Bir parabolün odak uzaklığı. Hiperbol ve kanonik denklemi

Görev No. 1. Odakların koordinatlarını belirleyin ve parabolün doğrultmanının denklemini oluşturun

Bu denklemin denklemle karşılaştırılması
2p=4 olduğunu buluruz, dolayısıyla . Yani asıl nokta
- bir parabolün odak noktaları ve düz çizgi
yani x=-1 veya x+1=0 onun direktrisidir.

Cevap: (1;0)

Problem No. 2. Tepe noktası orijinde olan bir parabolün odakları F(0;-4) noktasındadır. Bu parabolün denklemini yazın.

Problem No. 3. Tepe noktası orijinde olan bir parabolün doğrultmanı 2x+5=0 düz çizgisidir.

Bir denklem yazın ve parabolün odağının koordinatlarını bulun.

R
Çözüm: Tepe noktası orijinde olan bir parabolün doğrultmanı 2x+5=0 doğrusu olduğundan veya
, o zaman odak noktasının koordinatları vardır

bu nedenle istenen eğri Ox ekseni F('ye göre simetriktir) )
ve dalları sağa doğru yönlendirilmiştir (odağın apsisi pozitiftir). Bu nedenle parabolün denklemi şu şekildedir:

Çünkü
O
ve parabolün denklemi şöyle olacaktır:
ve odağının koordinatları F(2.5;0)'dır.

Cevap:
; F(2.5;0)

Görev No.4. Oy eksenine göre simetrik olan ve merkezi koordinat sisteminin orijininde olan bir parabolün denklemini, eğer B(1;-2) noktasından geçiyorsa yazın.

Parabol Oy eksenine göre simetrik olduğundan ve koordinat sisteminin orijininde bir tepe noktasına sahip olduğundan denklemi şu şekildedir:
. B(1;-2) noktası bir parabol üzerinde bulunduğundan, koordinatları parabolleri karşılar, yani.
,

Nerede
, ve bu nedenle
- bir parabolün denklemi.

Cevap:

Problem No. 5. Eğer kemer bir parabol biçimindeyse, 24 m uzunluğunda bir köprünün kemerinin yüksekliğini bulun, bunun denklemi

Bir parabol çizelim
Kartezyen dilinde dikdörtgen sistem koordinatlar Köprünün yüksekliğini h ile gösterelim ve =24 - köprü kemerinin uzunluğu. O zaman A(12;-h) P:
.

T
A noktası nasıl bir parabole aittir?
ise koordinatları bir parabol denklemini karşılar. Bu, parabol denkleminde mevcut koordinatlar (x;y) yerine belirli bir noktanın koordinatlarının kullanılmasını mümkün kılar. O zaman elimizde

Yani köprü kemerinin yüksekliği 3 m'dir.

Problem No. 6. Ufuk düzlemine belli bir açıyla yönlendirilen bir su akıntısı 2 m yüksekliğe çıkıyor ve hortumun ucundan 12 m aşağıya düşüyor. Jetin parabolik yörüngesini bulun.

Çözüm: Jetin parabolik yörüngesini Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemiyle ilişkilendirelim; böylece parabolik yörünge Oy eksenine simetrik olur, dallar aşağıya doğru yönlendirilir ve tepe noktası koordinatların başlangıç ​​noktasında yer alır.

O zaman böyle bir parabolik yörüngenin denklemi şu şekildedir:
, A(6;-2) noktası P:
dolayısıyla koordinatları parabol denklemini karşılar. Parabolün mevcut x ve y koordinatları yerine A noktasının koordinatlarını değiştirme
, eşitlik verir

. Buradan,
- jetin parabolik yörüngesinin denklemi.

Cevap:

Kendin için karar ver:

Problem No. 7. Bir reflektörün ekseninden geçen bir düzlemin kesiti bir paraboldür. Reflektörün genişliği 30 cm, derinliği 20 cm ise (reflektörün ekseni Ox eksenine çakışıyorsa) denklemini yazınız.

