Ne kadar devam ederlerse etsinler kesişmiyorlar. Yazılı düz çizgilerin paralelliği şu şekilde gösterilir: AB|| İLEe
Bu tür çizgilerin var olma olasılığı teoremle kanıtlanmıştır.
Teorem.
Belirli bir doğrunun dışında alınan herhangi bir noktadan bu doğruya paralel bir nokta çizilebilir.
İzin vermek AB bu düz çizgi ve İLE onun dışında alınan bir nokta. Bunu yoluyla kanıtlamak gerekir İLE düz bir çizgi çizebilirsin paralelAB. Bunu düşürelim AB noktadan İLE dikİLED ve sonra biz yöneteceğiz İLEe^ İLED ki bu mümkün. Dümdüz C.E. paralel AB.
Bunu kanıtlamak için bunun tersini varsayalım. C.E. ile kesişiyor AB bir noktada M. Daha sonra noktadan M düz bir çizgiye İLED iki farklı dik açımız olurdu MD Ve MS ki bu imkansızdır. Araç, C.E. ile geçemiyorum AB, yani İLEe paralel AB.
Sonuçlar.
İki dik (CeVeD.B.) bir düz çizgiye (CD) paraleldir.
Paralel doğrular aksiyomu.
Aynı noktadan aynı doğruya paralel iki farklı çizgi çizmek imkansızdır.
Yani eğer düzse İLED, noktadan çizilen İLEçizgiye paralel AB, ardından her satır İLEe, aynı noktadan çizilen İLE, paralel olamaz AB, yani o devam ediyor kesişecekİle AB.
Tamamen açık olmayan bu gerçeği kanıtlamanın imkansız olduğu ortaya çıkıyor. Kanıt olmaksızın gerekli bir varsayım (postulatum) olarak kabul edilir.
Sonuçlar.
1. Eğer dümdüz(İLEe) aşağıdakilerden biriyle kesişir paralel(kuzeydoğu), sonra başka bir ( AB), çünkü aksi takdirde aynı noktadan İLE paralel geçen iki farklı çizgi olurdu AB ki bu imkansızdır.
2. Eğer ikisinden biri doğrudan (AVeB) aynı üçüncü çizgiye paraleldir ( İLE) , sonra onlar paralel kendi aralarında.
Aslında bunu varsayarsak A Ve B bir noktada kesişmek M Bu noktadan paralel iki farklı düz çizgi geçecektir. İLE ki bu imkansızdır.
Teorem.
Eğer çizgi dik paralel doğrulardan birine dik ise diğerine diktir paralel.
İzin vermek AB || İLED Ve E.F. ^ AB.Bunu kanıtlamak gerekir E.F. ^ İLED.
DikeF ile kesişen AB, kesinlikle karşıya geçecek ve İLED. Kesişme noktası şöyle olsun H.
Şimdi şunu varsayalım İLED dik değil E.H.. Sonra başka bir düz çizgi, örneğin H.K., dik olacak E.H. ve dolayısıyla aynı noktadan H iki tane olacak düz paralel AB: bir İLED, duruma göre ve diğeri H.K. daha önce kanıtlandığı gibi. Bu imkansız olduğundan, varsayılamaz. kuzeydoğu dik değildi E.H..
Düzlemde, ortak noktaları yoksa, yani kesişmiyorlarsa, çizgilere paralel denir. Paralelliği belirtmek için özel bir simge kullanın || (paralel çizgiler a || b).
Uzayda uzanan çizgiler için ortak noktaların bulunmaması yeterli değildir - uzayda paralel olmaları için aynı düzleme ait olmaları gerekir (aksi takdirde kesişirler).
Paralel çizgilerin örnekleri için uzağa gitmenize gerek yok; bunlar bize her yerde, bir odada eşlik ediyor - bunlar duvarın tavan ve zeminle kesiştiği çizgiler, bir defter sayfasında - zıt kenarlar vb.
İki doğru paralel ve ilk ikisinden birine paralel üçüncü bir doğru varsa, ikinciye de paralel olacağı çok açıktır.
Bir düzlemdeki paralel çizgiler, planimetri aksiyomları kullanılarak kanıtlanamayan bir ifadeyle ilişkilidir. Bir gerçek olarak, bir aksiyom olarak kabul edilir: Düzlem üzerinde bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir nokta için, verilen noktaya paralel olarak içinden geçen benzersiz bir çizgi vardır. Her altıncı sınıf öğrencisi bu aksiyomu bilir.
