Как следует из теории ряда Фурье, он применим при обращении с периодическими функциями и с функциями с ограниченным интервалом изменения независимых переменных (поскольку этот интервал может быть расширен на всю ось путем периодического продолжения функции). Однако периодические функции сравнительно редки на практике. Эта ситуация требует создания более общего математического аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно интеграла Фурье и на его основе, преобразования Фурье.
Рассмотрим непериодическую функцию f(t) как предел периодической с периодом T=2l при l®?.
Периодическая функция с периодом 2l может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье (воспользуемся комплексной его формой)
где выражения для коэффициентов имеют вид:
Введем следующее обозначение для частот:
Запишем разложение в ряд Фурье в виде одной формулы, подставив в (1), выражение для коэффициентов (2) и для частоты (3) :
Спектр периодической функции с периодом 2l дискретный
Обозначим минимальное расстояние между точками спектра, равное основной частоте колебаний за, т.е.
и введем это обозначение в (4):
В таких обозначениях ряд Фурье напоминает интегральную сумму для функции.
Переходя к пределу при T=2l®? к непериодической функции, получим, что частотный интервал становится бесконечно малым (обозначим его за dw), а спектр становится непрерывным. С математической точки зрения это соответствует замене суммирования по дискретному набору интегрированием по соответствующей переменной в бесконечных пределах.
Это выражение и есть интегральная формула Фурье.
2.2 Формулы преобразования Фурье.
Интеграл Фурье удобно представить в виде суперпозиции двух формул:
Функция F(w), сопоставляемая по первой формуле функции f(t), называется ее преобразованием Фурье . В свою очередь, вторая формула, позволяющая найти исходную функцию по ее образу, называется обратным преобразованием Фурье . Обратим внимание на симметрию формул для прямого и обратного преобразования Фурье с точность до постоянного множителя 1/2pи знака в показателе экспоненты.
Символически прямое и обратное преобразование Фурье будем обозначать как f(t)~F(w).
Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, можно прийти к выводу, что образ Фурье (6) является аналогом коэффициента Фурье (см.(2)), а обратное преобразование Фурье (7) является аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье (см.(1)).
Отметим, что множитель вместо обратного преобразования можно отнести к прямому преобразованию Фурье или сделать симметричные множители для прямого и обратного преобразований. Главное, чтобы оба преобразования вместе составляли интегральную формулу Фурье (5), т.е. произведение постоянных множителей при прямом и обратном преобразовании должно быть равно..
Отметим, что для прикладных целей более удобной оказывается не угловая частота w, а частотаn, связанная с первой соотношениемw=2pn. и измеряемая в герцах (Гц). В терминах этой частоты формулы преобразования Фурье будут иметь вид:
Сформулируем без доказательства достаточные условия существования преобразования Фурье.
- 1) f(t) - ограничена при t?(-?,?);
- 2) f(t) - абсолютно интегрируема на t?(-?,?);
- 3) Число точек разрыва, максимума и минимума функции f(t) конечно.
Другим достаточным условием является требование квадратичной интегрируемости функции на свей действительной оси, что физически соответствует требованию конечной мощности сигнала.
Таким образом, с помощью преобразования Фурье мы имеем два способа представления сигнала: временное f(t) и частотное F(w).
- 2.3 Свойства преобразования Фурье.
- 1. Линейность.
Если f(t)~F(w),g(t)~G(w),
то аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Доказательство основано на линейных свойствах интегралов.
- 2. Четность.
- 2.1 Если f(t) действительная четная функция и f(t)~F(w), то F(w) также действительная четная функция.
Доказательство:
Используя определение (6), а также формулу Эйлера получим
- -четная функция.
- 2.2 Если f(t) -нечетная действительная функция, то F(w)- нечетная мнимая функция.
2.3 Если f(t) произвольная действительная функция, F(w) имеет четную действительную часть и нечетную мнимую часть.
Доказательство:
Cвойства четности 2 можно суммировать в формуле:
3. Подобие
Если f(t)~F(w), то f(at)~.
- 4. Смещение.
- 4.1 Если f(t)~F(w), то f(t-a)~.
Т.е. запаздыванию во времени соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.
4.2 Если f(t)~F(w), то~.
Т.е. смещение по частоте соответствует умножению на комплексную экспоненту во временной области.
- 5. Если f(t)~F(w), то
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
если f(t) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
если F(w) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
- 2.4 Важнейшие примеры нахождения преобразования Фурье .
