Чему равна дисперсия числа 5. Дисперсия случайной величины

Это разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее мат ожидания.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Дисперсия характеризует степень рассеяния значение случайной величины относительно ее мат ожидания. Если все значения тесно сконцентрированы около ее мат ожидания и больше отклонения от мат ожид, то такая случайная величина имеет малую дисперсию, а если рассеяны и велика вероятность больших отклонений от М, то случ величина имеет большую дисперсию.

Свойства:

1.Дисперсия постоянно равна 0 D(C)=0

2.Дисперсия произведения случ величины на постоянную С равна произ десперсии случ велич Х на квадрат постоянной D(CX)=C^2D(X)

3.Если случ велич X and Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий

D(X Y)=D(X)+D(Y)

4.Дисперсия случ велич не изменится если к ней прибавить постоянную

Теорема:

Дисперсия числа появление соб А в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления соб постоянна и равна p, равна произведению числа испытания на вероятность появления и вероятности непоявления соб в одном испытании

Среднее квадратичское отклонение.

Средним квадрат отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсия

Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Случайная величина, значение которой заполняет некоторый промежуток, называется непрерывной .

Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными.

Функция распред св.

Способы задания ДСВ неприменимы для непрерывной. В этой связи вводиться понятие функции распределение вероятностей.

Функция распределения называют функцию F(x) определяющую для каждого значения х вероятность того что случ велич Х примет значение меньшее х т.е

Функция распределения ДСВ принимающие значение (x1,x2,x3) с вероятностью (p1,p2,p3) определяется

Так, например функция распределения биномиального распределения определяется формулой:

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, частично-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства:

1.значение функции принадлежит

2. функция распределения есть неубывающая функция F(x2)

3.Вероятность того что случайная величина X примет значение заключенное в интервале (α,β) равна приращению функции распределения на этом интервале P(α

Следствие. Вероятность того что случ велич примет одно значение равно 0.

4.Если все возможные значение случ велич Х принадлежит (a,b) то F(x)=0 при x a и F(x)=1 при x b

5.Вероятность того, что случ велич Х примет значение большее чем x равно разности между единицей и функцией распределения

Урок передачи-усвоения новых знаний, умений и навыков.

Тема: Дисперсия. Её свойства.

Цели урока:

• Познавательная: 1) передача учащимся определенной системы математических знаний, умений, навыков; 2) выработка у учащихся умения
  решать основные типы задач теории вероятности и применять теорию в конкретных различных ситуациях; 3) формирование представлений об идеях и методах высшей математики; 4) формирование у учащихся на материале учебного предмета высшей математики способов учебно-познавательной деятельности.
• Развивающая: 1) развитие мышления; 2) развитие памяти; 3) развитие элементов творческой деятельности, как качеств мышления; 4) развитие речи, заключающееся в овладении математической терминологией, а также приемами построения определений, понятий и оперирование ними.
• Воспитывающая: 1) воспитать у учеников любовь к выбранной профессии и данному предмету.

Задача: заключается в определении свойств дисперсии случайной величины и в выводе формулы для ее расчета.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Повторение старого и изучение нового материала.
3. Закрепление нового материала.
4. Домашнее задание.

1. Проверка присутствующих учеников на уроке.

2. Математика – королева всех наук!
Без нее не летят корабли,
Без нее не поделишь ни акра земли,
Даже хлеба не купишь, рубля не сочтешь,
Что по не узнаешь, а узнав не поймешь!

Учитель : “Итак, математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину”

Ученик 1: “О как же так выходит я совсем пустяк”.

Ученик 2: “Да, ты право, правду говоришь”.

Ученик 1: “Но кто заменит вдруг меня, ведь моя формула, то всем нужна”.

Ученик 2: “Да, ты сначала про себя все вспомни”.

Ученик 1: “Без проблем, вот эти формулы, они известны всем. И если множество значений бесконечно, то ожидание находится как ряд, точнее его сумма:

А, если величина вдруг непрерывна, то рассмотреть имеем право мы предельный случай, и вот в итоге что получим:

Ученик 2: “Но это все смешно ведь ожидание не существует. Нет его!”.

Ученик 1: “Нет, ожидание существует, когда является абсолютно сходящимся и интеграл и сумма”.

