− Öğretmen Dumbadze V.A.
St.Petersburg'un Kirov bölgesinin 162 numaralı okulundan.

VKontakte grubumuz
Mobil uygulamalar:

(Nerede X T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre). Anlık hızını (m/s cinsinden) bulun T= 9 sn.

Şu tarihte: T= 9 saniye elimizde:

Orijinal denklemde neden 17 sayısını çıkarıyoruz?

Orijinal fonksiyonun türevini bulun.

türevde 17 sayısı yoktur

Türevi neden bulmalı?

Hız, bir koordinatın zamana göre türevidir.

Sorun sizden hızı bulmanızı istiyor

X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre). Anlık hızını (m/s) cinsinden bulun T= 6 sn.

Hız değişimi yasasını bulalım:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, 20 değil

prosedürü hatırla

Ne zamandan beri toplama, çıkarmaya tercih ediliyor?

Çarpma, toplama ve çıkarmaya göre önceliklidir. Çocukların okul örneğini hatırlayın: 2 + 2 · 2. Burada bazılarının düşündüğü gibi 8 değil 6 çıktığını hatırlatmama izin verin.

Konuğun cevabını anlamadınız.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Yani her şey doğru, matematiği kendiniz yapın.

2) çarpma/bölme (denklemdeki sıraya göre değişir; önce gelen çözülür);

3) toplama/çıkarma (benzer şekilde örnekteki sıraya bağlıdır).

Çarpma = bölme, toplama = çıkarma =>

54 - (36+2) değil, 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Öncelikle sizin için - Sergei Batkovich. İkincisi, ne söylemek istediğinizi ve kime söylemek istediğinizi anladınız mı? Seni anlamadım.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder (burada x, metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t ise hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir). s anındaki hızını (m/s) cinsinden bulun.

Hız değişimi yasasını bulalım: m/s. Sahip olduğumuzda:

Konuyla ilgili ders: “Farklılaşma kuralları”, 11. sınıf

Bölümler: Matematik

Ders türü: bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

Dersin Hedefleri:

eğitici:
- türevi bulma konusundaki materyali genelleştirmek ve sistematikleştirmek;
- farklılaşma kurallarını pekiştirmek;
- öğrencilere konunun teknik ve uygulamalı önemini ortaya koymak;
gelişmekte:
- bilgi ve becerilerin kazanılması üzerinde kontrol uygulamak;
- bilgiyi değişen bir durumda uygulama yeteneğini geliştirmek ve geliştirmek;
- bir konuşma kültürü ve sonuç çıkarma ve genelleme yeteneği geliştirmek;
eğitici:
- bilişsel süreci geliştirmek;
- Öğrencilere tasarım ve kararlılıkta doğruluk aşılamak.

Teçhizat:

tepegöz, ekran;
kartlar;
bilgisayarlar;
masa;
multimedya sunumları şeklinde farklılaştırılmış görevler.

I. Ödevleri kontrol etmek.

1. Türevlerin kullanım örneklerine ilişkin öğrenci raporlarını dinleyin.

2. Öğrenciler tarafından önerilen fizik, kimya, mühendislik ve diğer alanlarda türevlerin kullanımına ilişkin örnekleri düşünün.

II. Bilginin güncellenmesi.

Öğretmen:

Bir fonksiyonun türevini tanımlayın.
Hangi işleme farklılaşma denir?
Türev hesaplanırken hangi türev alma kuralları kullanılır? (İstenen öğrenciler kurula davet edilir.).
- toplamın türevi;
- işin türevi;
- sabit faktör içeren türev;
- bölümün türevi;
- karmaşık bir fonksiyonun türevi;
Türev kavramına yol açan uygulamalı problemlere örnekler verin.

Bilimin çeşitli alanlarından bir takım özel problemler.

Görev No.1. Cisim x(t) kanununa göre düz bir çizgide hareket etmektedir. Bir cismin t anında hızını ve ivmesini bulma formülünü yazın.

