Pra, numri e. Zgjerimi i serisë së energjisë

NUMRI e
Një numër afërsisht i barabartë me 2.718, i cili shpesh gjendet në matematikë dhe shkencat natyrore. Për shembull, gjatë kolapsit substancë radioaktive pas kohës t, nga sasia fillestare e substancës mbetet një pjesë e barabartë me e-kt, ku k është një numër që karakterizon shpejtësinë e zbërthimit të substancës së dhënë. Reciproke 1/k quhet jetëgjatësia mesatare e një atomi të një lënde të caktuar, pasi mesatarisht një atom ekziston për një kohë prej 1/k përpara se të kalbet. Vlera 0.693/k quhet gjysma e jetës së një lënde radioaktive, d.m.th. koha që duhet që gjysma e sasisë fillestare të një lënde të kalbet; numri 0.693 është afërsisht i barabartë me login 2, d.m.th. logaritmi i numrit 2 në bazën e. Po kështu, nëse bakteret në medium ushqyes riprodhohen në një shkallë proporcionale me numrin e tyre në aktualisht, pastaj pas kohe t sasia fillestare bakteret N shndërrohen në Nekt. Zbutje rryme elektrike I në një qark të thjeshtë me një lidhje serike, rezistenca R dhe induktiviteti L ndodh sipas ligjit I = I0e-kt, ku k = R/L, I0 është forca aktuale në kohën t = 0. Formula të ngjashme përshkruajnë relaksimin e stresit në një lëng viskoz dhe dobësim fushë magnetike. Numri 1/k shpesh quhet koha e relaksimit. Në statistikë, vlera e-kt shfaqet si probabilitet që gjatë kohës t nuk ka ndodhur asnjë ngjarje që ka ndodhur rastësisht me një frekuencë mesatare prej k ngjarjeve për njësi të kohës. Nëse S është shuma e parave të investuara me interes r me komponim të vazhdueshëm në vend që të përzihet në intervale diskrete, atëherë me kohën t shuma fillestare do të jetë rritur në Setr/100. Arsyeja për "gjithëpraninë" e numrit e është se formulat analiza matematikore, që përmbajnë funksione eksponenciale ose logaritme, shkruhen më thjesht nëse logaritmet merren në bazën e e jo me 10 ose në ndonjë bazë tjetër. Për shembull, derivati ​​i log10 x është (1/x)log10 e, ndërsa derivati ​​i log x është thjesht 1/x. Po kështu, derivati ​​i 2x është 2xloge 2, ndërsa derivati ​​i ex është thjesht ex. Kjo do të thotë se numri e mund të përkufizohet si bazë b për të cilën grafiku i funksionit y = logb x ka një tangjente c në pikën x = 1 shpat e barabartë me 1, ose për të cilën kurba y = bx ka një tangjente në x = 0 me një pjerrësi të barabartë me 1. Logaritmet në bazën e quhen "natyrore" dhe shënohen ln x. Ndonjëherë ato quhen edhe "jo-Pierre", gjë që është e pasaktë, pasi në fakt J. Napier (1550-1617) shpiku logaritmet me një bazë tjetër: logaritmi nepierian i numrit x është i barabartë me 107 log1/e (x/ 107) (shih edhe LOGARITMI). Kombinime të ndryshme të fuqive të e-së ndodhin aq shpesh në matematikë sa kanë emra të veçantë. Këto janë, për shembull, funksionet hiperbolike

Grafiku i funksionit y = cosh x quhet vijë katenare; Kjo është forma e një filli ose zinxhiri të rëndë të pazgjatur të varur nga skajet. formulat e Euler-it

ku i2 = -1, lidhni numrin e me trigonometrinë. Rast special x = p çon në relacionin e famshëm eip + 1 = 0, duke lidhur 5 numrat më të famshëm në matematikë. Gjatë llogaritjes së vlerës së e, mund të përdoren disa formula të tjera (e para prej tyre përdoret më shpesh):

vlera e me 15 dhjetoreështë e barabartë me 2.718281828459045. Në vitin 1953, vlera e e-së u llogarit me 3333 shifra dhjetore. Simboli e për të treguar këtë numër u prezantua në 1731 nga L. Euler (1707-1783). Zgjerimi dhjetor numri e është jo periodik (e - numër irracional). Për më tepër, e, si p, është numër transcendental(nuk është rrënja e asnjërës ekuacioni algjebrik Me koeficientët racionalë). Kjo u vërtetua në 1873 nga S. Hermit. Për herë të parë u tregua se një numër që lind kaq natyrshëm në matematikë është transcendental.
Shiko gjithashtu
ANALIZA MATEMATIKE ;
THYESAT E VAZHDUESHME;
TEORIA E NUMRIVE;
NUMRI p;
RANGAT.

