Talimatlar

Yerine Koyma Yöntemi Bir değişkeni ifade edin ve onu başka bir denklemde değiştirin. Herhangi bir değişkeni kendi takdirinize bağlı olarak ifade edebilirsiniz. Örneğin, ikinci denklemden y'yi ifade edin:
x-y=2 => y=x-2Daha sonra her şeyi ilk denklemde yerine koyun:
2x+(x-2)=10 "x" olmayan her şeyi şuraya taşı: Sağ Taraf ve hesaplayın:
2x+x=10+2
3x=12 Daha sonra x'i elde etmek için denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:
x=4 Yani “x”i buldunuz. "Y"yi bulun. Bunu yapmak için, "y"yi ifade ettiğiniz denklemde "x"i değiştirin:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Bir kontrol yapın. Bunu yapmak için ortaya çıkan değerleri denklemlerde değiştirin:
2*4+2=10
4-2=2
Bilinmeyenler doğru şekilde bulundu!

Denklemleri toplamanın veya çıkarmanın bir yolu Herhangi bir değişkenden hemen kurtulun. Bizim durumumuzda bunu “y” ile yapmak daha kolaydır.
"Y"de "+" işareti ve ikincisinde "-" olduğundan, toplama işlemini gerçekleştirebilirsiniz, yani. Sol Taraf sola ve sağa sağa ekleyin:
2x+y+(x-y)=10+2Dönüştür:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4“x”i herhangi bir denklemde yerine koyun ve “y”yi bulun:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21. yöntemle doğru bulunduklarını görebilirsiniz.

Açıkça tanımlanmış değişkenler yoksa denklemleri biraz dönüştürmek gerekir.
İlk denklemde "2x", ikincisinde ise sadece "x" var. Toplama sırasında x'in azalması için ikinci denklemi 2 ile çarpın:
x-y=2
2x-2y=4Daha sonra ikinciyi birinci denklemden çıkarın:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Parantezden önce bir eksi varsa, açtıktan sonra bunu tersiyle değiştirin:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
herhangi bir denklemden ifade ederek y=2x'i bulun;
x=4

Konuyla ilgili video

İpucu 2: İki değişkenli bir doğrusal denklem nasıl çözülür?

Denklem ax+bу+c=0 genel formuyla yazılana iki denklemli doğrusal denklem denir. değişkenler. Bu denklemin kendisi şunları içerir: sonsuz kümeçözümler, bu nedenle problemlerde her zaman bir şeyle desteklenir - başka bir denklem veya sınırlayıcı koşullar. Problemin sağladığı koşullara bağlı olarak iki denklemli bir doğrusal denklemi çözün. değişkenler meli Farklı yollar.

İhtiyacın olacak

- iki değişkenli doğrusal denklem;
- ikinci denklem veya ek koşullar.

Talimatlar

İkili bir sistem verilirse doğrusal denklemler, aşağıdaki gibi çözün. Katsayıların olduğu denklemlerden birini seçin değişkenler daha küçüktür ve değişkenlerden birini ifade eder, örneğin x. Daha sonra y'yi içeren bu değeri ikinci denklemde yerine koyun. Ortaya çıkan denklemde yalnızca bir y değişkeni olacak, y olan tüm parçaları sola, serbest olanları sağa taşıyın. Y'yi bulun ve x'i bulmak için orijinal denklemlerden herhangi birinin yerine koyun.

İki denklemli bir sistemi çözmenin başka bir yolu var. Denklemlerden birini bir sayıyla çarpın, böylece x gibi değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olur. Daha sonra denklemlerden birini diğerinden çıkarın (eğer sağ taraf 0'a eşit değilse, sağ tarafları da aynı şekilde çıkarmayı unutmayın). X değişkeninin ortadan kaybolduğunu ve yalnızca bir y değişkeninin kaldığını göreceksiniz. Ortaya çıkan denklemi çözün ve y'nin bulunan değerini orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koyun. x'i bulun.