Cevap:

Problem No. 8. Su, bir parabolün dalını temsil eden bir akıntı halinde dünya yüzeyindeki bir delikten dışarı akıyor
. Deliğin yüksekliği ise tankın kenarından ne kadar uzakta dere yere düşüyor?

Cevap: 3 m.

Problem No. 9. Parabolik bir aynanın eksenel kesiti bir paraboldür

Aynanın “derinliği” 18,75 cm ise çapını belirleyin.

Cevap: 30cm.

Sorun No. 10. Altına atılan bir taş dar açı ufuk düzlemine ulaştı en büyük yükseklik 16 m., Parabolik bir yörünge çizen taş, atış noktasından 48 m. uzağa düştü. Taşın yörüngesini bulun.

Cevap:
.

Problem No. 11 Eğer odağı a) F(3;0); noktasında bulunuyorsa, köşesi orijinde olan bir parabol bulun. b) F(-2;0); c) F(0;4); d) F(0;-)

Cevap: a)
; B)
; V)
; G)

Problem No. 12 Eğer doğrultmanlar verilmişse, köşesi orijinde olan parabolleri bulun: a)
; b)x=-5; c) y=3; d) y=-2;

Cevap: a)
; B)
; V)
; G)
.

Problem No. 13. Odak noktasının koordinatlarını bulun ve her bir parabol için doğrultman denklemini yazın.

A)
; B)
; V)
; G)
. Bu parabolleri oluşturun.

Cevap: a) F(2;0); x+2=0; b) F(-3;0); x-3=0; c) F(0;); 2y+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

Problem No. 14. A(2;-2) ve B(1;2) noktalarının parabol üzerinde olup olmadığını kontrol edin

Cevap: A var, B yok.

Problem No. 15. Köşesi orijinde olan, Ox eksenine göre simetrik olan ve noktadan geçen bir parabol için bir denklem yazın

Cevap:

Problem No. 16. Aşağıdaki durumlarda köşe noktası başlangıç ​​noktasında olan bir parabolün denklemini yazın:

A) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak üst yarı düzlemde bulunur ve odak parametresi 4'e eşittir;

B) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak alt yarı düzlemde bulunur ve odak parametresi 6'dır;

B) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak sağ yarım düzlemde bulunur ve odak parametresi 3'e eşittir;

d) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak sol yarım düzlemde bulunur ve odak parametresi 5'e eşittir.

Cevap a)
; B)
; V)
; G)
.

Seviye III

3.1. Abartı 5. satıra dokunuyor X – 6sen – 16 = 0, 13X – 10sen– – 48 = 0. Eksenlerinin koordinat eksenleriyle çakışması koşuluyla hiperbolün denklemini yazın.

3.2. Bir hiperbolün teğet denklemlerini yazın

1) bir noktadan geçmek A(4, 1), B(5, 2) ve C(5, 6);

2) düz çizgiye 10 paralel X – 3sen + 9 = 0;

3) düz çizgiye 10 dik X – 3sen + 9 = 0.

Parabol koordinatları denklemi karşılayan düzlemdeki noktaların geometrik yeridir

Parabol parametreleri:

Nokta F(P/2, 0) denir odak paraboller, büyüklük P – parametre , nokta HAKKINDA(0, 0) – tepe . Bu durumda düz çizgi İLE İLGİLİ Parabolün simetrik olduğu bu eğrinin eksenini tanımlar.

Büyüklük Nerede M(X, sen) – keyfi nokta parabollere denir odak yarıçapı , dümdüz D: X = –P/2 – müdire (parabolün iç bölgesini kesmez). Büyüklük parabolün dışmerkezliği denir.

Bir parabolün temel karakteristik özelliği: parabolün tüm noktaları doğrultmana ve odağa eşit uzaklıktadır (Şekil 24).

Koordinat sistemindeki dallarının diğer yönlerini belirleyen kanonik parabol denkleminin başka biçimleri de vardır (Şekil 25):

İçin parametrik ayar paraboller parametre olarak T parabol noktasının ordinat değeri alınabilir:

Nerede T keyfi bir gerçek sayıdır.

