КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: Корреляционный анализ
Введение
1. Корреляционный анализ
1.1 Понятие корреляционной связи
1.2 Общая классификация корреляционных связей
1.3 Корреляционные поля и цель их построения
1.4 Этапы корреляционного анализа
1.5 Коэффициенты корреляции
1.6 Нормированный коэффициент корреляции Браве-Пирсона
1.7 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
1.8 Основные свойства коэффициентов корреляции
1.9 Проверка значимости коэффициентов корреляции
1.10 Критические значения коэффициента парной корреляции
2. Планирование многофакторного эксперимента
2.1 Условие задачи
2.2 Определение центр плана (основной уровень) и уровня варьирования факторов
2.3 Построение матрицы планирования
2.4 Проверка однородности дисперсии и равноточности измерения в разных сериях
2.5 Коэффициенты уравнения регрессии
2.6 Дисперсия воспроизводимости
2.7 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии
2.8 Проверка адекватности уравнения регрессии
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Планирование эксперимента -математико-статистическая дисциплина, изучающая методы рациональной организации экспериментальных исследований - от оптимального выбора исследуемых факторов и определения собственно плана эксперимента в соответствии с его целью до методов анализа результатов. Начало планирования эксперимента положили труды английского статистика Р.Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное планирование экспериментадаёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. В 60-х годах 20 века сложилась современная теория планирования эксперимента. Её методы тесно связаны с теорией приближения функций и математическим программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей.
Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.
В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.
Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.
Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:
Планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;
Планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;
Планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
Планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;
Планирование при изучении динамических процессов и т.д.
Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к производственно-технической деятельности по специальности с применением методов теории планирования и современных информационных технологий.
Задачи дисциплины: изучение современных методов планирования, организации и оптимизации научного и промышленного эксперимента, проведения экспериментов и обработки полученных результатов.
1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
1.1 Понятие корреляционной связи
Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, может ли рост влиять на вес человека или может ли давление влиять на качество продукции?
Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь - это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.
Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила имеются исключения, когда относительно низкие люди имеют избыточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признак определяется воздействием многих факторов: средовых, генетических, социальных, экологических и т.д.
Корреляционные связи - это вероятностные изменения, которые можно изучать только на представительных выборках методами математической статистики. Оба термина - корреляционная связь и корреляционная зависимость - часто используются как синонимы. Зависимость подразумевает влияние, связь - любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.
Корреляционная зависимость - это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака.
Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.
Корреляционные связи различаютсяпо форме, направлению и степени (силе).
По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи (рисунок 1). При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.
Рисунок 1 - Связь между эффективностью решения задачи и силой мотивационной тенденции
По направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - низкие значения другого (рисунок 2). При отрицательной корреляции соотношения обратные (рисунок 3). При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак.
Рисунок 2 – Прямая корреляция
Рисунок 3 – Обратная корреляция
Рисунок 4 – Отсутствие корреляции
Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.
1.2 Общая классификация корреляционных связей
В зависимости от коэффициента корреляции различают следующие корреляционные связи:
Сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;
Средняя (при 0,50 Умеренная (при 0,30 Слабая (при 0,20 Очень слабая (при r<0,19). 1.3 Корреляционные поля и цель их построения
Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения (x i
, y i) двух признаков. Если экспериментальных данных немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i
и y i
. При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д. Корреляционный анализ, как и другие статистические методы, основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения x i
и y i
. Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал (метры, секунды, килограммы и т.д.), то очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x i
и y i
графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называются также диаграммой рассеивания или корреляционным полем. При изучении общественного здоровья и здравоохранения в научных и практических целях исследователю часто приходится проводить
статистический анализ связей между факторными и результативными признаками статистический совокупности (причинно-следственная связь)
или определение зависимости параллельных изменений нескольких признаков этой совокупности от какой либо третьей величины (от общей
их причины). Необходимо уметь изучать особенности этой связи, определять ее размеры и направление, а также оценивать ее
достоверность. Для этого используются методы корреляции. Функциональная связь
- такой вид соотношения между двумя признаками, когда каждому значению одного из них соответствует
строго определенное значение другого (площадь круга зависит от радиуса круга и т.д.). Функциональная связь характерна для
физико-математических процессов. Корреляционная связь
- такая связь, при которой каждому определенному значению одного признака соответствует несколько
значений другого взаимосвязанного с ним признака (связь между ростом и массой тела человека; связь между температурой тела и
частотой пульса и др.). Корреляционная связь характерна для медико-биологических процессов. Зависимость параллельных изменений нескольких признаков от какой-то третьей величины. Например, под воздействием высокой
температуры в цехе происходят изменения кровяного давления, вязкости крови, частоты пульса и др. 1) Метод квадратов
2) Ранговый метод
Способ 1
Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом числа степеней свободы (n - 2), где n - число парных вариант. Критерий t
должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности р ≥99%. Способ 2
Задание:
вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и
жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). Оценить достоверность связи. Сделать вывод. Таблица 1 Обоснование выбора метода.
Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды
и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант. Решение
.
Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%. 2-й способ. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции" (см.
приложение 1). При числе степеней свободы (n - 2)=6 - 2=4, наш расчетный коэффициент корреляции r xу = + 0,99 больше
табличного (r табл = + 0,917 при р = 99%). Вывод.
Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная
:
r ху = + 0,99, р > 99,9%). Задание:
методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены
следующие данные: Обоснование выбора метода:
для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд
признака "стаж работы в годах" имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для
установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод - метод квадратов. Решение
. Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2. Таблица 2 Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)
Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных. Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении. Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП. Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения. Регрессия бывает: Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии. Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты. Модель линейной регрессии имеет следующий вид: У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.
Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов. В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х). В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа». Активируем мощный аналитический инструмент: После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные». Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом. В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты. R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо». Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели. Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо. Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д. Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого. Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует. Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции. Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ. Задача:
Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания. Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx. Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала). Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все. Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой: На практике эти две методики часто применяются вместе. Пример:
Теперь стали видны и данные регрессионного анализа. Любой закон природы или общественного
развития может быть представлен описанием
совокупности взаимосвязей. Если эти
зависимости стохастичны, а анализ
осуществляется по выборке из генеральной
совокупности, то данная область
исследований относится к задачам
статистического исследования зависимостей,
которые включают в себя корреляционный,
регрессионный, дисперсионный,
ковариационный анализ и анализ таблиц
сопряженности. Существует ли связь между исследуемыми
переменными? Как измерить тесноту связей? Общая схема взаимосвязи параметров при
статистическом исследовании приведена
на рис. 1. На рисунке S – модель исследуемого
реального объекта, Объясняющие
(независимые, факторные) переменные
описывают условия функционирования
объекта. Случайные факторы – это факторы,
влияние которых трудно учесть или
влиянием которых в данный момент
пренебрегают. Результирующие (зависимые,
объясняемые) переменные характеризуют
результат функционирования объекта. Выбор метода анализа взаимосвязи
осуществляется с учетом природы
анализируемых переменных. Корреляционный анализ - метод обработки
статистическихданных, заключающийся в изучении связи
между переменными. Цель корреляционного анализа - обеспечить
получение некоторой информации об одной
переменной с помощью другой переменной.
В случаях, когда возможно достижение
цели, говорят, что переменные коррелируют.
Корреляция отражает лишь линейную
зависимость величин, но не отражает их
функциональной связности. Например,
если вычислить коэффициент корреляции
между величинами A = sin(x) и B = cos(x),
то он будет близок к нулю, т.е. зависимость
между величинами отсутствует. При исследования корреляции используются
графический и аналитический подходы. Графический анализ начинается с
построения корреляционного поля.
Корреляционное поле (или диаграмма
рассеяния) является графической
зависимостью между результатами
измерений двух признаков. Для ее
построения исходные данные наносят на
график, отображая каждую пару значений
(xi,yi) в виде точки с координатами xi и yi в
прямоугольной системе координат. Визуальный анализ корреляционного поля
позволяет сделать предположение о форме
и направлении взаимосвязи двух исследуемых
показателей. По форме взаимосвязи
корреляционные зависимости принято
разделять на линейные (см. рис. 1) и
нелинейные (см. рис. 2). При линейной
зависимости огибающая корреляционного
поля близка к эллипсу. Линейная взаимосвязь
двух случайных величин состоит в том,
что при увеличении одной случайной
величины другая случайная величина
имеет тенденцию возрастать (или убывать)
по линейному закону. Направление связи является положительным,
если увеличение значения одного признака
приводит к увеличению значения второго
(см. рис. 3) и отрицательным, если увеличение
значения одного признака приводит к
уменьшению значения второго (см. рис.