Uzamsal genellemesi, yani uzayda bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir nokta için, kendisinden verilen noktaya paralel geçen benzersiz bir çizginin olduğu ifadesi, halihazırda bilinen paralellik aksiyomu kullanılarak kolayca kanıtlanır. uçak.
Paralel çizgilerin özellikleri
- İki paralel çizgiden herhangi biri üçüncüye paralelse, bunlar karşılıklı olarak paraleldir.
Hem düzlemde hem de uzayda paralel çizgiler bu özelliğe sahiptir.
Örnek olarak stereometrideki gerekçesini düşünün.
b doğruları ile a doğrularının paralel olduğunu varsayalım.
Tüm düz çizgilerin aynı düzlemde olması durumu planimetriye bırakılacaktır.
A ve b'nin beta düzlemine ait olduğunu ve gama'nın a ve c'nin ait olduğu düzlem olduğunu varsayalım (uzaydaki paralelliğin tanımına göre düz çizgiler aynı düzleme ait olmalıdır).
Beta ve gama düzlemlerinin farklı olduğunu varsayarsak ve beta düzleminden b doğrusu üzerinde belirli bir B noktasını işaretlersek, o zaman B noktası ve c doğrusundan geçen düzlemin beta düzlemini düz bir çizgide kesmesi gerekir (b1 olarak gösterelim) .
Ortaya çıkan b1 düz çizgisi gama düzlemini keserse, bir yandan b1 beta düzlemine ait olduğundan kesişme noktasının a üzerinde olması gerekirken diğer yandan da c'ye ait olması gerekir, çünkü b1 üçüncü düzleme aittir.
Ancak a ve c paralel çizgileri kesişmemelidir.
Dolayısıyla b1 doğrusu betta düzlemine ait olmalı ve aynı zamanda a ile ortak noktalara sahip olmamalıdır, bu nedenle paralellik aksiyomuna göre b ile çakışmaktadır.
c doğrusu ile aynı düzleme ait olan ve onu kesmeyen, yani b ve c paralel olan, b doğrusuna denk gelen bir b1 doğrusu elde ettik.
- Belirli bir çizgi üzerinde bulunmayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca tek bir düz çizgi geçebilir.
- Üçüncüye dik bir düzlem üzerinde uzanan iki çizgi paraleldir.
- Düzlem iki paralel çizgiden birini keserse, ikinci doğru da aynı düzlemi keser.
- Üçte birlik iki paralel çizginin kesişmesiyle oluşan karşılık gelen ve çapraz uzanan iç açılar eşittir, oluşan tek taraflı iç açıların toplamı 180°'dir.
İki düz çizginin paralelliğinin işaretleri olarak alınabilecek ters ifadeler de doğrudur.
Paralel çizgiler için durum
Yukarıda formüle edilen özellikler ve karakteristikler, çizgilerin paralelliğine ilişkin koşulları temsil eder ve geometri yöntemleri kullanılarak kanıtlanabilirler. Başka bir deyişle, mevcut iki doğrunun paralelliğini kanıtlamak için, bunların üçüncü bir doğruya paralelliğini veya açıların karşılıklı veya çapraz vb. eşitliğini kanıtlamak yeterlidir.
Kanıt olarak çoğunlukla "çelişkili" yöntemini, yani çizgilerin paralel olmadığı varsayımını kullanıyorlar. Bu varsayıma dayanarak, bu durumda belirtilen koşulların ihlal edildiği kolaylıkla gösterilebilir; örneğin, birbirinin üzerine uzanan iç açıların eşit olmadığı ortaya çıkar, bu da yapılan varsayımın yanlışlığını kanıtlar.
İki çizginin paralellik işaretleri
Teorem 1. Eğer iki doğru bir sekantla kesişiyorsa:
çapraz açılar eşittir veya
karşılık gelen açılar eşittir veya
tek taraflı açıların toplamı 180° ise
çizgiler paraleldir(Şekil 1).
Kanıt. Kendimizi durum 1'i kanıtlamakla sınırlıyoruz.
