Çember türleri. Geometrik bir şekil olarak daire nedir: temel özellikler ve özellikler

Daire düzlem üzerinde belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan tüm noktalardan oluşan bir şekildir. Bu noktaya çemberin merkezi denir.

Sıfır yarıçaplı bir daire (dejenere daire) bir noktadır; bazen bu durum tanımın dışında tutulur.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

Çember ve özellikleri (bezbotvy)

Yazılı ve çevrelenmiş daire - bezbotvy'den

Matematik: OGE ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlık. Planimetri. Çemberler ve özellikleri

Matematik 26. Pusulalar. Daire ve daire - Shishkina okulu

DAİRE DENKLEMİ. GÖREV 18 (C5). ARTHUR ŞERİFOV

Altyazılar

Tanım

Bir daire, örneğin A, B, C noktalarından geçerse, bu noktalar parantez içinde belirtilerek gösterilir: (A, B, C). Daha sonra A, B, C noktalarından geçen bir dairenin yayı, ABC yayı (veya AC yayı) ve ayrıca υ ABC (veya υ AC) olarak gösterilir.

Diğer tanımlar

• Çap dairesi AB A, B AB dik açıyla görülebilir (dairenin çapına dayalı olarak açı yoluyla tanımlama).

• Akorlu daire AB noktalardan oluşan bir şekildir A, B ve parçanın geldiği düzlemin tüm noktaları AB bir tarafta sabit bir açıyla görülebilir, eşit AB yazılı yay açısı ve diğer tarafta 180 derece eksiye eşit başka bir sabit açıda AB yazılı yay açısı, yukarıda belirtilmiştir (Yazılı bir açıyla tanım).
• Bu noktalardan oluşan bir şekil X , (\displaystyle X,) segmentlerin uzunluklarının oranı balta Ve BX sürekli: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) bir dairedir (Apollonius'un dairesi aracılığıyla tanım).
• Her biri için verilen iki noktaya olan mesafelerin karelerinin toplamı, verilen noktalar arasındaki mesafenin karesinin yarısından daha büyük olan belirli bir değere eşit olan tüm bu tür noktalardan oluşan bir şekil de bir dairedir (Tanım ile tanım: (dairenin çapı olan hipotenüslü bir daire içine yazılan keyfi bir dik üçgen için Pisagor teoremi).
• M içine herhangi bir akor çizin AB, CD, EF vb. ise eşitlikler geçerlidir: Bir M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Nokta seçimi ne olursa olsun eşitlikler her zaman sağlanacaktır M ve içinden çizilen akorların yönleri (Kesişen akorlar aracılığıyla tanım).
• Bir daire, aşağıdaki özelliğe sahip, kapalı, kendisiyle kesişmeyen bir şekildir. Eğer keyfi bir noktadan geçersek M dışına, daire ile temas noktalarına iki teğet çizin, örneğin, A Ve B ise uzunlukları her zaman eşit olacaktır: M A = M B (\displaystyle MA=MB). Nokta seçimi ne olursa olsun eşitlik her zaman geçerli olacaktır M(Eşit teğetler aracılığıyla tanım).
• Bir daire, aşağıdaki özelliğe sahip, kapalı, kendisiyle kesişmeyen bir şekildir. Herhangi bir akorunun uzunluğunun herhangi bir akorunun sinüsüne oranı Yazılı açı, bu kirişe dayanarak, bu dairenin çapına eşit sabit bir değerdir (Sinüs teoremi aracılığıyla tanım).
• Daire, odak noktaları arasındaki mesafenin sıfır olduğu elipsin özel bir durumudur (Dejenere elips cinsinden tanım).