Örnek 1. Kanonik denklemini kullanarak bir parabolün parametrelerini ve şeklini belirleyin:

Çözüm. 1. Denklem sen 2 = –8X tepe noktası noktasında olan bir parabolü tanımlar HAKKINDA Ah. Dalları sola yönlendirilmiştir. Karşılaştırma verilen denklem denklem ile sen 2 = –2piksel, şunu buluyoruz: 2 P = 8, P = 4, P/2 = 2. Dolayısıyla odak noktadır F(–2; 0), doğrultman denklemi D: X= 2 (Şek. 26).

2. Denklem X 2 = –4sen tepe noktası noktasında olan bir parabolü tanımlar Ö(0; 0), eksene göre simetrik Oy. Dalları aşağıya doğru yönlendirilmiştir. Bu denklemin denklemle karşılaştırılması X 2 = –2py, şunu buluyoruz: 2 P = 4, P = 2, P/2 = 1. Dolayısıyla odak noktadır F(0; –1), doğrultman denklemi D: sen= 1 (Şekil 27).

Örnek 2. Parametreleri ve eğri tipini belirleyin X 2 + 8X – 16sen– 32 = 0. Bir çizim yapın.

Çözüm. Haydi dönüşelim Sol Tarafçıkarma yöntemini kullanan denklemler tam kare:

X 2 + 8X– 16sen – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16sen – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16sen – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(sen + 3).

Sonuç olarak elde ederiz

(X + 4) 2 = 16(sen + 3).

Bu kanonik denklem köşe noktası (–4, –3) olan paraboller, parametre P= 8, yukarıya bakan dallar (), eksen X= –4. Odak nokta üzerindedir F(–4; –3 + P/2), yani. F(–4; 1) Müdire D denklem tarafından verilen sen = –3 – P/2 veya sen= –7 (Şek. 28).

Örnek 4. Tepe noktası noktada olan bir parabolün denklemini yazın V(3; –2) ve noktaya odaklanın F(1; –2).

Çözüm. Belirli bir parabolün tepe noktası ve odağı eksene paralel düz bir çizgi üzerinde bulunur Öküz(aynı koordinatlar), parabolün dalları sola yönlendirilir (odağın apsisi tepe noktasının apsisinden daha azdır), odaktan tepe noktasına olan mesafe P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Dolayısıyla gerekli denklem

(sen+ 2) 2 = –2 4( X– 3) veya ( sen + 2) 2 = = –8(X – 3).

Şunun için görevler: bağımsız karar

ben seviye

1.1. Parabolün parametrelerini belirleyin ve oluşturun:

1) sen 2 = 2X; 2) sen 2 = –3X;

3) X 2 = 6sen; 4) X 2 = –sen.

1.2. Aşağıdakileri biliyorsanız, köşesi orijinde olan bir parabolün denklemini yazın:

1) parabol, eksene göre simetrik olarak sol yarım düzlemde bulunur Öküz Ve P = 4;

2) parabol eksene göre simetrik olarak yerleştirilmiştir Oy ve noktadan geçer M(4; –2).

3) direktrix denklem 3 ile verilmiştir sen + 4 = 0.

1.3. Tüm noktaları (2; 0) noktasına ve düz çizgiye eşit uzaklıkta olan bir eğrinin denklemini yazın X = –2.

Seviye II

2.1. Eğrinin tipini ve parametrelerini belirleyin.

Bu bölüm boyunca (aşağıda ele alınan tüm şekillerin yer aldığı) düzlemde belirli bir ölçeğin seçildiği varsayılmaktadır; Yalnızca bu ölçeğe sahip dikdörtgen koordinat sistemleri dikkate alınır.

§ 1. Parabol

Parabol okuyucu tarafından bilinmektedir. okul kursu bir fonksiyonun grafiği olan bir eğri olarak matematik

(Şek. 76). (1)

Herhangi bir ikinci dereceden trinomiyalin grafiği

aynı zamanda bir paraboldür; koordinat sistemini basitçe değiştirerek (bir OO vektörüyle), yani dönüştürerek mümkündür

fonksiyonun grafiğinin (ikinci koordinat sisteminde) grafik (2) (birinci koordinat sisteminde) ile çakıştığından emin olun.