Kesişen a ve b çizgileri çapraz olsun ve AB açıları eşit olsun. Örneğin, ∠ 4 = ∠ 6. a || olduğunu kanıtlayalım. B.
a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. Daha sonra bir M noktasında kesişirler ve bu nedenle 4 veya 6 açılarından biri ABM üçgeninin dış açısı olacaktır. Kesinlik sağlamak için, ABM üçgeninin dış açısı ∠ 4 ve iç açısı ∠ 6 olsun. Bir üçgenin dış açısına ilişkin teoremden ∠ 4'ün ∠ 6'dan büyük olduğu sonucu çıkar ve bu durum, a ve 6 doğrularının kesişemeyeceği, dolayısıyla paralel oldukları anlamına gelen koşulla çelişir.
Sonuç 1. Aynı doğruya dik bir düzlemde iki farklı doğru paraleldir(Şekil 2).
Yorum. Teorem 1'in 1. durumunu kanıtlama şeklimize çelişki yoluyla veya saçmalığa indirgeme yoluyla kanıtlama yöntemi denir. Bu yöntem ilk adını almıştır çünkü tartışmanın başında kanıtlanması gerekenin tersi (zıt) bir varsayımda bulunulmaktadır. Yapılan varsayıma dayanarak akıl yürüterek saçma bir sonuca (saçma) varmamız nedeniyle buna saçmalığa yol açma denir. Böyle bir sonuca varmak bizi başlangıçtaki varsayımı reddetmeye ve kanıtlanması gereken varsayımı kabul etmeye zorlar.
Görev 1. Verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir a doğrusuna paralel olan, M noktasından geçmeyen bir doğru çizin.
Çözüm. M noktasından a düz çizgisine dik bir p düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 3).
Daha sonra M noktasından p doğrusuna dik bir b doğrusu çiziyoruz. Teorem 1'in sonucuna göre b doğrusu a doğrusuna paraleldir.
Ele alınan problemden önemli bir sonuç çıkmaktadır:
Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan verilen doğruya paralel bir doğru çizmek her zaman mümkündür..
Paralel doğruların temel özelliği aşağıdaki gibidir.
Paralel doğrular aksiyomu. Belirli bir doğru üzerinde yer almayan belirli bir noktadan, verilen doğruya paralel yalnızca bir doğru geçer.
Bu aksiyomdan çıkan paralel doğruların bazı özelliklerini ele alalım.
1) Bir doğru iki paralel çizgiden biriyle kesişiyorsa diğeriyle de kesişir (Şekil 4).
2) Eğer iki farklı doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler (Şekil 5).
Aşağıdaki teorem de doğrudur.
Teorem 2. İki paralel doğru bir enine çizgiyle kesişirse:
çapraz açılar eşittir;
karşılık gelen açılar eşittir;
tek taraflı açıların toplamı 180°'dir.
Sonuç 2. Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir(bkz. Şekil 2).
Yorum. Teorem 2, Teorem 1'in tersi olarak adlandırılır. Teorem 1'in sonucu, Teorem 2'nin koşuludur. Ve Teorem 1'in koşulu, Teorem 2'nin sonucudur. Her teoremin tersi yoktur; doğruysa ters teorem yanlış olabilir.
Bunu düşey açılar teoremi örneğini kullanarak açıklayalım. Bu teorem şu şekilde formüle edilebilir: eğer iki açı dikey ise, o zaman eşittirler. Tersi teorem şu şekilde olacaktır: eğer iki açı eşitse, o zaman bunlar dikeydir. Ve bu elbette doğru değil. İki eşit açının dikey olması gerekmez.
Örnek 1.İki paralel çizgi üçte biri ile kesişiyor. Tek taraflı iki iç açı arasındaki farkın 30° olduğu bilinmektedir. Bu açıları bulun.
Çözüm. Şekil 6 koşulu karşılasın.
Bu yazımızda paralel doğrulardan bahsedeceğiz, tanımlarını vereceğiz ve paralelliğin işaretlerini ve koşullarını özetleyeceğiz. Teorik materyali daha net hale getirmek için tipik örneklerin resimlerini ve çözümlerini kullanacağız.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1
Düzlemde paralel çizgiler– bir düzlem üzerinde ortak noktaları olmayan iki düz çizgi.
Tanım 2
Üç boyutlu uzayda paralel çizgiler– üç boyutlu uzayda aynı düzlemde yer alan ve ortak noktaları olmayan iki düz çizgi.
Uzaydaki paralel çizgileri belirlemek için "aynı düzlemde yer alma" ifadesinin son derece önemli olduğunu belirtmek gerekir: üç boyutlu uzayda ortak noktaları olmayan ve aynı düzlemde yer almayan iki çizgi paralel değildir , ancak kesişiyor.