Enciklopedia e Collier. - Shoqëria e Hapur. 2000 .

Shihni se çfarë është "NUMRI e" në fjalorë të tjerë:

numri- Burimi i marrjes: GOST 111 90: Fletë xhami. Specifikimet dokumenti origjinal Shih gjithashtu termat e lidhur: 109. Numri i lëkundjeve të betatronit ... Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik

Emër, s., i përdorur. shumë shpesh Morfologjia: (jo) çfarë? numra, çfarë? numër, (shih) çfarë? numri, çfarë? numri, për çfarë? rreth numrit; pl. Çfarë? numrat, (jo) çfarë? numrat, pse? numrat, (shih) çfarë? numra, çfarë? numrat, për çfarë? rreth numrave matematika 1. Sipas numrit... ... Fjalor Dmitrieva

NUMRI, numra, shumës. numrat, numrat, numrat, krh. 1. Koncepti, shprehëse sasi, ajo me të cilën numërohen sendet dhe dukuritë (mat.). Numër i plotë. Një numër thyesor. Numri i emërtuar. Numri kryesor. (shih vlerën e thjeshtë 1 në 1).…… Fjalori shpjegues i Ushakovit

Një abstrakt, pa përcaktim të përmbajtjes së veçantë të ndonjë anëtari të një serie të caktuar, në të cilin ky anëtar paraprihet ose pasohet nga ndonjë tjetër. anëtar specifik; abstrakte tipar individual, duke dalluar një grup nga... ... Enciklopedia Filozofike

Numri- Numri kategori gramatikore, duke shprehur karakteristikat sasiore objektet e mendimit. Numri gramatikor një nga manifestimet e kategorisë më të përgjithshme gjuhësore të sasisë (shih kategorinë e gjuhës) së bashku me manifestimin leksikor ("leksikor ... ... Fjalor enciklopedik gjuhësor

A; pl. numrat, u ul, përplas; e mërkurë 1. Një njësi llogaritëse që shpreh një sasi të caktuar. Numërimi i orëve të pjesshme, i plotë, çift, tek numrat e rrumbullakët (përafërsisht, duke numëruar në njësi të plota ose dhjetëshe). h natyrale (numër i plotë pozitiv... fjalor enciklopedik

e mërkurë sasia, sipas numërimit, në pyetjen: sa? dhe vetë shenja që shpreh sasinë, numrin. pa numër; nuk ka numër, pa numëruar, shumë e shumë. Vendosni takëmet sipas numrit të të ftuarve. Numrat romakë, arabë ose të kishës. Numër i plotë, i kundërt. fraksion...... Fjalori shpjegues i Dahl-it

NUMËR, a, shumës. numrat, u ul, përplas, cf. 1. Koncepti themelor i matematikës është sasia, me ndihmën e së cilës bëhet llogaritja. Numër i plotë h h numër pozitiv). Pjesa e thjeshte ( numri natyror, Jo…… Fjalori shpjegues i Ozhegov

NUMRI "E" (EXP), numër irracional, themelor logaritmet natyrore. Kjo është e vlefshme numër dhjetor, thyesë e pafundme, e barabartë me 2.7182818284590...., është kufiri i shprehjes (1/) pasi n priret në pafundësi. Në fakt,… … Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Sasia, disponueshmëria, përbërja, forca, kontigjenti, sasia, shifra; ditë.. Mërkurë. . Shih ditën, sasinë. një numër i vogël, pa numër, rritet në numër... Fjalor sinonimish dhe shprehjesh ruse të ngjashme në kuptim. nën. ed. N. Abramova, M.: Rusët... ... Fjalor sinonimik

libra

• Numri i emrit. Sekretet e numerologjisë. Ikja jashtë trupit për dembelët. Libër mësuesi për perceptimin jashtëshqisor (numri i vëllimeve: 3)
• Numri i emrit. Një vështrim i ri i numrave. Numerologjia - rruga e dijes (numri i vëllimeve: 3), Lawrence Shirley. Numri i emrit. Sekretet e numerologjisë. Libri i Shirley B. Lawrence është një studim gjithëpërfshirës i sistemit të lashtë ezoterik të numerologjisë. Për të mësuar se si të përdorni dridhjet e numrave për...

e- një konstante matematikore, baza e logaritmit natyror, një numër irracional dhe transcendent. e= 2.718281828459045… Ndonjëherë numri e thirrur Numri i Euler-it ose numër jo pendë. Duke luajtur rol i rendesishem në llogaritjet diferenciale dhe integrale.