Aslında (3)'ü eşitlik (2)'ye koyalım. Aldık

Katsayısı ve değerini sağlayacak şekilde seçim yapmak istiyoruz. Ücretsiz Üye Bu eşitliğin sağ tarafındaki polinom ( göreli ) sıfıra eşitti. Bunu yapmak için denklemden belirleriz

hangi verir

Şimdi duruma göre belirliyoruz

bunun içine zaten bulunan değeri koyarız. Aldık

Yani (3) kaydırması ile

şuraya taşındık yeni sistem parabol denkleminin (2) formunu aldığı koordinatlar

(Şek. 77).

Denkleme (1) dönelim. Bir parabolün tanımı olarak hizmet edebilir. En basit özelliklerini hatırlayalım. Bir eğrinin bir simetri ekseni vardır: eğer bir nokta denklem (1)'i karşılıyorsa, o zaman nokta simetrik nokta Ordinat eksenine göre M aynı zamanda denklem (1)'i de karşılar - eğri ordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 76).

Eğer , o zaman parabol (1) üst yarı düzlemde yer alır ve benzersiz bir konuma sahiptir. ortak nokta HAKKINDA.

Apsis'in mutlak değerindeki sınırsız artışla birlikte ordinat da sınırsız olarak artar. Eğrinin genel görünümü Şekil 2'de gösterilmektedir. 76, a.

Eğer (Şekil 76, b), o zaman eğri, eğrinin apsis eksenine göre simetrik olarak alt yarı düzlemde bulunur.

Buradan elde edilen yeni bir koordinat sistemine geçersek eski değiştirme Ordinat ekseninin pozitif yönü tersine çevrilirse, eski sistemde y denklemine sahip olan parabol, yeni koordinat sisteminde y denklemini alacaktır. Bu nedenle parabolleri incelerken kendimizi denklemler (1) ile sınırlandırabiliriz; burada .

Son olarak eksenlerin isimlerini değiştirelim, yani ordinat ekseninin eski apsis ekseni ve apsis ekseninin eski ordinat ekseni olacağı yeni bir koordinat sistemine geçeceğiz. Bu yeni sistemde denklem (1) şu şekilde yazılacaktır:

Veya sayı formda ile gösteriliyorsa

Denklem (4) çağrılır analitik geometri bir parabolün kanonik denklemi; belirli bir parabolün denklem (4)'e sahip olduğu dikdörtgen koordinat sistemine kanonik koordinat sistemi (bu parabol için) denir.

Şimdi kurulumu yapacağız geometrik anlamı katsayı Bunu yapmak için konuyu ele alıyoruz

parabolün (4) odağı ve denklemle tanımlanan d düz çizgisi olarak adlandırılır

Bu çizgiye parabolün (4) doğrultmanı denir (bkz. Şekil 78).

Parabolün (4) keyfi bir noktası olsun. Denklem (4)'ten şu sonuç çıkar: Bu nedenle, M noktasının d doğrultucusundan uzaklığı sayıdır

M noktasının F odağından uzaklığı

Ama bu nedenle

Yani parabolün tüm M noktaları odak noktasından ve doğrultmanından eşit uzaklıkta bulunmaktadır:

Tersine, (8) koşulunu karşılayan her M noktası parabol (4) üzerinde yer alır.

Aslında,

Buradan,

ve parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra,

Her parabolün (4), F odağından ve bu parabolün d doğrultmanından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğunu kanıtladık.

Aynı zamanda denklem (4)'teki katsayının geometrik anlamını da belirledik: sayı, odak noktası ile parabolün doğrultmanı arasındaki mesafeye eşittir.

Şimdi düzlemde bir F noktası ve bu noktadan geçmeyen bir d çizgisinin keyfi olarak verildiğini varsayalım. Odak noktası F ve doğrultmanı d olan bir parabolün var olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için, F noktasından (Şekil 79) d çizgisine dik bir g çizgisi çizin; her iki doğrunun kesişme noktasını D ile gösterelim; mesafe (yani F noktası ile d düz çizgisi arasındaki mesafe) ile gösterilecektir.

g düz çizgisini üzerindeki DF yönünü pozitif alarak bir eksene çevirelim. Bu ekseni, orijini doğru parçasının orta O'su olan dikdörtgen bir koordinat sisteminin apsis ekseni yapalım.

