Fonksiyon x'in tüm gerçek değerleri için artıyor. Üstel bir fonksiyonun türevi

Üstel fonksiyona ilişkin temel özellikler, grafikler ve formüller hakkında referans verileri sağlar. Aşağıdaki konular ele alınmaktadır: tanım alanı, değerler kümesi, monotonluk, ters fonksiyon, türev, integral, kuvvet serisi açılımı ve karmaşık sayılar kullanılarak gösterim.

Tanım

Üstel fonksiyon a'ya eşit n sayıların çarpımının bir genellemesidir:
sen (n) = a n = a·a·a···a,
x reel sayılar kümesine:
sen (x) = balta.
Burada a sabit bir gerçek sayıdır ve buna denir üstel fonksiyonun temeli.
a tabanına sahip üstel fonksiyona da denir a tabanına ait üs.

Genelleme şu şekilde yapılır.
Doğal x için = 1, 2, 3,... üstel fonksiyon x faktörlerinin çarpımıdır:
.
Ayrıca, sayıları çarpma kurallarından kaynaklanan (1.5-8) () özelliklerine sahiptir. Tam sayıların sıfır ve negatif değerleri için üstel fonksiyon, formüller (1.9-10) kullanılarak belirlenir. Kesirli değerler için x = m/n rasyonel sayılar, (1.11) formülü ile belirlenir. Real için üstel fonksiyon dizinin limiti olarak tanımlanır:
,
x'e yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisi: .
Bu tanımla, üstel fonksiyon hepsi için tanımlanır ve doğal x için olduğu gibi (1,5-8) özelliklerini karşılar.

Üstel bir fonksiyonun tanımının ve özelliklerinin kanıtının titiz bir matematiksel formülasyonu “Üstel bir fonksiyonun özelliklerinin tanımı ve kanıtı” sayfasında verilmiştir.

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

Üstel fonksiyon y = a x, gerçek sayılar () kümesinde aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1) tanımlanmış ve sürekli, herkes için, herkes için;
(1.2) bir ≠ için 1 birçok anlamı vardır;
(1.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır,
sabittir;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Diğer faydalı formüller.
.
Farklı bir üs tabanına sahip üstel bir fonksiyona dönüştürme formülü:

b = e olduğunda üstel fonksiyonun ifadesini üstel yoluyla elde ederiz:

Özel değerler

, , , , .

Şekilde üstel fonksiyonun grafikleri gösterilmektedir
sen (x) = balta
dört değer için derece üsleri: bir = 2 , bir = 8 , bir = 1/2 ve bir = 1/8 . > için görüldüğü gibi 1 üstel fonksiyon monoton olarak artar. A derecesinin tabanı ne kadar büyükse, büyüme o kadar güçlü olur. Şu tarihte: 0 < a < 1 üstel fonksiyon monoton olarak azalır. a üssü ne kadar küçükse, azalma o kadar güçlü olur.

Artan azalan

için üstel fonksiyon kesinlikle monotondur ve bu nedenle hiçbir ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

	y = a x , a > 1	y = balta, 0 < a < 1
İhtisas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Değer aralığı	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	monoton olarak artar	monoton olarak azalır
Sıfırlar, y = 0	HAYIR	HAYIR
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Ters fonksiyon

Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun tersi, a tabanının logaritmasıdır.

Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.

Üstel bir fonksiyonun türevi

Üstel bir fonksiyonun türevini almak için tabanı e sayısına indirilmeli, türev tablosunu ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamalıdır.

Bunu yapmak için logaritmanın özelliğini kullanmanız gerekir.
ve türevler tablosundaki formül:
.

Üstel bir fonksiyon verilsin:
.
Onu e üssüne getiriyoruz:

Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

Daha sonra

Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştirin):
.
Bir sabit olduğundan z'nin x'e göre türevi eşittir
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre:
.

Üstel bir fonksiyonun türevi

.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

Üstel bir fonksiyonun türevini almaya bir örnek

Bir fonksiyonun türevini bulun
y= 3 5x

Çözüm

Üstel fonksiyonun tabanını e sayısı üzerinden ifade edelim.
3 = e ln 3
Daha sonra
.
Bir değişken girin
.
Daha sonra

Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Çünkü 5ln3 bir sabit ise z'nin x'e göre türevi şuna eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre elimizde:
.

Cevap

İntegral

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık sayı fonksiyonunu düşünün z:
F (z) = az
burada z = x + iy; Ben 2 = - 1 .
Karmaşık sabit a'yı modül r ve φ argümanı cinsinden ifade edelim:
a = r e ben φ
Daha sonra

.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Genel olarak
φ = φ 0 + 2 πn,
burada n bir tam sayıdır. Bu nedenle f fonksiyonu (z) da belli değil. Başlıca önemi sıklıkla dikkate alınır
.

