Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).
Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g "(x a равны между собой и равны нулю
().
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g "(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности
(),
то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных
().
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).
Замечания .
1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .
2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).
3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
Пример 1.
x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем
В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел , подставляя вместо икса двойку.
Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x
Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 4. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.
Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
Пример 12. Вычислить
.
Решение. Получаем
В этом примере использовано тригонометрическое тождество .
Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида
Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .
Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:
Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.
Пример 13.
Решение. Получаем
.
.
Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
Решение. Получаем
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
.
Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так.
Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?
На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):
Неопределённость можно устранить по формуле:
Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.
Выделим существенные моменты формулы:
1) Речь идёттолько об определённости и никакой другой .
2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.
С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :
В данном случае , и по формуле :
Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.
Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:
Пример 18
Вычислить предел
На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость
Используем формулу
Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:
В данном случае:
Таким образом:
С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.
В результате:
Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :
Пример 19
Вычислить предел
Сначала полное решение, потом комменты:
(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».
(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.
(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы , преобразуем неопределённость к виду .
(6) Используем формулу .
(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:
(8) Без комментариев =)
Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.
Пример 20
Вычислить предел
Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .
В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».
Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции . На пример: .
Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:
В пределе получена единица , значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны . На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.
Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.
Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-ой замечательный предел не применим .
Пример 21
Найти пределы
Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость
Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты : .
Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ .
! Примечание : не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .
Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):
Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:
Пример 22
Найти пределы
Это короткие примеры для самостоятельного изучения
Иногда неопределённости может не быть вообще
:
Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!
Пример 2
Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.
:
Пример 4
Разделим числитель и знаменатель на
:
Примечание
: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на
, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Пример 6
Разделим числитель и знаменатель на
:
Пример 8
Разделим числитель и знаменатель на
:
Примечание
: слагаемое
стремиться к нулю медленнее, чем
, поэтому
является «главным» нулём знаменателя.
.
Пример 22
Примечание
: бесконечно малая функция
стремится к нулю медленнее, чем
, поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:
1. Для того, чтобы число А было пределомf(x) приx->a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в видеf(x)=A+альфа(х), где альфа(х) – бесконечно малая.
2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.LimC,x->a=C.
3. Еслиf(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то пределlimf(x),x->a>=0 (limf(x)x->a, <=0)
4. Если функцииf1(x),f2(x) имеют пределы в точке а, то и их сумма, произведение и частное имеет пределы, причемlim(f1(x)+f2(x)),x->a=limf1(x),x->a+limf2(x),x->a, так же с произведением и частным
5. Еслиf(x) имеет предел в точке а, тоlim(f(x))^n,x->a= (limf(x),x->a)^n, гдеn– натуральное число
6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.Lim cf(x), x->a = cLim f(x), x->a.
7. Если для функцийf(x),f1(x),f2(x) в некоторой окрестности в точке а выполняется неравенствоf1(x)<=f(x)<=f2(x) и пределlimf1(x),x->a=limf2(x),x->a=A, тоlimf(x),x->a=A.
8.
Limc^x,x->б = бесконечности, еслиc>1 и 0, если 0 Разделить
все на х в наивысшей степени, учитывая
уменьшение степени в корне. Lim(x->0)
sin 5x/sin3x = =lim(x->0)
x sin5x/x sin3x = lim(x->0)
sin5x/x*lim(x->0)
x/sin3x=lim(x->0)
5sin5x/5x*lim
3sin3x/3x)=5/3 Lim(x-unl)
(1+1/x) x =e; 1/x=a=>x=1/a,
a->0 Lim(a-0)
(1+a) 1/2 =e Lim(x-0)
(log a (1+x))/x
= lim(x-0)
1/x*log a (1+x)=lim(x-0)
log a (1+x) 1/x =log a lim(x-0)(1+x) 1/x =log a e Lim(x-0)
ln(1+x)/x=ln
e=1 Lim(x-0)
a x -1/x=|a x -1=t;a x =t+1;ln
a x =ln(t+1) Пусть
a(x,b(x)
– бесконечно малые ф-ции при х->a 1.