O halde d düz doğrusu da denklemi alır.

Artık parabolün kanonik denklemini seçilen koordinat sisteminde yazabiliriz:

F noktası odak noktası olacak ve d düz çizgisi parabolün (4) doğrultmanı olacaktır.

Yukarıda bir parabolün, F noktası ve d doğrusundan eşit uzaklıktaki M noktalarının geometrik yeri olduğunu tespit etmiştik. Böylece bir parabolün böyle geometrik (yani herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız) tanımını verebiliriz.

Tanım. Bir parabol, sabit bir noktadan (parabolün “odak noktası”) ve sabit bir çizgiden (parabolün “doğrultmanı”) eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bir parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki mesafeyi ifade ederek, her zaman belirli bir parabol için kanonik olan, yani parabol denkleminin kanonik forma sahip olduğu dikdörtgen bir koordinat sistemi bulabiliriz:

Tersine, dikdörtgen bir koordinat sisteminde böyle bir denklemi olan herhangi bir eğri bir paraboldür (şimdi kurulan geometrik anlamda).

Bir parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki mesafeye odak parametresi veya basitçe parabolün parametresi denir.

Odaktan parabolün doğrultusuna dik olarak geçen çizgiye odak ekseni (veya basitçe eksen) adı verilir; parabolün simetri eksenidir - bu, parabolün ekseninin, parabol denkleminin (4) formuna sahip olduğu koordinat sistemindeki apsis ekseni olduğu gerçeğinden kaynaklanır.

Bir nokta denklem (4)'ü sağlıyorsa, o zaman apsis eksenine göre M noktasına simetrik olan bir nokta da bu denklemi karşılar.

Bir parabolün ekseniyle kesişme noktasına parabolün tepe noktası denir; belirli bir parabol için kanonik koordinat sisteminin kökenidir.

Parabol parametresinin başka bir geometrik yorumunu verelim.

Parabolün odağından geçen ve parabolün eksenine dik olan düz bir çizgi çizelim; parabolü iki noktada kesecek (bkz. Şekil 79) ve parabolün sözde odak kirişini (yani parabolün doğrultusuna paralel olarak odak noktasından geçen kirişi) belirleyecektir. Odak akorunun uzunluğunun yarısı parabolün parametresidir.

Aslında odak akorunun uzunluğunun yarısı mutlak değer her birinin apsisi odağın apsisine eşit olan herhangi bir noktanın koordinatları, yani. Bu nedenle, sahip olduğumuz her noktanın koordinatı için

Q.E.D.

Dikdörtgen koordinat sistemini tanıtalım, burada . Eksenin odaktan geçmesine izin verin F parabol ve doğrultmana diktir ve eksen, odak ile doğrultu arasında yarı yolda geçer. Odak ile yön arasındaki mesafeyi belirtelim. Daha sonra direktriks denklemi.

Sayıya parabolün odak parametresi denir. Parabolün şimdiki noktası olsun. Hiperbolün noktasının odak yarıçapı, noktadan doğrultmana olan uzaklık olsun. Daha sonra( çizim 27.)

Çizim 27.

Bir parabolün tanımı gereği. Buradan,

Denklemin karesini alalım ve şunu elde edelim:

(15)

burada (15), eksene göre simetrik olan ve orijinden geçen bir parabolün kanonik denklemidir.

Bir parabolün özelliklerinin incelenmesi

1) Parabolün tepe noktası:

Denklem (15) sayılarla sağlanır ve dolayısıyla parabol orijinden geçer.

2) Parabol simetrisi:

Parabole ait olalım, yani. gerçek eşitlik. Nokta eksene göre noktaya simetriktir, dolayısıyla parabol apsis eksenine göre simetriktir.

Parabolün dışmerkezliği:

Tanım 4.2. Bir parabolün dışmerkezliği bire eşit bir sayıdır.

Bir parabolün tanımı gereği.