İki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözmenin üçüncü yolu grafikseldir. Bir koordinat sistemi çiziniz ve denklemleri sisteminizde verilen iki doğrunun grafiğini çiziniz. Bunu yapmak için, herhangi iki x değerini denklemde değiştirin ve karşılık gelen y'yi bulun - bunlar, çizgiye ait noktaların koordinatları olacaktır. Koordinat eksenleriyle kesişimi bulmanın en uygun yolu, x=0 ve y=0 değerlerini değiştirmektir. Bu iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları görevler olacaktır.

Sorun koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size çözüm bulabileceğiniz ek koşullar verilmiştir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. Eğer değişkenler x ve y mesafeyi, hızı ve ağırlığı belirtir; x≥0 ve y≥0 sınırını ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma sayısını vb. gizlemesi oldukça mümkündür. – o zaman değerler yalnızca olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.

Kaynaklar:

tek değişkenli denklem nasıl çözülür

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

- üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimatlar

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile Bilinmeyen. Bu durumda amacınız durumu normale çevirmek denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın; büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest değişkenler matrisi (B) oluşturun. Katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak matrisi elde ettiğinizi lütfen unutmayın. ücretsiz üyeler yani A*X=B.

İlk önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, olmaması gerektiğine dikkat edin sıfıra eşit. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmek zorlu ve heyecan vericidir. Nasıl daha karmaşık sistem, onu çözmek o kadar ilginç olur. Çoğu zaman matematikte lise iki bilinmeyenli denklem sistemleri vardır, ancak yüksek Matematik daha fazla değişken olabilir. Sistemler çeşitli yöntemler kullanılarak çözülebilir.

Talimatlar

Bir denklem sistemini çözmenin en yaygın yöntemi ikamedir. Bunu yapmak için bir değişkeni diğerine göre ifade etmeniz ve onu ikincinin yerine koymanız gerekir. denklem sistemler, dolayısıyla lider denklem bir değişkene. Örneğin şu denklemler verilmiştir: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

İkinci ifadeden, değişkenlerden birini ifade etmek, diğer her şeyi ifadenin sağ tarafına taşımak, katsayının işaretini değiştirmeyi unutmamak uygundur: x = 3-y.

Parantezleri açın: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Ortaya çıkan y değerini şu ifadeye koyarız: x=3-y;x=3-1;x=2. .

İlk ifadede tüm terimler 2'dir, parantezlerin dışına 2 koyabilirsiniz dağılma özelliğiçarpma: 2*(2x-y-3)=0. Artık ifadenin her iki kısmı da bu sayı kadar azaltılabilir ve modül katsayısı bire eşit olduğundan y olarak ifade edilebilir: -y = 3-2x veya y = 2x-3.

İlk durumda olduğu gibi yerine koyarız. bu ifade saniyede denklem ve şunu elde ederiz: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Ortaya çıkan değeri ifadede değiştirin: y=2x -3;y=4-3=1.

Y'nin katsayısının değer olarak aynı, işaret olarak farklı olduğunu görüyoruz, dolayısıyla bu denklemleri toplarsak y'den tamamen kurtulacağız: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Sistemin iki denkleminden herhangi birinde x değerini yerine koyarsak y=1 elde ederiz.

Konuyla ilgili video

Biquadratic denklem temsil etmek denklem dördüncü derece, Genel form ax^4 + bx^2 + c = 0 ifadesiyle temsil edilir. Çözümü, bilinmeyenlerin ikamesi yönteminin kullanımına dayanmaktadır. İÇİNDE bu durumda x^2'nin yerini başka bir değişken alır. Böylece sonuç sıradan bir karedir denklemçözülmesi gereken bir konu.

Talimatlar

İkinci dereceden denklemi çöz denklem değiştirilmesinden kaynaklanmaktadır. Bunu yapmak için önce değeri şu formüle göre hesaplayın: D = b^2? 4ac. Bu durumda a, b, c değişkenleri denklemimizin katsayılarıdır.

