Бесконечная бесконечность. Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g "(x a равны между собой и равны нулю

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g "(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания .

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1.

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел , подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13.

Решение. Получаем

.

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёттолько об определённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.

Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:

Пример 18

Вычислить предел

На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость

Используем формулу

Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:

В данном случае:

Таким образом:

С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.

В результате:

Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :

Пример 19

Вычислить предел

Сначала полное решение, потом комменты:

(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».

(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.

(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы , преобразуем неопределённость к виду .

(6) Используем формулу .

(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:

(8) Без комментариев =)

Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.

Пример 20

Вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .

В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».

Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции . На пример: .

Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:

В пределе получена единица , значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны . На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.

Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.

Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-ой замечательный предел не применим .

Пример 21

Найти пределы

Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость

Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты : .

Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ .

! Примечание : не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .

Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):

Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:

Пример 22

Найти пределы

Это короткие примеры для самостоятельного изучения

Иногда неопределённости может не быть вообще :

Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!

Пример 2

Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.
:

Пример 4

Разделим числитель и знаменатель на :


Примечание : самым последним действием умножили числитель и знаменатель на , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пример 6

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 8

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание : слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя. .

Пример 22


Примечание : бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:

1. Для того, чтобы число А было пределомf(x) приx->a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в видеf(x)=A+альфа(х), где альфа(х) – бесконечно малая.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.LimC,x->a=C.

3. Еслиf(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то пределlimf(x),x->a>=0 (limf(x)x->a, <=0)

4. Если функцииf1(x),f2(x) имеют пределы в точке а, то и их сумма, произведение и частное имеет пределы, причемlim(f1(x)+f2(x)),x->a=limf1(x),x->a+limf2(x),x->a, так же с произведением и частным

5. Еслиf(x) имеет предел в точке а, тоlim(f(x))^n,x->a= (limf(x),x->a)^n, гдеn– натуральное число

6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.Lim cf(x), x->a = cLim f(x), x->a.

7. Если для функцийf(x),f1(x),f2(x) в некоторой окрестности в точке а выполняется неравенствоf1(x)<=f(x)<=f2(x) и пределlimf1(x),x->a=limf2(x),x->a=A, тоlimf(x),x->a=A.

8. Limc^x,x->б = бесконечности, еслиc>1 и 0, если 0

Неопределенность вида бесконечность на бесконечность

Разделить все на х в наивысшей степени, учитывая уменьшение степени в корне.

Lim(x->0) sin 5x/sin3x = =lim(x->0) x sin5x/x sin3x = lim(x->0) sin5x/x*lim(x->0) x/sin3x=lim(x->0) 5sin5x/5x*lim 3sin3x/3x)=5/3

Lim(x-unl) (1+1/x) x =e;

1/x=a=>x=1/a, a->0

Lim(a-0) (1+a) 1/2 =e

Lim(x-0) (log a (1+x))/x = lim(x-0) 1/x*log a (1+x)=lim(x-0) log a (1+x) 1/x =log a lim(x-0)(1+x) 1/x =log a e

Lim(x-0) ln(1+x)/x=ln e=1

Lim(x-0) a x -1/x=|a x -1=t;a x =t+1;ln a x =ln(t+1)

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(x,b(x) – бесконечно малые ф-ции при х->a

1. Lim(x->a)a(x)/b(x)=0 =>a(x) – бесконечно малая более высокого порядка, чемb(x)

2. Lim(x->a)a(x)/b(x) =c<>0=>aиb– бесконечно малые функции одного порядка

3. Lim(x->a)a(x)/b(x) = 1 =>aub– эквивалентные бесконечно малые функции

4. Lim(x->a)d(x)/b n (x) =c<>0 =>a– бесконечно малая функция н-ного порядка относительноb(x)

Cos2x=1-2sin 2 x

Теорема: если б.м. а(х) эквивалентна а 1 (х) иb(x) ~b 1 (x) иlim(x->a)a(x)/b(x) =>lim(x->a)a 1 (x)/b 1 (x)

6. A kx ~kx ln a

8. 1-cos kx ~kx 2 /2

23. Предел функции, теоремы о пределах. Неопределённость вида 0/0.  Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f (x ) стремится к бесконечности при x стремящимся к a , если для любого M > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству x a  <  имеет место неравенство f (x ) > M .

lim x  a =

 Функция ограниченная при x  a .

 Функция ограниченная при x  .

 Теорема. Если lim x  a f (x )=b , то функция f (x ) ограниченная при x  a .

 Бесконечно малые и их свойства. lim x  a (x )=0

Теорема. 1. Если f (x )=b +, где  - б.м. при x  a , то lim x  a f (x )=b и обратно, если lim x  a f (x )=b , то можно записать f (x )=b +(x ).

Теорема. 2. Если lim x  a (x )=0 и (x )  0, то 1/ .

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

 Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u (x )  z (x )  v (x ), и lim x  a u (x )=lim x  a v (x )=b , то lim x  a z (x )=b . ("Теорема о двух милиционерах").

 Первый замечательный предел.

при n имеет предел, заключенный между 2 и 3. В данной работе мы рассмотрим неопределенность видадля функции. Для нахождения предела функции мы применяем метод преобразования, метод замены и определение бесконечно малых величин.

Пусть требуется найти предел дроби

где P(x) и Q(x) функции определенные в окрестности предельного аргумента a, но в самом предельном значении обращаются в ноль.