где - прямоугольный импульс
При этом мы учли, что - интеграл Пуассона.
Нахождение последнего интеграла можно пояснить следующим образом. Контур интегрирования С есть прямая в комплексной плоскости (t,w), параллельная действительной оси (w-постоянное число). Интеграл от скалярной функции по замкнутому контуру равен нулю. Образуем замкнутый контур, состоящий из прямой С и действительной оси t, замыкающихся на бесконечности. Т.к. на бесконечности подинтегральная функциястремится к нулю, то интегралы по замыкающим кривым равны нулю. Значит интеграл по прямой С равен интегралу, взятому по действительной действительной оси, проходимой в положительном направлении.
2 .5 Принцип неопределенности для частотно-временного представления сигнала.
На примере прямоугольного импульса покажем справедливость принципа неопределенности, состоящего в том, что невозможно одновременно локализовать импульс во времени и усилить его избирательность по частоте.
Согласно 5), ширина прямоугольного импульса во временной области DT равна 2Т. За ширину образа Фурье прямоугольного импульса примем расстояние между соседними нулями центрального горба в частотной области. Первые нули функции имеем при.
Таким образом получаем
Таким образом, чем более импульс локализован во времени, тем сильнее размазан его спектр. Обратно, чтобы сократить спектр, мы вынуждены растягивать импульс во времени. Этот принцип справедлив при любой форме импульса и носит универсальный характер.
2.6 Свертка и ее свойства.
Свертка-основная процедура при фильтрации сигнала.
Назовем функцию h(t) сверткой непериодических функций f(t) и h(t), если она определяется как следующий интеграл:
Символически будем обозначать этот факт как.
Операция свертки обладает следующими свойствами.
- 1. Коммутативность.
Доказательство коммутативности можно получить путем замены переменной t-t=t’
- 2. Ассоциативность
Доказательство:
- 3. Дистрибутивность
Доказательство этого свойства непосредственно следует из линейных свойств интегралов.
Для обработки сигналов наиболее важным в методе Фурье (после формул преобразования Фурье) являются теоремы о свертке. Будем использовать частоту nвместоw, т.к. теоремы о свертке в этом представлении будут иметь взаимообратимый характер.
2.7 Теоремы о свертке
Первая теорема о свертке .
Преобразование Фурье прямого произведения функций равно свертке преобразований
Доказательство:
Пусть, тогда. Используя определение обратного преобразования Фурье и меняя порядок интегрирования, получим:
В терминах угловой частоты wэта теорема имеет менее универсальный вид
Вторая теорема о свертке.
Преобразование Фурье свертки функций равно прямому произведению преобразований.
Доказательство:
Для примера рассмотрим свертку прямоугольного импульса
По условию f(t)=0 приt<-T и приt>T. Аналогично, f(t-t)=0 при
t-t<-T и при t-t>T, т.е. приt>t+T и приt при -2T Объединяя оба случая, получим выражение для свертки: Таким образом, сверткой прямоугольного импульса самого с собой будет треугольный импульс (иногда эту функцию называют L-функцией). Пользуясь теоремой о свертке, можно легко получить преобразование Фурье L-функции На практике физическим ситуациям соответствуют функции, равные нулю при t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Найти свертку функций f(t) и g(t) т.к. f(t)=0 приt<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Введем понятие взаимной корреляции двух функций f(t) и g(t). где t- временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в промежутке (-?,?). Важным понятием является корреляция функции с самой собой, которая носит название автокорреляции. Перейдем к рассмотрению понятия мощности и энергии сигнала. Важность этих понятий объясняется тем, что любая передача информации есть фактически передача энергии. Рассмотрим произвольный комплексный сигнал f(t). Мгновенная мощность сигнала p(t) определяется равенством Полная энергия равна интегралу от мгновенной мощности по всему промежутку существования сигнала: Мощность сигнала может быть рассмотрена также как функция частоты. При этом мгновенную частотную мощность обозначают как. Полная энергия сигнала вычисляется по формуле Полная энергия сигнала не должна зависеть от выбранного представления. Значения полной энергии, посчитанные из временного и частотного представления, должны совпадать. Поэтому, приравнивая правые части, получаем равенство: Это равенство составляет содержание теоремы Парсеваля для непериодических сигналов. Строгое доказательство этой теоремы будет дано при изучении темы “Обобщенные функции”. Аналогично, выражая энергию взаимодействия двух различных сигналов f(t) и g(t) во временном и частотном представлении, получим: Выясним математический смысл теоремы Парсеваля. С математической точки зрения интеграл есть скалярное произведение функций f(t) и g(t), обозначаемое как (f,g). Величинаназывается нормой функции f(t) и обозначается как. Поэтому из теоремы Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения относительно преобразования Фурье,т.