Kuptimi i shprehjes i 2 3. Ngritja e numrave kompleks në fuqi

Le t'ju kujtojmë informacionin e nevojshëm rreth numrave kompleks.

Numri kompleksështë shprehje e formës a + bi, Ku a, b - numra realë, A i- të ashtuquajturat njësi imagjinare , një simbol katrori i të cilit është i barabartë me –1, domethënë i 2 = –1. Numri a thirrur pjesë reale, dhe numrin b - pjesë imagjinare numër kompleks z = a + bi. Nëse b= 0, pastaj në vend të kësaj a + 0i ata thjesht shkruajnë a. Mund të shihet se numrat realë janë rast i veçantë numra komplekse.

Veprimet aritmetike në numrat kompleks janë të njëjta si në numrat realë: ato mund të shtohen, zbriten, shumëzohen dhe pjesëtohen me njëri-tjetrin. Mbledhja dhe zbritja ndodhin sipas rregullit ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, dhe shumëzimi ndjek rregullin ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + p.e.s)i(këtu përdoret kështu i 2 = –1). Numri = a – bi thirrur konjuguar kompleks te z = a + bi. Barazia z · = a 2 + b 2 ju lejon të kuptoni se si të ndani një numër kompleks me një numër tjetër kompleks (jo zero):

(Për shembull, .)

Numrat kompleksë kanë një të përshtatshme dhe vizuale paraqitje gjeometrike: numri z = a + bi mund të përfaqësohet nga një vektor me koordinata ( a; b) në Aeroplani kartezian(ose, që është pothuajse e njëjta gjë, një pikë - fundi i një vektori me këto koordinata). Në këtë rast, shuma e dy numrave kompleksë përshkruhet si shuma e vektorëve përkatës (të cilët mund të gjenden duke përdorur rregullin e paralelogramit). Sipas teoremës së Pitagorës, gjatësia e vektorit me koordinata ( a; b) është e barabartë me . Kjo sasi quhet modul numër kompleks z = a + bi dhe shënohet me | z|. Këndi që bën ky vektor me drejtimin pozitiv të boshtit x (i numëruar në drejtim të kundërt të akrepave të orës) quhet argument numër kompleks z dhe shënohet me Arg z. Argumenti nuk është i përcaktuar në mënyrë unike, por vetëm deri në shtimin e një shumëfishi të 2 π radiane (ose 360°, nëse numërohen në gradë) - në fund të fundit, është e qartë se një rrotullim nga një kënd i tillë rreth origjinës nuk do të ndryshojë vektorin. Por nëse vektori i gjatësisë r formon një kënd φ me drejtim pozitiv të boshtit x, atëherë koordinatat e tij janë të barabarta me ( r cos φ ; r mëkat φ ). Nga këtu rezulton shënim trigonometrik numri kompleks: z = |z| · (cos(Arg z) + i mëkat (Arg z)). Shpesh është i përshtatshëm për të shkruar numra kompleksë në këtë formë, sepse thjeshton shumë llogaritjet. Shumëzimi i numrave kompleksë në formë trigonometrike është shumë i thjeshtë: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i mëkat (Arg z 1 + Arg z 2)) (kur shumëzohen dy numra kompleksë, modulet e tyre shumëzohen dhe argumentet e tyre shtohen). Nga këtu ndiqni formulat e Moivre: z n = |z|n· (për shkak n· (Arg z)) + i mëkat ( n· (Arg z))). Duke përdorur këto formula, është e lehtë të mësosh se si të nxjerrësh rrënjët e çdo shkalle nga numrat kompleksë. Rrënja shkalla e nëntë nga numri z- ky është një numër kompleks w, Çfarë w n = z. Është e qartë se , dhe , ku k mund të marrë çdo vlerë nga grupi (0, 1, ..., n– 1). Kjo do të thotë se gjithmonë ekziston saktësisht n rrënjët n shkalla e një numri kompleks (në rrafsh ato janë të vendosura në kulmet e të rregulltit n-gon).

Le të fillojmë me sheshin tonë të preferuar.