Kökleri bulun iki ikinci dereceden denklem. Bunu yapmak için elde edilen çözümlerin karekökünü alın. Bir çözüm varsa, o zaman iki tane olacaktır - olumlu ve olumsuz anlam kare kök. Eğer iki çözüm varsa, iki ikinci dereceden denklemin dört kökü olacaktır.

Konuyla ilgili video

Biri klasik yöntemler Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü Gauss yöntemidir. İçinde yatıyor tutarlı dışlama Bir denklem sistemi kullanıldığında değişkenler basit dönüşümler son değişkenlerden başlayarak tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu adım adım bir sisteme dönüştürülür.

Talimatlar

Öncelikle denklem sistemini tüm bilinmeyenlerin kesin olarak ifade edildiği bir forma getirin. belli bir sırayla. Örneğin, tüm bilinmeyen X'ler her satırda ilk önce görünecek, tüm Y'ler X'lerden sonra gelecek, tüm Z'ler Y'lerden sonra gelecek, vb. Her denklemin sağ tarafında bilinmeyen olmamalıdır. Her bilinmeyenin önündeki katsayıları ve her denklemin sağ tarafındaki katsayıları zihinsel olarak belirleyin.

Yanıt bıraktı Misafir

Biriyle zar durum son derece basittir. Olasılığın P=m/n formülüyle bulunduğunu hatırlatayım.
P
=
M
N
, nerede n
N
- eşit derecede mümkün olanların sayısı temel sonuçlar bir zar veya zar atmayı deneyin ve m
M
- olayı destekleyen sonuçların sayısı.

Örnek 1: Zar bir kez atılıyor. Bunun gerçekleşme olasılığı nedir? çift sayı gözlük?

Zar bir küp olduğundan (aynı zamanda her tarafa eşit olasılıkla düşecek şekilde düzenli bir zar, yani dengeli bir zar da derler), küpün 6 yüzü vardır (1'den 6'ya kadar noktaları vardır, genellikle belirtilir) puanlara göre), sonra Ve toplam sayısı problemin sonuçları n=6
N
=
6
. Etkinliği destekleyen tek sonuç, 2, 4 veya 6 puanlı bir tarafın (yalnızca çift sayılar) ortaya çıktığı durumlardır; bu tür m=3 taraf vardır;
M
=
3
. O halde gerekli olasılık P=3/6=1/2=0,5'tir.
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Örnek 2. Bir zar atılıyor. En az 5 puan gelme olasılığını bulun.

Önceki örnekte olduğu gibi aynı şekilde mantık yürütüyoruz. Bir zar atıldığında eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı n=6
N
=
6
, ve “en az 5 puan alınması” yani “ya 5 ya da 6 puan alınması” koşulu 2 sonuçla sağlanır, m=2
M
=
2
. Gerekli olasılık P=2/6=1/3=0,333'tür.
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Daha fazla örnek vermenin manasını bile göremiyorum, hadi her şeyin daha ilginç ve karmaşık hale geldiği iki zara geçelim.

İki zar

Ne zaman Hakkında konuşuyoruz 2 zar atmayı içeren problemlerde puanlama tablosu kullanmak çok uygundur. İlk zara düşen puan sayısını yatay olarak, ikinci zara düşen puan sayısını ise dikey olarak çizelim. Şöyle bir şey elde edelim (Genellikle Excel'de yapıyorum, aşağıdaki dosyayı indirebilirsiniz):

2 zar atmanın puan tablosu
Masa hücrelerinde ne olduğunu mu soruyorsunuz? Bu da hangi sorunu çözeceğimize bağlı. Puanların toplamı ile ilgili bir görev olacak - toplamı oraya yazacağız, fark hakkında - farkı yazacağız vb. Başlayalım?

Örnek 3. 2 zar aynı anda atılıyor. Toplamın 5 puandan az olma olasılığını bulun.