е. Мгновенная мощность сигнала, рассматриваемая как функция частоты,т.е. , имеет и другое общепризнанное название - спектр мощности. Спектр мощности является основным математическим инструментом спектрального анализа, позволяющего выяснить частотный состав сигнала. Кроме спектра мощности сигнала на практике используется амплитудный и фазовый спектры, определяемые, соответственно как: Плотность спектра мощности сигнала f(t) равна Фурье-образу автокорреляционной функции Плотность кросс-спектрасигналов f(t) и g(t) равна Фурье- образу корреляционной функции. Оба утверждения можно объединить в одно: Спектральная плотность равна преобразованию Фурье корреляционной функции. Доказательство будет дано позже после введения понятия обобщенной функции. Преобразование Фурье - преобразование, сопоставляющее функции некой вещественной переменной. Данная операция выполняется каждый раз, когда мы воспринимаем различные звуки. Ухо производит автоматическое «вычисление», выполнить которое наше сознание способно только после изучения соответствующего раздела высшей математики. Орган слуха у человека строит преобразование, в результате которого звук (колебательное движение условных частиц в упругой среде, которые распространяются в волновом виде в твердой, жидкой или газообразной среде) предоставляется в виде спектра последовательно идущих значений уровня громкости тонов разной высоты. После этого мозг превращает данную информацию в привычный всем звук. Преобразование звуковых волн или других колебательных процессов (от светового излучения и океанского прилива и до циклов звездной или солнечной активности) можно проводить и с помощью математических методов. Так, пользуясь данными приемами, можно разложить функции, представив колебательные процессы набором синусоидальных составляющих, то есть волнообразных кривых, которые переходят от минимума к максимуму, затем снова к минимуму, подобно морской волне. Преобразование Фурье - преобразование, функция которого описывает фазу или амплитуду каждой синусоиды, отвечающей определенной частоте. Фаза представляет собой начальную точку кривой, а амплитуда - ее высоту. Преобразование Фурье (примеры приведены на фото) является весьма мощным инструментарием, который применяется в разнообразных областях науки. В отдельных случаях он используется в качестве средства решения довольно сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под воздействием световой, тепловой или электрической энергии. В иных случаях он позволяет определять регулярные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря этому можно верно интерпретировать различные экспериментальные наблюдения в химии, медицине и астрономии. Первым человеком, применившим данный метод, стал французский математик Жан Батист Фурье. Преобразование, названное впоследствии его именем, изначально использовалось для описания механизма теплопроводности. Фурье всю свою сознательную жизнь занимался изучением свойств тепла. Он внес огромный вклад в математическую теорию определения корней алгебраических уравнений. Фурье являлся профессором анализа в Политехнической школе, секретарем Института египтологии, состоял на императорской службе, на которой отличился во время строительства дороги на Турин (под его руководством было осушено более 80 тысяч квадратных километров малярийных болот). Однако вся эта активная деятельность не помешала ученому заниматься математическим анализом. В 1802 году им было выведено уравнение, которое описывает распространение тепла в твердых телах. В 1807 году ученый открыл метод решения данного уравнения, которое и получило название "преобразование Фурье". Ученый применил математический метод для описания механизма теплопроводности. Удобным примером, в котором не возникает трудностей с вычислением, является распространение тепловой энергии по железному кольцу, погруженному одной частью в огонь. Для проведения опытов Фурье накалял докрасна часть этого кольца и закапывал его в мелкий песок. После этого проводил замеры температуры на противоположной его части. Первоначально распределение тепла является нерегулярным: часть кольца - холодная, а другая - горячая, между данными зонами можно наблюдать резкий градиент температуры. Однако в процессе распространения тепла по всей поверхности металла она становится более равномерной. Так, вскоре данный процесс приобретает вид синусоиды. Сначала график плавно нарастает и так же плавно убывает, точно по законам изменения функции косинуса или синуса. Волна постепенно выравнивается и в результате температура становится одинаковой на всей поверхности кольца. Автор данного метода предположил, что начальное нерегулярное распределение вполне можно разложить на ряд элементарных синусоид. Каждая из них будет иметь свою фазу (первоначальное положение) и свой температурный максимум. При этом каждая такая компонента изменяется от минимума к максимуму и обратно на полном обороте вокруг кольца целое число