Metodat e përcaktimit

Numri e mund të përcaktohet në disa mënyra.

Vetitë

Histori

Ky numër nganjëherë quhet pa pupla për nder të shkencëtarit skocez John Napier, autor i veprës "Përshkrimi i tabelës së mahnitshme të logaritmeve" (1614). Sidoqoftë, ky emër nuk është plotësisht i saktë, pasi ka një logaritëm të numrit x ishte e barabartë .

Për herë të parë, konstanta është jozyrtarisht e pranishme në shtojcën e përkthimit në anglisht të veprës së lartpërmendur të Napier-it, botuar në vitin 1618. Jozyrtarisht, për shkak se përmban vetëm një tabelë logaritmesh natyrore, vetë konstanta nuk është e përcaktuar. Supozohet se autori i tabelës ishte matematikani anglez William Oughtred. Vetë konstanta u përftua për herë të parë nga matematikani zviceran Jacob Bernoulli kur u përpoq të llogariste vlerën e kufirit të mëposhtëm:

Përdorimi i parë i njohur i kësaj konstante, ku u shënua me shkronjën b, gjetur në letrat nga Gottfried Leibniz drejtuar Christian Huygens, 1690 dhe 1691. Letër e Leonhard Euler filloi ta përdorte atë në 1727, dhe botimi i parë me këtë letër ishte vepra e tij "Mekanika, ose Shkenca e Lëvizjes, Shpjeguar Analitikisht" në 1736. Prandaj, e ndonjëherë quhet Numri i Euler-it. Edhe pse disa shkencëtarë më pas përdorën letrën c, letër e u përdor më shpesh dhe tani është përcaktimi standard.

Pse u zgjodh letra? e, saktësisht e panjohur. Ndoshta kjo për faktin se fjala fillon me të eksponenciale("tregues", "eksponencial"). Një supozim tjetër është se letrat a,b,c Dhe d tashmë janë përdorur mjaft gjerësisht për qëllime të tjera, dhe e ishte letra e parë “falas”. Është e papranueshme të supozohet se Euler zgjodhi e si shkronja e parë e mbiemrit tuaj (gjermanisht. Euler), sepse ai ishte një person shumë modest dhe gjithmonë përpiqej të theksonte rëndësinë e punës së të tjerëve.

Metodat e memorizimit

Numri e mund të mbahet mend duke përdorur rregullin e mëposhtëm mnemonik: dy dhe shtatë, pastaj dyfishi i vitit të lindjes së Leo Tolstoy (1828), pastaj këndet e një trekëndëshi dykëndësh kënddrejtë ( 45 ,90 Dhe 45 gradë).

Në një version tjetër të rregullit e i lidhur me Presidentin e SHBA Andrew Jackson: 2 - kaq shumë herë i zgjedhur, 7 - ai ishte Presidenti i shtatë i SHBA, 1828 - viti i zgjedhjes së tij, i përsëritur dy herë që kur Jackson u zgjodh dy herë. Pastaj - përsëri një trekëndësh kënddrejtë izosceles.

Një metodë tjetër interesante sugjeron të mbani mend numrin e saktë në tre shifra dhjetore përmes "numrit të djallit": duhet të ndani 666 me një numër të përbërë nga numrat 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (tre gjashtë, nga të cilët rend i kundërt tre fuqitë e para të dy janë hequr): .

Metoda e katërt sugjeron të mbani mend e Si .

Një përafrim i përafërt (i saktë në 0.001) por i mirë sugjeron e të barabartë Një përafrim shumë i përafërt (me një saktësi prej 0.01) jepet nga shprehja.

"Rregulla Boeing": jep një saktësi të mirë prej 0.0005.

"Vargu": Ne fluturuam dhe shkëlqenim, por u ngecëm në kalim; Ata nuk e njohën tubimin tonë të vjedhur.