Bir daire için ilgili tanımlar

• Düzlemdeki belirli bir noktaya olan uzaklığı sıfırdan farklı bir mesafeden büyük olmayan noktaların geometrik yeri denir. her yerde .
• Yarıçap- sadece mesafe değil, aynı zamanda dairenin merkezini noktalarından birine bağlayan bir bölüm. Yarıçap her zaman yarımdır çap daireler.
• Yarıçap her zaman daire ile ortak noktasında daireye çizilen teğet doğruya diktir. Yani yarıçap aynı zamanda çemberin normalidir.
• Çember denir Bekar yarıçapı bire eşitse. Birim çember trigonometrinin ana nesnelerinden biridir.
• Bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına denir akor. Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap.
• Bir daire üzerinde çakışmayan herhangi iki nokta onu iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir bir dairenin yayı. Ark denir yarım daire uçlarını birleştiren segment bir çap ise.
• Birim yarım dairenin uzunluğu ile gösterilir.

• Bir çemberle tam olarak bir ortak noktası olan doğruya ne denir teğet bir çembere bağlanır ve bunların ortak noktasına doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.
• Teğet Bir daireye her zaman temas noktasında çizilen yarıçapına (ve çapına) diktir; normal, bu noktada gerçekleştirilir.
• Çember üzerinde iki farklı noktadan geçen doğruya ne denir sekant.

Bir daire için üçgen tanımlama

• ABC üçgeninin adı bir daire içine yazılmış(A,B,C) eğer A, B ve C köşelerinin üçü de bu çember üzerinde yer alıyorsa. Bu durumda daire denir sınırlı daire ABC üçgeni (bkz. Çevresel Çember).
• Teğetİçinde yazılı bir üçgenin herhangi bir köşesi boyunca çizilen bir daireye, verilen köşenin karşısındaki üçgenin kenarına antiparaleldir.
• ABC üçgeninin adı bir daire etrafında sınırlandırılmış(A",B",C"), eğer AB, BC ve CA kenarlarının üçü de bu çembere sırasıyla C", A" ve B" noktalarından dokunuyorsa. Bu durumda daire denir yazılı daire ABC üçgeni (bkz. Yazılı daire).

Bir daire için açıların tanımları

• Uzunluğu yarıçapa eşit olan bir daire yayının oluşturduğu açı 1 olarak alınır radyan.

• Merkezi açı - tepe noktası dairenin merkezinde olan bir açı. Merkez açı, üzerinde durduğu yayın radyan/derece ölçüsüne eşittir (şekle bakın).
• Yazılı  açı - tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları bu daireyle kesişen bir açı. Yazılı açıüzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir (şekle bakınız).
• Dış köşeİçin Yazılı  açı - bir tarafın oluşturduğu ve diğer tarafın devamı olan açı yazılı açı (bkz. şekil açısı θ kahverengi). Dış köşe bir dairenin diğer tarafında yazılı olan açı aynı değere sahiptir θ .
• Bir daire ile bir doğru arasındaki açı- bir doğru ile bir daireye teğet arasındaki, doğru ile dairenin kesişme noktasındaki açı. Kesişen bir daire ile bir düz çizgi arasındaki her iki açı da eşittir.
• Bir dairenin çapının kapsadığı açı- kenarları çapın uçlarını içeren, bu daireye yazılan bir açı. O her zaman doğrudandır.

