Pusula kullanarak açılar nasıl oluşturulur? Belirli bir açıya eşit bir açı nasıl oluşturulur

İnşaat görevlerinde cetvel ve pergel kullanılarak yapılabilecek geometrik bir figürün yapımını ele alacağız.

Bir cetvel kullanarak şunları yapabilirsiniz:

keyfi düz çizgi;

belirli bir noktadan geçen rastgele bir düz çizgi;

verilen iki noktadan geçen düz çizgi.

Bir pusula kullanarak, belirli bir merkezden belirli bir yarıçapa sahip bir daireyi tanımlayabilirsiniz.

Pusula kullanarak belirli bir noktadan belirli bir doğruya doğru parçası çizebilirsiniz.

Ana inşaat görevlerini ele alalım.

Görev 1. Kenarları a, b, c olan bir üçgen oluşturun (Şekil 1).

Çözüm. Bir cetvel kullanarak rastgele bir düz çizgi çizin ve üzerine rastgele bir B noktası alın. a'ya eşit bir pusula açıklığı kullanarak, merkezi B ve yarıçapı a olan bir daire tanımlıyoruz. Doğru ile kesiştiği nokta C olsun. Pusula açıklığı c'ye eşit olduğunda B merkezinden bir daire, b'ye eşit bir pusula açıklığıyla C merkezinden bir daire tanımlıyoruz. Bu dairelerin kesişme noktası A olsun. ABC üçgeninin kenarları a, b, c'ye eşittir.

Yorum. Üç düz parçanın bir üçgenin kenarları olarak görev yapabilmesi için, bunların en büyüğünün diğer ikisinin toplamından küçük olması gerekir (ve< b + с).

Görev 2.

Çözüm. A köşesi ve OM ışınıyla olan bu açı Şekil 2'de gösterilmektedir.

Merkezi verilen açının A köşe noktasında olacak şekilde rastgele bir daire çizelim. B ve C, dairenin açının kenarlarıyla kesişme noktaları olsun (Şekil 3, a). AB yarıçapı ile, bu ışının başlangıç ​​​​noktası olan O noktasında merkezi olan bir daire çiziyoruz (Şekil 3, b). Bu çemberin bu ışınla kesişme noktasını C 1 olarak gösterelim. Merkezi C1 ve yarıçapı BC olan bir çember tanımlayalım. İki dairenin kesişimindeki B1 noktası istenilen açının yanında yer alır. Bu, Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti) eşitliğinden kaynaklanır.

Görev 3. Bu açının açıortayını oluşturun (Şekil 4).

Çözüm. Belirli bir açının A köşesinden, merkezden olduğu gibi, isteğe bağlı yarıçaplı bir daire çizeriz. Açının kenarlarıyla kesişme noktaları B ve C olsun. B ve C noktalarından aynı yarıçapa sahip daireleri tanımlıyoruz. A'dan farklı olarak bunların kesişme noktası D olsun. AD ışını A açısını ikiye böler. Bu, Δ ABD = Δ ACD eşitliğinden kaynaklanır (üçgenlerin eşitliği için üçüncü kriter).

Görev 4. Bu parçaya dik bir açıortay çizin (Şekil 5).

Çözüm. Rasgele fakat özdeş bir pusula açıklığı (1/2 AB'den daha büyük) kullanarak, A ve B noktalarında merkezleri olan ve bazı C ve D noktalarında birbirleriyle kesişecek iki yay tanımlarız. CD düz çizgisi istenen dik olacaktır. Nitekim yapıdan da anlaşılacağı üzere C ve D noktalarının her biri A ve B'ye eşit uzaklıkta; bu nedenle bu noktalar AB doğru parçasına dik açıortay üzerinde yer almalıdır.

Görev 5. Bu segmenti ikiye bölün. Problem 4 ile aynı şekilde çözülür (bkz. Şekil 5).

Görev 6. Belirli bir noktadan, verilen çizgiye dik bir çizgi çizin.

