Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов

Несобственный интеграл

с несколькими особенностями.

Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов

Рассмотрим сначала

П


ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела  данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание.

Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона- Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную функцию,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке выглядит примерно так:

Следовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале  .(8)

0 a b X 0 a b X

рис.,поясняющий интеграл (7) рис.,поясняющий интеграл (8)

Если же функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.

Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов

Рассмотрим сначала

П

ри b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела  данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.

Примечание. Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона-Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость,полезно внимательно изучить подынтегральную функцию,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке выглядит примерно так(рисунок 5)

ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ

ИНТЕГРАЛОВ.

1)Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на

т

.е. сходится,а для fg=1/x

И
нтеграл расходится,функция fg=1/x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1]

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ.

В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы,значение которых точно вычислить затруднительно,например (8.1)

и

тогда перед студентом ставится задача:исследовать несобственный интеграл на сходимость,не вычисляя его значения.Для этого необходимо применять следующие методы:

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ.

Основной признак для исследования сходимости несобтвенных интегралов от знакопостоянных функций.Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения,несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить,и дать заключение о сходимости исходного интеграла,используя следующие утверждения:

П

усть функции f(x) и g(x) неотрицательны на полуинтервале :

В

случае,если подынтегральная функция имеет особую точку x=b ,необходимо искать функцию сравнения в виде

И

сследование которой при замене переменной y=x-b приведёт нас к тоько что рассмотренному случаю на интервале (0;a]

Пример 10:

С
ледовательно,расходится весь интеграл,отметим только,что на интервале }