Görev No.2. R çemberinin yarıçapı R = 4 + 2t 2 yasasına göre değişir. Alanının değişme hızını belirleyin V moment t = 2 sn. Bir dairenin yarıçapı santimetre cinsinden ölçülür. Cevap: 603 cm2/s.

Görev No.3. Kütlesi 5 kg olan maddi bir nokta kanuna göre doğrusal olarak hareket etmektedir.

S(t) = 2t+ , nerede S- metre cinsinden mesafe, T– saniye cinsinden süre. Şu anda noktaya etki eden kuvveti bulun t = 4 sn.

Cevap: N.

Görev No.4. Fren tarafından tutulan volan arkaya döner bu 3t - 0,1t2 (rad) açıyla. Bulmak:

a) t anında volanın açısal dönüş hızı = 7 İle;
b) volanın hangi noktada duracağı.

Cevap: a) 2,86; b) 150 sn.

Türevi kullanma örnekleri aynı zamanda bulma problemleri de olabilir: belirli bir cismin maddesinin özgül ısı kapasitesi, cismin doğrusal yoğunluğu ve kinetik enerjisi, vb.

III. Farklılaştırılmış görevlerin yerine getirilmesi.

“A” seviyesi görevleri tamamlamak isteyenler bilgisayar başına oturup programlı cevaplı bir testi tamamlıyorlar. ( Başvuru. )

1. Fonksiyonun x 0 = 3 noktasındaki türevinin değerini bulun.

2. y = xe x fonksiyonunun x 0 = 1 noktasındaki türevinin değerini bulun.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1) ise f / (x) = 0 denklemini çözün.

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x) ise f/(1)'i hesaplayın.

5. f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) fonksiyonunun t0 = 1 noktasında türevinin değerini bulun.

6. Nokta şu yasaya göre doğrusal olarak hareket eder: S(t) = t 3 – 3t 2. Bu noktanın t zamanındaki hareket hızını belirten bir formül seçin.

1) t 2 – 2 t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6 t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Türevlerin fizik, teknoloji, biyoloji ve yaşamdaki uygulamaları

Ders için sunum

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Ders türü: Birleşik.

Dersin amacı: Türevlerin fizik, kimya ve biyolojinin çeşitli alanlarındaki uygulamalarının bazı yönlerini incelemek.

Görevler:öğrencilerin ufkunu ve bilişsel faaliyetlerini genişletmek, mantıksal düşünmeyi ve bilgilerini uygulama yeteneğini geliştirmek.

Teknik Destek: etkileşimli tahta; bilgisayar ve disk.

I. Organizasyon anı

II. Ders hedefi belirleme

– Sovyet matematikçi ve gemi yapımcısı Alexei Nikolaevich Krylov'un sloganı altında bir ders vermek istiyorum: "Uygulamasız teori ölü veya işe yaramaz, teorisiz pratik ise imkansız veya zararlıdır."

– Temel kavramları gözden geçirelim ve soruları cevaplayalım:

– Bana türevin temel tanımını söyler misiniz?
– Türev (özellikler, teoremler) hakkında ne biliyorsunuz?
– Fizik, matematik ve biyolojide türevlerin kullanıldığı problem örneklerini biliyor musunuz?

Bir türevin temel tanımının ve mantığının dikkate alınması (ilk sorunun cevabı):

Türev – Matematiğin temel kavramlarından biri. Türevleri kullanarak problemleri çözme yeteneği, teorik materyal hakkında iyi bilgi sahibi olmayı ve çeşitli durumlarda araştırma yapma becerisini gerektirir.

Bu nedenle, bugün derste edinilen bilgileri pekiştirip sistematik hale getireceğiz, her grubun çalışmalarını gözden geçirip değerlendireceğiz ve bazı problemlerin örneğini kullanarak, diğer problemleri ve standart dışı problemleri çözmek için türevin nasıl kullanılacağını göstereceğiz. türevi.