4). Зависимости, имеющие только положительные
или только отрицательные направленности,
называются монотонными. Применение статистических методов при обработке материалов психологических исследований дает большую возможность извлечь из экспериментальных данных полезную информацию. Одним из самых распространенных методов статистики является корреляционный анализ. Термин «корреляция» впервые применил французский палеонтолог Ж. Кювье, который вывел «закон корреляции частей и органов животных» (этот закон позволяет восстанавливать по найденным частям тела облик всего животного). В статистику указанный термин ввел английский биолог и статистик Ф. Гальтон (не просто «связь» – relation
, а «как бы связь» – corelation
). Корреляционный анализ – это проверка гипотез о связях между переменными с использованием коэффициентов корреляции, двумерной описательной статистики, количественной меры взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных. Таким образом, это совокупность методов обнаружения корреляционной зависимости между случайными величинами или признаками. Корреляционный анализ для двух случайных величин заключает в себе: Основное назначение корреляционного анализа – выявление связи между двумя или более изучаемыми переменными, которая рассматривается как совместное согласованное изменение двух исследуемых характеристик. Данная изменчивость обладает тремя основными характериcтиками: формой, направлением и силой. По форме корреляционная связь может быть линейной или нелинейной. Более удобной для выявления и интерпретации корреляционной связи является линейная форма. Для линейной корреляционной связи можно выделить два основных направления: положительное («прямая связь») и отрицательное («обратная связь»). Сила связи напрямую указывает, насколько ярко проявляется совместная изменчивость изучаемых переменных. В психологии функциональная взаимосвязь явлений эмпирически может быть выявлена только как вероятностная связь соответствующих признаков. Наглядное представление о характере вероятностной связи дает диаграмма рассеивания – график, оси которого соответствуют значениям двух переменных, а каждый испытуемый представляет собой точку. В качестве числовой характеристики вероятностной связи используют коэффициенты корреляции, значения которых изменяются в диапазоне от –1 до +1. После проведения расчетов исследователь, как правило, отбирает только наиболее сильные корреляции, которые в дальнейшем интерпретируются (табл. 1). Критерием для отбора «достаточно сильных» корреляций может быть как абсолютное значение самого коэффициента корреляции (от 0,7 до 1), так и относительная величина этого коэффициента, определяемая по уровню статистической значимости (от 0,01 до 0,1), зависящему от размера выборки. В малых выборках для дальнейшей интерпретации корректнее отбирать сильные корреляции на основании уровня статистической значимости. Для исследований, которые проведены на больших выборках, лучше использовать абсолютные значения коэффициентов корреляции. Таким образом, задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции. В настоящее время разработано множество различных коэффициентов корреляции. Наиболее применяемыми являются r
-Пирсона, r
-Спирмена и τ
-Кендалла. Современные компьютерные статистические программы в меню «Корреляции» предлагают именно эти три коэффициента, а для решения других исследовательских задач предлагаются методы сравнения групп. Выбор метода вычисления коэффициента корреляции зависит от типа шкалы, к которой относятся переменные (табл. 2). Для переменных с интервальной и с номинальной шкалой используется коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если, по меньшей мере, одна из двух переменных имеет порядковую шкалу или не является нормально распределенной, используется ранговая корреляция по Спирмену или t-Кендалла. Если же одна из двух переменных является дихотомической, можно использовать точечную двухрядную корреляцию (в статистической компьютерной программе SPSS эта возможность отсутствует, вместо нее может быть применен расчет ранговой корреляции). В том случае если обе переменные являются дихотомическими, используется четырехполевая корреляция (данный вид корреляции рассчитываются SPSS на основании определения мер расстояния и мер сходства). Расчет коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными возможен только тогда, кода связь между ними линейна (однонаправлена). Если связь, к примеру, U
-образная (неоднозначная), коэффициент корреляции не пригоден для использования в качестве меры силы связи: его значение стремится к нулю. Таким образом, условия применения коэффициентов корреляции будут следующими: Основная статистическая гипотеза, которая проверяется корреляционным анализом, является ненаправленной и содержит утверждение о равенстве корреляции нулю в генеральной совокупности H 0: r xy