Çözüm. İki olası durum vardır:

1) belirli bir O noktası belirli bir düz çizgi üzerinde yer alır a (Şekil 6).

O noktasından A ve B noktalarında a çizgisiyle kesişen rastgele yarıçaplı bir daire çiziyoruz. A ve B noktalarından aynı yarıçapa sahip daireler çiziyoruz. O'dan farklı olarak bunların kesişme noktası O 1 olsun. OO 1 ⊥ AB elde ederiz. Gerçekte, O ve O 1 noktaları AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta bulunmaktadır ve dolayısıyla bu parçaya dik açıortay üzerinde yer almaktadır.

Ev tasarımı projeleri inşa ederken veya geliştirirken, genellikle mevcut olana eşit bir açı oluşturmak gerekir. Şablonlar ve okul geometri bilgisi kurtarmaya geliyor.

Talimatlar

• Bir noktadan çıkan iki doğrunun oluşturduğu açıya açı denir. Bu noktaya açının tepe noktası adı verilecek ve çizgiler açının kenarları olacaktır.
• Köşeleri temsil etmek için üç harf kullanın: biri üstte, ikisi yanlarda. Açı, bir taraftaki harften başlanarak isimlendirilir, ardından tepe noktasındaki harf, ardından diğer taraftaki harf adlandırılır. Aksini tercih ederseniz açıları belirtmek için başka yollar kullanın. Bazen üstte olan yalnızca bir harf adlandırılır. Ve açıları Yunan harfleriyle, örneğin α, β, γ ile belirtebilirsiniz.
• Zaten verilen bir açıya eşit olacak şekilde bir açı çizmenin gerekli olduğu durumlar vardır. Çizim yaparken iletki kullanmak mümkün değilse, yalnızca cetvel ve pusula ile idare edebilirsiniz. Diyelim ki çizimde MN harfleriyle işaretlenmiş bir düz çizgi üzerinde, K noktasında B açısına eşit olacak bir açı oluşturmanız gerekiyor. Yani K noktasından bir açı oluşturan düz bir çizgi çizmeniz gerekiyor. MN çizgisiyle B açısına eşit olacak açı.
• Öncelikle belirli bir açının her iki yanında bir nokta işaretleyin, örneğin A ve C noktaları, ardından C ve A noktalarını düz bir çizgiyle birleştirin. ABC üçgenini alın.
• Şimdi aynı üçgeni MN doğrusu üzerinde, köşesi B noktası K noktasında olacak şekilde çizin. Üç kenarlı bir üçgen oluşturma kuralını kullanın. KL doğru parçasını K noktasından ayırın. BC segmentine eşit olmalıdır. L noktasını alın.
• K noktasından yarıçapı BA doğru parçasına eşit olan bir daire çizin. L'den CA yarıçaplı bir daire çizin. İki dairenin kesişme noktasını (P) K ile birleştirin. ABC üçgenine eşit olacak KPL üçgenini elde edin. Bu şekilde K açısını elde edeceksiniz. B açısına eşit olacaktır. Bu yapıyı daha rahat ve daha hızlı hale getirmek için, B köşesinden eşit bölümler ayırın, bir pusula açıklığı kullanarak, bacakları hareket ettirmeden, aynı yarıçapa sahip bir daire tanımlayın. K noktasından

Çoğu zaman, belirli bir açıya eşit bir açı çizmek ("inşa etmek") gerekir ve inşaat, bir iletki yardımı olmadan, yalnızca bir pusula ve bir cetvel kullanılarak yapılmalıdır. Üç tarafı olan bir üçgenin nasıl oluşturulacağını bildiğimiz için bu sorunu çözebiliriz. Düz bir çizgide olmasına izin ver MN(Şekil 60 ve 61) noktada inşa edilmesi gerekmektedir. k açı açıya eşit B. Bu şu noktadan itibaren gerekli olduğu anlamına gelir k bir bileşenle düz bir çizgi çizin MN açı eşit B.