4) Parabolün tanjantı:

Teğet noktasındaki bir parabolün teğeti denklemle verilir

Nerede ( çizim 28.)

Çizim 28.

Parabol resmi

Çizim 29.

ESO-Mathcad'i kullanma:

çizim 30.)

Çizim 30.

a) BİT kullanmadan inşaat: Bir parabol oluşturmak için, merkezi O noktasında olan dikdörtgen bir koordinat sistemi kurarız ve birim segmenti. Öyle çizdiğimiz için odağı OX eksenine ve parabolün doğrultmanına işaretliyoruz. Yarıçapı olan bir noktaya bir daire oluşturuyoruz mesafeye eşit düz çizgiden bir parabolün doğrultmanına kadar. Çember doğruyu belirli noktalarda keser. Başlangıç ​​noktasından ve noktalardan geçecek şekilde bir parabol oluşturuyoruz.( çizim 31.)

Çizim 31.

b)ESO-Mathcad'i kullanarak:

Ortaya çıkan denklem şuna benzer: . Mathcad programında ikinci dereceden bir doğru oluşturmak için denklemi şu şekle indirgeriz: .( çizim 32.)

Çizim 32.

İkinci dereceden çizgi teorisi üzerine yapılan çalışmaları özetlemek için ilköğretim matematik ve problemleri çözerken çizgilerle ilgili bilgileri kullanmanın kolaylığı için, ikinci dereceden çizgilerdeki tüm verileri Tablo 1'e dahil edeceğiz.

Tablo No.1.

İlköğretim matematikte ikinci dereceden çizgiler

İkinci dereceden hatların incelenmesinde BİT kullanma olanakları

Bugün modern toplum yaşamının tüm yönlerini kapsayan bilişim sürecinin, elbette eğitimin bilişimleşmesini de içermesi gereken birçok öncelikli alanı vardır. Bilgi ve iletişim teknolojilerinin (BİT) kullanımı yoluyla insanın entelektüel faaliyetinin küresel rasyonelleştirilmesinin temel temelidir.

Geçen yüzyılın 90'lı yılların ortalarından günümüze kadar, Rusya'da kişisel bilgisayarların yaygın kullanımı ve mevcudiyeti, gelişmiş eğitim bilgi teknolojilerinin eğitim sürecine dahil edilmesine, iyileştirilmesine ve modernleştirilmesine, iyileştirilmesine olanak tanıyan telekomünikasyonun yaygın kullanımı ile karakterize edilir. bilginin kalitesi, öğrenme motivasyonunun arttırılması, öğrenmenin bireyselleştirilmesi ilkesinden maksimum düzeyde yararlanılmasıdır. Eğitim için bilgi teknolojileri, eğitimin bilişimleşmesinin bu aşamasında gerekli bir araçtır.

Bilgi teknolojileri yalnızca bilgiye erişimi kolaylaştırmak ve eğitim faaliyetlerinin değişkenliği, bireyselleştirilmesi ve farklılaştırılması için fırsatlar açmakla kalmaz, aynı zamanda tüm öğrenme konularının etkileşimini yeni bir şekilde organize etmeyi, öğrenmeyi mümkün kılar. Eğitim sistemiÖğrencinin eğitim faaliyetlerine aktif ve eşit bir katılımcı olacağı.

Yeni oluşumu Bilişim Teknolojileri konu dersleri çerçevesinde dersin etkililiğini niteliksel olarak artırmayı amaçlayan yeni yazılım ve metodolojik kompleksler oluşturma ihtiyacını teşvik ederler. Bu nedenle başarılı ve hedefe yönelik kullanım için Eğitim süreci bilgi teknolojisi araçları, öğretmenlerin bilmesi gerekenler Genel açıklama yazılım uygulamalarının çalışma prensiplerini ve didaktik yeteneklerini inceler ve daha sonra deneyimlerine ve önerilerine dayanarak bunları eğitim sürecine “inşa eder”.

Matematik çalışması şu anda bir dizi özellik ve gelişimsel zorluklarla ilişkilidir. okul eğitimi bizim ülkemizde.