Ученик 2: “И все же я твержу одно, нам ожидание не нужно”.

Ученик 1: “Ах как же так? Да это просто ”.

Учитель: “Стоп, стоп, закончим спор. Возьмите ручку и тетрадь, и в путь мы будем с вами спор решать. Но прежде чем начать, давайте вспомним лишь одно, чему отклонение от математического ожидания равно”.

Ученик 3: “О, это могу вспомнить я”.

Учитель: “Пожалуйста, вот мел, доска”.

Ученик 4: “Разность X – М(Х) называется отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(Х). Отклонение является случайной величиной. Так как математическое ожидание случайной величины -величина постоянная и математическое ожидание постоянной равно этой

постоянной, то М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) = М (X) – М(Х) = 0. т, е, М(Х – М(Х)) =0.”.

Учитель: “Да, все верно, но друзья за меру рассеяния отклонения случайной величины от ее математического это принять нельзя. И из этого последует, что рассматривают модули или квадраты отклонений. А вот теперь послушайте определение: X случайной величины – дисперсия или рассеяние – это математическое ожидание квадрата ее отклонения. Обозначается как D(X), а формула имеет вид: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Теперь давайте, определим, какой же знак величине присвоим мы?”.

Ученик 5: “Из свойств и определения математического ожидания можем получить, лишь одно, что как величина дисперсия неотрицательна D(X) > 0” (2).

Учитель: “Учитывая равенство один получим формулу для нахождения дисперсии: D(X) = М(Х 2) – (М(Х)) 2 . Которую быть может кто – нибудь докажет”.

Ученик 6: “Давайте я попробую. D(X)=M((X – М(Х)) 2) = М(Х 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+М((М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2) – (М(Х)) 2 ”. (3)

Учитель: “Рассмотрим свойства случайной величины:

1. Дисперсия С – как постоянной величины равна нулю: D(C) - 0 (С – const). (4)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Докажем эти свойства принимая во внимание свойства ожидания:

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0. Первое свойство доказано оно означает, что постоянная величина не имеет рассеяния так как принимает одно и тоже значение.

А теперь докажем второе свойство: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ

СМ(Х)) 2) = М(С 2 (Х – М(Х)) 2) = С 2 М((Х – М(Х)) 2) = C 2 D(X).

Для доказательства третьего свойства используем формулу три:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2)+2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M(X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Третье свойство распространяется на любое число попарно-независимых случайных величин.

Доказательство четвертого свойства следует из формул (5) и (6).

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D(Y).

Если случайная величина является X является дискретной и задан ее закон распределения Р(Х=х k) = p k (k= 1,2,3,n).

Таким образом случайная величина (X - М(Х)) 2 имеет следующий закон распределения: (к=1,2,3,n), =l.

Исходя из определения математического ожидания, получаем формулу

Дисперсия непрерывной случайной величины X, все возможные значения корой принадлежат отрезку [а,Ь] , определяется формулой:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

где р(х) – плотность распределения этой величины. Дисперсию можно вычислять по формуле:

Для учеников, имеющих оценку “4” и “5” необходимо дома доказать формулу (9).

3. Закрепление нового материала в виде тестовой работы.

1) Тестовая работа по теме “Дисперсия и ее свойства”.

1. Продолжить определение: дисперсия – это.

2. Выберите правильную формулу для расчета дисперсии:

а) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2 ;
б) D(X)=M(X – D(X 2));
в)D(X)=M((X-M(X)) 2);
г) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2 ;

Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n — частота (повторяемость фактора Х)

Пример нахождения дисперсии

На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:

где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:

Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

Составим интервальную группировку

Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:

X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Определим дисперсию по формуле:

Формулу дисперсии можно преобразовать так:

Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка

(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.

Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M=C M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

1. Поочередно умножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
   Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Пример №1 .

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12

Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.

Вспомним основы

Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.

Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.

Среднее арифметическое

Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.

Дисперсия

Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.

У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.

Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?

Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.

Зависимость от количества экспериментов

Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?

Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.

Задача

Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.

Математическое ожидание

Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.

Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.

Ещё один пример

Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.

Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.

Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.

Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.

Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.

Отклонение

Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.

Программное обеспечение

Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

В заключение

Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.

Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.