Shembulli 9

Katror një numër kompleks

Këtu mund të shkoni në dy mënyra, mënyra e parë është të rishkruani shkallën si produkt faktorësh dhe të shumëzoni numrat sipas rregullit të shumëzimit të polinomeve.

Metoda e dytë është përdorimi i formulës së njohur shkollore për shumëzimin e shkurtuar:

Për një numër kompleks është e lehtë të nxirrni formulën tuaj të shkurtuar të shumëzimit:

Një formulë e ngjashme mund të nxirret për katrorin e diferencës, si dhe për kubin e shumës dhe kubin e diferencës. Por këto formula janë më të rëndësishme për problemet komplekse të analizës. Po sikur të keni nevojë të ngrini një numër kompleks, të themi, në fuqinë e 5-të, të 10-të ose të 100-të? Është e qartë se në formë algjebrikeËshtë pothuajse e pamundur të bësh një mashtrim të tillë, me të vërtetë, mendoni se si do ta zgjidhni një shembull të tillë?

Dhe këtu forma trigonometrike e një numri kompleks vjen në shpëtim dhe i ashtuquajturi formula e Moivre: Nëse një numër kompleks paraqitet në formë trigonometrike, atëherë kur ai është ngritur në një fuqi natyrore, formula e mëposhtme është e vlefshme:

Është thjesht e egër.

Shembulli 10

Duke pasur parasysh një numër kompleks, gjeni.

Çfarë duhet bërë? Së pari ju duhet ta paraqisni këtë numër në formë trigonometrike. Lexuesit e vëmendshëm do të kenë vënë re se në shembullin 8 ne e kemi bërë tashmë këtë:

Pastaj, sipas formulës së Moivre:

Zoti na ruajt, nuk keni nevojë të mbështeteni në një kalkulator, por në shumicën e rasteve këndi duhet të thjeshtohet. Si të thjeshtoni? Duke folur në mënyrë figurative, duhet të heqësh qafe kthesat e panevojshme. Një rrotullim është një radian ose 360 ​​gradë. Le të zbulojmë se sa kthesa kemi në argument. Për lehtësi, ne e bëjmë fraksionin të saktë:, pas së cilës bëhet qartë e dukshme që mund të zvogëloni një rrotullim:. Shpresoj që të gjithë ta kuptojnë se ky është i njëjti kënd.

Kështu, përgjigja përfundimtare do të shkruhet kështu:

Një variacion i veçantë i problemit të fuqisë është fuqizimi i numrave thjesht imagjinarë.

Shembulli 12

Ngritni numrat kompleks në fuqi

Këtu, gjithashtu, gjithçka është e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend barazinë e famshme.

Nëse njësia imagjinare është ngritur në një fuqi të barabartë, atëherë teknika e zgjidhjes është si më poshtë:

Nëse njësia imagjinare është ngritur në një fuqi tek, atëherë ne "fiksim" një "dhe", duke marrë një fuqi çift:

Nëse ka një minus (ose ndonjë koeficient real), atëherë së pari duhet të ndahet:

Nxjerrja e rrënjëve nga numrat kompleks. Ekuacioni kuadratik me rrënjë komplekse

Le të shohim një shembull:

Nuk mund ta nxirrni rrënjën? Nëse po flasim për në lidhje me numrat realë, atëherë është vërtet e pamundur. Është e mundur të nxirret rrënja e numrave kompleksë! Më saktë, dy rrënjë:

A janë rrënjët e gjetura vërtet një zgjidhje për ekuacionin? Le të kontrollojmë:

Kjo është ajo që duhet të kontrollohet.

Shpesh përdoret një shënim i shkurtuar në një rresht nën "të njëjtin krehër": .

Këto rrënjë quhen gjithashtu bashkojnë rrënjët komplekse.

Si të nxjerrim rrënjë katrore Nga numrat negativë, mendoj se të gjithë kuptojnë: ,,,, etj. Në të gjitha rastet rezulton dy bashkojnë rrënjët komplekse.

§1. Numrat kompleks

1°. Përkufizimi. Shënim algjebrik.