III. Yeni malzemenin açıklaması

1. Anlık güç, işin zamana göre türevidir:

W = lim ΔA/Δt ΔA – iş değişikliği.

2. Bir cisim bir eksen etrafında dönüyorsa dönme açısı zamanın bir fonksiyonudur T
O halde açısal hız şuna eşittir:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ T → 0

3. Mevcut güç bir türevdir Ι = lim Δg/Δt = g', Nerede G– zaman içinde bir iletkenin kesiti boyunca aktarılan pozitif elektrik yükü Δt.

4. İzin ver ΔQ– sıcaklığı değiştirmek için gereken ısı miktarı Δt o zaman zaman lim ΔQ/Δt = Q′ = C –özısı.

5. Kimyasal reaksiyonun hızıyla ilgili problem

m(t) – m(t0) – zamanla reaksiyona giren madde miktarı t0önce T

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Radyoaktif maddenin kütlesi m olsun. Radyoaktif bozunma oranı: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

Farklılaştırılmış biçimde, radyoaktif bozunma yasası şu şekildedir: dN/dt = – λN, Nerede N– zamanla bozulmamış çekirdeklerin sayısı T.

Bu ifadenin integralini alırsak şunu elde ederiz: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = sabit en t = 0 radyoaktif çekirdek sayısı N = Hayır0, buradan elimizde: ln N0 = sabit, buradan

n N = – λt + ln N0.

Bu ifadeyi kuvvetlendirerek şunu elde ederiz:

– radyoaktif bozunma yasası, burada Hayır– aynı anda çekirdek sayısı t0 = 0, N– zaman içinde bozulmayan çekirdeklerin sayısı T.

7. Newton'un ısı transfer denklemine göre ısı akış hızı dQ/dt pencere alanı S ve iç ve dış cam arasındaki sıcaklık farkı ΔT ile doğru orantılı ve kalınlığı d ile ters orantılıdır:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Difüzyon olgusu bir denge dağılımı oluşturma sürecidir

Konsantrasyon aşamaları içinde. Difüzyon, konsantrasyonları eşitleyerek yana doğru gider.

m = D Δc/Δx c – konsantrasyon
m = D c׳x x – koordinat, D - difüzyon katsayısı

9. Bir elektrik alanının ya elektrik yüklerini ya da tek bir kaynağı olan elektrik akımı olan bir manyetik alanı uyardığı biliniyordu. James Clark Maxwell, kendisinden önce keşfedilen elektromanyetizma yasalarında bir değişiklik yaptı: Elektrik alanı değiştiğinde manyetik alan da ortaya çıkıyor. Görünüşte küçük bir değişikliğin çok büyük sonuçları oldu: tamamen yeni bir fiziksel nesne, sadece kalemin ucunda da olsa, bir elektromanyetik dalga ortaya çıktı. Maxwell, varlığının mümkün olduğunu düşünen Faraday'ın aksine, elektrik alanı denklemini ustalıkla türetmiştir:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = sabit t

Elektrik alanındaki bir değişiklik, uzayın herhangi bir noktasında manyetik alanın ortaya çıkmasına neden olur; diğer bir deyişle, elektrik alanın değişim hızı, manyetik alanın büyüklüğünü belirler. Daha büyük elektrik akımı altında daha büyük bir manyetik alan oluşur.

IV. Öğrenilenlerin pekiştirilmesi

– Sen ve ben türevi ve özelliklerini inceledik. Gilbert'in felsefi ifadesini okumak isterim: "Her insanın belirli bir bakış açısı vardır. Bu ufuk sonsuz derecede daraldığında bir noktaya dönüşür. Sonra kişi bunun kendi bakış açısı olduğunu söylüyor.”
Türevin uygulanmasına ilişkin bakış açısını ölçmeye çalışalım!

"Yaprak" ın konusu(biyoloji, fizik, yaşamda türevin kullanımı)

Düşüşü zamana bağlı düzensiz bir hareket olarak düşünelim.

Bu yüzden: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teorik araştırma: türevin mekanik anlamı).