Öncelikle deneyin toplam sonuç sayısına bakalım. Bir zar attığımızda her şey açıktı; 6 taraf - 6 sonuç. Burada zaten iki zar var, dolayısıyla sonuçlar (x,y) formundaki sıralı sayı çiftleri olarak temsil edilebilir.
X
,
sen
, nerede x
X
- ilk zarda kaç puan atıldığı (1'den 6'ya kadar), y
sen
- ikinci zarda kaç puan düştü (1'den 6'ya kadar). Açıkçası, bu tür sayı çiftleri n=6⋅6=36 olacak
N
=
6
⋅
6
=
36
(ve sonuç tablosundaki tam olarak 36 hücre bunlara karşılık gelir).

Şimdi tabloyu doldurmanın zamanı geldi. Her hücreye birinci ve ikinci zarda atılan puanların toplamını giriyoruz ve aşağıdaki resmi elde ediyoruz:

2 zar atıldığında puanların toplamı tablosu
Şimdi bu tablo, "toplamda 5 puandan az olacak" etkinlik için olumlu sonuçların sayısını bulmamıza yardımcı olacak. Bunu yapmak için toplam değeri 5'ten az olan (yani 2, 3 veya 4) hücre sayısını sayarız. Netlik sağlamak için bu hücreleri renklendirelim, m=6 olacak
M
=
6
:

2 zar atıldığında toplam puanın 5'ten az olduğu tablo
O halde olasılık: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Örnek 4. İki zar atılıyor. Nokta sayısının çarpımının 3'e bölünebilme olasılığını bulun.

Birinci ve ikinci zarda atılan puanların çarpımlarından oluşan bir tablo oluşturuyoruz. Hemen 3'ün katları olan sayıları vurguluyoruz:

2 zar atıldığında puanların çarpımı tablosu
Geriye kalan tek şey toplam sonuç sayısının n=36 olduğunu yazmaktır.
N
=
36
(önceki örneğe bakınız, mantık aynıdır) ve olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tabloda gölgeli hücrelerin sayısı) m=20
M
=
20
. O zaman olayın olasılığı P=20/36=5/9 olacaktır.
P
=
20
36
=
5
9
.

Gördüğünüz gibi, bu tür bir sorun, uygun hazırlıkla (birkaç soruna daha bakalım) hızlı ve basit bir şekilde çözülebilir. Çeşitlilik sağlamak için farklı bir tabloyla bir görev daha yapalım (tüm tablolar sayfanın altından indirilebilir).

Örnek 5: Bir zar iki kez atılıyor. Birinci ve ikinci zardaki puan sayısı farkının 2'den 5'e kadar olma olasılığını bulun.

Puan farklılıkları tablosunu yazalım, fark değerinin 2 ile 5 arasında olacağı hücreleri vurgulayalım:

2 zar atıldığında puan farkı tablosu
Dolayısıyla, eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı n=36'dır.
N
=
36
ve olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tabloda gölgeli hücrelerin sayısı) m=10
M
=
10
. O zaman olayın olasılığı P=10/36=5/18'e eşit olacaktır.
P
=
10
36
=
5
18
.

Yani 2 zar atılması durumunda basit olay, bir tablo oluşturmanız, içindeki gerekli hücreleri seçmeniz ve sayılarını 36'ya bölmeniz gerekiyor, bu olasılık olacaktır. Nokta sayısının toplamı, çarpımı ve farkı ile ilgili problemlerin yanı sıra, farkın modülü, çizilen en küçük ve en büyük nokta sayısı ile ilgili problemler de vardır (uygun tabloları Excel dosyasında bulacaksınız).

B6'daki tüm görevlerde olasılık teorisi, sunulanlar Görev bankasını aç, bulman gerek olasılık herhangi bir olay.

Sadece birini bilmeniz yeterli formül hesaplamak için kullanılır olasılık:

Bu formülde p - olayın olasılığı,

k- dilde bizi “tatmin eden” olayların sayısı olasılık teorisi onlar aranmaktadır olumlu sonuçlar.

N- hepsinin sayısı olası olaylar, veya tüm olası sonuçların sayısı.