Bunu yapmak için belirli bir açının her iki tarafında bir nokta işaretleyin; örneğin A Ve İLE ve bağlanın A Ve İLE düz. Bir üçgen elde ediyoruz ABC. Şimdi düz bir çizgi çizelim MN bu üçgenin tepe noktası olacak şekilde İÇİNDE o noktadaydı İLE: o zaman bu noktada açıya eşit bir açı oluşturulacaktır İÇİNDE. Üç kenarı kullanarak bir üçgen oluşturun VS, VA Ve AC nasıl olduğunu biliyoruz: noktadan itibaren erteliyoruz (Şekil 62) İLEçizgi segmenti KL, eşit Güneş; bir puan aldık L; etrafında k merkeze yakın olduğu için yarıçapı olan bir daire tanımlıyoruz VA, Ve çevresinde L – yarıçap SA. Tam durak R dairelerin kesişme noktalarını birbirine bağlarız İLE ve Z, bir üçgen elde ediyoruz KPL, bir üçgene eşit ABC; içinde bir köşe var İLE= ug. İÇİNDE.

Bu inşaat üstten yapılırsa daha hızlı ve daha rahat gerçekleştirilir. İÇİNDE eşit parçalar yerleştirin (pusulanın bir kez çözülmesiyle) ve bacaklarını hareket ettirmeden, aynı yarıçapa sahip noktanın etrafında bir daire tanımlayın İLE, merkeze yakın gibi.

Bir köşe nasıl ikiye bölünür?

Diyelim ki bir açıyı bölmemiz gerekiyor A(Şek. 63) iletki kullanmadan pergel ve cetvel kullanarak iki eşit parçaya bölün. Size bunu nasıl yapacağınızı göstereceğiz.

Üstten A açının kenarlarına eşit parçalar koy AB Ve AC(Diyagram 64; bu sadece pusulanın eritilmesiyle yapılır). Daha sonra pusulanın ucunu noktalara yerleştiriyoruz. İÇİNDE Ve İLE ve noktada kesişen eşit yarıçaplı yayları tanımlayın D. Düz bağlantı A ve D açıyı böler A yarısında.

Bunun neden olduğunu açıklayalım. Eğer nokta D ile bağlantı İÇİNDE ve C (Şek. 65), sonra iki üçgen elde edersiniz ADC Ve ADB, y ortak bir yanı olan reklam; taraf AB kenara eşit AC, A VA eşittir CD.Üçgenlerin üç tarafı da eşittir, yani açıları da eşittir. KÖTÜ Ve DAC, eşit tarafların karşısında uzanmak VA Ve CD. Bu nedenle düz reklam açıyı böler SEN yarısında.

Uygulamalar

12. İletki olmadan 45°'lik bir açı oluşturun. 22°30’da. 67°30'da.

Çözüm: Dik açıyı ikiye bölerek 45° açıyı elde ederiz. 45°'lik açıyı ikiye bölerek 22°30' açıyı elde ederiz. 45° + 22°30' açılarının toplamını oluşturduğumuzda 67°30' açısını elde ederiz.

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgen nasıl oluşturulur?

Diyelim ki iki kilometre taşı arasındaki mesafeyi yerde bulmanız gerekiyor A Ve İÇİNDE(Şeytan 66), geçilmez bir bataklıkla ayrılmış.

Nasıl yapılır?

Bunu yapabiliriz: bataklıktan uzakta bir nokta seçin İLE, her iki kilometre taşının da görülebildiği ve mesafelerin ölçülebildiği yerden AC Ve Güneş. Köşe İLEözel bir gonyometrik cihaz (strol bi e adı verilen) kullanarak ölçüm yapıyoruz. Bu verilere göre yani ölçülen taraflara göre AC. Ve Güneş ve köşe İLE aralarında bir üçgen oluşturalım ABC aşağıdaki gibi uygun arazide bir yerde. Örneğin, bilinen bir tarafı düz bir çizgide ölçtükten sonra (Şek. 67), AC, bu noktada onunla inşa edin İLE köşe İLE; bu açının diğer tarafında bilinen taraf ölçülür Güneş. Bilinen tarafların uçları, yani noktalar A Ve İÇİNDE düz bir çizgiyle bağlanır. Sonuç, iki tarafın ve aralarındaki açının önceden belirtilen boyutlara sahip olduğu bir üçgendir.