Matematik eğitiminde sözde kriz ortaya çıktı. Bunun nedenleri aşağıdaki gibidir:

Toplumda ve bilimde değişen önceliklerde, yani beşeri bilimlerin önceliği şu anda artıyor;

Okuldaki matematik dersi sayısının azaltılmasında;

Matematik eğitiminin içeriğinin hayattan izolasyonu;

Öğrencilerin duygu ve duyguları üzerinde çok az etkisi vardır.

Bugün şu soru açık kalıyor: "Matematik öğretimi de dahil olmak üzere okul çocuklarına eğitim verirken modern bilgi ve iletişim teknolojilerinin potansiyel yetenekleri en etkili şekilde nasıl kullanılır?"

Bilgisayar, "İkinci Dereceden Fonksiyon" gibi bir konuyu incelemek için mükemmel bir yardımcıdır, çünkü özel programlar kullanarak çeşitli fonksiyonların grafiklerini oluşturabilir, fonksiyonu keşfedebilir, kesişme noktalarının koordinatlarını kolayca belirleyebilir, kapalı şekillerin alanlarını hesaplayabilirsiniz, vb. Örneğin, grafik dönüşümüne (uzatma, sıkıştırma, koordinat eksenlerini hareket ettirme) ayrılmış bir 9. sınıf cebir dersinde, yapının yalnızca donmuş sonucunu görebilirken, öğretmen ve öğrencinin sıralı eylemlerinin tüm dinamiklerini görebilirsiniz. monitör ekranında.

Başka hiçbir şeye benzemeyen bilgisayar teknik araçlar ideal matematiksel modelleri doğru, açık ve heyecan verici bir şekilde öğrenciye ortaya koyar; bir çocuğun pratik eylemlerinde ne için çabalaması gerektiği.

Bir matematik öğretmeninin öğrencileri grafiğe teğet olduğuna ikna etmek için ne kadar zorluk yaşaması gerekir? ikinci dereceden fonksiyon temas noktasında pratik olarak fonksiyonun grafiğiyle birleşir. Bu gerçeği bilgisayarda göstermek çok kolaydır; Ox ekseni boyunca aralığı daraltmak ve teğet noktasının çok küçük bir komşuluğunda fonksiyonun grafiği ile teğet çizgisinin çakıştığını keşfetmek yeterlidir. Bütün bu eylemler öğrencilerin önünde gerçekleşir. Bu örnek derste aktif yansıma için bir ivme sağlar. Hem sınıfta yeni materyalin anlatılması sırasında hem de kontrol aşamasında bilgisayar kullanımı mümkündür. Örneğin “Testim” gibi bu programların yardımıyla öğrenci, teorik bilgi seviyesini bağımsız olarak test edebilir ve teorik ve pratik görevleri tamamlayabilir. Programlar çok yönlülüğü nedeniyle uygundur. Hem öz kontrol hem de öğretmen kontrolü için kullanılabilirler.

Matematik ve bilgisayar teknolojisinin makul entegrasyonu, bir problem çözme sürecine ve matematik yasalarını anlama sürecine daha zengin ve daha derin bir bakış atmamızı sağlayacaktır. Buna ek olarak, bilgisayar öğrencilerin grafik, matematik ve zihinsel kültürünün oluşmasına yardımcı olacaktır ve bilgisayar yardımıyla didaktik materyaller hazırlayabilirsiniz: kartlar, anket formları, testler vb. İlgi ve yaratıcılığın olduğu konuyla ilgili bağımsız olarak testler geliştirme fırsatı.

Bu nedenle matematik derslerinde bilgisayarların mümkün olduğunca yaygın şekilde kullanılmasına ihtiyaç vardır. Bilgi teknolojisinin kullanılması, bilginin kalitesinin iyileştirilmesine, ikinci dereceden fonksiyonu inceleme ufkunun genişletilmesine yardımcı olacak ve bu nedenle öğrencilerin konuya ve konuya olan ilgisini sürdürmek ve dolayısıyla konuya karşı daha iyi, daha dikkatli bir tutum için yeni beklentiler bulmaya yardımcı olacaktır. . Günümüzde modern bilgi teknolojileri, yönetimden eğitime ve eğitime erişilebilirliğin sağlanmasına kadar okulun bir bütün olarak modernleştirilmesinin en önemli aracı haline geliyor.

