Eğik prizmanın hacmi
Tüm prizmalar bölünmüştür dümdüz Ve eğimli .
Düz prizma, taban
hangisi doğruya hizmet ediyor
çokgen denir
doğru prizma.
Düzenli bir prizmanın özellikleri:
1. Düzgün prizmanın tabanları düzgün çokgenlerdir. 2. Düzgün prizmanın yan yüzleri eşit dikdörtgenlerdir. 3. Düzenli prizmanın yan kenarları eşittir .
PRISM kesiti.
Prizmanın dik kesiti, yan kenara dik olan bir düzlemin oluşturduğu kesittir.
Prizmanın yan yüzeyi dik bölümün çevresi ile yan kenarın uzunluğunun çarpımına eşittir.
S b =P ort.bölüm C
1. Eğik kaburgalar arasındaki mesafeler
üçgen prizma eşittir: 2cm, 3cm ve 4cm
Prizmanın yan yüzeyi 45 cm'dir 2 .Yan kenarını bulun.
Çözüm:
Prizmanın dik bölümünde çevresi 2+3+4=9 olan bir üçgen vardır.
Bu, yan kenarın 45:9 = 5 (cm) değerine eşit olduğu anlamına gelir.
Bilinmeyen öğeleri bul
düzenli üçgen
Prizmalar
tabloda belirtilen öğelere göre.
CEVAPLAR.
Ders için teşekkürler.
Ev ödevi.
Hacim, uzayın her üç boyutunda da sıfırdan farklı boyutlara sahip olan herhangi bir şeklin bir özelliğidir. Bu yazıda stereometri (uzaysal şekillerin geometrisi) açısından bir prizmaya bakacağız ve çeşitli prizma türlerinin hacimlerinin nasıl bulunacağını göstereceğiz.
Stereometrinin bu soruya kesin bir cevabı var. İçinde prizma, iki çokgen özdeş yüz ve birkaç paralelkenardan oluşan bir şekil olarak anlaşılmaktadır. Aşağıdaki resimde dört farklı prizma gösterilmektedir.
Bunların her biri şu şekilde elde edilebilir: Bir çokgen (üçgen, dörtgen vb.) ve belirli uzunlukta bir parça almanız gerekir. Daha sonra çokgenin her köşesi paralel bölümler kullanılarak başka bir düzleme aktarılmalıdır. Orijinaline paralel olacak yeni düzlemde, başlangıçta seçilene benzer yeni bir çokgen elde edilecektir.
Prizmalar farklı tiplerde olabilir. Yani düz, eğimli ve düzenli olabilirler. Prizmanın yan kenarı (tabanların köşelerini birleştiren bölüm) şeklin tabanlarına dik ise, o zaman ikincisi düzdür. Buna göre eğer bu koşul sağlanmıyorsa eğimli prizmadan bahsediyoruz demektir. Düzenli bir şekil, eşkenar ve eşkenar tabanlı düz bir prizmadır.
Düzenli prizmaların hacmi
En basit durumla başlayalım. Tabanı n olan düzgün bir prizmanın hacminin formülünü verelim. Söz konusu sınıfın herhangi bir şekli için hacim formülü V aşağıdaki forma sahiptir:
Yani hacmi belirlemek için S o tabanlarından birinin alanını hesaplamak ve bunu şeklin h yüksekliğiyle çarpmak yeterlidir.
Düzenli bir prizma durumunda, tabanının yan uzunluğunu a harfiyle ve yan kenarın uzunluğuna eşit olan yüksekliği h harfiyle belirtiriz. Taban normal bir n-gon ise, alanını hesaplamak için aşağıdaki evrensel formülü kullanmak en kolay yoldur:
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
Denklemde n kenar sayısını ve bir kenarın uzunluğunu a değiştirerek n-genel tabanın alanını hesaplayabilirsiniz. Buradaki kotanjant fonksiyonunun, radyan cinsinden ifade edilen pi/n açısı için hesaplandığına dikkat edin.
S n için yazılan eşitliği dikkate alarak düzenli bir prizmanın hacmine ilişkin son formülü elde ederiz:
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Her özel durum için, V'ye karşılık gelen formülleri yazabilirsiniz, ancak bunların tümü açık bir şekilde yazılı genel ifadeden çıkar. Örneğin, genel durumda dikdörtgen paralel yüzlü olan düzenli bir dörtgen prizma için şunu elde ederiz:
V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Bu ifadede h=a alırsak küpün hacminin formülünü elde ederiz.
Düz prizmaların hacmi
Yukarıda normal prizmalar için verilen hacmi hesaplamak için düz şekiller için genel bir formülün olmadığını hemen belirtelim. Söz konusu değeri bulurken orijinal ifade kullanılmalıdır:
Burada h önceki durumda olduğu gibi yan kenarın uzunluğudur. Taban alanı S o'ya gelince, çeşitli değerler alabilir. Düz bir prizmanın hacmini hesaplama sorunu, tabanının alanını bulmaktan ibarettir.
