Вычислить синус угла между прямой и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения

Это означает найти угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Пространственная модель иллюстрирующая задачу представлена на рисунке.

План решения задачи:
1. Из произвольной точки A ∈a опускаем перпендикуляр на плоскость α ;
2. Определим точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью α . Точка A α - ортогональная проекция A на плоскость α ;
3. Находим точку пересечения прямой a с плоскостью α . Точка a α - след прямой a на плоскости α ;
4. Проводим (A α a α ) - проекцию прямой a на плоскость α ;
5. Определяем действительную величину ∠Aa α A α , т. е. ∠φ .

Решение задачи найти угол между прямой и плоскостью может быть значительно упрощено, если определять не ∠φ между прямой и плоскостью, а дополняющий до 90° ∠γ . В этом случае отпадает необходимость в определении проекции точки A и проекции прямой a на плоскость α . Зная величину γ , вычисляем по формуле:

$ φ = 90° - γ $

a и плоскостью α , заданной параллельными прямыми m и n .

a α
Вращением вокруг горизонтали заданной точками 5 и 6 определяем натуральную величину ∠γ . Зная величину γ , вычисляем по формуле:

$ φ = 90° - γ $

Определение угла между прямой a и плоскостью α , заданной треугольником BCD.

Из произвольной точки на прямой a опускаем перпендикуляр к плоскости α
Вращением вокруг горизонтали заданной точками 3 и 4 определяем натуральную величину ∠γ . Зная величину γ , вычисляем по формуле.

Понятие угла между прямой и плоскостью можно ввести для любого взаимного расположения прямой и плоскости.

Если прямая l перпендикулярна плоскости, то угол между l и считается равным 90 .

Если прямая l параллельна плоскости или лежит в этой плоскости, то угол между l и считается равным нулю.

Если прямая l является наклонной к плоскости, то угол между l и это угол " между прямой l и её проекцией p на плоскость (рис. 39 ).

Рис. 39. Угол между прямой и плоскостью

Итак, запомним определение для этого нетривиального случая: если прямая является наклонной, то угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой

и её проекцией на данную плоскость.

7.1 Примеры решения задач

Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача уровень C2 на ЕГЭ по математике.

Задача 1. В правильном тетраэдре найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 боковое ребро равно стороне основания. Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1 .

Решение. Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку CC1 параллельна AA1 , искомый угол " есть угол между прямой CC1 и плоскостью ABC1 (рис.41 ).

B 1"

Рис. 41. К задаче 2

Пусть M середина AB. Проведём высоту CH в треугольнике CC1 M. Покажем, что CH перпендикуляр к плоскости ABC1 . Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные CH.

Первая прямая очевидна это C1 M. В самом деле, CH ? C1 M по построению.

Вторая прямая это AB. Действительно, проекцией наклонной CH на плоскость ABC служит прямая CM; при этом AB ? CM. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что AB ? CH.

Итак, CH ? ABC1 . Стало быть, угол между CC1 и ABC1 есть " = \CC1 H. Величину CH найдём из соотношения

C1 M CH = CC1 CM

(обе части этого соотношения равны удвоенной площади треугольника CC1 M). Имеем:

CM = a 2 3 ;

Остаётся найти угол ":

Ответ: arcsin 3 7 .

sin " = CH =3 : CC1 7

Задача 3. На ребре A1 B1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 взята точка K так, что A1 K: KB1 = 3: 1. Найдите угол между прямой AK и плоскостью BC1 D1 .

Решение. Сделав чертёж (рис. 42 , слева), мы понимаем, что нужны дополнительные построения.

Во-первых, заметим, что прямая AB лежит в плоскости BC1 D1 (поскольку AB k C1 D1 ). Во-вторых, проведём B1 M параллельно AK (рис.42 , справа). Проведём также B1 C, и пусть N есть точка пересечения B1 C и BC1 .

Покажем, что прямая B1 C перпендикулярна плоскости BC1 D1 . В самом деле:

1) B 1 C ? BC1 (как диагонали квадрата);

2) B 1 C ? AB по теореме о трёх перпендикулярах (ведь AB перпендикулярна прямой BC проекции наклонной B1 C на плоскость ABC).

Таким образом, B1 C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BC1 D1 ; следовательно, B1 C ? BC1 D1 . Поэтому проекцией прямой MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Угол а между прямой l и плоскостью 6 может быть определен через дополнительный угол р между заданной прямой l и перпендикуляром п к данной плоскости, проведенной из любой точки прямой (рис. 144). Угол Р дополняет искомый угол а до 90°. Определив истинную величину угла Р путем вращения вокруг прямой уровня плоскости угла, образованного прямой l и перпендикуляром и, остается дополнить его до прямого угла. Этот дополнительный угол и даст истинную величину угла а между прямой l и плоскостью 0.

27. Определение угла между двумя плоскостями.

Истинная величина двугранного угла - между двумя плоскостями Q и л. - может быть определена или путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра двугранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2), или если ребро не задано, как угол между двумя перпендикулярами n1 и n2, проведенными к данным плоскостям из произвольной точки М пространства В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских угла а и Р, которые соответственно равны линейным углам двух смежных углов (двугранных), образованных плоскостями q и л,. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n1 и n2 путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями q и л.