İki daire için ilgili tanımlar

• Merkezi ortak olan iki çembere denir eşmerkezli.
• Tek ortak noktası olan iki çembere denir ilişkin eğer dairelerinin başka ortak noktaları yoksa harici olarak ve eğer daireleri birbirinin içinde yer alıyorsa dahili olarak.
• İki ortak noktası olan iki çembere denir kesişen. Çevreleri (onların sınırladığı) çift daire parçası adı verilen bir alanda kesişiyor.
• Açı kesişen iki (veya teğet) daire arasındaki açı, bunların ortak kesişme noktasında (veya teğetlik) çizilen teğetleri arasındaki açıdır.
• Ayrıca açı kesişen (veya teğet) iki daire arasında, ortak kesişme noktasında (veya teğetlik) çizilen yarıçapları (çapları) arasındaki açıyı dikkate alabiliriz.
• Herhangi bir dairenin yarıçapı (veya çapı) ve dairenin herhangi bir noktasından geçen teğet karşılıklı olarak dik olduğundan, yarıçap (veya çap) düşünülebilir. normal belirli bir noktada inşa edilen bir daireye. Sonuç olarak, önceki iki paragrafta tanımlanan iki tür açı, kenarları birbirine dik olan açılar gibi her zaman birbirine eşit olacaktır.
• dik açı denir ortogonal. Daireler sayılabilir ortogonal, eğer birbirleriyle dik açı oluşturuyorlarsa.
• İki dairenin radikal ekseni- verilen iki daireye göre dereceleri eşit olan noktaların geometrik yeri. Başka bir deyişle, verilen iki çembere herhangi bir noktadan çizilen dört teğetin uzunlukları eşittir M noktaların geometrik konumu verilmiştir.

İki daire için açı tanımları

• Kesişen iki daire arasındaki açı- bu dairelerin kesişme noktasında dairelere teğetler arasındaki açı. Kesişen iki daire arasındaki açıların her ikisi de eşittir.
• İki ayrı daire arasındaki açı- bu iki teğetin kesişme noktasında oluşan iki daireye iki ortak teğet arasındaki açı. Bu iki teğetin kesişme noktası iki dairenin arasında olmalı ve bunlardan birinin yanında olmamalıdır (bu açı dikkate alınmaz). İki ayrı daire arasındaki dikey açıların her ikisi de eşittir.

Diklik

• Dik açılarla kesişen iki çembere denir ortogonal. Daireler sayılabilir ortogonal, eğer birbirleriyle dik açı oluşturuyorlarsa.
• A ve B noktalarında kesişen ve merkezleri O ve O" olan iki çembere ne denir ortogonal, eğer OAO" ve OBO" açıları dik açıysa. Garanti eden bu koşuldur dik açı daireler arasında. Bu durumda kesişme noktasına çizilen iki dairenin yarıçapları (normalleri) diktir. Sonuç olarak, kesişim noktasına çizilen iki dairenin teğetleri de diktir. Bir dairenin teğeti, teğet noktasına çizilen yarıçapa (normal) diktir. Tipik olarak eğriler arasındaki açı, kesişme noktasında çizilen teğetleri arasındaki açıdır.
• Başka bir ek koşul da mümkündür. A ve B noktalarında kesişen iki dairenin, C ve D noktalarında kesişen yayların orta noktalarına sahip olduğunu varsayalım, yani AC yayı CB yayına, AD yayı DB yayına eşit olsun. Daha sonra bu çevrelere denir ortogonal CAD ve CBD açıları dik açı ise.

Üç daire için ilgili tanımlar

• Üç çemberden herhangi ikisinin birbirine değmesi (kesişmesi) durumunda, karşılıklı teğet (kesişen) çemberler denir.
• Geometride radikal merkezüç daire, daire çiftlerinin üç radikal ekseninin kesişme noktasıdır. Radikal merkez üç dairenin de dışında yer alıyorsa, o zaman tek bir dairenin merkezidir ( radikal daire), verilen üç daireyle kesişen ortogonal.

Arşimed'in Lemması

Kanıt

İzin vermek G (\displaystyle G)- küçük bir daireyi büyük bir daireye dönüştüren bir homojenlik. O halde açıktır ki bir 1 (\displaystyle A_(1)) bu homojenliğin merkezidir. Sonra düz BC (\displaystyle BC) bir tür düz çizgiye girecek a (\displaystyle a) büyük daireye teğet ve bir 2 (\displaystyle A_(2)) bu doğru üzerinde bir noktaya gidecek ve büyük bir çembere ait olacak. Homotetiğin çizgileri kendilerine paralel çizgiler haline getirdiğini hatırlayarak şunu anlıyoruz: a ∥ B C (\displaystyle a\paralel BC). İzin vermek G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) Ve D (\displaystyle D)- bir çizgiye işaret etmek a (\displaystyle a), keskin olacak şekilde ve E (\displaystyle E)- bir doğru üzerinde böyle bir nokta a (\displaystyle a), Ne ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- baharatlı. O zamandan beri a (\displaystyle a)- büyük daireye teğet ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Buradan △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- ikizkenar, yani ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)) yani A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- açıortay ∠ B A 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).