Yapım yönteminden, iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak yalnızca bir üçgenin oluşturulabileceği açıktır. bu nedenle, bir üçgenin iki kenarı diğerinin iki kenarına eşitse ve bu kenarlar arasındaki açılar aynıysa, bu tür üçgenler tüm noktalarda üst üste bindirilebilir, yani. üçüncü kenarları ve diğer açıları da eşit olmalıdır. Bu, üçgenlerin iki tarafının eşitliğinin ve aralarındaki açının bu üçgenlerin tam eşitliğinin bir işareti olabileceği anlamına gelir. Kısacası:

Üçgenlerin her iki tarafı da eşittir ve aralarındaki açı vardır.

Dersin Hedefleri:

• Çalışılan materyali analiz etme yeteneğinin ve problem çözmek için uygulama becerilerinin oluşturulması;
• Çalışılan kavramların önemini gösterin;
• Bilgi edinmede bilişsel aktivitenin ve bağımsızlığın geliştirilmesi;
• Konuya olan ilgiyi ve güzellik duygusunu geliştirmek.

Dersin Hedefleri:

• Ölçek cetveli, pergel, iletki ve çizim üçgeni kullanarak verilen açıya eşit bir açı oluşturma becerilerini geliştirin.
• Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.

Ders planı:

1. Tekrarlama.
2. Belirli bir açıya eşit bir açı oluşturmak.
3. Analiz.
4. İlk önce inşaat örneği.
5. İkinci inşaat örneği.

Tekrarlama.

Köşe.

Düz açı- bir noktadan (açının tepe noktasından) çıkan iki ışının (bir açının kenarları) oluşturduğu sınırsız bir geometrik şekil.

Açı aynı zamanda bu ışınlar arasında kalan düzlemin tüm noktaları tarafından oluşturulan bir şekil olarak da adlandırılır (Genel olarak konuşursak, bu tür iki ışın, düzlemi iki parçaya böldükleri için iki açıya karşılık gelir. Bu açılardan birine geleneksel olarak iç denir ve bu açılardan birine geleneksel olarak denir. diğer - harici.
Bazen, kısaca belirtmek gerekirse, açıya açısal ölçü denir.

Bir açıyı belirtmek için genel olarak kabul edilen bir sembol vardır: 1634'te Fransız matematikçi Pierre Erigon tarafından önerilmiştir.

Köşe bir O noktasından (açının tepe noktası) çıkan iki OA ve OB ışınından (açının kenarları) oluşan geometrik bir şekildir (Şekil 1).

Bir açı, ışınların uçlarını ve açının tepe noktasını gösteren bir sembol ve üç harfle gösterilir: AOB (ve tepe noktasının harfi ortadakidir). Açılar, OA ışınının, O köşesi etrafında, OA ışını OB konumuna hareket edene kadar dönme miktarıyla ölçülür. Açıları ölçmek için yaygın olarak kullanılan iki birim vardır: radyan ve derece. Açıların radyan ölçümü için aşağıdaki “Yay Uzunluğu” paragrafına ve ayrıca “Trigonometri” bölümüne bakın.

Açıları ölçmek için derece sistemi.

Burada ölçü birimi bir derecedir (tanımı °'dir) - bu, ışının tam devrimin 1/360'ı kadar dönmesidir. Böylece ışının tam dönüşü 360 o olur. Bir derece 60 dakikaya bölünür (' sembolü); bir dakika – sırasıyla 60 saniye boyunca (tanım “). 90°'lik açıya (Şek. 2) sağ denir; 90°'den küçük bir açıya (Şekil 3) dar açı denir; 90°'den büyük bir açıya (Şekil 4) geniş açı denir.