Кривые линии. Особые точки кривых линий.

На комплексном чертеже кривой ее особые точки, к которым относятся точки перегиба, возврата, излома, узловые точки, являются особыми точками и на ее проекции. Это объясняется тем, что особые точки кривых связаны с касательными в этих точках.

Если плоскость кривой занимает проецирующее положение (рис. а), то одна проекция этой кривой имеет форму прямой.

У пространственной кривой все ее проекции - кривые линии (рис. б).

Чтобы установить по чертежу, какая задана кривая (плоская или пространственная), необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости. Заданная на рис. б кривая является пространственной, так как точка D кривой не принадлежит плоскости, определяемой тремя другими точками А, В и Е этой кривой.

Окружность - плоская кривая второго порядка, ортогональная проекция которой может быть окружностью и эллипсом

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) - пространственная кривая, представляющая собой траекторию точки, выполняющей винтовое движение.

29.Плоские и пространственные кривые линии.

См. вопрос 28

30. Комплексный чертеж поверхности. Основные положения .

Поверхностью называют множество последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющий собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие т можно поменять местами, но при этом по верхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами.

В зависимости от формы образующей все поверхности можно разделить на линейчатые, у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые, у которых образующая кривая линия.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности - неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86). При проецировании поверхности Q на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются к этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l , которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П 1 - горизонтальный очерк, на П 2 - фронтальный очерк, на П 3 - профильный очерк поверхности. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Понятие проекции фигуры на плоскость

Для введения понятия угла между прямой и плоскостью вначале необходимо разобраться в таком понятии, как проекция произвольной фигуры на плоскость.

Определение 1

Пусть нам дана произвольная точка $A$. Точка $A_1$ называется проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha $, если она является основанием перпендикуляра, проведенного из точки $A$ на плоскость $\alpha $ (рис. 1).

Рисунок 1. Проекция точки на плоскость

Определение 2

Пусть нам дана произвольная фигура $F$. Фигура $F_1$ называется проекцией фигуры $F$ на плоскость $\alpha $, составленная из проекций всех точек фигуры $F$ на плоскость $\alpha $ (рис. 2).

Рисунок 2. Проекция фигуры на плоскость

Теорема 1

Проекция не перпендикулярной плоскости прямой является прямая.

Доказательство.

Пусть нам дана плоскость $\alpha $ и пересекающая ее прямая $d$, не перпендикулярная ей. Выберем на прямой $d$ точку $M$ и проведем её проекцию $H$ на плоскость $\alpha $. Через прямую $(MH)$ проведем плоскость $\beta $. Очевидно, что эта плоскость будет перпендикулярна плоскости $\alpha $. Пусть они пересекаются по прямой $m$. Рассмотрим произвольную точку $M_1$ прямой $d$ и проведем через нее прямую $(M_1H_1$) параллельно прямой $(MH)$ (рис. 3).

Рисунок 3.

Так как плоскость $\beta $ перпендикулярна плоскости $\alpha $, то $M_1H_1$ перпендикулярно прямой $m$, то есть точка $H_1$ - проекция точки $M_1$ на плоскость $\alpha $. В силу произвольности выбора точки $M_1$ все точки прямой $d$ проецируются на прямую $m$.

Рассуждая аналогично. В обратном порядке, будем получать, что каждая точка прямой $m$ является проекцией какой-либо точки прямой $d$.

Значит, прямая $d$ проецируется на прямую $m$.

Теорема доказана.

Понятие угла между прямой и плоскостью

Определение 3

Угол между прямой, пересекающей плоскость и её проекцией на эту плоскость, называется углом между прямой и плоскостью (рис. 4).

Рисунок 4. Угол между прямой и плоскостью

Отметим здесь несколько замечаний.

Замечание 1

Если прямая перпендикулярна к плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $90^\circ$.

Замечание 2

Если прямая параллельна или лежит в плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $0^\circ$.

Примеры задач

Пример 1

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$ и точка $M$, не лежащая в плоскости параллелограмма. Доказать, что треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными, если точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость параллелограмма.

Доказательство.

Изобразим условие задачи на рисунке (рис. 5).

Рисунок 5.

Так как точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$, то прямая $(MB)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. По замечанию 1, получаем, что угол между прямой $(MB)$ и плоскостью $(ABC)$ равен $90^\circ$. Следовательно

\[\angle MBC=MBA={90}^0\]

Значит, треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными.

Пример 2

Дана плоскость $\alpha $. Под углом $\varphi $ к этой плоскости проведен отрезок, начало которого лежит в данной плоскости. Проекция этого отрезка в два раза меньше самого отрезка. Найти величину $\varphi $.

Решение.

Рассмотрим рисунок 6.

Рисунок 6.

По условию, имеем

Так как треугольник $BCD$ прямоугольный, то, по определению косинуса

\ \[\varphi =arccos\frac{1}{2}={60}^0\]