Përkufizimi 1. Numrat kompleks thirren çiftet e renditura të numrave realë Dhe , nëse për ta përkufizohet koncepti i veprimeve të barazisë, mbledhjes dhe shumëzimit, duke plotësuar aksiomat e mëposhtme:

1) Dy numra
Dhe
e barabartë nëse dhe vetëm nëse
,
, d.m.th.

2) Shuma e numrave kompleks
Dhe

dhe të barabartë
, d.m.th.

3) Prodhimi i numrave kompleks
Dhe
është numri i shënuar me
dhe të barabartë, d.m.th.

Shënohet bashkësia e numrave kompleksë C.

Formulat (2), (3) për numrat e formës
marrin formën

prej nga rrjedh se veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit për numrat e formës
përkojnë me mbledhjen dhe shumëzimin për numrat real numri kompleks i formës
identifikuar me një numër real .

Numri kompleks
thirrur njësi imagjinare dhe është caktuar , d.m.th.
Pastaj nga (3)

Nga (2), (3)  që do të thotë

Shprehja (4) quhet shënim algjebrik numër kompleks.

Në shënimin algjebrik, veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit marrin formën:

Një numër kompleks shënohet me
,- pjesa reale, - pjesa imagjinare, është një numër thjesht imagjinar. Përcaktimi:
,
.

Përkufizimi 2. Numri kompleks
thirrur konjuguar me një numër kompleks
.

Vetitë e konjugimit kompleks.

1)

2)
.

3) Nëse
, Kjo
.

4)
.

5)
- numri real.

Vërtetimi kryhet me llogaritje të drejtpërdrejtë.

Përkufizimi 3. Numri
thirrur modul numër kompleks
dhe është caktuar
.

Është e qartë se
, dhe


. Formulat janë gjithashtu të dukshme:
Dhe
.

2°. Vetitë e veprimeve të mbledhjes dhe shumëzimit.

1) Komutativiteti:
,
.

2) Asociacioni:,
.

3) Shpërndarja: .

Vërtetimi 1) – 3) kryhet me llogaritje të drejtpërdrejta bazuar në vetitë e ngjashme për numrat realë.

4)
,
.

5) , C ! , duke përmbushur ekuacionin
. Kjo

6) ,C, 0, ! :
. Kjo gjendet duke shumëzuar ekuacionin me



.

Shembull. Le të imagjinojmë një numër kompleks
në formë algjebrike. Për ta bërë këtë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me numrin e konjuguar të emëruesit. Ne kemi:

3°. Interpretimi gjeometrik i numrave kompleks. Forma trigonometrike dhe eksponenciale e shkrimit të një numri kompleks.

Le të jepet në aeroplan sistem drejtkëndor koordinatat Pastaj
C mund të përputhësh një pikë në rrafsh me koordinatat
.(shih Fig. 1). Natyrisht, një korrespondencë e tillë është një me një. Në këtë rast, numrat realë shtrihen në boshtin e abshisave, dhe numrat thjesht imagjinarë shtrihen në boshtin e ordinatave. Prandaj, boshti i abshisave quhet bosht real, dhe boshti i ordinatave − bosht imagjinar. Rrafshi në të cilin shtrihen numrat kompleks quhet plan kompleks.

Vini re se Dhe
janë simetrike për origjinën, dhe Dhe simetrik për Ox.

Çdo numër kompleks (d.m.th., çdo pikë në rrafsh) mund të shoqërohet me një vektor me fillimin në pikën O dhe fundin në pikën
. Korrespondenca midis vektorëve dhe numrave kompleks është një me një. Prandaj, vektori që korrespondon me një numër kompleks , e shënuar me të njëjtën shkronjë

D linjë vektoriale
që i korrespondon një numri kompleks
, është e barabartë
, dhe
,
.