Seri genişletme

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Rus spor salonu

SOYUT

Tamamlanmış

10. sınıf öğrencisi “F” Burmistrov Sergei

Süpervizör

matematik öğretmeni

Yulina O.A.

Nijniy Novgorod

Fonksiyon ve özellikleri

İşlev- değişken bağımlılığı en değişkenden X , eğer her değer X tek bir değerle eşleşir en .

Değişken x- bağımsız değişken veya argüman.

Değişken y- bağımlı değişken

Fonksiyon değeri- Anlam en, belirtilen değere karşılık gelir X .

Fonksiyonun kapsamı bağımsız değişkenin aldığı tüm değerler.

Fonksiyon aralığı (değer kümesi) - fonksiyonun kabul ettiği tüm değerler.

Fonksiyon eşit- eğer birisi içinse X f(x)=f(-x)

Fonksiyon tuhaftır. eğer birisi içinse X fonksiyonun tanım alanından eşitlik f(-x)=-f(x)

Artan fonksiyon- eğer herhangi biri için x 1 Ve x 2,öyle ki x 1 < x 2 eşitsizlik geçerli F( x 1 ) x 2 )

Azalan fonksiyon- eğer herhangi biri için x 1 Ve x 2,öyle ki x 1 < x 2 eşitsizlik geçerli F( x 1 )>f( x 2 )

Bir işlevi belirtme yöntemleri

¨ Bir işlevi tanımlamak için, her bağımsız değişken değeri için karşılık gelen işlev değerinin bulunabileceği bir yol belirtmeniz gerekir. Bir işlevi belirtmenin en yaygın yolu formül kullanmaktır en =f(x), Nerede f(x)- değişkenli ifade X. Bu durumda fonksiyonun formülle verildiğini ya da fonksiyonun verildiğini söylerler. analitik olarak.

¨ Pratikte sıklıkla kullanılır tablo şeklinde Bir işlevi belirtmenin yolu. Bu yöntemle tabloda mevcut olan argüman değerlerine ait fonksiyon değerlerini gösteren bir tablo sağlanır. Tablo fonksiyonlarına örnek olarak karelerden oluşan bir tablo ve küplerden oluşan bir tablo verilebilir.

Fonksiyon türleri ve özellikleri

1) Sabit fonksiyon- formülle verilen fonksiyon y= B , Nerede B- bir miktar. Y=b sabit fonksiyonunun grafiği apsis eksenine paralel ve ordinat ekseninde (0;b) noktasından geçen düz bir çizgidir.

2) Doğrudan orantılılık - formülle verilen fonksiyon y= kx , burada k¹0. Sayı k isminde orantılılık faktörü .

Fonksiyon özellikleri y=kx :

1. Bir fonksiyonun tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir

2. y=kx- Tek işlev

3. k>0 olduğunda fonksiyon artar ve k olduğunda<0 убывает на всей числовой прямой

3)Doğrusal fonksiyon- formülle verilen fonksiyon y=kx+b, Nerede k Ve B - gerçek sayılar. Özellikle k=0, o zaman sabit bir fonksiyon elde ederiz y=b; Eğer b=0 o zaman doğru orantılılık elde ederiz y=kx .

Fonksiyon özellikleri y=kx+b :

1. Etki Alanı - tüm gerçek sayıların kümesi

2. İşlev y=kx+b genel biçim, yani ne çift ne de tek.

3. k>0 olduğunda fonksiyon artar ve k olduğunda<0 убывает на всей числовой прямой

Fonksiyonun grafiği dümdüz .

4)Ters orantılılık formülle verilen fonksiyon y=k /X, burada k¹0 Sayı k isminde ters orantı katsayısı.

Fonksiyon özellikleri y=k / X:

1. Etki Alanı - sıfır dışındaki tüm gerçek sayıların kümesi

2. y=k / X - Tek işlev

3. Eğer k>0 ise fonksiyon (0;+¥) ve (-¥;0) aralığında azalır. eğer k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Fonksiyonun grafiği hiperbol .

5)İşlev y=x2

Fonksiyon özellikleri y=x2:

2. y=x2 - eşit işlev

3. Aralıkta fonksiyon azalır

Fonksiyonun grafiği parabol .