= 0. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза H 1: r xy
≠ 0 о наличии положительной или отрицательной корреляции – в зависимости от знака вычисленного коэффициента корреляции. На основании принятия или отклонения гипотез делаются содержательные выводы. Если по результатам статистической проверки H 0: r xy
= 0 не отклоняется на уровне a, то содержательный вывод будет следующим: связь между X
и Y
не обнаружена. Если же при H 0 r xy
= 0 отклоняется на уровне a, значит, обнаружена положительная (отрицательная) связь между X
и Y
. Однако к интерпретации выявленных корреляционных связей следует подходить осторожно. С научной точки зрения, простое установление связи между двумя переменными не означает существования причинно-следственных отношений. Более того, наличие корреляции не устанавливает отношения последовательности между причиной и следствием. Оно просто указывает, что две переменные взаимосвязаны между собой в большей степени, чем это можно ожидать при случайном совпадении. Тем не менее, при соблюдении осторожности применение корреляционных методов при исследовании причинно-следственных отношений вполне оправдано. Следует избегать категоричных фраз типа «переменная X является причиной увеличения показателя Y
». Подобные утверждения следует формулировать как предположения, которые должны быть строго обоснованы теоретически. Подробное описание математической процедуры для каждого коэффициента корреляции дано в учебниках по математической статистике ; ; ; и др. Мы же ограничимся описанием возможности применения этих коэффициентов в зависимости от типа шкалы измерения. Корреляция метрических переменных
Для изучения взаимосвязи двух метрических переменных, измеренных на одной и той же выборке, применяется коэффициент корреляции r
-Пирсона
. Сам коэффициент характеризует наличие только линейной связи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X
и Y
. Коэффициент линейной корреляции является параметрическим методом и его корректное применение возможно только в том случае, если результаты измерений представлены в шкале интервалов, а само распределение значений в анализируемых переменных отличается от нормального в незначительной степени. Существует множество ситуаций, в которых его применение целесообразно. Например: установление связи между интеллектом школьника и его успеваемостью; между настроением и успешностью выхода из проблемной ситуации; между уровнем дохода и темпераментом и т. п. Коэффициент Пирсона находит широкое применение в психологии и педагогике. Например, в работах И. Я. Каплуновича и П. Д. Рабиновича, М. П. Нуждиной для подтверждения выдвинутых гипотез был использован расчет коэффициента линейной корреляции Пирсона. При обработке данных «вручную» необходимо вычислить коэффициент корреляции, а затем определить p
-уровень значимости (в целях упрощения проверки данных пользуются таблицами критических значений r xy
, которые составлены с помощью этого критерия). Величина коэффициента линейной корреляции Пирсона не может превышать +1 и быть меньше чем –1. Эти два числа +1 и –1 являются границами для коэффициента корреляции. Когда при расчете получается величина, большая +1 или меньшая –1, это свидетельствует, что произошла ошибка в вычислениях. При вычислениях на компьютере статистическая программа (SPSS, Statistica) сопровождает вычисленный коэффициент корреляции более точным значением p
-уровня. Для статистического решения о принятии или отклонении H 0
обычно устанавливают α
= 0,05, а для большого объема наблюдений (100 и более) α
= 0,01. Если p ≤ α, H 0
отклоняется и делается содержательный вывод, что обнаружена статистически достоверная (значимая) связь между изучаемыми переменными (положительная или отрицательная – в зависимости от знака корреляции). Когда p > α, H 0
не отклоняется, содержательный вывод ограничен констатацией, что связь (статистически достоверная) не обнаружена. Если связь не обнаружена, но есть основания полагать, что связь на самом деле есть, следует проверить возможные причины недостоверности связи. Нелинейность связи
– для этого проанализировать график двумерного рассеивания. Если связь нелинейная, но монотонная, перейти к ранговым корреляциям. Если связь не монотонная, то делить выборку на части, в которых связь монотонная, и вычислить корреляции отдельно для каждой части выборки, или делить выборку на контрастные группы и далее сравнивать их по уровню выраженности признака. Наличие выбросов и выраженная асимметрия распределения одного или обоих признаков.