S o değerinin hesaplanması, bazın özelliklerine göre yapılmalıdır. Örneğin, eğer bir üçgen ise, alan şu şekilde hesaplanabilir:
Burada h a üçgenin özdeyişidir, yani yüksekliği a tabanına indirilmiştir.
Taban dörtgen ise, yamuk, paralelkenar, dikdörtgen veya tamamen keyfi tipte olabilir. Tüm bu durumlarda alanı belirlemek için uygun planimetri formülünü kullanmalısınız. Örneğin, bir yamuk için bu formül şöyle görünür:
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .
Burada h a yamuğun yüksekliğidir, a 1 ve a 2 paralel kenarlarının uzunluklarıdır.
Daha yüksek dereceli çokgenlerin alanını belirlemek için, bunları basit şekillere (üçgenler, dörtgenler) bölmeli ve ikincisinin alanlarının toplamını hesaplamalısınız.
Eğik prizmaların hacmi
Bu, prizmanın hacmini hesaplamanın en zor durumudur. Bu tür rakamlar için genel formül de geçerlidir:
Bununla birlikte, herhangi bir türdeki çokgeni temsil eden tabanın alanını bulmanın zorluğuna, şeklin yüksekliğini belirleme sorunu da eklenir. Eğik bir prizmada her zaman yan kenarın uzunluğundan daha azdır.
Bu yüksekliği bulmanın en kolay yolu, şeklin herhangi bir açısının (düz veya dihedral) bilinmesidir. Eğer böyle bir açı verilirse, bunu prizmanın içinde, kenarlarından biri olarak h yüksekliğini içeren bir dik üçgen oluşturmak için kullanmalısınız ve trigonometrik fonksiyonları ve Pisagor teoremini kullanarak h'nin değerini bulmalısınız.
Hacmi belirlemek için geometrik problem
Taban yüksekliği 14 cm, kenar uzunluğu 5 cm olan düzgün bir prizma verildiğinde üçgen prizmanın hacmi nedir?
Doğru rakamdan bahsettiğimiz için bilinen formülü kullanma hakkımız var. Sahibiz:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Üçgen prizma, şekli çeşitli mimari yapılarda sıklıkla kullanılan oldukça simetrik bir figürdür. Bu cam prizma optikte kullanılır.
Prizma kavramı. Farklı türdeki prizmaların hacmi için formüller: düzenli, düz ve eğik. Sorunu çözme - her şey siteye seyahatle ilgili
İki yüzü birbirine uyumlu çokgenler olan paralel düzlemler ve geri kalan yüzler bu çokgenlerle ortak kenarları olan paralelkenarlardır. Bu paralelkenarlara prizmanın yan yüzleri, geri kalan iki çokgene ise tabanları denir.
Prizma silindirin özel bir durumudur. Paralel boru prizmanın özel bir durumudur.
Bir prizma aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Bir prizmanın tabanına paralel bir düzlemle herhangi bir bölümü, bu prizmayı iki prizmaya böler, böylece bu prizmaların yan yüzeylerinin oranı ve bu prizmaların hacimlerinin oranı, yan kenarlarının uzunluklarının oranına eşit olur. Bir prizmanın yan kenarına paralel bir düzlemle herhangi bir kesiti, bu prizmayı iki prizmaya böler, böylece bu prizmaların hacimlerinin oranı, yan kenarlarının uzunluklarının oranına eşit olur. Bir prizmanın yan kenarına paralel bir düzlemle herhangi bir bölümü, bu prizmayı iki prizmaya böler, böylece bu prizmaların hacimlerinin oranı, taban alanlarının oranına eşit olur.
Prizma türleri
Düz prizma. Düz prizmanın yan kenarları düzleme dik gerekçesiyle.
Eğik prizma. Eğik prizmanın yan kenarları taban düzlemine göre $90^\circ$'dan farklı bir açıyla konumlandırılmıştır.
Doğru prizma. Dik prizmanın tabanı düzgün bir çokgendir. Yan yüzleri eşit dikdörtgenlerdir.
Yarı düzgün çokyüzlü, yan yüzleri kare olan düzgün bir prizmadır.
Düz prizmanın hacmi
Düzenli bir prizmanın hacmini hesaplamak için bir formül türetmek için tabanında üçgen olan bir prizmayı ele alalım. Dikdörtgen paralel yüzlü olacak şekilde oluşturalım (Şekil 1).
Şekil 1. Dörtyüzlü paralelyüzlüye uzatılmış
Önceki bölümden dikdörtgen bir paralelyüzün hacminin şuna eşit olduğunu biliyoruz:
Çünkü ortaya çıkan paralel yüzlü orijinal prizma ve hacim olarak eşit bir prizmadan oluşur, o zaman orijinal prizmanın hacmi şuna eşit olacaktır:
burada $a$, $b$, $c$ sırasıyla $AB$, $BC$, $AC$ kenarlarının uzunluklarıdır ve bunların çarpımı orijinal prizmanın tabanının alanına eşittir, daha sonra genel olarak düz bir prizmanın hacmini bulmak için formül yazıyoruz:
burada $S_(main)$ prizmanın tabanının alanıdır, $H$ prizmanın tabanına çizilen yüksekliktir.