6)İşlev y=x3

Fonksiyon özellikleri y=x3:

1. Tanım alanı – sayı doğrusunun tamamı

2. y=x3 - Tek işlev

3. Fonksiyon sayı doğrusu boyunca artar

Fonksiyonun grafiği kübik parabol

7)Doğal üslü kuvvet fonksiyonu - formülle verilen fonksiyon y=xn, Nerede N- doğal sayı. n=1 olduğunda y=x fonksiyonunu elde ederiz, özellikleri paragraf 2'de tartışılmıştır. n=2;3 için y=x 2 fonksiyonlarını elde ederiz; y=x3 . Özellikleri yukarıda tartışılmıştır.

N ikiden büyük rastgele bir çift sayı olsun: 4,6,8... Bu durumda fonksiyon y=xn y=x 2 fonksiyonuyla aynı özelliklere sahiptir. Fonksiyonun grafiği bir y=x 2 parabolüne benzemektedir; yalnızca |x|>1 için grafiğin dalları n büyüdükçe daha dikleşir ve |x| için<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

N, üçten büyük rastgele bir tek sayı olsun: 5,7,9... Bu durumda fonksiyon y=xn y=x 3 fonksiyonuyla aynı özelliklere sahiptir. Fonksiyonun grafiği kübik bir parabole benzer.

8)Negatif tamsayı üssü olan kuvvet fonksiyonu - formülle verilen fonksiyon y=x -n , Nerede N- doğal sayı. n=1 için y=1/x elde ederiz; bu fonksiyonun özellikleri paragraf 4'te tartışılmıştır.

N birden büyük bir tek sayı olsun: 3,5,7... Bu durumda fonksiyon y=x -n temelde y=1/x fonksiyonuyla aynı özelliklere sahiptir.

N bir çift sayı olsun, örneğin n=2.

Fonksiyon özellikleri y=x -2 :

1. Fonksiyon tüm x¹0 için tanımlanmıştır.

2. y=x -2 - eşit işlev

3. Fonksiyon (0;+¥) azalır ve (-¥;0) artar.

N değeri ikiden büyük olan tüm işlevler aynı özelliklere sahiptir.

9)İşlev y= Ö X

Fonksiyon özellikleri y= Ö X :

1. Tanım alanı - ışın.
Fonksiyonun değer aralığı aralık [ 1; 3].
1. x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5'te fonksiyonun değeri sıfırdır.
Fonksiyon değerinin sıfır olduğu argüman değerine fonksiyon sıfır adı verilir.
//onlar. bu işlev için sayılar -3;-1;1,5; 4,5 sıfırdır.
2. Aralıklarla [ 4.5; 3) ve (1; 1.5) ve (4.5; 5.5) f fonksiyonunun grafiği apsis ekseninin üzerinde, apsis ekseninin altında (-3; -1) ve (1.5; 4.5) aralıklarında yer alır, bu şu şekilde açıklanmaktadır: [ 4.5; 3) ve (1; 1.5) ve (4.5; 5.5] aralıklarında fonksiyon pozitif değerler alırken, (-3; -1) ve ( 1.5; 4.5) aralıklarında negatif değerler alır.
Belirtilen aralıkların her birine (fonksiyonun aynı işaretin değerlerini aldığı yerde), f.// yani fonksiyonunun sabit işaret aralığı denir. örneğin, (0; 3) aralığını alırsak, bu, bu fonksiyonun sabit işaretli bir aralığı değildir.
Matematikte, bir fonksiyonun sabit işaretli aralıklarını ararken, maksimum uzunluktaki aralıkları belirtmek gelenekseldir. //Onlar. aralık (2; 3) işaretin değişmezlik aralığı f fonksiyonu, ancak cevap [ 4.5; 3) (2; 3) aralığını içeren.
3. X ekseni boyunca 4,5'tan 2'ye doğru hareket ederseniz fonksiyon grafiğinin aşağı indiğini yani fonksiyon değerlerinin azaldığını fark edeceksiniz. //Matematikte şunu söylemek gelenekseldir: [ 4.5; 2] fonksiyon azalır.
X 2'den 0'a arttıkça fonksiyonun grafiği de artar, yani. fonksiyon değerleri artar. //Matematikte şunu söylemek gelenekseldir: [ 2; 0] fonksiyon artar.
Bu aralıktaki x1 ve x2 argümanının herhangi iki değeri için x2 > x1 olacak şekilde f (x2) > f (x1) eşitsizliği sağlanıyorsa f fonksiyonu çağrılır. // veya fonksiyon çağrılır belirli aralıklarla artan, eğer bu aralıktaki argümanın herhangi bir değeri için, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa.//ör. ne kadar çok x, o kadar çok y.
f fonksiyonu çağrılır belirli aralıklarla azalan, eğer x1 ve x2 argümanının bu aralıktaki herhangi iki değeri için, x2 > x1 olacak şekilde, f(x2) eşitsizliği bir aralıkta azalıyorsa, eğer argümanın bu aralıktaki herhangi bir değeri için daha büyük değer varsa argümanın değeri, fonksiyonun daha küçük değerine karşılık gelir. //onlar. ne kadar çok x, o kadar az y.
Bir fonksiyon tanım bölgesinin tamamında artıyorsa buna denir. artan.
Bir fonksiyon tanım kümesinin tamamında azalıyorsa buna denir. azalan.
Örnek 1. Sırasıyla artan ve azalan fonksiyonların grafiği.
Örnek 2.
Fenomeni tanımlayın. f(x) = 3x + 5 doğrusal fonksiyonu artıyor mu yoksa azalıyor mu?
Kanıt. Tanımları kullanalım. x1 ve x2 bağımsız değişkenin keyfi değerleri olsun ve x1< x2., например х1=1, х2=7