Açıkçası, tüm olası olayların sayısı, olumlu sonuçların sayısından daha fazladır, bu nedenle olasılık 1'den küçük veya ona eşit bir değerdir.

Eğer olasılık olay 1'e eşittir, bu şu anlama gelir: bu olay kesinlikle gerçekleşecek. Böyle bir olaya denir güvenilir. Mesela pazardan sonra pazartesinin gelmesi ne yazık ki güvenilir olay ve olasılığı 1'dir.

Problem çözmedeki en büyük zorluklar tam olarak k ve n sayılarını bulmada ortaya çıkar.

Elbette, herhangi bir problemi çözerken olduğu gibi, problemleri çözerken de olasılık teorisi Neyin verildiğini ve neyi bulmanız gerektiğini doğru bir şekilde anlamak için durumu dikkatlice okumanız gerekir.

Sorunları çözmek için çeşitli örneklere bakalım itibaren Açık Banka için görevler .

Örnek 1. İÇİNDE rastgele deney iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.

İlk zarın bir puan atmasına izin verin, ardından ikinci zar 6 farklı seçenek atabilir. Böylece ilk zarın 6 farklı yüzü olduğundan toplam farklı seçenek sayısı 6x6=36 olur.

Ama her şeyden memnun değiliz. Problemin koşullarına göre çekilen puanların toplamı 8'e eşit olmalıdır. Olumlu sonuçlar tablosu oluşturalım:

Bize uygun olan sonuç sayısının 5 olduğunu görüyoruz.

Böylece toplamda 8 puan gelme olasılığı 5/36=0,13(8) olur.

Sorunun sorusunu bir kez daha okuyoruz: sonuç yüzde birlere yuvarlanmalıdır.

Hatırlayalım yuvarlama kuralı.

En yakın yüzlüğe yuvarlamamız gerekiyor. Yüzde birler basamağında (yani binde birlerde) 5'ten büyük veya ona eşit bir sayı varsa, bu sayı 5'ten küçükse yüzler basamağındaki sayıya 1 ekleriz; daha sonra yüzüncü basamaktaki sayıyı değiştirmeden bırakıyoruz.

Bizim durumumuzda binler basamağındaki sayı 8 olduğu için yüzler basamağındaki 3 sayısını 1 artırıyoruz.

Yani p=5/36 ≈0,14

Cevap: 0,14

Örnek 2. Jimnastik şampiyonasına 20 sporcu katılıyor: 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den, geri kalanı Çin'den. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.

Bu problemde olası sonuçların sayısı 20'dir; bu, tüm sporcuların sayısıdır.

Olumlu sonuçların sayısını bulalım. Bu rakam Çin'deki kadın sporcu sayısına eşit.

Böylece,

Cevap: 0,25

Örnek 3: Ortalama olarak satılan 1000 bahçe pompasından 5'i sızıntı yapıyor. Kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığını bulun.

Bu problemde n=1000.

Sızıntı yapmayan pompalarla ilgileniyoruz. Sayıları 1000-5=995'tir. Onlar.

Olasılık teorisindeki bir diğer popüler problem (yazı-tura problemiyle birlikte) zar atma sorunu.

Genellikle görev şöyle görünür: bir veya daha fazla zar atılır (genellikle 2, daha az sıklıkla 3). Nokta sayısının 4 olması veya puanların toplamının 10 olması veya puan sayısının çarpımının 2'ye bölünebilmesi veya puan sayısının 3 oranında farklı olması vb. olasılığını bulmanız gerekir.

Temel çözüm yöntemi benzer görevler- Aşağıdaki örnekleri kullanarak analiz edeceğimiz klasik olasılık formülünün kullanımı.

Çözüm yöntemlerine aşina olduktan sonra, 2 zar atmak için süper kullanışlı bir çözüm (tablolar ve örneklerle birlikte) indirebilirsiniz.