Paralel çizgileri belirtmek için ∥ sembolünün kullanılması yaygındır. Yani verilen a ve b doğruları paralel ise bu durum kısaca şu şekilde yazılmalıdır: a ‖ b. Sözlü olarak doğruların paralelliği şu şekilde gösterilir: a ve b çizgileri paraleldir veya a çizgisi b çizgisine paraleldir veya b çizgisi a çizgisine paraleldir.
İncelenen konuda önemli rol oynayan bir ifade formüle edelim.
Aksiyom
Belirli bir çizgiye ait olmayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel olan tek düz çizgi geçer. Bu ifade planimetrinin bilinen aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamaz.
Uzay hakkında konuştuğumuz durumda teorem doğrudur:
Teorem 1
Uzayda belirli bir çizgiye ait olmayan herhangi bir noktadan geçen, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi olacaktır.
Bu teoremin yukarıdaki aksiyoma (10 - 11. Sınıflar için geometri programı) dayanarak kanıtlanması kolaydır.
Paralellik kriteri, yerine getirilmesi doğruların paralelliğini garanti eden yeterli bir koşuldur. Yani bu şartın gerçekleşmesi paralellik gerçeğinin teyit edilmesi için yeterlidir.
Özellikle düzlemde ve uzayda doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşullar vardır. Şöyle açıklayalım: gerekli, paralel doğrular için yerine getirilmesi gereken koşul; yerine getirilmezse çizgiler paralel değildir.
Özetlemek gerekirse, doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul, doğruların birbirine paralel olması için uyulması gerekli ve yeterli olan bir durumdur. Bu bir yandan paralelliğin işaretidir, diğer yandan paralel doğruların doğasında olan bir özelliktir.
Gerekli ve yeterli koşulun tam formülasyonunu vermeden önce birkaç ek kavramı hatırlayalım.
Tanım 3
Sekant çizgisi– çakışmayan iki doğrunun her birini kesen düz bir çizgi.
İki düz çizgiyi kesen bir çapraz, sekiz gelişmemiş açı oluşturur. Gerekli ve yeterli koşulu formüle etmek için çapraz, karşılık gelen ve tek taraflı açı türlerini kullanacağız. Bunları çizimde gösterelim:
Teorem 2
Bir düzlemdeki iki doğru bir çaprazla kesişiyorsa, verilen doğruların paralel olması için kesişen açıların eşit olması veya karşılık gelen açıların eşit olması veya tek taraflı açıların toplamının eşit olması gerekli ve yeterlidir. 180 derece.
Düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulu grafiksel olarak gösterelim:
Bu koşulların ispatı 7-9.sınıf geometri programında mevcuttur.
Genel olarak bu koşullar, iki doğru ve bir kesenin aynı düzleme ait olmasına rağmen üç boyutlu uzay için de geçerlidir.
Doğruların paralel olduğu gerçeğini kanıtlamak için sıklıkla kullanılan birkaç teoremi daha belirtelim.
Teorem 3
Düzlemde üçüncüye paralel iki doğru birbirine paraleldir. Bu özellik yukarıda belirtilen paralellik aksiyomu temelinde kanıtlanmıştır.
Teorem 4
Üç boyutlu uzayda, üçüncüye paralel iki çizgi birbirine paraleldir.
Bir işaretin ispatı 10.sınıf geometri müfredatında işlenmektedir.
Bu teoremlerin bir örneğini verelim:
Doğruların paralelliğini kanıtlayan bir çift teorem daha verelim.
Teorem 5
Bir düzlemde üçte birine dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
Benzer bir şeyi üç boyutlu uzay için formüle edelim.
Teorem 6
Üç boyutlu uzayda, üçüncüye dik iki çizgi birbirine paraleldir.
Örnekleyelim:
Yukarıdaki teoremlerin, işaretlerin ve koşulların tümü, geometri yöntemlerini kullanarak çizgilerin paralelliğini rahatlıkla kanıtlamayı mümkün kılar. Yani, doğruların paralelliğini kanıtlamak için karşılık gelen açıların eşit olduğu gösterilebilir veya verilen iki doğrunun üçüncüye dik olduğu vb. gösterilebilir. Ancak bir düzlemdeki veya üç boyutlu uzaydaki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için koordinat yöntemini kullanmanın genellikle daha uygun olduğunu unutmayın.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki çizgilerin paralelliği
Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde, düz bir çizgi, olası tiplerden birindeki bir düzlem üzerindeki düz bir çizginin denklemiyle belirlenir. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan bir doğru, uzaydaki bir doğru için bazı denklemlere karşılık gelir.