раз. Составляющая, имеющая один период, была названа основной гармоникой, а значение с двумя и более периодами - второй и так далее. Так, математическая функция, которая описывает температурный максимум, фазу или позицию называет преобразованием Фурье от функции распределения. Ученый свел единую составляющую, которая трудно поддается математическому описанию, к удобному в обращении инструменту - рядам косинуса и синуса, в сумме дающим исходное распределение. Применяя данный анализ к преобразованию распространения тепла по твердому предмету, имеющему кольцевую форму, математик рассудил, что повышение периодов синусоидальной компоненты приведет к ее быстрому затуханию. Это хорошо прослеживается на основной и второй гармониках. В последней температура дважды достигает максимального и минимального значений на одном проходе, а в первой - только один раз. Получается, что расстояние, преодолеваемое теплом во второй гармонике, будет вдвое меньше, чем в основной. Кроме того, градиент во второй также будет вдвое круче, чем у первой. Следовательно, поскольку более интенсивный тепловой поток проходит расстояние вдове меньшее, то данная гармоника будет затухать в четыре раза быстрее, чем основная, как функция времени. В последующих данный процесс будет проходить еще быстрее. Математик считал, что данный метод позволяет рассчитать процесс первоначального распределения температуры во времени. Алгоритм преобразования Фурье стал вызовом теоретическим основам математики того времени. В начале девятнадцатого века большинство выдающихся ученых, в том числе и Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежандр и Био, не приняли его утверждение о том, что начальное распределение температуры раскладывается на составляющие в виде основной гармоники и более высокочастотные. Однако академия наук не могла проигнорировать результаты, полученные математиком, и удостоила его премии за теорию законов теплопроводности, а также проведение сравнения ее с физическими экспериментами. В подходе Фурье главное возражение вызывал тот факт, что разрывная функция представлена суммой нескольких синусоидальных функций, которые являются непрерывными. Ведь они описывают разрывающиеся прямые и кривые линии. Современники ученого никогда не сталкивались с подобной ситуацией, когда разрывные функции описывались комбинацией непрерывных, таких как квадратичная, линейная, синусоида либо экспонента. В том случае, если математик был прав в своих утверждениях, то сумма бесконечного ряда тригонометрической функции должна сводиться к точной ступенчатой. В то время подобное утверждение казалось абсурдным. Однако, несмотря на сомнения, некоторые исследователи (например Клод Навье, Софи Жермен) расширили сферу исследований и вывели их за пределы анализа распределения тепловой энергии. А математики тем временем продолжали мучиться вопросом о том, может ли сумма нескольких синусоидальных функций сводиться к точному представлению разрывной. Данная теория развивалась на протяжении двух столетий, на сегодняшний день она окончательно сформировалась. С ее помощью пространственные или временные функции разбиваются на синусоидальные составляющие, которые имеют свою частоту, фазу и амплитуду. Данное преобразование получается двумя разными математическими методами. Первый из них применяется в том случае, когда исходная функция является непрерывной, а второй - в том случае, когда она представлена множеством дискретных отдельных изменений. Если выражение получено из значений, которые определены дискретными интервалами, то его можно разбить на несколько синусоидальных выражений с дискретными частотами - от наиболее низкой и далее вдвое, втрое и так далее выше основной. Такую сумму принято называть рядом Фурье. Если начальное выражение задано значением для каждого действительного числа, то его можно разложить на несколько синусоидальных всех возможных частот. Его принято называть интегралом Фурье, а решение подразумевает под собой интегральные преобразования функции. Независимо от способа получения преобразования, для каждой частоты следует указывать два числа: амплитуду и частоту. Данные значения выражаются в виде единого Теория выражений комплексных переменных совместно с преобразованием Фурье позволила проводить вычисления при конструировании различных электрических цепей, анализ механических колебаний, изучение механизма распространения волн и другое. В наши дни изучение данного процесса в основном сводится к нахождению эффективных методов перехода от функции к ее преобразованному виду и обратно. Такое решение называется прямое и обратное преобразование Фурье. Что это значит? Для того чтобы и произвести прямое преобразование Фурье, можно воспользоваться математическими методами, а можно и аналитическими. Несмотря на то что при их использовании на практике возникают определенные трудности, большинство интегралов уже найдены и внесены в математические справочники. С помощью численных методов можно рассчитывать выражения, форма которых основывается на экспериментальных данных, либо функции, интегралы которых в таблицах отсутствуют и их сложно представить в аналитической форме. До появления вычислительной техники расчеты таких преобразований были весьма утомительными, они требовали ручного выполнения большого количества арифметических операций, которые зависели от числа точек, описывающих волновую функцию. Для облегчения расчетов сегодня существуют специальные программы, позволившие реализовать новые Так, в 1965 году Джеймс Кули и Джон Тьюки создали программное обеспечение, получившее известность как «быстрое преобразование Фурье». Оно позволяет экономить время проведения расчетов за счет уменьшения числа умножений при анализе кривой. Метод «быстрое преобразование Фурье» основан на делении кривой на большое число равномерных выборочных значений. Соответственно количество умножений снижается вдвое при таком же снижении количества точек. Данный процесс используется в различных областях науки: в физике, обработке сигналов, комбинаторике, теории вероятности, криптографии, статистике, океанологии, оптике, акустике, геометрии и других. Богатые возможности его применения основаны на ряде полезных особенностей, которые получили название "свойства преобразования Фурье". Рассмотрим их. 1. Преобразование функции является линейным оператором и с соответствующей нормализацией является унитарным. Данное свойство известно как теорема Парсеваля, или в общем случае теорема Планшереля, или дуализм Понтрягина. 2. Преобразование является обратимым. Причем обратный результат имеет практически аналогичную форму, как и при прямом решении. 3. Синусоидальные базовые выражения являются собственными дифференцированными функциями. Это означает, что такое представление изменяет с постоянным коэффициентом в обычные алгебраические. 4. Согласно теореме «свертки», данный процесс превращает сложную операцию в элементарное умножение. 5. Дискретное преобразование Фурье может быть быстро рассчитано на компьютере с использованием «быстрого» метода. 1. Наиболее часто данный термин используется для обозначения непрерывного преобразования, предоставляющего любое квадратично интегрируемое выражение в виде суммы комплексных показательных выражений с конкретными угловыми частотами и амплитудами. Данный вид имеет несколько различных форм, которые могут отличаться постоянными коэффициентами. Непрерывный метод включает в себя таблицу преобразований, которую можно найти в математических справочниках. Обобщенным случаем является дробное преобразование, посредством которого данный процесс можно возвести в необходимую вещественную степень. 2. Непрерывный способ является обобщением ранней методики рядов Фурье, определенных для различных периодических функций или выражений, которые существуют в ограниченной области и представляют их как ряды синусоид. 3. Дискретное преобразование Фурье. Этот метод используется в компьютерной технике для проведения научных расчетов и для цифровой обработки сигналов. Для проведения данного вида расчетов требуется иметь функции, определяющие на дискретном множестве отдельные точки, периодические или ограниченные области вместо непрерывных интегралов Фурье. Преобразование сигнала в таком случае представлено как сумма синусоид. При этом использование «быстрого» метода позволяет применять дискретные решения для любых практических задач. 4. Оконное преобразование Фурье является обобщенным видом классического метода. В отличие от стандартного решения, когда используется который взят в полном диапазоне существования данной переменной, здесь особый интерес представляет всего лишь локальное распределение частоты при условии сохранения изначальной переменной (время). 5. Двумерное преобразование Фурье. Данный метод используется для работы с двумерными массивами данных. В таком случае сначала преобразование производится в одном направлении, а затем - в другом. Сегодня метод Фурье прочно закрепился в различных областях науки. Например, в 1962 году была открыта форма двойной ДНК-спирали с использованием анализа Фурье в сочетании с Последние фокусировались на кристаллах волокон ДНК, в результате изображение, которое получалось при дифракции излучения, фиксировались на пленке. Данная картинка дала информацию о значении амплитуды при использовании преобразования Фурье к данной кристаллической структуре. Данные о фазе получили путем сопоставления дифракционной карты ДНК с картами, которые получены при анализе подобных химических структур. В результате биологи восстановили кристаллическую структуру - исходную функцию. Преобразования Фурье играют огромную роль в изучении космического пространства, физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустике, океанографии, радиолокации, сейсмологии и медицинских обследованиях. Я полагаю что все в общих чертах знают о существовании такого замечательного математического инструмента как преобразование Фурье. Однако в ВУЗах его почему-то преподают настолько плохо, что понимают как это преобразование работает и как им правильно следует пользоваться сравнительно немного людей. Между тем математика данного преобразования на удивление красива, проста и изящна. Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые. Без использования сложных формул и матлаба я постараюсь ответить на следующие вопросы: Я буду исходить из предположения что читатель понимает что такое интеграл , комплексное число (а так же его модуль и аргумент), свертка функций , плюс хотя бы “на пальцах” представляет себе что такое дельта-функция Дирака . Не знаете - не беда, прочитайте вышеприведенные ссылки. Под “произведением функций” в данном тексте я везде буду понимать “поточечное умножение” Начать надо, наверное, с того что обычное преобразование Фурье - это некая такая штука которая, как можно догадаться из названия, преобразует одни функции в другие, то есть ставит в соответствие каждой функции действительного переменного x(t) её спектр или фурье-образ y(w): Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную. То есть преобразование Фурье - такая же, по сути, операция как и взятие производной, и её часто обозначают схожим образом, рисуя треугольную “шапочку” над функцией. Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. Из-за этого постоянно возникают проблемы с отображением результатов этого преобразования, поскольку комплексные числа определяются не одной, а двумя координатами на оперирующем действительными числами графике. Удобнее всего, как правило, оказывается представить комплексные числа в виде модуля и аргумента и нарисовать их по раздельности как два отдельных графика: График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля - “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают. В этой статье мы тоже сосредоточимся на “амплитудных” вещах, но забывать про существование пропущенной фазовой части графика не следует. Кроме того, вместо обычного модуля комплексного значения часто рисуют его десятичный логарифм умноженный на 10. В результате получается логарифмический график, значения на котором отображаются в децибелах (дБ). Обратите внимание что не очень сильно отрицательным числам логарифмического графика (-20 дБ и менее) при этом соответствуют практически нулевые числа на графике “обычном”. Поэтому длинные и широкие “хвосты” разнообразных спектров на таких графиках при отображении в “обычные” координаты как правило практически исчезают. Удобство подобного странного на первый взгляд представления возникает из того что фурье-образы различных функций часто необходимо перемножать между собой. При подобном поточечном умножении комплекснозначных фурье-образов их фазовые спектры складываются, а амплитудные - перемножаются. Первое выполняется легко, а второе - сравнительно сложно. Однако логарифмы амплитуды при перемножении амплитуд складываются, поэтому логарифмические графики амплитуды можно, как и графики фаз, просто поточечно складывать. Кроме того, в практических задачах часто удобнее оперировать не «амплитудой» сигнала, а его «мощностью» (квадратом амплитуды). На логарифмической шкале оба графика (и амплитуды и мощности) выглядят идентично и отличаются только коэффициентом - все значения на графике мощности ровно вдвое больше чем на шкале амплитуд. Соответственно для построения графика распределения мощности по частоте (в децибелах) можно не возводить ничего в квадрат, а посчитать десятичный логарифм и умножить его на 20. Заскучали? Погодите, еще немного, с занудной частью статьи, объясняющей как интерпретировать графики, мы скоро покончим:). Но перед этим следует понять одну крайне важную вещь: хотя все вышеприведенные графики спектров были нарисованы для некоторых ограниченных диапазонов значений (в частности, положительных чисел), все эти графики на самом деле продолжаются в плюс и минус бесконечность. На графиках просто изображается некоторая “наиболее содержательная” часть графика, которая обычно зеркально отражается для отрицательных значений параметра и зачастую периодически повторяется с некоторым шагом, если рассматривать её в более крупном масштабе. Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам. Существует несколько разных способов как определить это преобразование, отличающихся небольшими деталями (разными нормировками). Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Прямое и обратное преобразование Фурье в этом случае определяются формулами слева, а некоторые свойства этого преобразования которые нам понадобятся - списком из семи пунктов справа: Первое из этих свойств - линейность. Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций. Это свойство позволяет сводить сложные функции и их фурье-образы к более простым. Например, фурье-образ синусоидальной функции с частотой f и амплитудой a является комбинацией из двух дельта-функций расположенных в точках f и -f и с коэффициентом a/2: Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций. Это позволяет дать наивную, но наглядную интерпретацию спектра по принципу “если в спектре функции частоте f соответствует амплитуда a, то исходную функцию можно представить как сумму синусоид, одной из которых будет синусоида с частотой f и амплитудой 2a”. Строго говоря, эта интерпретация неверна, поскольку дельта-функция и точка на графике - это совершенно разные вещи, но как мы увидим дальше, для дискретных преобразований Фурье она будет не так уж и далека от истины. Второе свойство преобразования Фурье - это независимость амплитудного спектра от сдвига сигнала по времени. Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр. Третье свойство - растяжение (сжатие) исходной функции по оси времени (x) пропорционально сжимает (растягивает) её фурье-образ по шкале частот (w). В частности, спектр сигнала конечной длительности всегда бесконечно широк и наоборот, спектр конечной ширины всегда соответствует сигналу неограниченной длительности. Четвертое и пятое свойства самые, пожалуй, полезные из всех. Они позволяют свести свертку функций к поточечному перемножению их фурье-образов и наоборот - поточечное перемножение функций к свертке их фурье-образов. Чуть дальше я покажу насколько это удобно. Шестое свойство говорит о симметрии фурье-образов. В частности, из этого свойства следует что в фурье-образе действительнозначной функции (т.е. любого “реального” сигнала) амплитудный спектр всегда является четной функцией, а фазовый спектр (если его привести к диапазону -pi...pi) - нечетной. Именно по этой причине на графиках спектров практически никогда не рисуют отрицательную часть спектра - для действительнозначных сигналов она не дает никакой новой информации (но, повторюсь, и нулевой при этом не является). Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Оно осмысленно только для сигналов конечной продолжительности, энергия которых конечна, и говорит о том, что спектр подобных сигналов на бесконечности быстро приближается к нулю. Именно в силу этого свойства на графиках спектров как правило изображают только “основную” часть сигнала, несущую в себе львиную долю энергии - остальная часть графика просто стремится к нулю (но, опять же, нулем не является). Вооружившись этими 7 свойствами, давайте посмотрим на математику “оцифровки” сигнала, позволяющую перевести непрерывный сигнал в последовательность цифр. Для этого нам понадобится взять функцию, известную как “гребенка Дирака”: Гребенка Дирака - это просто периодическая последовательность дельта-функций с единичным коэффициентом, начинающаяся в нуле и идущая с шагом T. Для оцифровки сигналов, T выбирают по возможности малым числом, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Вместо непрерывной функции после подобного перемножения получается последовательность дельта-импульсов определенной высоты. При этом согласно свойству 5 преобразования Фурье, спектр получившегося дискретного сигнала есть свертка исходного спектра с соответствующей гребенкой Дирака. Несложно понять, что исходя из свойств свертки, спектр исходного сигнала при этом как бы “копируется” бесконечное число раз вдоль оси частот с шагом 1/T, а затем суммируется. Заметим, что если исходный спектр имел конечную ширину и мы использовали достаточно большую частоту дискретизации, то копии исходного спектра не будут перекрываться, а следовательно и суммироваться друг с другом. Несложно понять что по подобному “свернутому” спектру будет легко восстановить исходный - достаточно будет просто взять компоненту спектра в районе нуля, “обрезав” лишние копии уходящие на бесконечность. Простейший способ это сделать - это домножить спектр на прямоугольную функцию, равную T в диапазоне -1/2T...1/2T и нулю - вне этого диапазона. Подобный Фурье-образ соответствует функции sinc (Tx) и согласно свойству 4, подобное умножение равнозначно свертке исходной последовательности дельта-функций с функцией sinc(Tx) То есть с помощью преобразования Фурье мы получили способ легко восстановить исходный сигнал из дискретизированного по времени, работающий при условии что мы используем частоту дискретизации, по крайней мере вдвое (из-за наличия в спектре отрицательных частот) превышающую максимальную частоту присутствующую в исходном сигнале. Этот результат широко известен и называется “теорема Котельникова / Шеннона-Найквиста” . Однако, как несложно теперь (понимая доказательство) заметить, этот результат вопреки широко распространенному заблуждению определяет достаточное
, но не необходимое