Bir zar

Tek zarla durum son derece basittir. Olasılığın $P=m/n$ formülüyle bulunduğunu size hatırlatmama izin verin; burada $n$, bir küp veya zarın atılmasıyla yapılan bir deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısıdır ve $m$ sayıdır olayın lehine olan sonuçlardan.

Örnek 1. Zar bir kez atılır. Çift sayıda puanın atılması olasılığı nedir?

Zar bir küp olduğundan (aynı zamanda diyorlar ki) adil zar yani küp dengelidir, dolayısıyla her tarafa aynı olasılıkla düşer), küpün 6 kenarı vardır (1'den 6'ya kadar çeşitli noktalarla, genellikle belirlenen noktalarla), bu durumda sonuçların toplam sayısı sorun $n=6$. Etkinliği destekleyen tek sonuç, 2, 4 veya 6 puana sahip bir tarafın (yalnızca çift olanlar) ortaya çıktığı durumlardır; bu tür taraflardan $m=3$ vardır. O halde gerekli olasılık $P=3/6=1/2=0,5$'a eşittir.

Örnek 2. Zarlar atılır. En az 5 puan gelme olasılığını bulun.

Önceki örnekte olduğu gibi aynı şekilde mantık yürütüyoruz. Bir zar atıldığında eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı $n=6$'dır ve "en az 5 puan toplanması", yani "ya 5 ya da 6 puan toplanması" koşulu, 2 sonuçla (m $) karşılanır =2$. Gerekli olasılık $P=2/6=1/3=0,333$'dır.

Daha fazla örnek vermenin manasını bile göremiyorum, hadi her şeyin daha ilginç ve karmaşık hale geldiği iki zara geçelim.

İki zar

2 zar atmayı içeren problemler söz konusu olduğunda kullanımı çok uygundur. puan tablosu. İlk zara düşen puan sayısını yatay olarak, ikinci zara düşen puan sayısını da dikey olarak çizelim. Şöyle bir şey elde edelim (Ben genellikle Excel'de yapıyorum, dosyayı indirebilirsiniz):

Masa hücrelerinde ne olduğunu mu soruyorsunuz? Bu da hangi sorunu çözeceğimize bağlı. Puanların toplamı ile ilgili bir görev olacak - toplamı oraya yazacağız, fark hakkında - farkı yazacağız vb. Başlayalım?

Örnek 3. 2 zar aynı anda atılıyor. Toplamın 5 puandan az olma olasılığını bulun.

Öncelikle deneyin toplam sonuç sayısına bakalım. Bir zar attığımızda her şey açıktı; 6 taraf - 6 sonuç. Burada zaten iki zar var, dolayısıyla sonuçlar $(x,y)$ biçimindeki sıralı sayı çiftleri olarak temsil edilebilir; burada $x$, ilk zarda kaç puanın düştüğünü gösterir (1'den 6'ya), $ y$, ikinci zarda kaç puanın düştüğünü gösterir (1'den 6'ya). Açıkçası, bu tür sayı çiftlerinin toplam sayısı $n=6\cdot 6=36$ olacaktır (ve sonuç tablosunda tam olarak 36 hücreye karşılık gelirler).

Şimdi tabloyu doldurmanın zamanı geldi. Her hücreye birinci ve ikinci zarda atılan puanların toplamını giriyoruz ve aşağıdaki resmi elde ediyoruz:

Şimdi bu tablo, "toplamda 5 puandan az olacak" etkinlik için olumlu sonuçların sayısını bulmamıza yardımcı olacak. Bunu yapmak için toplam değeri 5'ten az olan (yani 2, 3 veya 4) hücre sayısını sayarız. Netlik sağlamak için bu hücreleri renklendirelim, $m=6$ olacaktır:

O zaman olasılık şuna eşittir: $P=6/36=1/6$.

Örnek 4. İki zar atılıyor. Nokta sayısının çarpımının 3'e bölünebilme olasılığını bulun.