Verilen doğruları tanımlayan denklem türüne göre dikdörtgen koordinat sistemindeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulları yazalım.
Düzlemdeki doğruların paralelliği koşuluyla başlayalım. Bir doğrunun yön vektörü ve bir düzlemdeki doğrunun normal vektörünün tanımlarına dayanmaktadır.
Teorem 7
Bir düzlemde çakışmayan iki doğrunun paralel olması için, verilen doğruların yön vektörlerinin eşdoğrusal olması veya verilen doğruların normal vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bir doğrunun yön vektörünün birbirine dik olması gerekli ve yeterlidir. diğer doğrunun normal vektörü.
Bir düzlem üzerindeki doğruların paralellik koşulunun, vektörlerin eşdoğrusallık koşuluna veya iki vektörün diklik koşuluna dayandığı açıkça ortaya çıkıyor. Yani, eğer a → = (a x , a y) ve b → = (b x , b y) a ve b doğrularının yön vektörleri ise;
ve n b → = (n b x , n b y) a ve b doğrularının normal vektörleriyse, yukarıdaki gerekli ve yeterli koşulu şu şekilde yazarız: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y veya n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y veya a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , burada t bir gerçek sayıdır. Kılavuzların veya düz vektörlerin koordinatları, düz çizgilerin verilen denklemleriyle belirlenir. Ana örneklere bakalım.
- Dikdörtgen koordinat sistemindeki çizgi a, çizginin genel denklemi ile belirlenir: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; düz çizgi b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. O zaman verilen doğruların normal vektörleri sırasıyla (A 1, B 1) ve (A 2, B 2) koordinatlarına sahip olacaktır. Paralellik koşulunu şu şekilde yazıyoruz:
bir 1 = t bir 2 B 1 = t B 2
- a çizgisi, eğimi y = k 1 x + b 1 biçiminde olan bir çizginin denklemiyle tanımlanır. Düz çizgi b - y = k 2 x + b 2. O halde verilen doğruların normal vektörleri sırasıyla (k 1, - 1) ve (k 2, - 1) koordinatlarına sahip olacak ve paralellik koşulunu şu şekilde yazacağız:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Dolayısıyla dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlem üzerindeki paralel doğrular açısal katsayılı denklemlerle verilirse, verilen doğruların açısal katsayıları eşit olacaktır. Ve tam tersi ifade doğrudur: Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlemdeki çakışmayan çizgiler, aynı açısal katsayılara sahip bir doğrunun denklemleriyle belirleniyorsa, o zaman bu verilen çizgiler paraleldir.
- Dikdörtgen koordinat sistemindeki a ve b çizgileri, düzlemdeki bir çizginin kanonik denklemleriyle belirtilir: x - x 1 a x = y - y 1 a y ve x - x 2 b x = y - y 2 b y veya parametrik denklemlerle: düzlem üzerinde bir çizgi: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y ve x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
O halde verilen doğruların yön vektörleri sırasıyla a x, a y ve b x, b y olacak ve paralellik koşulunu şu şekilde yazacağız:
a x = t b x a y = t b y
Örneklere bakalım.
Örnek 1
İki doğru verilmiştir: 2 x - 3 y + 1 = 0 ve x 1 2 + y 5 = 1. Paralel olup olmadıklarını belirlemek gerekir.
Çözüm
Parçalar halindeki bir doğrunun denklemini genel bir denklem biçiminde yazalım:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
n a → = (2, - 3)'ün 2 x - 3 y + 1 = 0 çizgisinin normal vektörü olduğunu ve n b → = 2, 1 5'in x 1 2 + y 5 çizgisinin normal vektörü olduğunu görüyoruz. = 1.
Ortaya çıkan vektörler eşdoğrusal değildir çünkü eşitliğin doğru olacağı bir tat değeri yoktur:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Dolayısıyla bir düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmamaktadır, yani verilen doğrular paralel değildir.
Cevap: Verilen doğrular paralel değildir.
Örnek 2
y = 2 x + 1 ve x 1 = y - 4 2 doğruları verilmiştir. Bunlar paralel mi?