1. Problem çözme

Sorunları kendiniz çözün.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Porton II yasasını yazalım ve türevin mekanik anlamını da hesaba katarak onu şu şekilde yeniden yazalım: F = mV' F = mS'

"Kurtlar, Sincaplar" filminin konusu

Denklemlere dönelim: Üstel büyüme ve azalmanın diferansiyel denklemlerini düşünün: F = ma F = mV’ F = mS"
Fizik, teknik biyoloji ve sosyal bilimlerdeki pek çok problemin çözümü, fonksiyon bulma problemine indirgenmektedir. f"(x) = kf(x), diferansiyel denklemin karşılanması, burada k = sabit .

İnsan Formülü

Bir insan bir yıldızdan küçük olduğu kadar atomdan da kat kat daha büyüktür:

Şunu takip ediyor
İnsanın evrendeki yerini belirleyen formül budur. Buna göre insanın büyüklüğü, bir yıldız ile bir atomun ortalama orantılılığını temsil etmektedir.

Dersi Lobaçevski'nin sözleriyle bitirmek istiyorum: "Ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyanın fenomenlerine uygulanamayacak tek bir matematik alanı yoktur."

V. Koleksiyondaki sayıların çözümü:

Tahtada bağımsız problem çözme, problem çözümlerinin kolektif analizi:

№ 1 Noktanın hareketi s = t^2 –11t + 30 denklemiyle veriliyorsa, maddi bir noktanın 3. saniye sonundaki hareket hızını bulun.

№ 2 Nokta s = 6t – t^2 yasasına göre doğrusal olarak hareket eder. Hangi anda hızı sıfır olacak?

№ 3 İki cisim doğrusal olarak hareket eder: biri s = t^3 – t^2 – 27t kanununa göre, diğeri s = t^2 + 1 kanununa göre. Bu cisimlerin hızlarının eşit olduğu anı belirleyin .

№ 4 30 m/s hızla hareket eden bir araba için fren mesafesi s(t) = 30t-16t^2 formülüyle belirlenir; burada s(t) metre cinsinden mesafe, t saniye cinsinden frenleme süresidir. . Araç tamamen durana kadar fren yapmak ne kadar sürer? Araç, fren yapmaya başladığı andan tamamen durana kadar ne kadar yol katedecektir?

№5 Ağırlığı 8 kg olan bir cisim s = 2t^2+ 3t – 1 kanununa göre doğrusal olarak hareket etmektedir. Hareketin başlamasından 3 saniye sonra cismin kinetik enerjisini (mv^2/2) bulun.

Çözüm: Vücudun herhangi bir andaki hareket hızını bulalım:
V = ds / dt = 4t + 3
t = 3 anındaki cismin hızını hesaplayalım:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
t = 3 anındaki cismin kinetik enerjisini belirleyelim:
mv2/2 = 8 – 15^2/2 = 900 (J).

№6 Kütlesi 25 kg ise ve hareket kanunu s = 3t^2- 1 şeklindeyse, hareketin başlamasından 4 s sonra cismin kinetik enerjisini bulun.

№7 Kütlesi 30 kg olan bir cisim s = 4t^2 + t kanununa göre doğrusal olarak hareket etmektedir. Bir cismin hareketinin sabit bir kuvvetin etkisi altında gerçekleştiğini kanıtlayın.
Çözüm: Elimizde s' = 8t + 1, s” = 8 var. Dolayısıyla a(t) = 8 (m/s^2), yani belirli bir hareket yasasıyla cisim 8 m'lik sabit ivmeyle hareket eder. /s^2. Ayrıca cismin kütlesi sabit olduğundan (30 kg), Newton'un ikinci yasasına göre ona etki eden kuvvet de F = ma = 30 * 8 = 240 (H) sabit bir değerdir.

№8 Ağırlığı 3 kg olan bir cisim s(t) = t^3 – 3t^2 + 2 yasasına göre doğrusal olarak hareket etmektedir. t = 4s anında cisme etki eden kuvveti bulunuz.

