duhet të gjejmë shumën e gjashtë termave të parë të progresionit. Por ne nuk i dimë kuptimet e tyre, na është dhënë vetëm elementi i parë. Prandaj, ne fillimisht llogarisim vlerat një nga një, duke përdorur atë që na është dhënë:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Dhe pasi kemi llogaritur gjashtë elementët që na duhen, gjejmë shumën e tyre.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Shuma e kërkuar është gjetur.

Përgjigje: \(S_6=9\).

Shembull (OGE). Në progresion aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Gjeni ndryshimin e këtij përparimi.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(d=7\).

Formula të rëndësishme për progresionin aritmetik

Siç mund ta shihni, shumë probleme në progresionin aritmetik mund të zgjidhen thjesht duke kuptuar gjënë kryesore - që një progresion aritmetik është një zinxhir numrash, dhe çdo element pasues në këtë zinxhir merret duke shtuar të njëjtin numër me atë të mëparshëm ( dallimi i progresionit).

Sidoqoftë, ndonjëherë ka situata kur të vendosësh "me kokë" është shumë e papërshtatshme. Për shembull, imagjinoni që në shembullin e parë nuk duhet të gjejmë elementin e pestë \(b_5\), por treqind e tetëdhjetë e gjashtë \(b_(386)\). A duhet të shtojmë katër \(385\) herë? Ose imagjinoni që në shembullin e parafundit duhet të gjeni shumën e shtatëdhjetë e tre elementëve të parë. Do të lodhesh duke numëruar...

Prandaj, në raste të tilla ata nuk i zgjidhin gjërat “me kokë”, por përdorin formula të veçanta të nxjerra për progresion aritmetik. Dhe ato kryesore janë formula për termin e n-të të progresionit dhe formula për shumën e termave të parë \(n\).

Formula e termit \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ku \(a_1\) është termi i parë i progresionit;
\(n\) – numri i elementit të kërkuar;
\(a_n\) – termi i progresionit me numrin \(n\).

Kjo formulë na lejon të gjejmë shpejt edhe elementin e treqindtë ose të miliontë, duke ditur vetëm të parin dhe ndryshimin e progresionit.

Shembull. Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Gjeni \(b_(246)\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_(246)=1850\).

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ku

\(a_n\) – termi i fundit i përmbledhur;

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet \(a_n=3.4n-0.6\). Gjeni shumën e termave të parë \(25\) të këtij progresioni.
Zgjidhja:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Për të llogaritur shumën e njëzet e pesë termave të parë, duhet të dimë vlerën e termave të parë dhe njëzet e pestë. Progresioni ynë jepet nga formula e termit të n-të në varësi të numrit të tij (për më shumë detaje, shih). Le të llogarisim elementin e parë duke zëvendësuar një për \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Tani le të gjejmë termin e njëzet e pestë duke zëvendësuar njëzet e pesë në vend të \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Epo, tani mund të llogarisim lehtësisht shumën e kërkuar.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Përgjigja është gati.

Përgjigje: \(S_(25)=1090\).

Për shumën \(n\) të termave të parë, mund të merrni një formulë tjetër: thjesht duhet të \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) në vend të \(a_n\) zëvendëso formulën për të \(a_n=a_1+(n-1)d\). Ne marrim:

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ku

\(S_n\) – shuma e kërkuar e \(n\) elementeve të parë;
\(a_1\) – termi i parë i përmbledhur;
\(d\) – ndryshimi i progresionit;
\(n\) – numri i elementeve në total.

Shembull. Gjeni shumën e termave të parë \(33\)-ex të progresionit aritmetik: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(33)=-231\).

Probleme më komplekse të progresionit aritmetik

Tani keni të gjithë informacionin që ju nevojitet për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik. Le ta përfundojmë temën duke shqyrtuar probleme në të cilat jo vetëm që duhet të aplikoni formula, por edhe të mendoni pak (në matematikë kjo mund të jetë e dobishme ☺)

Shembull (OGE). Gjeni shumën e të gjithë termave negativë të progresionit: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Zgjidhja:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Detyra është shumë e ngjashme me atë të mëparshme. Ne fillojmë të zgjidhim të njëjtën gjë: së pari gjejmë \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Tani do të doja të zëvendësoja \(d\) në formulën për shumën... dhe këtu del një nuancë e vogël - ne nuk e dimë \(n\). Me fjalë të tjera, ne nuk e dimë se sa terma do të duhet të shtohen. Si të zbuloni? Le të mendojmë. Ne do të ndalojmë shtimin e elementeve kur të arrijmë elementin e parë pozitiv. Kjo do të thotë, ju duhet të zbuloni numrin e këtij elementi. Si? Le të shkruajmë formulën për llogaritjen e çdo elementi të një progresion aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) për rastin tonë.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Na duhet që \(a_n\) të bëhet më e madhe se zero. Le të zbulojmë se çfarë \(n\) do të ndodhë.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Ne transferojmë minus një, duke mos harruar të ndryshojmë shenjat
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Le të llogarisim ...
\(n>65,333…\)		...dhe rezulton se elementi i parë pozitiv do të ketë numrin \(66\). Prandaj, negativi i fundit ka \(n=65\). Për çdo rast, le ta kontrollojmë këtë.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Pra, duhet të shtojmë elementët e parë \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Përgjigja është gati.

Përgjigje: \(S_(65)=-630,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Gjeni shumën nga \(26\)th në elementin \(42\) përfshirëse.
Zgjidhja:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Në këtë problem ju duhet gjithashtu të gjeni shumën e elementeve, por duke u nisur jo nga e para, por nga \(26\)th. Për një rast të tillë nuk kemi një formulë. Si të vendosni? Është e lehtë - për të marrë shumën nga \(26\)-ta në \(42\)-të, së pari duhet të gjeni shumën nga \(1\)-ta në \(42\)-të, dhe më pas të zbrisni prej tij shuma nga e para në \(25\)të (shih foton).
	Për progresionin tonë \(a_1=-33\), dhe ndryshimin \(d=4\) (në fund të fundit, janë katër ato që i shtojmë elementit të mëparshëm për të gjetur tjetrin). Duke e ditur këtë, gjejmë shumën e elementeve të parë \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Tani shuma e elementeve të parë \(25\).
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dhe së fundi, ne llogarisim përgjigjen.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Përgjigje: \(S=1683\).

Për përparimin aritmetik, ka disa formula të tjera që nuk i kemi marrë parasysh në këtë artikull për shkak të dobisë së tyre të ulët praktike. Megjithatë, ju mund t'i gjeni lehtësisht.