Lim(x->a)a(x)/b(x)=0
=>a(x) –
бесконечно малая более высокого порядка,
чемb(x) 2.
Lim(x->a)a(x)/b(x)
=c<>0=>aиb– бесконечно малые
функции одного порядка 3.
Lim(x->a)a(x)/b(x)
= 1 =>aub– эквивалентные бесконечно малые
функции 4.
Lim(x->a)d(x)/b n (x)
=c<>0 =>a– бесконечно малая функция н-ного
порядка относительноb(x) Cos2x=1-2sin 2 x Теорема:
если б.м. а(х) эквивалентна а 1 (х) иb(x) ~b 1 (x)
иlim(x->a)a(x)/b(x)
=>lim(x->a)a 1 (x)/b 1 (x) 6.
A kx ~kx
ln a 8.
1-cos kx
~kx 2 /2 23.
Предел функции, теоремы о пределах.
Неопределённость вида 0/0.
Бесконечно большие и бесконечно малые. Функция
f
(x
)
стремится к бесконечности при x
стремящимся к a
,
если для любого M
> 0 можно указать такое значение
> 0, что для всех x
удовлетворяющих неравенству x
a
<
имеет место неравенство f
(x
)
> M
. lim x
a
= Функция
ограниченная при x
a
. Функция
ограниченная при x
. Теорема.
Если lim x
a
f
(x
)=b
,
то функция f
(x
)
ограниченная при x
a
. Бесконечно
малые и их свойства. lim x
a
(x
)=0 Теорема.
1.
Если f
(x
)=b
+,
где
- б.м. при x
a
,
то lim x
a
f
(x
)=b
и обратно, если lim x
a
f
(x
)=b
,
то можно записать f
(x
)=b
+(x
). Теорема.
2.
Если lim x
a
(x
)=0
и (x
)
0, то 1/
. Теорема.
3.
Сумма конечного числа б.м. есть б.м. Теорема.
4.
Произведение б.м. на ограниченную функцию
есть б.м. Теоремы
о пределах. Теорема.
1.
Предел суммы есть сумма пределов. Теорема.
2.
Предел произведения есть произведение
пределов. Теорема.
3.
Предел частного есть частное пределов
(если знаменатель не обращается в 0). Теорема.
4.
Если u
(x
)
z
(x
)
v
(x
),
и lim x
a
u
(x
)=lim x
a
v
(x
)=b
,
то lim x
a
z
(x
)=b
.
("Теорема о двух милиционерах"). Первый
замечательный предел. при n
имеет предел, заключенный между 2 и 3.
В
данной работе мы рассмотрим неопределенность
видадля функции.
Для нахождения предела функции мы
применяем метод преобразования, метод
замены и определение бесконечно малых
величин. Пусть требуется найти предел дроби где P(x) и Q(x) функции определенные в
окрестности предельного аргумента a,
но в самом предельном значении обращаются
в ноль. Теорема 1
. Пусть число a для многочлена
n-й степени P(x) = P n (x) является k
кратным решением, а для многочлена m-й
степени Q(x) = Q n (x) является r кратным
решением, тогда (2) где P n-k (a) и Q m-r (a) значения
соответствующих многочленов P n-k (x)
и Q m-r (x) в точке x = a. Доказательство
. Так как, число a
является решением многочленов P n (x)
и Q m (x), то их в любое время можно
представить в виде: Биномы (x - a) k и (x - a) r в
окрестности точки x = a бесконечно малы,
а их основания эквивалентные бесконечно
малые.
Отсюда Полагаясь на последнее равенство,
можно из (3) предела получить формулу
(2).
25. 1-ый
Замечательный предел.