Для этого необходимо посмотреть гистограммы распределения частот обоих признаков. При наличии выбросов или асимметрии исключить выбросы или перейти к ранговым корреляциям. Неоднородность выборки
(проанализировать график двумерного рассеивания). Попытаться разделить выборку на части, в которых связь может иметь разные направления. Если же связь статистически достоверна, то прежде чем делать содержательный вывод, необходимо исключить возможность ложной корреляции: Коэффициент частной корреляции r xy -z
вычисляется в том случае, если необходимо проверить предположение, что связь между двумя переменными X
и Y
не зависит от влияния третьей переменной Z
. Очень часто две переменные коррелируют друг с другом только за счет того, что обе они согласованно меняются под влиянием третьей переменной. Иными словами, на самом деле связь между соответствующими свойствами отсутствует, но проявляется в статистической взаимосвязи под влиянием общей причины. Например, общей причиной изменчивости двух переменных может являться возраст при изучении взаимосвязи различных психологических особенностей в разновозрастной группе. При интерпретации частной корреляции с позиции причинности следует быть осторожным, так как если Z
коррелирует и с X
и с Y
, а частная корреляция r xy -z
близка к нулю, из этого не обязательно следует, что именно Z
является общей причиной для X
и Y
. Корреляция ранговых переменных
Если к количественным данным неприемлем коэффициент корреляции r
-Пирсона
, то для проверки гипотезы о связи двух переменных после предварительного ранжирования могут быть применены корреляции r
-Спирмена
или τ
-Кендалла
. Например, в исследовании психофизических особенностей музыкально одаренных подростков И. А. Лавочкина был использован критерий Спирмена. Для корректного вычисления обоих коэффициентов (Спирмена и Кендалла) результаты измерений должны быть представлены в шкале рангов или интервалов. Принципиальных отличий между этими критериями не существует, но принято считать, что коэффициент Кендалла является более «содержательным», так как он более полно и детально анализирует связи между переменными, перебирая все возможные соответствия между парами значений. Коэффициент Спирмена более точно учитывает именно количественную степень связи между переменными. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
является непараметрическим аналогом классического коэффициента корреляции Пирсона, но при его расчете учитываются не связанные с распределением показатели сравниваемых переменных (среднее арифметическое и дисперсия), а ранги. Например, необходимо определить связь между ранговыми оценками качеств личности, входящими в представление человека о своем «Я реальном» и «Я идеальном». Коэффициент Спирмена широко используется в психологических исследованиях. Например, в работе Ю. В. Бушова и Н. Н. Несмеловой : для изучения зависимости точности оценки и воспроизведения длительности звуковых сигналов от индивидуальных особенностей человека был использован именно он. Так как этот коэффициент – аналог r
-Пирсона, то и применение его для проверки гипотез аналогично применению коэффициента r
-Пирсона. То есть проверяемая статистическая гипотеза, порядок принятия статистического решения и формулировка содержательного вывода – те же. В компьютерных программах (SPSS, Statistica) уровни значимости для одинаковых коэффициентов r
-Пирсона и r
-Спирмена всегда совпадают. Преимущество коэффициента r
-Спирмена по сравнению с коэффициентом r
-Пирсона – в большей чувствительности к связи. Мы используем его в следующих случаях: Ограничением для применения коэффициента r
-Спирмена являются: Коэффициент ранговой корреляции τ
-Кендалла
является самостоятельным оригинальным методом, опирающимся на вычисление соотношения пар значений двух выборок, имеющих одинаковые или отличающиеся тенденции (возрастание или убывание значений). Этот коэффициент называют еще коэффициентом конкордации
. Таким образом, основной идеей данного метода является то, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по X
совпадает по направлению с изменением по Y
, это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает – об отрицательной связи, например, при исследовании личностных качеств, имеющих определяющее значение для семейного благополучия. В этом методе одна переменная представляется в виде монотонной последовательности (например, данные мужа) в порядке возрастания величин; другой переменной (например, данные жены) присваиваются соответствующие ранговые места. Количество инверсий (нарушений монотонности по сравнению с первым рядом) используется в формуле для корреляционных коэффициентов. При подсчете τ-