Birinci ve ikinci zarda atılan puanların çarpımlarından oluşan bir tablo oluşturuyoruz. Hemen 3'ün katları olan sayıları vurguluyoruz:

Geriye kalan tek şey, toplam sonuç sayısının $n=36$ olduğunu (önceki örneğe bakın, mantık aynıdır) ve olumlu sonuçların sayısını (yukarıdaki tabloda gölgeli hücrelerin sayısı) yazmaktır. $m=20$. O zaman olayın olasılığı $P=20/36=5/9$ olacaktır.

Örnek 5. Zarlar iki kez atılır. Birinci ve ikinci zardaki puan sayısı farkının 2'den 5'e kadar olma olasılığını bulun.

Puan farklılıkları tablosunu yazalım, fark değerinin 2 ile 5 arasında olacağı hücreleri vurgulayalım:

Yani, eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı $n=36$'dır ve olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tabloda gölgeli hücrelerin sayısı) $m=10$'dır. O zaman olayın olasılığı $P=10/36=5/18$'a eşit olacaktır.

Yani 2 zar atmaktan ve basit bir olaydan bahsettiğimizde, bir masa oluşturmanız, içindeki gerekli hücreleri seçmeniz ve sayılarını 36'ya bölmeniz gerekiyor, bu olasılık olacaktır. Nokta sayısının toplamı, çarpımı ve farkı ile ilgili problemlerin yanı sıra, farkın modülü, çizilen en küçük ve en büyük nokta sayısı ile ilgili problemler de vardır (uygun tabloları bulacaksınız).

Zarlar ve küplerle ilgili diğer problemler

Tabii ki, konu yukarıda tartışılan zar atmayla ilgili iki problem sınıfıyla sınırlı değildir (bunlar problem kitaplarında ve eğitim kılavuzlarında en sık karşılaşılanlardır), başkaları da vardır. Yaklaşık çözüm yönteminin çeşitliliği ve anlaşılması için üç tane daha analiz edeceğiz. tipik örnekler: 3 zar atmak için, koşullu olasılık için ve Bernoulli formülü için.

Örnek 6. 3 zar atılıyor. Toplamın 15 puan olma olasılığını bulun.

3 zar durumunda, tablolar daha az sıklıkta düzenlenir, çünkü en fazla 6 parçaya ihtiyacınız olacaktır (ve yukarıdaki gibi bir parçaya değil), sadece gerekli kombinasyonları arayarak geçinirler.

Deneyin toplam sonuç sayısını bulalım. Sonuçlar $(x,y,z)$ formundaki sıralı sayı üçlüleri olarak temsil edilebilir; burada $x$ ilk zarda kaç puanın düştüğünü (1'den 6'ya kadar), $y$ kaç puanın düştüğünü gösterir ikinci zarda (1'den 6'ya kadar), $z$ - üçüncü zarda kaç puan atıldığı (1'den 6'ya kadar). Açıkçası, bu tür üçlü sayıların toplam sayısı $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ olacaktır.

Şimdi toplamda 15 puan veren sonuçları seçelim.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

$m=3+6+1=10$ sonuç elde ettik. İstenilen olasılık $P=10/216=0,046$'dır.

Örnek 7. 2 zar atılıyor. Toplam puan sayısının çift olması koşuluyla, ilk zarın en fazla 4 puan atma olasılığını bulun.

Bu sorunu çözmenin en kolay yolu, daha önce olduğu gibi tabloyu tekrar kullanmaktır (her şey netleşecektir). Puan miktarlarının bir tablosunu yazıyoruz ve yalnızca çift değerli hücreleri seçiyoruz:

Deneysel koşullara göre 36 değil, $n=18$ (puanların toplamı çift olduğunda) sonuçların olduğunu bulduk.

Şimdi bu hücrelerden Yalnızca “ilk zarda en fazla 4 puan atılmaz” olayına karşılık gelenleri seçelim - yani aslında tablonun ilk 4 satırındaki hücreler (turuncu renkle vurgulanmıştır), $m= olacaktır 12$.