ситца идёт на каждое платье для взрослых? количество бисера, сделанного на фабрике в Усть-Рудицах если его цена за пуд была на 6 рублей меньше? больше,чем в первый.Сколько килограммов печенья привезли в каждый магазин? Задача№2 Два спорцмена одновременно начали бежать навстречу друг другу.Первый спорцмен бежал со средней скоростью 305м/мин,второй-312м/мин.Спорцмены встретились через 4 мин. Какое расстояние быломежду ними сначала? Решить задачу по действиям с пояснениями. Задача№3 Поезд отправляется в 19ч 35мин.Дорога пассажироа от дома до вокзала занимает 45мин. В котором часу пассажиру надо выехать из дома,чтобы быть на вокзале за 15 мин до отправления поезда? Задача№4 Из 60м ткани сшили 15 одинаковых плащей.Сколько таких плащей можно сшить из 100м такой же ткани? Задача№5 Периметр квадрата равен 8 см. Из двух таких квадратов составили прямоугольник.Найти площадь этого прямоугольника. Задача№6 Площадь сада 192а.Одна десятая часть площади сада занята яблонями,а одна пятая часть оставшейся площади- сливами.Какая площадь сада занята сливами? Задача№7 Масса четырёх одинаковых ящиков с мандаринами 34 кг.Масса пустого ящика 1 кг 500г.Найти массу мандаринов в каждом ящике. Предел функции на бесконечности: Определение предела по Коши
Также часто используется следующее обозначение: Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности: Левый предел функции на бесконечности: Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x
(точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x
могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы. Левый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к минус бесконечности ()
определяется так: Бесконечный предел функции на бесконечности: Определение бесконечного предела по Коши
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так: Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
Определения односторонних пределов на бесконечности. Пусть функция f(x)
определена на некоторой окрестности бесконечно удаленной точки x 0
,
где или или .
Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: ,
то получим определение предела функции при x
стремящемся к бесконечности, .
Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x 0
:
или ,
то получим определение предела при x
стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно. Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны . Используя определение Коши показать, что Введем обозначения: Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши: Пусть .
Итак, мы нашли, что при ,
Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем .
Тогда для любого ,
Пусть .
Поскольку ,
то функция определена для всех x
.
Пусть .
Тогда Итак, мы нашли, что при ,
Это означает, что .
Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов: Введем обозначение: .
Пусть Итак, мы нашли, что при ,
Поскольку это выполняется для любого положительного числа ,
то Использованная литература:Неопределенность вида бесконечность на бесконечность
Сравнение бесконечно малых функций
|f(x) - a| < ε
при |x| > N
Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > Число a
называется пределом функции
f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0
,
существует такое число N ε > K
,
зависящее от ε
,
что для всех x, |x| > N ε
,
значения функции принадлежат ε
- окрестности точки a
:
|f(x)
- a| < ε
.
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .
.
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.Односторонние пределы
|f(x) - a| < ε
при x < -N
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к плюс бесконечности ()
:
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
;
.
Бесконечный предел функции на бесконечности
|f(x)| > M
при |x| > N
Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K
,
где K
- положительное число. Предел функции f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число N M > K
,
зависящее от M
,
что для всех x, |x| > N M
,
значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)
| > M
.
Бесконечный предел при x
стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .
.
.
.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.
Определение предела функции по Гейне
Число a
(конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если для любой последовательности {
x n }
,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {
f(x n )}
сходится к a
:
.
Примеры
Пример 1
.
.
Найдем область определения функции .
Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x
кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение . ;
.
Корни уравнения:
;
.
Поскольку ,
то и .
Поэтому функция определена при .
Это мы будем использовать в дальнейшем.
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на -1
:
.
Тогда
;
;
;
.
.
.
Отсюда следует, что
при ,
и .
при .
Это означает, что .
Пример 2
Используя определение предела по Коши показать, что:
1)
;
2)
.
1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности
Выпишем определение предела функции при ,
равного минус бесконечности:
.
;
.
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M
,
имеется число ,
так что при ,
.
2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности
.
Имеем:
.
Выпишем определение правого предела функции при :
.
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
.
Тогда
;
.
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .
.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.