Dört ikili teğet dairenin yarıçapları için Descartes teoremi

Descartes'ın teoremi" herhangi dört karşılıklı teğet dairenin yarıçaplarının belirli bir ikinci dereceden denklemi karşıladığını belirtir. Bunlara bazen Soddy çevreleri denir.

Özellikler

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) Noktalardan geçen bir dairenin denklemi(x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\sağ),\left(x_(3),y_(3)\sağ),)

x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 |

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

y = ± R 2 - x 2 .

(\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).) Kutupsal koordinatlar Daire yarıçapı R (\displaystyle R).

bir noktada merkezlenmiş(ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \sol(\rho _(0),\phi _(0)\sağ))

Daire

düzlemin belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki tüm noktalarından oluşan bir şekildir. Temel kavramlar:

Yarıçap Daire merkezi

çember üzerindeki noktalara eşit uzaklıktaki bir noktadır.– bu, dairenin noktalarından merkezine olan mesafedir (çapın yarısına eşit, Şekil 1).

Çap dairenin merkezinden geçen bir akordur (Şekil 1).

Teğet Akor

bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren bir segmenttir (Şekil 1).çemberle tek bir ortak noktası olan düz bir çizgidir. Çember üzerinde bu noktaya çizilen çapa dik bir noktadan geçer (Şekil 1).

Sekantçemberin iki farklı noktasından geçen düz bir çizgidir (Şekil 1).

Birim çember yarıçapı bire eşit olan bir dairedir.

Bir dairenin yayı- Bu, daire üzerinde iki farklı noktaya bölünmüş bir dairenin parçasıdır.
1 radyan

yarıçapın uzunluğuna eşit bir daire yayının oluşturduğu açıdır (Şekil 4). 1 radyan = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Yazılı açı Merkezi açı

Merkezi ortak olan iki çembere denir eşmerkezli.

tepe noktası çemberin merkezinde olan bir açıdır. Üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir (Şekil 2). ortogonal.

tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları bu daireyle kesişen açıdır. Üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir (Şek. 3).

Dik açılarla kesişen iki çembere denir
Bir dairenin çevresi ve alanı:
Tanımlar:
Çevre – C

Çap uzunluğu – dπ :
Yarıçap uzunluğu – r

22
π = -
7

Anlam

Bir dairenin çevresinin çapının uzunluğuna oranı, Yunanca π (pi) harfiyle gösterilir.

Çevre formülü:

C = πd veya C = 2πr
Bir dairenin alanı için formüller:
2

C r
S = --
4

π D 2

Kartezyen koordinatlarda bir dairenin denklemiX, sen noktada merkezi olan (A; B):

(X -A) 2 + (y-b) 2 = Nerede 2

Bir üçgenin çevrelediği daire (Şek. 4).

Bir üçgenin içine yazılmış bir daire (Şek. 5).

Bir daire içine yazılan açılar (Şek. 3).

Tepe noktası bir çemberin üzerinde olan ve kenarları bu çemberi kesen açıya denir. bir daire içine yazılmış.

Daire

Açı, düzlemi iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir düz açı.

Kenarları ortak olan düzlem açılarına denir ek olarak.

Tepe noktası çemberin merkezinde olan düzlem açıya denir merkez açı(Şekil 2)

Bir dairenin akor bölümlerinin ve sekantlarının orantılılığı.

Özel durumlar ve formüller:

1) Çemberin dışında bulunan C noktasından çembere bir teğet çizin ve bunların temas noktasını D harfiyle belirtin.