Çözüm
Düz çizginin kanonik denklemini x 1 = y - 4 2 doğrunun eğimi ile denklemine dönüştürelim:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
y = 2 x + 1 ve y = 2 x + 4 doğrularının denklemlerinin aynı olmadığını (aksi olsaydı doğruların çakışık olacağını) ve doğruların açısal katsayılarının eşit olduğunu yani verilen doğrular paraleldir.
Sorunu farklı şekilde çözmeye çalışalım. Öncelikle verilen doğruların çakışıp çakışmadığını kontrol edelim. y = 2 x + 1 doğrusu üzerindeki herhangi bir noktayı kullanırız, örneğin (0, 1), bu noktanın koordinatları x 1 = y - 4 2 doğrusu denklemine karşılık gelmez, yani doğrular çakışmıyor.
Bir sonraki adım verilen doğruların paralellik koşulunun sağlanıp sağlanmadığının belirlenmesidir.
y = 2 x + 1 çizgisinin normal vektörü n a → = (2 , - 1) vektörüdür ve verilen ikinci doğrunun yön vektörü b → = (1 , 2)'dir. Bu vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşittir:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Böylece vektörler diktir: Bu bize orijinal doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulun yerine geldiğini gösterir. Onlar. verilen doğrular paraleldir.
Cevap: bu çizgiler paraleldir.
Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sistemindeki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için aşağıdaki gerekli ve yeterli koşul kullanılır.
Teorem 8
Üç boyutlu uzayda çakışmayan iki doğrunun paralel olması için bu doğruların yön vektörlerinin eşdoğrusal olması gerekli ve yeterlidir.
Onlar. Üç boyutlu uzayda doğruların denklemleri göz önüne alındığında, paralel olup olmadıkları sorusunun cevabı, verilen doğruların yön vektörlerinin koordinatlarının belirlenmesi ve eşdoğrusallık durumlarının kontrol edilmesiyle bulunur. Başka bir deyişle, a → = (a x, a y, a z) ve b → = (b x, b y, b z) sırasıyla a ve b doğrularının yön vektörleri ise, paralel olmaları için varlığın varlığı Böyle bir gerçek sayının t olması eşitliğin sağlanması için gereklidir:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Örnek 3
x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ve x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ doğruları verilmiştir. Bu doğruların paralelliğini ispatlamak gerekir.
Çözüm
Problemin koşulları uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemleri ve uzaydaki başka bir doğrunun parametrik denklemleri ile verilmektedir. Kılavuz vektörleri bir → ve b → verilen doğruların koordinatları vardır: (1, 0, - 3) ve (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, bu durumda a → = 1 2 · b →.
Sonuç olarak uzayda doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmış olur.
Cevap: Verilen doğruların paralelliği kanıtlanmıştır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Doğruların paralel olduğunun nasıl kanıtlanacağı sorusuyla ilgili bölümde ???? yazar tarafından verilmiştir Alyonka Yakovleva en iyi cevap Paralel çizgilerin özellikleri
Teorem
Üçüncüye paralel iki doğru paraleldir.
Kanıt.
a ve b doğruları c doğrusuna paralel olsun. a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. Sonra bir C noktasında kesişirler. C noktasından c düz çizgisine paralel iki düz çizginin olduğu ortaya çıktı. Ancak bu, "Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan geçerek, düzlem üzerinde verilen çizgiye paralel en fazla bir düz çizgi çizebilirsiniz" aksiyomuyla çelişir. Teorem kanıtlandı.
Teorem
İki paralel doğru üçüncü bir çizgiyle kesişirse kesişen iç açılar eşittir.
Kanıt.
Bir c kesen çizgisiyle kesişen a ve b paralel çizgileri olsun. c doğrusu a doğrusu ile A noktasında ve b doğrusu ile B noktasında kesişir. A noktasından geçen a1 doğrusunu çizelim ki a1 ve b doğruları çapraz c ile eşit iç açılar oluştursun. Doğruların paralelliği kriterine göre a1 ve b doğruları paraleldir. Ve A noktasından b'ye paralel yalnızca bir doğru çizilebildiğinden, a ve a1 çakışır.
Bu, a ve b çizgilerinin oluşturduğu iç çapraz açıların eşit olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.
Teoreme dayanarak kanıtlanmıştır:
İki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesişirse, karşılık gelen açılar eşittir.
İki paralel doğru üçüncü bir çizgiyle kesişirse iç tek taraflı açıların toplamı 180° olur.