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 303532745 15 738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 3475 3474 170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26 560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 7842 9967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 288869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 6n 159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30 436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52. 704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920

NUMRI e. Një numër afërsisht i barabartë me 2.718, i cili shpesh gjendet në matematikë dhe shkencë. Për shembull, kur një substancë radioaktive kalbet me kalimin e kohës t e sasisë fillestare të substancës mbetet një fraksion i barabartë me e–kt, Ku k- një numër që karakterizon shkallën e kalbjes së një substance të caktuar. Reciproke prej 1/ k quhet jetëgjatësia mesatare e një atomi të një lënde të caktuar, pasi mesatarisht një atom ekziston për një kohë prej 1/ para se të kalbet k. Vlera 0.693/ k quhet gjysma e jetës së një lënde radioaktive, d.m.th. koha gjatë së cilës gjysma e sasisë fillestare të një substance shpërbëhet; numri 0.693 është afërsisht i barabartë me log e 2, d.m.th. logaritmi i numrit 2 në bazë e. Në mënyrë të ngjashme, nëse bakteret në një mjedis ushqyes shumohen në një shkallë proporcionale me numrin e tyre në këtë moment, atëherë me kalimin e kohës t numri fillestar i baktereve N shndërrohet në Ne kt. Dobësimi i rrymës elektrike I në një qark të thjeshtë me lidhje seri, rezistencë R dhe induktiviteti L ndodh sipas ligjit Unë = Unë 0 e–kt, Ku k = R/L, I 0 - forca aktuale në momentin e kohës t= 0. Formula të ngjashme përshkruajnë relaksimin e stresit në një lëng viskoz dhe zbutjen e fushës magnetike. Numri 1/ k shpesh quhet koha e relaksimit. Në statistika, vlera e–kt ndodh si probabilitet që me kalimin e kohës t nuk kishte ngjarje të ndodhura rastësisht me një frekuencë mesatare k ngjarje për njësi të kohës. Nëse S- shuma e parave të investuara nën r interesi me përllogaritje të vazhdueshme në vend të përllogaritjes në intervale diskrete, pastaj sipas kohës t shuma fillestare do të rritet në Setr/100.

Arsyeja për "gjithëpraninë" e numrit e qëndron në faktin se formulat e analizës matematikore që përmbajnë funksione eksponenciale ose logaritme shkruhen më thjesht nëse logaritmet merren në bazë e, dhe jo 10 apo ndonjë bazë tjetër. Për shembull, derivati ​​i log 10 x e barabartë me (1/ x) log 10 e, kurse derivati ​​i log e xështë thjesht e barabartë me 1/ x. Po kështu, derivati ​​i 2 xështë e barabartë me 2 x log e 2, kurse derivati ​​i e x e barabartë thjesht e x. Kjo do të thotë se numri e mund të përkufizohet si bazë b, në të cilin grafiku i funksionit y= log b x ka në pikën x= 1 tangjente me një pjerrësi të barabartë me 1, ose në të cilën kurba y = b x ka në x= 0 tangjente me pjerrësi të barabartë me 1. Logaritmet me bazën e quhen “natyrore” dhe caktohen ln x. Ndonjëherë ato quhen edhe "Nepier", gjë që është e pasaktë, pasi në fakt J. Napier (1550–1617) shpiku logaritmet me një bazë tjetër: logaritmin Nepier të numrit. xështë e barabartë me 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Kombinime të shkallëve të ndryshme e Ato ndodhin aq shpesh në matematikë saqë kanë emra të veçantë. Këto janë, për shembull, funksione hiperbolike

Grafiku i një funksioni y= kap x quhet linjë katenare; Kjo është forma e një filli ose zinxhiri të rëndë të pazgjatur të varur nga skajet. formulat e Euler-it

Ku i 2 = –1, numri i lidhjes e me trigonometri. Rast special x = pçon në lidhjen e famshme e ip+ 1 = 0, duke lidhur 5 numrat më të famshëm në matematikë.

Të gjithë e dinë kuptimi gjeometrik numrat π është gjatësia e një rrethi me një diametër njësi:

Por këtu është kuptimi i një konstante tjetër të rëndësishme, e, tenton të harrohet shpejt. Kjo do të thotë, nuk e di për ju, por sa herë më kushton një përpjekje për të kujtuar pse ky numër i barabartë me 2.7182818284590 është kaq i jashtëzakonshëm... (Megjithatë, unë e shkruajta vlerën nga kujtesa). Kështu që vendosa të shkruaj një shënim që të mos më ikte asgjë tjetër nga kujtesa.

Numri e sipas përkufizimit - kufiri i një funksioni y = (1 + 1 / x) x në x → ∞:

Ky përkufizim, për fat të keq, nuk është i qartë. Nuk është e qartë pse ky kufi është i jashtëzakonshëm (pavarësisht se ai quhet "i dyti i shquar"). Vetëm mendoni, ata morën një funksion të ngathët dhe llogaritën kufirin. Një funksion i ndryshëm do të ketë një tjetër.

Por numri e për disa arsye ajo shfaqet në një grup të tërë më të situata të ndryshme në matematikë.