Daha sonra aynı C noktasından bir kesen çizeriz ve kesen ile dairenin kesişme noktalarını A ve B harfleriyle belirtiriz (Şekil 8).

Bu durumda:

CD2 =Klima ·M.Ö.

2) AB çapını dairenin içine çizin. Daha sonra daire üzerinde bulunan C noktasından bu çapa dik bir çizgi çizin ve ortaya çıkan CD parçasını belirtin (Şekil 9).

Bu durumda:

CD2 =MS ·B.D.

Bir dairenin ne olduğu hakkında genel bir fikir edinmek için bir yüzüğe veya çembere bakın. Ayrıca yuvarlak bir bardak ve fincan alıp, bir parça kağıdın üzerine baş aşağı koyabilir ve kalemle çizebilirsiniz. Tekrarlanan büyütmeyle ortaya çıkan çizgi kalınlaşacak ve tamamen pürüzsüz olmayacak ve kenarları bulanıklaşacaktır. Geometrik bir şekil olarak dairenin kalınlık gibi bir özelliği yoktur.

Çember: tanım ve temel açıklama araçları

Bir daire, aynı düzlemde bulunan ve dairenin merkezinden eşit uzaklıkta bulunan birçok noktadan oluşan kapalı bir eğridir. Bu durumda merkez aynı düzlemdedir. Kural olarak O harfiyle gösterilir.

Çemberin herhangi bir noktasından merkeze olan mesafeye yarıçap denir ve R harfi ile gösterilir.

Bir daire üzerinde herhangi iki noktayı birleştirirseniz ortaya çıkan parçaya kiriş adı verilir. Çemberin merkezinden geçen kiriş D harfiyle gösterilen çaptır. Çap, çemberi iki eşit yaya böler ve yarıçapın uzunluğunun iki katıdır. Dolayısıyla D = 2R veya R = D/2.

Akorların özellikleri

1. Çemberin herhangi iki noktasından bir kiriş çizilirse ve ardından ikincisine dik bir yarıçap veya çap çizilirse, bu parça hem kirişi hem de onun tarafından kesilen yayı iki eşit parçaya bölecektir. Tersi ifade de doğrudur: eğer yarıçap (çap) akoru ikiye bölüyorsa, o zaman ona diktir.
2. Aynı daire içinde iki paralel akor çizilirse, o zaman onlar tarafından kesilen yaylar ve aralarındaki yaylar eşit olacaktır.
3. T noktasında daire içinde kesişen iki akor PR ve QS çizelim. Bir akorun bölümlerinin çarpımı her zaman diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşit olacaktır, yani PT x TR = QT x TS.

Çevre: genel kavram ve temel formüller

Bu geometrik şeklin temel özelliklerinden biri çevresidir. Formül, çevrenin çapa oranının sabitliğini yansıtan yarıçap, çap ve "π" sabiti gibi büyüklükler kullanılarak türetilir.

Dolayısıyla, L = πD veya L = 2πR, burada L çevre, D çap, R yarıçaptır.

Belirli bir çevre için yarıçapı veya çapı bulurken çevre formülü ilk formül olarak kabul edilebilir: D = L/π, R = L/2π.

Çember nedir: temel önermeler

• ortak noktaları yok;
• ortak bir noktaya sahiptir ve düz çizgiye teğet denir: merkezden ve teğet noktasından bir yarıçap çizerseniz, o zaman teğete dik olacaktır;
• iki ortak noktası vardır ve bu doğruya sekant adı verilir.

2. Aynı düzlemde yer alan üç rastgele noktadan birden fazla daire çizilemez.

3. İki daire yalnızca bu dairelerin merkezlerini birleştiren doğru parçası üzerinde bulunan bir noktada birbirine değebilir.

4. Merkeze göre herhangi bir dönüşte daire kendi içine döner.

5. Simetri açısından daire nedir?

• herhangi bir noktada çizginin aynı eğriliği;
• O noktasına göre;
• çapa göre ayna simetrisi.