Fonksiyon sıfırları
Bir fonksiyonun sıfırı değerdir X burada fonksiyon 0'a döner, yani f(x)=0 olur.
Sıfırlar, fonksiyon grafiğinin eksenle kesişme noktalarıdır Ah.
İşlev paritesi
Herhangi bir şey için olsa bile bir işlev çağrılır X tanım alanından f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır

Çift fonksiyon eksene göre simetriktir kuruluş birimi
Tek eşlik işlevi
Herhangi biri için bir fonksiyona tek sayı denir X Tanım alanından f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.

Tek fonksiyon orijine göre simetriktir.
Ne çift ne de tek olan fonksiyona genel fonksiyon denir.
Artan fonksiyon
Eğer argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, f(x) fonksiyonunun artan olduğu söylenir;
Azalan işlev
Eğer argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, f(x) fonksiyonuna azalan fonksiyon denir;

Fonksiyonun sadece azaldığı ya da sadece arttığı aralıklara denir monotonluk aralıkları. f(x) fonksiyonunun 3 monotonluk aralığı vardır:

Artan ve azalan fonksiyon aralıkları hizmetini kullanarak monotonluk aralıklarını bulun
Yerel maksimum
Nokta x 0 herhangi bir durum için yerel maksimum noktası denir. X bir noktanın yakınlarından x 0 aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: f(x 0) > f(x)
Yerel minimum
Nokta x 0 varsa yerel minimum noktası denir X bir noktanın yakınlarından x 0 eşitsizlik geçerlidir: f(x 0)< f(x).

Yerel maksimum noktalar ve yerel minimum noktalara yerel ekstremum noktalar denir.

Yerel ekstrem noktalar.
Fonksiyon frekansı
f(x) fonksiyonuna periyodik denir ve bir periyodu vardır. T, eğer herhangi biri için X f(x+T) = f(x) eşitliği geçerlidir.
İşaret sabitliği aralıkları
Fonksiyonun yalnızca pozitif veya yalnızca negatif olduğu aralıklara sabit işaretli aralıklar denir.

Fonksiyonun sürekliliği
Eğer fonksiyonun x → x 0 limiti fonksiyonun bu noktadaki değerine eşitse, f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında sürekli denir; .
Kırılma noktaları
Süreklilik koşulunun ihlal edildiği noktalara fonksiyon kırılma noktaları denir.

x 0- kırılma noktası.
Fonksiyonların çizilmesi için genel şema
1. D(y) fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun.
2. Fonksiyon grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun.
3. Fonksiyonu çift veya tek açısından inceleyin.
4. Fonksiyonu periyodiklik açısından inceleyin.
5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulun.
6. Fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.
7. Fonksiyonun asimptotlarını bulun.
8. Araştırmanın sonuçlarına göre bir grafik oluşturun.
Örnek: Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini çizin: y = x 3 – 3x
1) Fonksiyon sayısal eksenin tamamında tanımlanmıştır, yani tanım alanı D(y) = (-∞; +∞)'tır.
2) Koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun:
OX ekseni ile: x 3 – 3x = 0 denklemini çözün
OY ekseni ile: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
3) Fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu bulun:
y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)
Buradan fonksiyonun tek olduğu sonucu çıkar.
4) Fonksiyon periyodik değildir.
5) Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulalım: y’ = 3x 2 - 3.
Kritik noktalar: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.
y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2
y(1) = 1 3 – 3*1 = -2
6) Fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun: y'' = 6x
Kritik noktalar: 6x = 0, x = 0.
y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
7) Fonksiyon süreklidir, asimptotu yoktur.
8) Çalışmanın sonuçlarına dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturacağız.