Поэтому ваше ближайшее времяпровождение будет крайне полезным. Кроме того, я расскажу, в чём заблуждается подавляющее большинство участников лотерей и азартных игр. …Нееет, вера или слабая надежда «сорвать куш» тут совершенно не при чём;-) Не успев и глазом моргнуть, погружаемся в тему:
Что такое независимые испытания ? Практически всё понятно уже из самого названия. Пусть производится несколько испытаний. Если вероятность появления некоего события в каждом из них не зависит от исходов остальных испытаний, то… заканчиваем фразу хором =) Молодцы. При этом под словосочетанием «независимые испытания» часто подразумевают повторные независимые испытания – когда они осуществляются друг за другом.
Простейшие примеры:
– монета подбрасывается 10 раз;
– игральная кость подбрасывается 20 раз.
Совершенно ясно, что вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других бросков. Аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для кубика.
А вот последовательное извлечение карт из колоды не является серией независимых испытаний – как вы помните, это цепочка зависимых событий . Однако если карту каждый раз возвращать обратно, то ситуация станет «такой, какой надо».
Спешу обрадовать – у нас в гостях очередной Терминатор, который абсолютно равнодушен к своим удачам/неудачам, и поэтому его стрельба представляет собой образец стабильности =):
Задача 1
Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна . Найти вероятность того, что:
а) стрелок попадёт только один раз;
б) стрелок попадёт 2 раза.
Решение : условие сформулировано в общем виде и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле считается известной . Она равна (если совсем тяжко, присвойте параметру какое-нибудь конкретное значение, например, ) .
Коль скоро, мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле:
, то есть, «ку» – это тоже известная нам величина
.
а) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт только один раз» и обозначим его вероятность через (индексы понимаются как «одно попадание из четырёх») . Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: стрелок попадёт в 1-й или во 2-й или в 3-й или в 4-й попытке.
Найти вероятность того, что при броске 10 монет орёл выпадет на 3 монетах.
Здесь испытания не повторяются, а скорее, производятся одновременно, но, тем не менее, работает та же самая формула: .
Решение будет отличаться смыслом и некоторыми комментариями, в частности:
способами можно выбрать 3 монеты, на которых выпадет орёл.
– вероятность выпадения орла на каждой из 10 монет
и т.д.
Однако на практике подобные задачи встречаются не столь часто, и, видимо, по этой причине формула Бернулли чуть ли не стереотипно ассоциируется только с повторными испытаниями. Хотя, как только что было показано, повторяемость вовсе не обязательна.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Задача 3
Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:
а) не выпадут (выпадут 0 раз)
;
б) выпадут 2 раза;
в) выпадут 5 раз.
Результаты округлить до 4 знаков после запятой.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Очевидно, что в рассматриваемых примерах некоторые события более вероятны, а некоторые – менее вероятны. Так, например, при 6 бросках кубика даже безо всяких расчётов интуитивно понятно, что вероятности событий пунктов «а» и «бэ» значительно больше вероятности того, что «пятёрка» выпадет 5 раз. А теперь поставим задачу найти
НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ число появлений события в независимых испытаниях
Опять же на уровне интуиции в Задаче №3 можно сделать вывод о том, что наивероятнейшее количество появлений «пятёрки» равно единице – ведь всего граней шесть, и при 6 бросках кубика каждая из них должна выпасть в среднем по одному разу. Желающие могут вычислить вероятность и посмотреть, будет ли она больше «конкурирующих» значений и .
Сформулируем строгий критерий : для отыскания наивероятнейшего числа появлений случайного события в независимых испытаниях (с вероятностью в каждом испытании) руководствуются следующим двойным неравенством:
, причём:
1) если значение – дробное, то существует единственное наивероятнейшее число ;
в частности, если – целое, то оно и есть наивероятнейшее число: ;
2) если же – целое, то существуют два наивероятнейших числа: и .
Наивероятнейшее число появлений «пятёрки» при 6 бросках кубика подпадает под частный случай первого пункта:
В целях закрепления материала решим пару задач:
Задача 4
Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность.
А это уже если и не Терминатор, то, как минимум, хладнокровный спортсмен =)
Решение
: для оценки наивероятнейшего числа попаданий используем двойное неравенство 
. В данном случае:
– всего бросков;
– вероятность попадания в корзину при каждом броске;
– вероятность промаха при каждом броске.
Таким образом, наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках находится в следующих пределах:
Поскольку левая граница – дробное число (пункт №1) , то существует единственное наивероятнейшее значение, и, очевидно, что оно равно .
Используя формулу Бернулли 
, вычислим вероятность того, что при 8 бросках будет ровно 2 попадания:
Ответ
: – наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках,
– соответствующая вероятность.
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Задача 5
Монета подбрасывается 9 раз. Найти вероятность наивероятнейшего числа появлений орла
Примерный образец решения и ответ в конце урока.
После увлекательного отступления рассмотрим ещё несколько задач, а затем я поделюсь секретом правильной игры в азартные игры и лотереи.
Задача 6
Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:
а) от 2 до 4 изделий первого сорта;
б) не менее 5 изделий первого сорта;
в) хотя бы одно изделие более низкого сорта.
Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому здесь идёт речь о независимых испытаниях. Старайтесь не пренебрегать анализом условия, а то может статься – события-то зависимые или задача вообще о другом.
Решение
: вероятность зашифрована под проценты, которые, напоминаю, нужно разделить на сто: – вероятность того, что выбранное изделие будет 1-го сорта.
Тогда: – вероятность того, что оно не будет первосортным.
а) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта» состоит в трёх несовместных исходах:
среди изделий будет 2 первосортных или 3 первосортных или 4 первосортных.
С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли 
:
– вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из шести.
Данное значение нас тоже не устроит, так как оно меньше требуемой надёжности работы вычислительного центра:
Таким образом, шести компьютеров тоже не достаточно. Добавляем ещё один:
3) Пусть в вычислительном центре компьютеров. Тогда безотказно должны работать 5, 6 или 7 компьютеров. Используя формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей несовместных событий , найдём вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из семи.
Известная теорема Я. Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью, может быть доказана как прямое следствие закона больших чисел.
Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Я. Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .
Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Я. Бернулли в виде формулы
, (13.5.1)
где, - сколь угодно малые положительные числа.
Требуется доказать справедливость этой формулы при достаточно большом .
Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины:
Число появлений события в первом опыте;
Число появлений события во втором опыте, и т. д.
Все эти величины прерывны и имеют один и тот же закон распределения, выражаемый рядом вида:
где . Математическое ожидание каждой из величин равно , а ее дисперсия (см. 10.3).
Частота представляет собой не что иное, как среднее арифметическое величин :
и, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих случайных величин. Отсюда и следует справедливость неравенства (13.5.1).
Теорема Я. Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется следующим образом:
Если производится независимых опытов и вероятность появления события в -м опыте равна , то при увеличении частота события сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей .
Теорема Пуассона выводится из обобщенной теоремы Чебышева точно так же, как теорема Бернулли была выведена из закона больших чисел.
Теорема Пуассона имеет большое принципиальное значение для практического применения теории вероятностей. Дело в том, что зачастую вероятностные методы применяются для исследования явлений, которые в одних и тех же условиях не имеют шансов повториться достаточно много раз, но повторяются многократно при весьма разнообразных условиях, причем вероятности интересующих нас событий сильно зависят от этих условий. Например, вероятность поражения цели в воздушном бою существенно зависит от дальности стрельбы, ракурса цели, высоты полета, скорости стреляющего самолета и цели и т. д. Комплекс этих условий слишком многочислен для того, чтобы можно было рассчитывать на многократное осуществление воздушного боя именно в данных фиксированных условиях. И все же, несмотря на это, в данном явлении налицо определенная устойчивость частот, а именно частота поражения цели в реальных воздушных боях, осуществляемых в самых разных условиях, будет приближаться к средней вероятности поражения цели, характерной для данной группы условий. Поэтому те методы организации стрельбы, которые основаны на максимальной вероятности поражения цели, будут оправданы и в данном случае, несмотря на то, что нельзя ожидать подлинной массовости опытов в каждом определенном комплексе условий.
Аналогичным образом обстоит дело в области опытной проверки вероятностных расчетов. На практике очень часто встречается случай, когда требуется проверить на опыте соответствие вычисленной вероятности какого-либо события его фактической частоте. Чаще всего это делается для того, чтобы проверить правильность той или иной теоретической схемы, положенной в основу метода вычисления вероятности события. Зачастую при такой экспериментальной проверке не удается воспроизвести достаточно много раз одни и те же условия опыта. И все же эта проверка может быть осуществлена, если сравнить наблюденную в опыте частоту события не с его вероятностью для фиксированных условий, а со средним арифметическим вероятностей, вычисленных для различных условий.
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияА равна р . Другими словами, пусть имеет место схема Бернулли. Можно ли предвидеть какова будет примерно относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос даёт теорема, доказанная Я.Бернулли 1 , которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науки 2 .
ТЕОРЕМА Бернулли
:
Если в каждом из
независимых испытаний, проводимых в
одинаковых условиях, вероятностьр
появления события А
постоянна, то относительная частота
появления события А
сходится по вероятности к вероятности
р
– появления данного события в отдельном
опыте, то есть
.
Доказательство
.
Итак, имеет место схема Бернулли,
.
Обозначим через
дискретную случайную величину – число
появлений событияА
в
-ом
испытании. Ясно, что каждая из случайных
величин может принимать лишь два
значения:1
(событие А
наступило) с вероятностью р
и 0
(событие А
не наступило) с вероятностью
,
то есть
|
|
|
|
|
Р |
р |
|
(
)
Нетрудно найти
Можно ли применить
к рассматриваемым величинам теорему
Чебышева? Можно, если случайные величины
попарно независимы и дисперсии их
равномерно ограничены. Оба условия
выполняются. Действительно, попарная
независимость величин
следует из того, что испытания независимы.
Далее 3
при
и, следовательно, дисперсии всех величин
ограничены, например числом
.
Кроме того, заметим, что каждая из
случайных величин
при появлении событияА
в соответствующем испытании принимает
значение, равное единице. Следовательно,
сумма
равна числу
- появлений событияА
в
испытаниях, а значит
,
то есть дробь
равна относительной частоте
появлений события
А
в
испытаниях.
Тогда, применяя теорему Чебышева к рассматриваемым величинам, получим:
что и требовалось доказать.
Замечание 1 : Теорема Бернулли является простейшим частным случаем теоремы Чебышева.
Замечание 2 : На практике часто неизвестные вероятности приходится приближённо определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число опытов. Так, например, французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз. Герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона приближённо равна 0,507. Английский статистик К.Пирсон бросал монету 12 000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба. Частота выпадения герба в этом опыте Пирсона равна 0,5016. В другой раз он бросил монету 24 000 раз, и герб при этом выпал 12 012 раз; частота выпадения герба при этом оказалась равной 0,5005. Как видим, во всех приведённых опытах частота лишь немного уклонилась от вероятности 0,5 – появления герба в результате одного бросания монеты.
Замечание
3
: Было бы
неправильным на основании теоремы
Бернулли сделать вывод, что с ростом
числа испытаний относительная частота
неуклонно стремится к вероятности р
;
другими словами, из
теоремы Бернулли не вытекает равенство
.
В теоремеречь
идёт лишь о вероятности
того, что при достаточно большом числе
испытаний относительная частота будет
как угодно мало отличаться от постоянной
вероятности появления события в каждом
испытании. Таким образом, сходимость
относительной частоты 
к вероятности р
отличается от сходимости в смысле
обычного анализа. Для того чтобы
подчеркнуть это различие, вводят
понятие «сходимости по вероятности»
.
Точнее, различие между указанными видами
сходимости состоит в следующем: если 
стремится
при
кр
как пределу в
смысле обычного анализа
,
то, начиная с некоторого
и для всех последующих значений
,
неуклонно выполняется неравенство
;если же
стремится
по вероятности
к р
при
,
то для отдельных значений
неравенство может и не выполняться.
Теоремы Пуассона и Маркова
Замечено, если условия опыта меняются , то свойство устойчивости относительной частоты появления события А сохраняется. Это обстоятельство доказано Пуассоном.
ТЕОРЕМА Пуассона : При неограниченном увеличении числа независимых испытаний, проводимых в переменных условиях, относительная частота появления события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей появления данного события в каждом из опытов, то есть
.
Замечание 4 : Нетрудно убедиться, что теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева.
ТЕОРЕМА Маркова
:
Если последовательность случайных
величин
(как угодно зависимых) такова, что при
,
то,
выполняется
условие:
.
Замечание
5
: Очевидно,
если случайные величин
попарно независимы, то условие Маркова
принимает вид: при
.
Отсюда видно, что теорема Чебышева является частным случаем теоремы Маркова.
Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова)
Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей, как уже отмечалось, существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем – центральная предельная терема . Различные её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин. Впервые одна из форм центральной предельной теоремы была доказана выдающимся русским математиком А.М.Ляпуновым в 1900 году с использованием специально разработанного им метода характеристических функций.
ТЕОРЕМА Ляпунова
:
Закон распределения суммы независимых
случайных величин
приближается к нормальному закону
распределения при неограниченном
увеличении
(то есть, при
),
если выполняются следующие условия:
,
Следует отметить,
что центральная предельная теорема
справедлива не только для непрерывных,
но и для дискретных случайных величин.
Практическое значение теоремы Ляпунова
огромно. Опыт показывает, что закон
распределения суммы независимых
случайных величин, сравнимых по своему
рассеиванию, достаточно быстро
приближается к нормальному. Уже при
числе слагаемых порядка десяти закон
распределения суммы можно заменить на
нормальный (в частности, примером такой
суммы может быть среднее арифметическое
наблюдаемых значений случайных величин,
то есть 
).
Частным случаем
центральной предельной теоремы является
теорема Лапласа. В ней, как вы помните,
рассматривается случай, когда случайные
величины
дискретны, одинаково распределены и
принимают только два возможных значения:
0 и 1.
Далее, вероятность
того, что
заключено в интервале
можно вычислить по формуле
.
Используя функцию Лапласа, последнюю формулу можно записать в удобном для расчётов виде:
где
.
ПРИМЕР . Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение даёт лишь приближённое значение измеряемой величины, так как на результат измерения оказывают влияние очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, совокупное их действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».
Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.
2 Доказательство, предложенное Я.Бернулли, было сложным; более простое доказательство было дано П.Чебышевым в 1846 году.
3 Известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей.
Закон больших чисел (теорема Чебышева).
В данном n° мы докажем одну из простейших, но вместе с тем наиболее важных форм закона больших чисел-теорему Чебышева. Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений случайной величины и ее математическим ожиданием.
Предварительно решим следующую вспомогательную задачу.
Имеется случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией . Над этой величиной производится я независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений величины . Требуется найти числовые характеристики этого среднего арифметического - математическое ожидание и дисперсию- и узнать, как они изменяются с увеличением .
Обозначим:
Значение величины в первом опыте;
Значение величины во втором опыте, и т. д.
Очевидно, совокупность величин 
представляет собой независимых случайных величин, каждая из которых распределена по тому же закону, что и сама величина. Рассмотрим среднее арифметическое этих величин:
Случайная величина есть линейная функция независимых случайных величин. Найдем математическое ожидание и дисперсию этой величины. Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии для определения числовых характеристик линейных функций получим:
Итак, математическое ожидание величины не зависит от числа опытов и равно математическому ожиданию наблюдаемой величины . Что касается дисперсии величины , то она неограниченно убывает с увеличением числа опытов и при достаточно большом должна быть сделана сколь угодно малой. Мы убеждаемся, что среднее арифметическое есть случайная величина со сколь угодно малой дисперсией и при большом числе опытов ведет себя почти как не случайная.