Për mua kuptimi kryesor numrat e zbulohet në sjelljen e tjetrit, shumë më tepër funksion interesant, y = k x. Ky funksion ka një veti unike kur k = e, e cila mund të tregohet grafikisht si kjo:

Në pikën 0 funksioni merr vlerën e 0 = 1. Nëse vizatoni një tangjente në pikë x= 0, atëherë do të kalojë në boshtin x në një kënd me tangjenten 1 (in trekëndëshi i verdhë qëndrim këmbën e kundërt 1 me një 1 ngjitur është e barabartë me 1). Në pikën 1 funksioni merr vlerën e 1 = e. Nëse vizatoni një tangjente në një pikë x= 1, atëherë do të kalojë në një kënd me një tangjente e(V trekëndëshi i gjelbër raporti i anës së kundërt e me 1 ngjitur është i barabartë e). Në pikën 2 vlera e 2 i funksionit përsëri përkon me tangjenten e këndit të prirjes së tangjentes ndaj tij. Për shkak të kësaj, në të njëjtën kohë, vetë tangjentet e kryqëzojnë boshtin x saktësisht në pikat -1, 0, 1, 2, etj.

Ndër të gjitha funksionet y = k x(për shembull 2 x , 10 x , π x etj.), funksion e x- e vetmja që ka një bukuri të tillë që tangjentja e këndit të pjerrësisë së saj në secilën pikë të saj përkon me vlerën e vetë funksionit. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, vlera e këtij funksioni në çdo pikë përkon me vlerën e derivatit të tij në këtë pikë: ( e x)´ = e x. Për disa arsye numri e= 2.7182818284590... duhet të ngrihet në shkallë të ndryshme për të marrë një foto të tillë.

Ky është, për mendimin tim, kuptimi i tij.

Numrat π Dhe e janë përfshirë në formulën time të preferuar - formula e Euler-it, e cila lidh 5 konstantet më të rëndësishme - zero, një, njësi imagjinare i dhe, në fakt, numrat π Dhe e:

e iπ + 1 = 0

Pse është numri 2.7182818284590... in shkallë komplekse 3,1415926535...i papritmas e barabartë me minus një? Përgjigja për këtë pyetje është përtej qëllimit të këtij shënimi dhe mund të përbëjë përmbajtjen e një libri të shkurtër, i cili do të kërkonte një kuptim bazë të trigonometrisë, kufijve dhe serive.

Gjithmonë jam mahnitur nga bukuria e kësaj formule. Ndoshta ka më shumë në matematikë fakte të mahnitshme, por për nivelin tim (një C në Liceun e Fizikë-Matematikës dhe një A in analizë gjithëpërfshirëse në universitet) kjo është mrekullia më e rëndësishme.

Eksponenti shënohet si , ose .

Numri e

Baza e shkallës së eksponentit është numri e. Ky është një numër irracional. Është afërsisht e barabartë
e ≈ 2,718281828459045...

Numri e përcaktohet përmes kufirit të sekuencës. Ky është i ashtuquajturi kufiri i dytë i mrekullueshëm:
.

Numri e mund të përfaqësohet gjithashtu si një seri:
.

Grafiku eksponencial

Grafiku eksponencial, y = e x.

Grafiku tregon eksponentin e deri në një shkallë X.
y (x) = e x
Grafiku tregon se eksponenti rritet në mënyrë monotonike.

Formulat

Formulat bazë njëjtë si për funksioni eksponencial me bazë fuqie e.

;
;
;

Shprehja e një funksioni eksponencial me një bazë arbitrare të shkallës a përmes një eksponenciale:
.

Vlerat private

Le të y (x) = e x. Pastaj
.

Vetitë e eksponentit

Eksponenti ka vetitë e një funksioni eksponencial me bazë fuqie e > 1 .

Domeni, grup vlerash

Eksponenti y (x) = e x të përcaktuara për të gjitha x.
Fusha e përkufizimit të saj:
- ∞ < x + ∞ .
Shumë kuptime të tij:
0 < y < + ∞ .

Ekstreme, në rritje, në rënie

Eksponenciali është një funksion në rritje monotonike, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë.

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e eksponentit është logaritmi natyror.
;
.

Derivati ​​i eksponentit

Derivat e deri në një shkallë X e barabartë me e deri në një shkallë X :
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Integrale

Numrat kompleks

Veprimet me numra komplekse kryhet duke përdorur formulat e Euler-it:
,
ku është njësia imagjinare:
.

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

; ;
.

Shprehje duke përdorur funksione trigonometrike

; ;
;
.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.