Кендалла «вручную» данные сначала упорядочиваются по переменной X
. Затем для каждого испытуемого подсчитывается, сколько раз его ранг по Y
оказывается меньше, чем ранг испытуемых, находящихся ниже. Результат записывается в столбец «Совпадения». Сумма всех значений столбца «Совпадение» и есть P
– общее число совпадений, подставляется в формулу для вычисления коэффициента Кендалла, который более прост в вычислительном отношении, но при возрастании выборки, в отличие от r
-Спирмена, объем вычислений возрастает не пропорционально, а в геометрической прогрессии. Так, например, при N
= 12 необходимо перебрать 66 пар испытуемых, а при N
= 489 – уже 1128 пар, т. е. объем вычислений возрастает более чем в 17 раз. При вычислениях на компьютере в статистической программе (SPSS, Statistica) коэффициент Кендалла обсчитывается аналогично коэффициентам r
-Спирмена и r
-Пирсона. Вычисленный коэффициент корреляции τ
-Кендалла характеризуется более точным значением p
-уровня. Применение коэффициента Кендалла является предпочтительным, если в исходных данных имеются выбросы. Особенностью ранговых коэффициентов корреляции является то, что максимальным по модулю ранговым корреляциям (+1, –1) не обязательно соответствуют строгие прямо или обратно пропорциональные связи между исходными переменными X
и Y
: достаточна лишь монотонная функциональная связь между ними. Ранговые корреляции достигают своего максимального по модулю значения, если большему значению одной переменной всегда соответствует большее значение другой переменной (+1), или большему значению одной переменной всегда соответствует меньшее значение другой переменной и наоборот (–1). Проверяемая статистическая гипотеза, порядок принятия статистического решения и формулировка содержательного вывода те же, что и для случая r
-Спирмена или r
-Пирсона. Если статистически достоверная связь не обнаружена, но есть основания полагать, что связь на самом деле есть, следует сначала перейти от коэффициента r
-Спирмена к коэффициенту τ
-Кендалла (или наоборот), а затем проверить возможные причины недостоверности связи: Если же связь статистически достоверна, то прежде чем делать содержательный вывод, необходимо исключить возможность ложной корреляции (по аналогии с метрическими коэффициентами корреляции). Корреляция дихотомических переменных
При сравнении двух переменных, измеренных в дихотомической шкале, мерой корреляционной связи служит так называемый коэффициент j, который представляет собой коэффициент корреляции для дихотомических данных. Величина коэффициента φ
лежит в интервале между +1 и –1. Он может быть как положительным, так и отрицательным, характеризуя направление связи двух дихотомически измеренных признаков. Однако интерпретация φ может выдвигать специфические проблемы. Дихотомические данные, входящие в схему вычисления коэффициента φ, не похожи на двумерную нормальную поверхность, следовательно, неправильно считать, что интерпретируемые значения r xy
=0,60 и φ = 0,60 одинаковы. Коэффициент φ можно вычислить методом кодирования, а также используя так называемую четырехпольную таблицу или таблицу сопряженности. Для применения коэффициента корреляции φ необходимо соблюдать следующие условия: Данный вид корреляции рассчитывают в компьютерной программе SPSS на основании определения мер расстояния и мер сходства. Некоторые статистические процедуры, такие как факторный анализ, кластерный анализ, многомерное масштабирование, построены на применении этих мер, а иногда сами представляют добавочные возможности для вычисления мер подобия. В тех случаях когда одна переменная измеряется в дихотомической шкале (переменная X
), а другая в шкале интервалов или отношений (переменная Y
), используется бисериальный коэффициент корреляции
, например, при проверке гипотез о влиянии пола ребенка на показатель роста и веса. Этот коэффициент изменяется в диапазоне от –1 до +1, но его знак для интерпретации результатов не имеет значения. Для его применения необходимо соблюдать следующие условия: Если же переменная X
измерена в дихотомической шкале, а переменная Y
в ранговой шкале (переменная Y
), можно использовать рангово-бисериальный коэффициент корреляции