6. Bir dairenin aynı yayına göre iki keyfi yazılı açı oluşturursanız, bunlar eşit olacaktır. Yarıya eşit olan, yani kiriş çapıyla kesilen bir yayı temel alan açı her zaman 90°'ye eşittir.

7. Aynı uzunluktaki kapalı eğri çizgileri karşılaştırırsanız, dairenin düzlemin en büyük alanla bölümünü sınırladığı ortaya çıkar.

Bir üçgenin içine yazılan ve çevrelenen daire

Bir dairenin ne olduğu fikri, onun üçgenlerle olan ilişkisinin özellikleri açıklanmadan eksik kalacaktır.

1. Bir üçgenin içine yazılmış bir daire oluştururken, merkezi her zaman üçgenin kesişme noktasıyla çakışacaktır.
2. Bir üçgen etrafında çevrelenen bir dairenin merkezi, üçgenin her bir kenarına dik olan kenarortayların kesişiminde bulunur.
3. Bir daireyi tanımlarsak, merkezi hipotenüsün ortasında olacak, yani ikincisi çap olacaktır.
4. Yapının temeli şu şekildeyse, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri aynı noktada olacaktır.

Daireler ve dörtgenler hakkında temel ifadeler

1. Bir dışbükey dörtgenin etrafında bir daire ancak karşıt iç açılarının toplamı 180°'ye eşit olduğunda tanımlanabilir.
2. Karşılıklı kenarlarının uzunluklarının toplamı aynı ise, dışbükey bir dörtgen içine yazılmış bir daire oluşturmak mümkündür.
3. Açıları doğruysa bir paralelkenarın etrafındaki daireyi tanımlayabilirsiniz.
4. Tüm kenarları eşitse, yani bir eşkenar dörtgen ise bir paralelkenarın içine bir daire yazılabilir.
5. Bir yamuğun köşelerinden geçen bir daireyi ancak ikizkenar olması durumunda oluşturabilirsiniz. Bu durumda, çevrelenen dairenin merkezi, dörtgen ile kenara çizilen ortancanın kesiştiği noktada bulunacaktır.

VE daire- birbirine bağlı geometrik şekiller. bir sınır çizgisi var (eğri) daire,

Tanım. Çember, her noktası çemberin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan eşit uzaklıkta olan kapalı bir eğridir.

Bir daire oluşturmak için, dairenin merkezi olarak rastgele bir O noktası seçilir ve pusula kullanılarak kapalı bir çizgi çizilir.

Dairenin merkezinin O noktası, daire üzerindeki rastgele noktalara bağlanırsa, ortaya çıkan tüm bölümler birbirine eşit olacaktır ve bu tür bölümlere, Latince küçük veya büyük harf "er" ile kısaltılmış yarıçaplar adı verilir ( R veya Nerede). Bir dairenin çevresinde kaç nokta varsa o kadar yarıçap çizebilirsiniz.

Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren ve merkezinden geçen doğru parçasına çap denir. çember üzerindeki noktalara eşit uzaklıktaki bir noktadır. ikiden oluşur yarıçap, aynı düz çizgide uzanıyor. Çap, Latince küçük veya büyük harf “de” ( D veya D).

Kural. çember üzerindeki noktalara eşit uzaklıktaki bir noktadır. bir daire onun ikisine eşittir yarıçap.

d = 2r
D=2R

Bir dairenin çevresi formülle hesaplanır ve dairenin yarıçapına (çapına) bağlıdır. Formül, çevrenin çapından kaç kat daha büyük olduğunu gösteren ¶ sayısını içerir. ¶ sayısının sonsuz sayıda ondalık basamağı vardır. Hesaplamalarda ¶ = 3,14 alınmıştır.