Duke përdorur interpretimin e vektorit, ne mund të shohim se vektori
− shuma e vektorëve Dhe , A
− shuma e vektorëve Dhe
.(shih Fig. 2). Prandaj, pabarazitë e mëposhtme janë të vlefshme:

Së bashku me gjatësinë vektor le të prezantojmë këndin ndërmjet vektorit dhe boshti Ox, i numëruar nga drejtimi pozitiv i boshtit Ox: nëse numërimi është kundër akrepave të orës, atëherë shenja e këndit konsiderohet pozitive, nëse në drejtim të akrepave të orës, atëherë është negative. Ky kënd quhet argumenti i numrit kompleks dhe është caktuar
. Këndi nuk përcaktohet pa mëdyshje, por me saktësi
…. Për
argumenti nuk është i përcaktuar.

Formulat (6) përcaktojnë të ashtuquajturat shënim trigonometrik numër kompleks.

Nga (5) del se nëse
Dhe
Se

Nga (5)
po në lidhje me Dhe një numër kompleks përcaktohet në mënyrë unike. E kundërta nuk është e vërtetë: domethënë, mbi një numër kompleks modulin e tij gjendet në mënyrë unike, dhe argumenti , në bazë të (7), − me saktësi
. Nga (7) rezulton gjithashtu se argumenti mund të gjendet si zgjidhje e ekuacionit

Megjithatë, jo të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë zgjidhje të (7).

Ndër të gjitha vlerat e argumentit të një numri kompleks, zgjidhet një, i cili quhet vlera kryesore e argumentit dhe shënohet
. Zakonisht vlera kryesore e argumentit zgjidhet ose në interval
, ose në interval

Është i përshtatshëm për të kryer operacione të shumëzimit dhe pjesëtimit në formë trigonometrike.

Teorema 1. Moduli i prodhimit të numrave kompleks Dhe është e barabartë me produktin e moduleve, dhe argumenti është shuma e argumenteve, d.m.th.

, A .

Po kështu

,

Dëshmi. Le ,. Pastaj me shumëzim të drejtpërdrejtë marrim:

Po kështu

.■

Pasoja(Formula e Moivre). Për
Formula e Moivre është e vlefshme

P shembull. Le të gjejmë vendndodhjen gjeometrike të pikës
. Nga teorema 1 rrjedh se .

Prandaj, për ta ndërtuar atë, së pari duhet të ndërtoni një pikë , që është përmbysja në lidhje me rrethin e njësisë, dhe më pas gjeni një pikë simetrike me të në lidhje me boshtin Ox.

Le
, ato.
Numri kompleks
shënohet me
, d.m.th. R Formula e Euler është e vlefshme

Sepse
, Kjo
,
. Nga teorema 1
çfarë është me funksionin
ju mund të punoni si me një funksion të rregullt eksponencial, d.m.th. barazitë janë të vlefshme

,
,
.

Nga (8)
shënim demonstrues numër kompleks

, Ku
,

Shembull. .

4°. Rrënjët -fuqia e një numri kompleks.

Merrni parasysh ekuacionin

Le
, dhe zgjidhja e ekuacionit (9) kërkohet në formën
. Pastaj (9) merr formën
, nga ku e gjejmë atë
,
, d.m.th.

,
,
.

Kështu, ekuacioni (9) ka rrënjë

Le të tregojmë se midis (10) ekziston saktësisht rrënjë të ndryshme. Vërtet,

janë të ndryshme, sepse argumentet e tyre janë të ndryshme dhe ndryshojnë më pak se
. Më pas,
, sepse
. Po kështu
.

Kështu, ekuacioni (9) në
ka pikërisht rrënjët
, i vendosur në kulmet e të rregulltit -Një trekëndësh i gdhendur në një rreth me rreze me qendër në t.O.

Kështu vërtetohet

Teorema 2. Nxjerrja e rrënjëve -fuqia e një numri kompleks
Është gjithmonë e mundur. Të gjitha kuptimet rrënjësore shkalla e të vendosura në kulmet e së saktës -gon i gdhendur në një rreth me qendër në zero dhe rreze
. Në të njëjtën kohë,

Pasoja. Rrënjët -fuqia e 1-së shprehen me formulën

.

Prodhimi i dy rrënjëve të 1 është një rrënjë, 1 është një rrënjë - fuqia e unitetit, rrënjë
:
.