№9 Maddi bir nokta s = 2t^3 – 6t^2 + 4t yasasına göre hareket eder. 3. saniyenin sonundaki ivmesini bulun.

VI. Türevin matematikte uygulanması:

Matematikte türev, aynı noktada bulunan bir niceliğin çeşitli koşulların etkisi altında değişim derecesinin sayısal ifadesini gösterir.

Türev formülü 15. yüzyıla kadar uzanıyor. Büyük İtalyan matematikçi Tartagli, bir merminin uçuş menzilinin silahın eğimine ne kadar bağlı olduğu sorusunu dikkate alıp geliştirerek bunu eserlerinde uyguluyor.

Türev formülüne sıklıkla 17. yüzyılın ünlü matematikçilerinin eserlerinde rastlanır. Newton ve Leibniz tarafından kullanılmıştır.

Ünlü bilim adamı Galileo Galilei, türevlerin matematikteki rolü üzerine bir incelemenin tamamını ayırdı. Daha sonra Descartes, Fransız matematikçi Roberval ve İngiliz Gregory'nin eserlerinde türev ve uygulamasıyla birlikte çeşitli sunumlar bulunmaya başlandı. Türev çalışmalarına büyük katkılar L'Hopital, Bernoulli, Langrange ve diğerleri gibi beyinler tarafından yapılmıştır.

1. Bir grafik çizin ve fonksiyonu inceleyin:

Bu sorunun çözümü:

Bir anlık rahatlama

VII. Türevin fizikte uygulanması:

Belirli süreçleri ve olayları incelerken, bu süreçlerin hızını belirleme görevi sıklıkla ortaya çıkar. Çözümü diferansiyel hesabın temel kavramı olan türev kavramına yol açar.

Diferansiyel hesaplama yöntemi 17. ve 18. yüzyıllarda oluşturuldu. Bu yöntemin ortaya çıkışıyla iki büyük matematikçinin isimleri I. Newton ve G.V. Leibniz.

Newton, belirli bir anda maddi bir noktanın hareket hızı (anlık hız) ile ilgili problemleri çözerken diferansiyel hesabı keşfetmeye geldi.

Fizikte türev esas olarak herhangi bir miktarın en büyük veya en küçük değerlerini hesaplamak için kullanılır.

№1 Potansiyel enerji senİçinde bir başkasının bulunduğu bir parçacığın alanı, tam olarak aynı parçacık şu şekildedir: U = a/r 2 – b/r, Nerede A Ve B- pozitif sabitler, R- parçacıklar arasındaki mesafe. Bul: a) değer r0 parçacığın denge pozisyonuna karşılık gelen; b) bu durumun istikrarlı olup olmadığını öğrenmek; V) Fmaksçekim kuvvetinin değeri; d) yaklaşık bağımlılık grafiklerini çizmek U(r) Ve Fr).

Bu sorunun çözümü: Belirlemek r0 incelediğimiz parçacığın denge konumuna karşılık gelir f = U(r) aşırıya.

Alanın potansiyel enerjisi arasındaki bağlantıyı kullanma

sen Ve F, Daha sonra F = – dU/dr, alıyoruz F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; burada r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Kararlı veya kararsız dengeyi ikinci türevin işaretiyle belirleriz:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Dolu bir platformdan kumun döküldüğü durumu düşünün.
Kısa bir süre içinde momentumdaki değişim:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ sen) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ T
Terim Δ µtuΔ süresi boyunca platformdan dökülen kum miktarının itici gücüdür T. Daha sonra:
Δ p = MΔ u – µtΔ sen – Δ µtΔ sen = FΔ T
Δ'ya böl T ve Δ limitine doğru ilerleyin T → 0
(M – µt)du/dt = F
Veya a1= du/dt= F/(M – µt)

Cevap: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Bağımsız iş:

Fonksiyonların türevlerini bulun:

y = 2x doğrusu şu fonksiyona teğettir: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Teğet noktasının apsisini bulun.