Теорема Чебышева и устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического. Она формулируется следующим образом:
При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходятся по вероятности к ее математическому ожиданию .
Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого разъясним смысл термина ʼʼсходится по вероятностиʼʼ. Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к величине ,если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом
где-произвольно малые положительные числа.
Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает что при увеличении среднее арифметическое
Сходится по вероятности к , т. е.
(6.7)
Докажем это неравенство.
Доказательство . Выше было показано, что величина
имеет числовые характеристики
Применим к случайной величине Y неравенство Чебышева, полагая :
Как бы мало ни было число, можно взять таким большим, чтобы выполнялось неравенство
где - сколь угодно малое число.
откуда, переходя к противоположному событию, имеем:
что и требовалось доказать.
Известная теорема Я.Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью, должна быть доказана как прямое следствие закона больших чисел.
Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А , вероятность появления которого в каждом опыте равна р . Теорема Я. Бернулли утверждает, что при неограниченном числе опытов n частота события А сходится по вероятности к его вероятности р.
Обозначим частоту события А в n опытах через Р и запишем теорему Бернулли в виде формулы
где и - сколь угодно малые положительные числа.
Требуется доказать справедливость этой формулы при достаточно большом n .
Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины:
Х 1 – число появлений события А в первом опыте;
Х 2 – число появлений события А во втором опыте, и т.д.
Все эти величины дискретны и имеют один и тот же закон распределения, выражаемый рядом вида
| q | p |
Здесь q = 1 – p . Математическое ожидание каждой из этих величин Х i равно р, а ее дисперсия pq (см Л3-п3.2).
Частота Р представляет собой не что иное, как среднее арифметическое величин Х 1 , Х 2 , ... , Х n:
Р = i / n ,
и, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих случайных величин. Отсюда и следует справедливость неравенства (6. 1) .
Теорема Бернулли. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Теорема Бернулли." 2017, 2018.
Теорема 13.3 (теорема Бернулли). Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят-ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:
Доказательство. Введем случайные величины Х 1 , Х 2 , …, Х п , где X i – число появлений А в i -м опыте. При этом X i могут принимать только два значения: 1(с вероятностью р ) и 0 (с вероятностью q = 1 – p ). Кроме того, рассматриваемые случайные величины попарно независимы и их дисперсии равномерно ограничены (так как D (X i ) = pq , p + q = 1, откуда pq ≤ ¼). Следовательно, к ним можно применить теорему Чебышева при M i = p :
.
Но 
, так как X i
принимает значение, равное 1, при появлении А
в данном опыте, и значение, равное 0, если А
не произошло. Таким образом,
что и требовалось доказать.
Замечание. Из теоремы Бернулли не следует , что Речь идет лишь о вероятно-сти того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. Разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в математическом анализе, для всех п , начиная с некоторого значения, неравенство выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения п , при которых это неравенство неверно. Этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности .
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли
На сайте сайт читайте: "закон больших чисел. неравенство чебышева. теоремы чебышева и бернулли"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли
Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-вает случайный характер и становится
Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справед-ливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для дискретных случайных величин.
Теоремы Чебышева и Бернулли
Теорема 13.2 (теорема Чебышева). Если Х1, Х2,…, Хп – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно
Центральная предельная теорема Ляпунова. Предельная теорема Муавра-Лапласа
Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. О
Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма
Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют
Двумерного случайного вектора
При статистическом исследовании двумерных случайных величин основной задачей является обычно выявление связи между составляющими.
Двумерная выборка представляет собой набор
Способы построения оценок
1. Метод наибольшего правдоподобия.
Пусть Х – дискретная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла значения х1, х
Построение доверительных интервалов
1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
Пусть исследуемая случайная величина Х распределена