Gerekli olasılık $P=12/18=2/3.$

Aynı görev olabilir farklı karar ver koşullu olasılık formülünü kullanarak. Hadi olaylara girelim:
A = Nokta sayısının toplamı çifttir
B = İlk zarda atılan en fazla 4 puan
AB = Puanların toplamı çifttir ve ilk zarda en fazla 4 puan atılmıştır.
O zaman istenen olasılığa ilişkin formül şu şekilde olur: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Olasılıkları bulma. Sonuçların toplam sayısı $n=36$'dır, A olayı için olumlu sonuçların sayısı (yukarıdaki tablolara bakınız) $m(A)=18$ ve AB olayı için - $m(AB)=12$'dır. Şunu elde ederiz: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Cevaplar aynıydı.

Örnek 8. Zar 4 kez atılıyor. Çift sayıda noktanın tam olarak 3 kez ortaya çıkma olasılığını bulun.

Zarların atılması durumunda birkaç kez atar ve olay toplam, çarpım vb. ile ilgili değildir. integral özellikler, ancak yalnızca yaklaşık damla sayısı belirli bir türün olasılığını hesaplamak için kullanabilirsiniz

Sorunlar 1.4 - 1.6

Sorun durumu 1.4

Sorunun “çözümünde” hatayı belirtin: iki zar atılıyor; Çekilen noktaların toplamının 3 olma olasılığını bulun (A olayı). "Çözüm". Testin iki olası sonucu vardır: Alınan puanların toplamı 3'tür, alınan puanların toplamı 3'e eşit değildir. A olayı bir sonuç tarafından tercih edilir, toplam sonuç sayısı ikidir. Dolayısıyla istenilen olasılık P(A) = 1/2'ye eşittir.

Sorun 1.4'ün Çözümü

Bu “çözümün” hatası, söz konusu sonuçların eşit derecede mümkün olmamasıdır. Doğru çözüm: Eşit derecede olası sonuçların toplam sayısı eşittir (bir zarda atılan her puan, başka bir zarda atılan tüm sayılarla birleştirilebilir). Bu sonuçlar arasında sadece iki sonuç olayı lehte tutuyor: (1; 2) ve (2; 1). Bu, gerekli olasılığın

Cevap:

Sorun durumu 1.5

İki zar atılıyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: a) çekilen noktaların toplamı yedidir; b) çekilen puanların toplamı sekiz, fark ise dört; c) Farkın dört olduğu biliniyorsa, çekilen puanların toplamı sekizdir; d) Haddelenmiş noktaların toplamı beştir ve çarpım dörttür.

Sorun 1.5'in çözümü

a) İlk zarda altı seçenek, ikinci zarda altı seçenek. Toplam seçenekler: (çarpım kuralına göre). Toplam 7'ye eşit seçenekler: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - toplamda altı seçenek. Araç,

b) Sadece iki uygun seçenekler: (6.2) ve (2.6). Araç,

c) Yalnızca iki uygun seçenek vardır: (2,6), (6,2). Ama toplamda olası seçenekler 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Araç, .

d) 5'e eşit bir toplam için şu seçenekler uygundur: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Ürün sadece iki seçenek için 4'tür. Daha sonra

Cevap: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; 1/18

Sorun durumu 1.6

Tüm kenarları renkli olan bir küp bin küp halinde kesiliyor aynı boyutta, bunlar daha sonra iyice karıştırılır. Şans eseri çizilen küpün yüzlerinin renkli olma olasılığını bulun: a) bir; b) iki; saat üçte.

Problem 1.6'nın Çözümü

Toplam 1000 küp oluşturuldu. Üç renkli yüzü olan küpler: 8 (bunlar köşe küpleridir). İki renkli yüzü olan: 96 (çünkü her bir kenarında 8 küp bulunan bir küpün 12 kenarı vardır). Renkli kenarlı zarlar: 384 (6 yüzü olduğundan ve her yüzünde 64 küp olduğundan). Geriye kalan tek şey bulunan her miktarı 1000'e bölmek.

Cevap: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008