Bu formül, tabanında herhangi bir çokgen bulunan düz bir prizma için geçerlidir.
Eğik prizmanın hacmi
Eğik prizmanın hacmini bulma formülünü türetmek için, $ABCDFE$ üçgen eğimli prizmayı düşünün. Orijinal prizmanın $ABCD$ tabanına dik olan $DC$ kenarından geçen bir $\alpha $ düzlemi çizelim ve bir üçgen kesik prizma oluşturalım (Şekil 2).
Şekil 2. Eğik prizma, $\alpha $ düzlemi
Şimdi $AB$ kenarı boyunca $\alpha $ düzlemine paralel bir $\beta $ düzlemi çiziyoruz (Şekil 3).
Şekil 3. Eğik prizma, $\alpha $ ve $\beta $ düzlemleri
Bu dönüşümü eğimli yüzlere tekrar uygularsak tüm yan yüzlerin tabana dik olduğu bir prizma elde ederiz. Sonuç bir kez daha düz bir prizmadır.
Benzer bir dönüşüme tabi tutulursa (önce birinci kesik prizma ile desteklenir, ardından ikinci kesik prizma kesilir), daha sonra tamamlanan ve kesilen prizmalar paralel transferle birleştirilir. bölüm$AB$. Bundan rakamların aynı hacme sahip olduğu sonucu çıkıyor.
Sonuç olarak, inşa edilen düz prizmanın hacmi, orijinal eğik prizmanın hacmine eşittir.
Eğik bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir:
Çözüm
Herhangi bir prizmanın hacmi (eğik ve düz) aşağıdaki formülle bulunur:
burada $a\cdot b$ tabanın alanıdır, $c$ prizmanın yüksekliğidir.
Prizma Tanımı:
А1А2…АnВ1В2Вn– prizma
Çokgenler A1A2…An ve B1B2…Bn – prizma tabanı
Paralelkenarlar А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – yan yüzler
Bölümler A1B1, A2B2…АnBn – prizmanın yan kaburgaları
Prizma türleri
Altıgen Üçgen Dörtgen prizma prizma
Eğik ve düz prizma
Bir prizmanın yan kenarları tabanlara dik ise prizmaya prizma denir. doğrudan , aksi takdirde - eğimli .
Doğru prizma
Prizma denir doğru , eğer düzse ve tabanları düzgün çokgenlerse.
Prizmanın toplam yüzey alanı
Prizma yan yüzey alanı
Teorem
Düz bir prizmanın yan yüzey alanı, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.
Eğik prizmanın hacmi
Teorem
Eğik bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
Kanıt
Kanıt
Önce üçgen prizma, sonra da keyfi prizma teoremini kanıtlayalım.
1. Hacmi V, taban alanı S ve yüksekliği h olan bir üçgen prizma düşünün. Prizmanın tabanlarından birine O noktasını işaretleyelim ve Ox eksenini tabanlara dik olarak yönlendirelim. Bir prizmanın Ox eksenine dik ve dolayısıyla taban düzlemine paralel bir düzlemle kesitini ele alalım. Bu düzlemin Ox ekseni ile kesişme noktasının apsisini x harfiyle ve ortaya çıkan bölümün alanını S (x) ile gösterelim.
S(x) alanının prizmanın tabanının S alanına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için ABC üçgenlerinin (prizmanın tabanı) ve A1B1C1 (göz önüne alınan düzleme göre prizmanın kesiti) eşit olduğuna dikkat edin. Aslında, AA1BB1 dörtgeni bir paralelkenardır (AA1 ve BB1 bölümleri eşit ve paraleldir), dolayısıyla A1B1 = AB. Benzer şekilde B1C1 = BC ve A1C1 = AC olduğu kanıtlanmıştır. Yani A1B1C1 ve ABC üçgenlerinin üç tarafı eşittir. Bu nedenle S(x)=S. Şimdi a=0 ve b=h noktalarında cisimlerin hacimlerini hesaplamak için temel formülü uyguladığımızda şunu elde ederiz:
2. H H H, S Şşşt. Teorem kanıtlandı.
2. Şimdi yüksekliği olan keyfi bir prizmanın teoremini kanıtlayalım H ve taban alanı S. Böyle bir prizma, toplam yüksekliğe sahip üçgen prizmalara bölünebilir H. Kanıtladığımız formülü kullanarak her bir üçgen prizmanın hacmini ifade edelim ve bu hacimleri toplayalım. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak H, parantez içinde üçgen prizmaların taban alanlarının toplamını, yani alanı elde ederiz. S Orijinal prizmanın tabanları. Böylece orijinal prizmanın hacmi şuna eşittir: Şşşt. Teorem kanıtlandı.