Dik açı oluşturan düz çizgilere karşılıklı dik denir. AB ve MK çizgileri dik ise, bu şu şekilde gösterilir: AB MK.

Belirli bir açıya eşit bir açı oluşturmak.

İnşaata başlamadan veya herhangi bir sorunu çözmeye başlamadan önce, konusu ne olursa olsun, yapmanız gerekenler analiz. Ödevin ne dediğini anlayın, dikkatlice ve yavaşça okuyun. İlk seferden sonra şüpheleriniz varsa veya bir şey açık veya net değilse de tam olarak anlaşılamadıysa, tekrar okumanız tavsiye edilir. Sınıfta bir ödev yapıyorsanız öğretmene sorabilirsiniz. Aksi takdirde yanlış anladığınız görev doğru bir şekilde çözülemeyebilir veya sizden beklenenin dışında bir şey bularak yanlış sayılacak ve yeniden yapmak zorunda kalabilirsiniz. Bence - Görevi yeniden yapmaktansa, görevi incelemek için biraz daha fazla zaman harcamak daha iyidir.

Analiz.

A köşesine sahip belirli bir ışın ve (ab) açısı da istenen açı olsun. a ve b ışınları üzerinde sırasıyla B ve C noktalarını seçelim. B ve C noktalarını birleştirerek ABC üçgenini elde ederiz. Eş üçgenlerde karşılık gelen açılar eşittir ve yapım yöntemi burada izlenir. Belirli bir açının kenarlarında uygun bir şekilde C ve B noktalarını seçersek ve belirli bir ışından belirli bir yarım düzleme ABC'ye eşit bir AB 1 C 1 üçgeni oluşturursak (ve bunu biliyorsak yapılabilir) üçgenin tüm kenarları), o zaman sorun çözülecektir.

Herhangi bir işlemi gerçekleştirirken yapılar Son derece dikkatli olun ve tüm inşaatları dikkatli bir şekilde yapmaya çalışın. Herhangi bir tutarsızlık bazı hatalara, sapmalara neden olabileceğinden, bu da yanlış cevaba yol açabilir. Ve eğer bu tür bir görev ilk kez gerçekleştiriliyorsa, hatanın bulunması ve düzeltilmesi çok zor olacaktır.

İlk önce inşaat örneği.

Merkezi bu açının tepe noktasında olacak şekilde bir daire çizelim. B ve C çemberin açının kenarlarıyla kesişme noktaları olsun. AB yarıçaplı, merkezi bu ışının başlangıç ​​noktası olan A 1 noktasında olan bir daire çiziyoruz. Bu çemberin bu ışınla kesişme noktasını B 1 olarak gösterelim. Merkezi B1 ve yarıçapı BC olan bir çember tanımlayalım. Belirtilen yarım düzlemde oluşturulan dairelerin kesişme noktası Cı istenilen açının yanında yer alır.

ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin üç tarafı eşittir. A ve A 1 açıları bu üçgenlerin karşılık gelen açılarıdır. Bu nedenle, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Daha fazla netlik sağlamak için aynı yapıları daha ayrıntılı olarak düşünebilirsiniz.

İkinci inşaat örneği.

Görev ayrıca, belirli bir yarım çizgiden belirli bir yarım düzleme belirli bir açıya eşit bir açıyı bir kenara koymaktır.

Yapı.

Aşama 1. Rastgele bir yarıçapa sahip ve merkezleri belirli bir açının A köşesinde olan bir daire çizelim. B ve C çemberin açının kenarlarıyla kesişme noktaları olsun. Ve BC doğru parçasını çizelim.