Теорема 1 . Пусть число a для многочлена n-й степени P(x) = P n (x) является k кратным решением, а для многочлена m-й степени Q(x) = Q n (x) является r кратным решением, тогда

(2)

где P n-k (a) и Q m-r (a) значения соответствующих многочленов P n-k (x) и Q m-r (x) в точке x = a.

Доказательство . Так как, число a является решением многочленов P n (x) и Q m (x), то их в любое время можно представить в виде:

Биномы (x - a) k и (x - a) r в окрестности точки x = a бесконечно малы, а их основания эквивалентные бесконечно малые. Отсюда

Полагаясь на последнее равенство, можно из (3) предела получить формулу (2). 25. 1-ый Замечательный предел.

ситца идёт на каждое платье для взрослых?

количество бисера, сделанного на фабрике в Усть-Рудицах если его цена за пуд была на 6 рублей меньше?

больше,чем в первый.Сколько килограммов печенья привезли в каждый магазин? Задача№2 Два спорцмена одновременно начали бежать навстречу друг другу.Первый спорцмен бежал со средней скоростью 305м/мин,второй-312м/мин.Спорцмены встретились через 4 мин. Какое расстояние быломежду ними сначала? Решить задачу по действиям с пояснениями. Задача№3 Поезд отправляется в 19ч 35мин.Дорога пассажироа от дома до вокзала занимает 45мин. В котором часу пассажиру надо выехать из дома,чтобы быть на вокзале за 15 мин до отправления поезда? Задача№4 Из 60м ткани сшили 15 одинаковых плащей.Сколько таких плащей можно сшить из 100м такой же ткани? Задача№5 Периметр квадрата равен 8 см. Из двух таких квадратов составили прямоугольник.Найти площадь этого прямоугольника. Задача№6 Площадь сада 192а.Одна десятая часть площади сада занята яблонями,а одна пятая часть оставшейся площади- сливами.Какая площадь сада занята сливами? Задача№7 Масса четырёх одинаковых ящиков с мандаринами 34 кг.Масса пустого ящика 1 кг 500г.Найти массу мандаринов в каждом ящике.

К третьему году жизни большинство из нас уже умеют считать. С тех пор, как мы постигаем магию чисел, нас ничто не может остановить. Хотя концепция бесконечности и выглядит довольно безобидно, просто продолжайте считать, и мир представится в совсем ином свете! Математикам удалось выявить огромное количество бесконечностей, причем каждая последующая оказывается больше предыдущей. Если Вселенная действительно бесконечна, последствия могут быть еще более непредсказуемы и удивтельными. В бесконечной Вселенной может существовать бесконечное количество копий Земли и... Ваших копий! Возможно, что есть бесконечные мульти-вселенные, которые содержат нашу Вселенную и которые старше нашего времени. Этот фильм, основанный на математических теориях, - попытка построения представления о бесконечности всего сущего.

Год выпуска: 2010
Производство: BBC Horizon, Великобритания
Режиссер: Стивен Бекофф (Steven Berkoff)

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема.

Математика - универсальный язык Вселенной, фундамент, на котором основаны все другие науки. Как человечество смогло открыть тайны этого универсального языка? Начиная с древнейших времен, прослеживается история математики до наших дней и завершается рассказом о наиболее важных проблемах современности. Их решение позволит лучше понять устройство нашего мира.

В последнее время учёным удаётся всё лучше и подробнее изучить, как выглядит микромир. Микроскопы позволили увеличить объекты в сто раз, в тысячу, в десять тысяч раз. Наконец, удалось построить электронные микроскопы, способные показать отдельные атомы. Но учёным интересно увидеть не только атомы, но и заглянуть внутрь атомов. Ядро атома - в сто тысяч раз меньше самого атома. Для изучения материи на этом масштабе нужны ускорители частиц. Всё более мощные и более изощрённые. И, наконец, дойдя до самого глубокого уровня, куда невозможно заглянуть даже при помощи самых мощных ускорителей, учёным приходится браться за неожиданный инструмент - за телескоп. Фильм рассказывает о том, какими методами ведется изучение структуры нашей вселенной в различных микромасштабах.

Бескрайняя, необозримая и сложная Вселенная уже несколько тысяч лет является предметом восхищения и объектом научных исследований. Ее загадки могут показаться далекими и непостижимыми, но нам на помощь приходит профессор Джим Аль-Халили. Он попытается объяснить всё, что известно о вселенной, и немного больше.

Откуда появилась наша Вселенная? Как это все началось? На протяжении почти ста лет, мы думали, что Большой взрыв был около 14 миллиардов лет назад. Но теперь некоторые ученые считают, что было на самом деле не «начало», наша Вселенная, возможно, была уничтожена «до». Этот фильм унесёт Вас в неизвестность, чтобы изучить головокружительный мир космоса и многочисленных вселенных, и Вы узнаете, что было до Большого взрыва.

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших. Понятно, что в конечном наборе чисел, которых человечество наградило собственным именем, должно быть какое-то наибольшее число. Но как оно называется и чему оно равно? Давайте же, попробуем в этом разобраться и заодно узнать, насколько большие числа придумали математики.

Математик, профессор Маркус дю Сатель рассказывает в этом фильме о том, как законы математики пронизывают своей строгой красотой все формы нашего мира.