, который тесно связан с τ-Кендалла и использует в своем определении понятия совпадения и инверсии. Интерпретация результатов та же. Проведение корреляционного анализа с помощью компьютерных программ SPSS и Statistica – простая и удобная операция. Для этого после вызова диалогового окна Bivariate Correlations (Analyze>Correlate> Bivariate…) необходимо переместить исследуемые переменные в поле Variables и выбрать метод, с помощью которого будет выявляться корреляционная связь между переменными. В файле вывода результатов для каждого рассчитываемого критерия содержится квадратная таблица (Correlations). В каждой ячейке таблицы приведены: само значение коэффициента корреляции (Correlation Coefficient), статистическая значимость рассчитанного коэффициента Sig, количество испытуемых. В шапке и боковой графе полученной корреляционной таблицы содержатся названия переменных. Диагональ (левый верхний – правый нижний угол) таблицы состоит из единиц, так как корреляция любой переменной с самой собой является максимальной. Таблица симметрична относительно этой диагонали. Если в программе установлен флажок «Отмечать значимые корреляции», то в итоговой корреляционной таблице будут отмечены статистически значимые коэффициенты: на уровне 0,05 и меньше – одной звездочкой (*), а на уровне 0,01 – двумя звездочками (**). Итак, подведем итоги: основное назначение корреляционного анализа – это выявление связи между переменными. Мерой связи являются коэффициенты корреляции, выбор которых напрямую зависит от типа шкалы, в которой измерены переменные, числа варьирующих признаков в сравниваемых переменных и распределения переменных. Наличие корреляции двух переменных еще не означает, что между ними существует причинная связь. Хотя корреляция прямо не указывает на причинную связь, она может быть ключом к разгадке причин. На ее основе можно сформировать гипотезы. В некоторых случаях отсутствие корреляции имеет более глубокое воздействие на гипотезу о причинной связи. Нулевая корреляция двух переменных может свидетельствовать, что никакого влияния одной переменной на другую не существует.
Данная модель двумерного нормального распределения (корреляционное поле) позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, т.к. распределение в совокупности зависит от пяти параметров: μ x
, μ y
– средние значения (математические ожидания); σ x
,σ y
– стандартные отклонения случайных величин Х и Y и р – коэффициент корреляции, который является мерой связи между случайными величинами Х и Y.
Если р = 0, то значения, x i
, y i
, полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в координатах х, у в пределах области, ограниченной окружностью (рисунок 5, а). В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин Х и Y.
на применение метода квадратов
Достоверность определяется по формуле:
Достоверность оценивается по специальной таблице стандартных коэффициентов корреляции. При этом достоверным считается такой
коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы (n - 2), он равен или более табличного, соответствующего
степени безошибочного прогноза р ≥95%.
Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых
признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).Жесткость воды
(в градусах)
Количество кальция в воде
(в мг/л)
d х
d у
d х х d у
d x 2
d y 2
4
8
11
27
34
37
28
56
77
191
241
262
-16
-12
-9
+7
+14
+16
-114
-86
-66
+48
+98
+120
1824
1032
594
336
1372
1920
256
144
81
49
196
256
12996
7396
4356
2304
9604
14400
М х =Σ х / n
М у =Σ у / n
Σ d х x d у =7078
Σ d х 2 =982
Σ d y 2 =51056
М х =120/6=20
М y =852/6=142
М х = Σх/n (графа 1) и
М у = Σу/n (графа 2)
d х = х - М х (графа 3) и d y = у - М у (графа4).
1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mr xy) и критерий t по формулам:
Стаж работы в годах
Число травм
Порядковые номера (ранги)
Разность рангов
Квадрат разности рангов
X
Y
d(х-у)
d 2
До 1 года
24
1
5
-4
16
1-2
16
2
4
-2
4
3-4
12
3
2,5
+0,5
0,25
5-6
12
4
2,5
+1,5
2,25
7 и более
6
5
1
+4
16
Σ d 2 = 38,5
Число степеней свободы - 2
Уровень вероятности р (%)
95%
98%
99%
1
0,997
0,999
0,999
2
0,950
0,980
0,990
3
0,878
0,934
0,959
4
0,811
0,882
0,917
5
0,754
0,833
0,874
6
0,707
0,789
0,834
7
0,666
0,750
0,798
8
0,632
0,716
0,765
9
0,602
0,885
0,735
10
0,576
0,858
0,708
11
0,553
0,634
0,684
12
0,532
0,612
0,661
13
0,514
0,592
0,641
14
0,497
0,574
0,623
15
0,482
0,558
0,606
16
0,468
0,542
0,590
17
0,456
0,528
0,575
18
0,444
0,516
0,561
19
0,433
0,503
0,549
20
0,423
0,492
0,537
25
0,381
0,445
0,487
30
0,349
0,409
0,449
Регрессионный анализ в Excel
Корреляционный анализ в Excel
Корреляционно-регрессионный анализ