Adım 2. Bu yarım çizginin başlangıç ​​noktası olan O noktasında merkezi olan AB yarıçaplı bir daire çizelim. Çemberin ışınla kesişme noktasını B 1 olarak gösterelim.

Aşama 3.Şimdi merkezi B 1 ve yarıçapı BC olan bir çember tanımlıyoruz. C1 noktasının belirtilen yarım düzlemde oluşturulan dairelerin kesişimi olmasına izin verin.

Adım 4. O noktasından C1 noktasına kadar bir ışın çizelim. C 1 OB 1 açısı istenilen açı olacaktır.

Kanıt.

ABC ve OB 1 C 1 üçgenleri karşılık gelen kenarları olan eş üçgenlerdir. Dolayısıyla CAB ve C 1 OB 1 açıları eşittir.

İlginç gerçek:

Sayılarla.

Çevrenizdeki dünyanın nesnelerinde, öncelikle bir nesneyi diğerinden ayıran bireysel özelliklerini fark edersiniz.

Belirli, bireysel özelliklerin bolluğu, kesinlikle tüm nesnelerin doğasında bulunan genel özellikleri gizler ve bu nedenle bu tür özelliklerin tespit edilmesi her zaman daha zordur.

Nesnelerin en önemli genel özelliklerinden biri de tüm nesnelerin sayılabilir ve ölçülebilir olmasıdır. Nesnelerin bu genel özelliğini sayı kavramına da yansıtıyoruz.

İnsanlar, varoluşları için ısrarlı bir mücadele içinde, yüzyıllar boyunca, çok yavaş bir şekilde, sayma sürecine, yani sayı kavramına hakim oldular.

Sayabilmek için kişinin yalnızca sayılabilen nesnelere sahip olması değil, aynı zamanda bu nesneleri sayı dışında diğer tüm özelliklerinden ele alırken zaten soyutlama yeteneğine de sahip olması gerekir ve bu yetenek, deneyime dayalı uzun bir tarihsel gelişimin sonucudur. .

Artık her insan sayıların yardımıyla saymayı, çocukluğunda fark edilmeden, konuşmaya başladığı zamanla hemen hemen aynı anda öğreniyor, ancak aşina olduğumuz bu sayma, uzun bir gelişim süreci geçirmiş ve farklı biçimler almıştır.

Nesneleri saymak için yalnızca iki rakamın kullanıldığı bir zaman vardı: bir ve iki. Sayı sisteminin daha da genişletilmesi sürecinde, başta parmaklar olmak üzere insan vücudunun bazı kısımları dahil edildi ve bu tür "sayılar" yeterli değilse, o zaman sopalar, çakıl taşları ve diğer şeyler de dahil edildi.

N. N. Miklouho-Maclay onun kitabında "Geziler" Yeni Gine yerlilerinin kullandığı komik bir sayma yönteminden bahsediyor:

Sorular:

1. Açıyı tanımlayın?
2. Ne tür açılar var?
3. Çap ve yarıçap arasındaki fark nedir?

Kullanılan kaynakların listesi:

1. Mazur K. I. “M. I. Skanavi tarafından düzenlenen koleksiyonun matematikteki ana rekabet problemlerini çözme”
2. Matematiksel anlayış. B.A. Kordemsky. Moskova.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: eğitim kurumları için ders kitabı”

Ders üzerinde çalıştım:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Modern eğitim hakkında bir soru sorabilir, bir fikri ifade edebilir veya acil bir sorunu çözebilirsiniz. Eğitim forumu Yeni düşünce ve eylemden oluşan bir eğitim konseyinin uluslararası alanda toplandığı yer. Yarattıktan Blog, Yalnızca yetkin bir öğretmen olarak statünüzü geliştirmekle kalmayacak, aynı zamanda geleceğin okulunun gelişimine de önemli bir katkı sağlayacaksınız. Eğitim Liderleri Birliğiüst düzey uzmanlara kapıları açar ve onları dünyanın en iyi okullarını yaratma konusunda işbirliği yapmaya davet eder.