IX. Dersi özetlemek:

– Ders hangi sorulara adandı?
– Derste ne öğrendin?
– Derste hangi teorik gerçekler özetlendi?
– Hangi görevlerin en zor olduğu ortaya çıktı? Neden?

Kaynakça:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Matematiksel modeller ve diferansiyel denklemler. – Minsk: Yüksek Okul, 1982. – 272 s.
Amelkin V.V. Uygulamalarda diferansiyel denklemler. M.: Bilim. Fiziksel ve matematiksel literatürün ana yazı işleri ofisi, 1987. – 160 s.
Erugin N.P. Diferansiyel denklemlerin genel seyri hakkında okumak için bir kitap. – Minsk: Bilim ve Teknoloji, 1979. – 744 s.
.Dergi "Potansiyel" Kasım 2007 Sayı 11
“Cebir ve analizin başlangıcı” 11. sınıf S.M. Nikolsky, M.K. Potapov ve diğerleri.
“Cebir ve matematiksel analiz” N.Ya. Vilenkin ve ark.
"Matematik" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveitchik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Türevin fiziksel anlamı. Görevler!

Türevin fiziksel anlamı. Matematikteki Birleşik Devlet Sınavı, türevin fiziksel anlamı hakkında bilgi ve anlayış gerektiren, çözülmesi gereken bir grup problemi içerir. Özellikle, belirli bir noktanın (nesnenin) hareket yasasının verildiği, bir denklemle ifade edildiği ve hareket anında veya nesnenin hareket ettiği zamanın belirli bir anında hızının bulunmasının gerektiği problemler vardır. belirli bir hız elde edecektir. Görevler çok basit, tek bir eylemle çözülebilir. Bu yüzden:

X (t) maddi noktasının koordinat ekseni boyunca hareket kanunu verilsin; burada x, hareket eden noktanın koordinatıdır, t ise zamandır.

Zamanın belirli bir anında hız, koordinatın zamana göre türevidir. Türevin mekanik anlamı budur.

Benzer şekilde ivme de hızın zamana göre türevidir:

Dolayısıyla türevin fiziksel anlamı hızdır. Bu, hareketin hızı, bir sürecin değişim hızı (örneğin, bakterilerin büyümesi), işin hızı (ve benzeri birçok uygulamalı problem vardır) olabilir.

Ayrıca türev tablosunu (tıpkı çarpım tablosu gibi bilmeniz gerekir) ve türev alma kurallarını da bilmeniz gerekir. Spesifik olarak, belirtilen problemleri çözmek için ilk altı türevin bilgisi gereklidir (tabloya bakınız):

x (t) = t 2 – 7t – 20

burada x metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t ise hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. t = 5 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Türevin fiziksel anlamı hızdır (hareket hızı, sürecin değişim hızı, işin hızı vb.)

Hız değişimi yasasını bulalım: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Maddi nokta x (t) = 6t 2 – 48t + 17 yasasına göre doğrusal olarak hareket eder, burada X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 9 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi nokta x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t yasasına göre doğrusal olarak hareket eder, burada X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 6 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 3 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

burada x metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t ise hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 6 m/s'ye eşitti?

Hız değişimi yasasını bulalım:

Zamanın hangi noktasında olduğunu bulmak için T hız 3 m/s olduğundan denklemi çözmek gerekir:

Maddi nokta x (t) = t 2 – 13t + 23 yasasına göre doğrusal olarak hareket eder, burada X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 3 m/s'ye eşitti?

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 2 m/s'ye eşitti?

Birleşik Devlet Sınavında yalnızca bu tür görevlere odaklanmamanız gerektiğini belirtmek isterim. Tamamen beklenmedik bir şekilde, sunulanların tam tersi sorunları ortaya çıkarabilirler. Hızın değişim yasası verildiğinde soru hareket yasasını bulmakla ilgili olacaktır.

