Karmaşık sayılarla ilgili gerekli bilgileri hatırlayalım.
Karmaşık sayı formun bir ifadesidir A + bi, Nerede A, B gerçek sayılardır ve Ben- Lafta hayali birim karesi –1'e eşit olan bir sembol, yani Ben 2 = –1. Sayı A isminde gerçek kısım ve numara B - sanal kısım karmaşık sayı z = A + bi. Eğer B= 0, bunun yerine A + 0Ben basitçe yazıyorlar A. Gerçek sayıların karmaşık sayıların özel bir durumu olduğu görülmektedir.
Karmaşık sayılarla ilgili aritmetik işlemler gerçek sayılarla aynıdır: bunlar birbirleriyle toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Toplama ve çıkarma kuralına göre yapılır ( A + bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)Ben ve çarpma kuralı takip eder ( A + bi) · ( C + di) = (AC – BD) + (reklam + M.Ö)Ben(burada şu kullanılıyor Ben 2 = –1). Sayı = A – bi isminde karmaşık eşlenikİle z = A + bi. Eşitlik z · = A 2 + B 2, bir karmaşık sayıyı başka bir (sıfır olmayan) karmaşık sayıya nasıl böleceğinizi anlamanızı sağlar:
(Örneğin, 
.)
Karmaşık sayıların kullanışlı ve görsel bir geometrik temsili vardır: sayı z = A + bi koordinatları olan bir vektör ile temsil edilebilir ( A; B) Kartezyen düzlemde (veya neredeyse aynı şey olan bir nokta - bu koordinatlara sahip bir vektörün sonu). Bu durumda, iki karmaşık sayının toplamı karşılık gelen vektörlerin toplamı olarak gösterilir (paralelkenar kuralı kullanılarak bulunabilir). Pisagor teoremine göre, koordinatlı vektörün uzunluğu ( A; B) eşittir . Bu miktara denir modül karmaşık sayı z = A + bi ve | ile gösterilir z|. Bu vektörün x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açıya (saat yönünün tersine sayılır) denir. argüman karmaşık sayı z ve Arg ile gösterilir z. Bağımsız değişken benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır, ancak yalnızca 2'nin katı olan bir değerin eklenmesine kadar π
radyan (veya derece olarak sayılırsa 360°) - sonuçta orijin etrafında böyle bir açıyla dönmenin vektörü değiştirmeyeceği açıktır. Ama eğer uzunluk vektörü R bir açı oluşturur φ
x ekseninin pozitif yönü ile koordinatları şuna eşittir: ( Rçünkü φ
; R günah φ
). Buradan anlaşılıyor trigonometrik gösterim karmaşık sayı: z = |z| · (çünkü(Arg z) + Ben günah(Arg z)). Hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirdiği için karmaşık sayıları bu biçimde yazmak genellikle uygundur. Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde çarpmak çok basittir: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (çünkü(Arg z 1 + Arg z 2) + Ben günah(Arg z 1 + Arg z 2)) (iki karmaşık sayıyı çarparken modülleri çarpılır ve argümanları toplanır). Buradan takip edin Moivre'nin formülleri: zn = |z|N· (çünkü( N· (Arg z)) + Ben günah( N· (Arg z))). Bu formülleri kullanarak karmaşık sayılardan herhangi bir dereceden köklerin nasıl çıkarılacağını öğrenmek kolaydır. z'nin n'inci kökü- bu karmaşık bir sayıdır w, Ne sen = z. Açık ki 
, Ve nerede k(0, 1, ...,) kümesinden herhangi bir değer alabilir N-1). Bu her zaman tam olarak var olduğu anlamına gelir N kökler N karmaşık bir sayının derecesi (düzlemde normal sayının köşelerinde bulunurlar) N-gon).