Düzlem üzerinde bir çizgi ve bu çizginin üzerinde olmayan bir nokta düşünün. VE elips, Ve hiperbol Belirli bir noktaya olan uzaklığın, belirli bir düz çizgiye olan uzaklığa oranının sabit bir değer olduğu noktaların geometrik yeri birleşik bir şekilde tanımlanabilir.

sıra ε. 0 1'de - hiperbol. ε parametresi elipsin ve hiperbolün dışmerkezliği. Mümkün olanlardan pozitif değerler bir parametre ε, yani ε = 1'in kullanılmadığı ortaya çıkar. Bu değer, belirli bir noktadan ve belirli bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktaların geometrik konumuna karşılık gelir.

Tanım 8.1. Geometrik konum Düzlemin sabit bir noktadan ve sabit bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktalarına denir. parabol.

Sabit noktaya denir parabolün odağı ve düz çizgi - bir parabolün doğrultmanı. Aynı zamanda inanılıyor ki parabolün dışmerkezliği bire eşittir.

Geometrik değerlendirmelerden, parabolün, doğrultmana dik olan ve parabolün odağından geçen düz çizgiye göre simetrik olduğu sonucu çıkar. Bu düz çizgiye parabolün simetri ekseni veya kısaca denir. parabol ekseni. Bir parabol simetri eksenini tek bir noktada keser. Bu noktaya denir parabolün tepe noktası. Parabolün odağını ekseninin direktriks ile kesişme noktasına bağlayan segmentin ortasında bulunur (Şekil 8.3).

Parabol denklemi. Bir parabolün denklemini türetmek için düzlemi seçiyoruz Menşei parabolün tepe noktasında, x ekseni- pozitif yönü odağın konumuyla belirlenen parabolün ekseni (bkz. Şekil 8.3). Bu koordinat sistemine denir kanonik söz konusu parabol için ve karşılık gelen değişkenler kanonik.

Odaktan doğrultmana olan mesafeyi p ile gösterelim. O aradı parabolün odak parametresi.

O zaman odak noktası F(p/2; 0) koordinatlarına sahiptir ve d doğrultmanı x = - p/2 denklemiyle tanımlanır. F noktasından ve d doğrusundan eşit uzaklıkta olan M(x; y) noktalarının konumu denklemle verilir.

Denklemin (8.2) karesini alalım ve benzerlerini sunalım. Denklemi elde ederiz

buna denir kanonik parabol denklemi.

Kare almanın bu durumda - eşdeğer dönüşüm denklem (8.2), çünkü denklemin her iki tarafı da radikal altındaki ifade gibi negatif değildir.

Parabol türü. Formu bilindiğini düşündüğümüz y 2 = x parabolünün apsis ekseni boyunca 1/(2р) katsayısı ile sıkıştırılması durumunda bir parabol elde ederiz. Genel görünüm, denklem (8.3) ile tanımlanır.

Örnek 8.2. Kanonik koordinatları (25; 10) olan bir noktadan geçen bir parabolün odak koordinatlarını ve doğrultma denklemini bulalım.

İÇİNDE kanonik koordinatlar parabolün denklemi y 2 = 2px'dir. (25; 10) noktası parabolün üzerinde olduğundan, 100 = 50p ve dolayısıyla p = 2. Bu nedenle, y 2 = 4x parabolün kanonik denklemidir, x = - 1 onun doğrultman denklemidir ve odak (1; 0) noktasındadır.

Bir parabolün optik özelliği. Parabol aşağıdakilere sahiptir optik özellik. Bir ışık kaynağı bir parabolün odağına yerleştirilirse her şey ışık ışınları parabolden yansıtıldıktan sonra parabolün eksenine paralel olacaklardır (Şekil 8.4). Optik özellik, parabolün herhangi bir M noktasında olduğu anlamına gelir. normal vektör teğet, odak yarıçapı MF ve apsis ekseni ile eşit açılar yapar.