условие для восстановления исходного сигнала. Все что нам требуется - это добиться того, чтобы интересующая нас часть спектра после дискретизации сигнала не накладывалась друг на друга и если сигнал достаточно узкополосный (имеет малую “ширину” ненулевой части спектра), то этого результата часто можно добиться и при частоте дискретизации намного ниже чем удвоенная максимальная частота сигнале. Подобная техника называется “undersampling” (субдискретизация, полосовая дискретизация) и довольно широко используется при обработке всевозможных радиосигналов. Например, если мы берем FM-радио действующее в полосе частот от 88 до 108 МГц, то для его оцифровки можно использовать АЦП с частотой всего 43.5 МГц вместо предполагающихся по теореме Котельникова 216 МГц. При этом, правда, понадобится качественный АЦП и хороший фильтр. Замечу, что “дублирование” высоких частот частотами меньших порядков (алиасинг) - непосредственное свойство дискретизации сигнала, необратимо “портящее” результат. Поэтому если в сигнале в принципе могут присутствовать частоты высокого порядка (то есть практически всегда) перед АЦП ставят аналоговый фильтр, “отсекающий” все лишнее непосредственно в исходном сигнале (так как после дискретизации делать это уже будет поздно). Характеристики этих фильтров, как аналоговых устройств, неидеальны, поэтому некоторая “порча” сигнала при этом все равно происходит, и на практике из этого следует что наибольшие частоты в спектре, как правило, недостоверны. Чтобы уменьшить эту проблему, сигнал нередко сэмплируют с завышенной частотой дискретизации, ставя при этом входной аналоговый фильтр на меньшую полосу пропускания и используя только нижнюю часть теоретически доступного частотного диапазона АЦП. Еще одно распространенное заблуждение, кстати, - это когда сигнал на выходе ЦАП рисуют “ступеньками”. “Ступеньки” соответствуют свертке дискретизированной последовательности сигналов с прямоугольной функцией ширины T и высоты 1: Спектр сигнала при таком преобразовании умножается на фурье-образ этой прямоугольной функции, а у подобной прямоугольной функции это снова sinc(w), “растянутый” тем сильнее, чем меньше ширина соответствующего прямоугольника. Спектр дискретизированного сигнала при подобном “ЦАП” поточечно умножается на этот спектр. При этом ненужные высокие частоты с “лишними копиями” спектра обрезаются не полностью, а верхняя часть “полезной” части спектра, напротив, ослабляется. На практике так, естественно, никто не делает. Существует много разных подходов к построению ЦАП, но даже в наиболее близких по смыслу ЦАП взвешивающего типа прямоугольные импульсы в ЦАП напротив выбираются по возможности короткими (приближающимися к настоящей последовательности дельта-функций) чтобы избежать излишнего подавления полезной части спектра. “Лишние” частоты в получившемся широкополосном сигнале практически всегда гасят, пропуская сигнал через аналоговый фильтр низких частот, так что «цифровых ступенек» нет ни «внутри» преобразователя, ни, тем более, на его выходе. Однако вернемся обратно к преобразованию Фурье. Описанное выше преобразование Фурье, примененное к заранее дискретизированной последовательности сигналов называется преобразованием Фурье дискретного времени (DTFT). Спектр получаемый подобным преобразованием всегда 1/T-периодичен, поэтому спектр DTFT полностью определяется её значениями на отрезке dt = = (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt = (1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt = = (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w). (4.29) Таким образом, произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций,
с нормировочным множителем (1/2p), учитывающем несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t) при использовании угловых частот.
9. Производная свертки
двух функций s"(t) = d/dt. С использованием выражений (4.26) и (4.28), получаем: s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w). s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t). Это выражение позволяет выполнять вычисление производной сигнала с одновременным сглаживанием весовой функцией, которая является производной сглаживающей функции (например, гауссиана).
10. Спектры мощности.
Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением: w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2 . Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s * (t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций: W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30) Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S * (f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S * (f-v) значения их произведения равны нулю. Отсюда: W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2 . (4.31) Спектр мощности – вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов: W xy (f) = X(f) Y*(f), W yx (f) = Y(f) X*(f), W xy (f) = W* yx (f). Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re - четная функция, а Im - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра: X(f) Y*(f) df. Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье: áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2 . Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по w) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2p.
Математическое преобразование Фурье
Историческая справка
Анализ теплопроводности
Суть анализа
Вызов современникам
200-летняя история
Преобразование Фурье сегодня
Применение преобразования Фурье
Разновидности преобразования Фурье
Заключение