İpucu: Bu durumda hız fonksiyonunun integralini bulmanız gerekir (bu da tek adımlı bir görevdir). Zamanın belirli bir noktasında kat edilen mesafeyi bulmanız gerekiyorsa, ortaya çıkan denklemde zamanı koyup mesafeyi hesaplamanız gerekir. Ancak bu tür sorunları da analiz edeceğiz, kaçırmayın! Sana başarılar diliyorum!

matematikalegko.ru

Cebir ve matematiksel analizin ilkeleri, 11. sınıf (S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin) 2009

Sayfa No. 094.

Ders Kitabı:

Ders kitabındaki sayfanın OCR versiyonu (yukarıda bulunan sayfanın metni):

Bu paragrafın başında ele alınan sorunlardan aşağıdaki ifadeler doğrudur:

1. Eğer doğrusal hareket sırasında bir noktanın kat ettiği yol t zamanın bir fonksiyonu ise, yani s = f(t), bu durumda noktanın hızı yolun zamana göre türevidir, yani v( t) =

Bu gerçek türevin mekanik anlamını ifade eder.

2. Eğer x 0 noktasında y = f (jc) fonksiyonunun grafiğine bir teğet çizilirse, o zaman f"(xo) sayısı bu teğet ile Ox ekseninin pozitif yönü arasındaki a açısının tanjantıdır. , yani /"(x 0) =

Tga. Bu açıya teğet açı denir.

Bu gerçek türevin geometrik anlamını ifade eder.

ÖRNEK 3. y = 0.5jc 2 - 2x + 4 fonksiyonunun grafiğine apsis x = 0 olan noktada teğetin eğim açısının teğetini bulalım.

Eşitlik (2)'yi kullanarak herhangi bir x noktasında f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 fonksiyonunun türevini bulalım:

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Bu türevin değerini x = 0 noktasında hesaplayalım:

Bu nedenle tga = -2. y = /(jc) fonksiyonunun x grafiği ve grafiğinin apsis jc = 0 olduğu noktadaki teğeti Şekil 95'te gösterilmektedir.

4.1 Noktanın s = t 2 yasasına göre doğrusal olarak hareket etmesine izin verin. Bulmak:

a) t x = 1'den £ 2 - 2'ye kadar olan zaman aralığı boyunca D£ zaman artışı;

b) As yolunun tx = 1'den t2 = 2'ye kadar olan süre boyunca artması;

c) t x = 1 ile t 2 = 2 arasındaki zaman aralığı boyunca ortalama hız.

4.2 Görev 4.1'de şunu bulun:

b) t'den t + At'ye kadar olan zaman aralığı boyunca ortalama hız;

c) t zamanındaki anlık hız;

d) t = 1 anındaki anlık hız.

4.3 Noktanın yasaya göre doğrusal olarak hareket etmesine izin verin:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) As yolunun t'den t + At'ye kadar olan zaman periyodundaki artışı;

Ders Kitabı: Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 11. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 464 s.: hasta.

Nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder S = t4 +2t (S - metre cinsinden, T- saniyeler içinde). Momentler arasındaki aralıktaki ortalama ivmesini bulun t 1 = 5 sn, t 2 = 7 sn ve şu andaki gerçek ivmesi T 3 = 6 sn.

Çözüm.

1. S yolunun zamana göre türevi olarak noktanın hızını bulun T, onlar.

2. t yerine t 1 = 5 s ve t 2 = 7 s değerlerini değiştirerek hızları buluruz:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/sn; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/sn.

3. Δt = 7 - 5 =2 s süresi için hız artışını ΔV belirleyin:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/sn.

4. Böylece noktanın ortalama ivmesi şuna eşit olacaktır:

5. Bir noktanın ivmesinin gerçek değerini belirlemek için hızın zamana göre türevini alırız:

6. Yerine başkasını koymak T t 3 = 6 s değeri, zamanın bu noktasında ivmeyi elde ederiz

a av =12-6 3 =432 m/s2 .