Bir dairenin çevresi Latince büyük harf “tse” ile gösterilir ( C). Bir dairenin çevresi çapıyla orantılıdır. Bir dairenin çevresini yarıçapına ve çapına göre hesaplamak için formüller:

C = ¶d
C = 2¶r

• Örnekler
• Verilen: d = 100 cm.
• Çevre: C=3.14*100cm=314cm
• Verilen: d = 25 mm.
• Çevre: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Dairesel kesen ve dairesel yay

Her kesen (düz çizgi) bir daireyi iki noktada keser ve onu iki yaya böler. Bir daire yayının boyutu, merkez ile kesen arasındaki mesafeye bağlıdır ve kesenin daire ile birinci kesişme noktasından ikinciye kadar kapalı bir eğri boyunca ölçülür.

Yaylar daireler bölünmüş sekant kesen çapla çakışmıyorsa büyük ve küçük olarak ve eğer kesen dairenin çapı boyunca geçiyorsa iki eşit yay halinde.

Bir sekant dairenin merkezinden geçerse, daire ile kesişme noktaları arasında bulunan bölümü dairenin çapı veya dairenin en büyük akorudur.

Kesen dairenin merkezinden ne kadar uzak olursa, dairenin küçük yayının derece ölçüsü o kadar küçük olur ve dairenin daha büyük yayı ve kesen parçası olarak adlandırılan bölüm o kadar büyük olur. akor, sekant çemberin merkezinden uzaklaştıkça azalır.

Tanım. Bir daire, bir dairenin içinde bulunan bir düzlemin parçasıdır.

Bir dairenin merkezi, yarıçapı ve çapı aynı anda karşılık gelen dairenin merkezi, yarıçapı ve çapıdır.

Daire bir düzlemin parçası olduğundan parametrelerinden biri de alandır.

Kural. Bir dairenin alanı ( – bu bir dairenin ve bir yarım düzlemin ortak kısmıdır.) yarıçapın karesinin çarpımına eşittir ( r2) ¶ sayısına kadar.

• Örnekler
• Verilen: r = 100 cm
• Daire alanı:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31.400 cm2 ≈ 3 m2
• Verilen: d = 50 mm
• Daire alanı:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1.963 mm2 ≈ 20 cm2

Bir daire içinde iki yarıçapı daire üzerinde farklı noktalara çizerseniz, dairenin iki parçası oluşur; bunlara denir sektörler. Bir daireye bir akor çizerseniz, o zaman düzlemin yay ile akor arasındaki kısmına denir. daire parçası.

Öncelikle daire ile daire arasındaki farkı anlayalım. Bu farkı görmek için her iki rakamın ne olduğunu düşünmek yeterlidir. Bunlar düzlem üzerinde tek bir merkezi noktadan eşit uzaklıkta bulunan sonsuz sayıda noktadır. Ancak daire aynı zamanda iç uzaydan oluşuyorsa daireye ait değildir. Bir dairenin hem onu ​​sınırlayan bir daire (daire(r)) hem de dairenin içinde bulunan sayısız sayıda nokta olduğu ortaya çıktı.

Çember üzerinde bulunan herhangi bir L noktası için OL=R eşitliği uygulanır. (OL segmentinin uzunluğu dairenin yarıçapına eşittir).

Bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? akor.

Çemberin merkezinden doğrudan geçen akor çap bu daire (D). Çap şu formül kullanılarak hesaplanabilir: D=2R

Çevre formülle hesaplanır: C=2\pi R

Bir dairenin alanı: S=\pi R^(2)

Bir dairenin yayı iki noktası arasında kalan kısmına denir. Bu iki nokta bir dairenin iki yayını tanımlar. Akor CD'si iki yayı destekler: CMD ve CLD. Aynı akorlar eşit yaylara karşılık gelir.

Merkezi açıİki yarıçap arasında kalan açıya denir.

Yay uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

1. Derece ölçüsünü kullanma: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radyan ölçüsünü kullanma: CD = \alpha R

Akora dik olan çap, akoru ve onun daralttığı yayları ikiye böler.