Eğrisel hareket. Eğrisel hareket sırasında bir noktanın hızının büyüklüğü ve yönü değişir.

Bir noktayı hayal edelim M,Δt zamanı boyunca eğrisel bir yörünge boyunca hareket ederek şu konuma hareket etti: M1(Şekil 6).

Hız artışı (değişim) vektörü ΔV irade

İçin ΔV vektörünü bulmak için V 1 vektörünü noktaya taşıyın M ve bir hız üçgeni oluşturun. Ortalama ivmenin vektörünü belirleyelim:

Vektör Çarşamba vektörün skaler bir miktara bölünmesi vektörün yönünü değiştirmediğinden, ΔV vektörüne paraleldir. Gerçek ivme vektörü, hız vektörünün karşılık gelen Δt zaman aralığına oranının sıfıra yöneldiği sınırdır;

Bu limite vektör türevi denir.

Böylece, Eğrisel hareket sırasında bir noktanın gerçek ivmesi, hıza göre vektör türevine eşittir.

Şek. 6 şurası açık ki eğrisel hareket sırasında ivme vektörü her zaman yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilir.

Hesaplamaların kolaylığı için, ivme, hareket yörüngesine göre iki bileşene ayrıştırılır: teğetsel (teğetsel) ivme adı verilen bir teğet boyunca. A ve normal boyunca normal ivme denir a n (Şekil 7).

Bu durumda toplam ivme şuna eşit olacaktır:

Teğetsel ivme noktanın hızıyla aynı doğrultuda veya ona zıttır. Hızdaki değişimi karakterize eder ve buna göre formülle belirlenir.

Normal ivme noktanın hızının yönüne diktir ve sayısal değeri aşağıdaki formülle belirlenir.

nerede - dikkate alınan noktada yörüngenin eğrilik yarıçapı.

Teğetsel ve normal ivmeler karşılıklı olarak dik olduğundan, toplam ivmenin değeri formülle belirlenir.

ve yönü

Eğer teğetsel ivme ve hız vektörleri tek yöne yönlendirilir ve hareket hızlanır.

Eğer teğetsel ivme vektörü, hız vektörünün tersi yönde yönlendirilir ve hareket yavaş olur.

Normal ivme vektörü her zaman eğriliğin merkezine doğru yönlendirilir, bu yüzden buna merkezcil denir.

Türevin fiziksel anlamı. Matematikteki Birleşik Devlet Sınavı, türevin fiziksel anlamı hakkında bilgi ve anlayış gerektiren, çözülmesi gereken bir grup problemi içerir. Özellikle, belirli bir noktanın (nesnenin) hareket yasasının verildiği, bir denklemle ifade edildiği ve hareket anında veya nesnenin hareket ettiği zamanın belirli bir anında hızının bulunmasının gerektiği problemler vardır. belirli bir hız elde edecektir.Görevler çok basit, tek bir eylemle çözülebilir. Bu yüzden:

X (t) maddi noktasının koordinat ekseni boyunca hareket kanunu verilsin; burada x, hareket eden noktanın koordinatıdır, t ise zamandır.

Zamanın belirli bir anında hız, koordinatın zamana göre türevidir. Türevin mekanik anlamı budur.

Benzer şekilde ivme de hızın zamana göre türevidir:

Görevleri ele alalım:

x (t) = t 2 – 7t – 20

burada xt, hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. t = 5 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Türevin fiziksel anlamı hızdır (hareket hızı, sürecin değişim hızı, işin hızı vb.)

Hız değişimi yasasını bulalım: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

T = 5'te elimizde:

Cevap: 3

Kendin için karar ver:

Maddi nokta x (t) = 0,5t yasasına göre doğrusal olarak hareket eder 3 – 3t 2 + 2t, burada XT- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 6 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe,T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 3 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Hız değişimi yasasını bulalım:

Zamanın hangi noktasında olduğunu bulmak içinThız 3 m/s olduğundan denklemi çözmek gerekir:

Cevap: 3

Kendin için karar ver:

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.