Bir dairenin AB ve CD kirişleri N noktasında kesişirse, N noktasıyla ayrılan kiriş parçalarının çarpımları birbirine eşittir.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Bir daireye teğet

Bir daireye teğet Bir daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgiyi çağırmak gelenekseldir.

Bir doğrunun iki ortak noktası varsa buna denir. sekant.

Yarıçapı teğet noktasına çizerseniz, daireye teğete dik olacaktır.

Bu noktadan çemberimize iki teğet çizelim. Teğet bölümlerin birbirine eşit olacağı ve dairenin merkezinin bu noktada tepe noktasıyla olan açının ortaortasında yer alacağı ortaya çıktı.

AC = CB

Şimdi çembere bulunduğumuz noktadan bir teğet ve bir sekant çizelim. Teğet parçasının uzunluğunun karesinin, tüm kesen parçanın ve dış kısmının çarpımına eşit olacağını elde ederiz.

AC^(2) = CD \cdot BC

Şu sonuca varabiliriz: birinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının ürünü, ikinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının çarpımına eşittir.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Bir daire içindeki açılar

Merkez açının ve dayandığı yayın derece ölçüleri eşittir.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Yazılı açı köşesi daire üzerinde olan ve kenarlarında kirişler bulunan açıdır.

Bu yayın yarısına eşit olduğundan yayın boyutunu bilerek hesaplayabilirsiniz.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Çapa, yazılı açıya, dik açıya göre.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Aynı yayı gören yazılı açılar aynıdır.

Bir kirişe dayanan yazılı açılar aynıdır veya toplamları 180^ (\circ)'ye eşittir.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Aynı daire üzerinde, aynı açılara ve belirli bir tabana sahip üçgenlerin köşeleri vardır.

Tepe noktası dairenin içinde olan ve iki akor arasında yer alan açı, verilen ve dikey açılar içinde yer alan daire yaylarının açısal değerlerinin toplamının yarısına eşittir.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Köşesi dairenin dışında olan ve iki kesen arasında bulunan bir açı, açının içinde yer alan daire yaylarının açısal değerlerindeki farkın yarısı kadardır.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Yazılı daire

Yazılı daire bir çokgenin kenarlarına teğet olan bir dairedir.

Bir çokgenin köşelerinin açıortaylarının kesiştiği noktada merkezi bulunur.

Her çokgene bir daire yazılamaz.

Yazılı bir daireye sahip bir çokgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:

S = pr,

p çokgenin yarı çevresidir,

r yazılı dairenin yarıçapıdır.

Yazılı dairenin yarıçapının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

r = \frac(S)(p)

Daire dışbükey bir dörtgen içine yazılmışsa, karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynı olacaktır. Ve bunun tersi de geçerlidir: Karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynıysa, bir daire dışbükey bir dörtgen içine sığar.

AB + DC = AD + BC

Üçgenlerden herhangi birine daire çizmek mümkündür. Yalnızca tek bir tane. Şeklin iç açılarının açıortaylarının kesiştiği noktada bu yazılı dairenin merkezi yer alacaktır.

Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:

r = \frac(S)(p) ,

burada p = \frac(a + b + c)(2)

Dairesel daire

Bir daire bir çokgenin her köşesinden geçiyorsa, o zaman böyle bir daireye genellikle denir bir çokgen hakkında anlatılan.

Bu şeklin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında çevrel çemberin merkezi olacaktır.

Yarıçap, çokgenin herhangi 3 köşesi tarafından tanımlanan üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olarak hesaplanarak bulunabilir.

Şu koşul vardır: Bir dörtgenin etrafında bir daire ancak karşıt açılarının toplamı 180^( \circ)'e eşitse tanımlanabilir.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. Böyle bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesiştiği noktada bulunacaktır.

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır,

S üçgenin alanıdır.

Ptolemy'nin teoremi

Son olarak Ptolemy'nin teoremini düşünün.

Ptolemy'nin teoremi, köşegenlerin çarpımının, döngüsel bir dörtgenin karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD