Экспоненту обозначают так ,
или .
Число e
Основанием степени экспоненты является число e
. Это иррациональное число. Оно примерно равно
е
≈ 2,718281828459045...
Число e
определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел
:
.
Также число e
можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
График экспоненты, y = e x .
На графике представлена экспонента, е
в степени х
.
y(x)
= е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .
;
;
;
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a
через экспоненту:
.
Частные значения
Пусть y(x)
= e x
.
Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y(x)
= e x
определена для всех x
.
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞
.
Ее множество значений:
0
< y < + ∞
.
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
Обратная функция
Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.
Производная экспоненты
Производная е
в степени х
равна е
в степени х
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера
:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
;
;
.
Выражения через тригонометрические функции
;
;
;
.
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Функция Exp в Паскале (и многих других языках программирования) вычисляет экспоненту. Синтаксис:
function Exp(X: ValReal) : ValReal;
Функция Exp X вычисляет и возвращает экспоненту числа X.
Вычисление экспоненты - это вычисление числа е в степени X. То есть
Подробности см. в видео и читайте в статье далее.
Обратная функция Ln
Если вы помните , то вы также помните, что она вычисляет натуральный логарифм.
Так вот, обратной функцией Exp является функция Ln. Иными словами, обратная функция экспоненциальной функции (экспоненты) - это натуральный логарифм. То есть:
Log e (Y) = Ln (Y) = X
e X = Y = Exp (X)
e X = Exp(X) = Exp(Ln(Y)) = Y
Есть ещё вот такая полезная формула:
x Y = e Y ln(x) = Exp(Y * Ln(X))
Из этого следует, что используя функции Ln и Exp, мы можем возвести любое число в любую степень. Сделать это можно, например, так:
P:= Exp(Y * Ln(X))
Если описать это математическим языком, то приведённое выше выражение будет эквивалентно следующей записи:
Правда, надо сказать, что здесь есть нюансы. Есть частные случаи, когда приведённое выше выражение выдаст неправильный результат. Например, когда Y или X отрицательные числа, или когда они равны нулю. Такие ситуации надо обрабатывать дополнительно. Однако эта статья не о возведении в степень, поэтому мы будем рассматривать эти частные случаи в другой статье.
Пример исходного кода, где используется функция Exp:
program funcexp; uses Math; var x, y: single; begin y:= Exp(2); //y = Exp(2) = 7,39 WriteLn("Exp(2) = e * e = ", y:0:4); x:= Exp(3 * Ln(2)); //x = 2 в степени 3 WriteLn("2 ^ 3 = ", x:0:4); ReadLn; end.
В этой же статье мы обсудим, что же такое экспонента в Excel и, самое главное, для чего она может пригодиться в обычной жизни или в бизнесе.
В студенческие годы часто приходилось слышать, фразы типа: «Зачем мы вообще учим ‘это’, в жизни нам ‘это’ никогда не пригодиться». Одним из таких ‘это’ часто была экспонента или, например, . У меня была слабая высшая математика при первом образовании, о чем я жалею. И вот сейчас приходиться догонять, темы что упустил раньше. Делюсь пересказом своих знаний.
Мы знаем, что наш мир описан точными науками — т.е. набором правил и законов более-менее точно описывающих происходящее. Для этого в большинстве случаев помогают функции/формулы. В природе довольно часто встречаются экспоненциальные явления (описываем экспонентой) формулой с числом e, а у = e в степени x уже будет экспоненциальной функцией:
Число e — это т.н. число Эйлера, приблизительно равное 2,72. Примечательно оно тем, что производная от этой функции равна самой функции exp(x)` = exp(x).
Что это вообще такое, и что для нас означает?
Лучше всего, действие экспоненты показывают графики ниже:
Две функции: y = 2 в x и y = e в степени x , где x = время, к примеру. Мы видим, что скорость роста экспоненциального графика увеличивается быстрее. А все почему? Потому, что производная (скорость роста или уменьшения) функции равна самой функции, т.е. скорость увеличения функции равна значению функции.
Если грубо, то в природе, это действительно встречается часто — чем больше клеток делятся, тем быстрее их становиться больше. Чем больше у вас денег в банке, тем большую прибыль они приносят. Например:
Вы вложили 1 000 руб. в банк, через год они принесли свои 100 руб. процентами, еще через год на вас работают уже 2 работника 1 000 руб. и 100 руб. и так далее пока вы не заберете деньги или не случится банковский кризис.
Кстати население на планете Земля тоже растет по экспоненте;)
Принцип Парето и экспонента
Слышали о таком принципе? Думаю да. «20% усилий приносят 80% результата». Это он. Лучшее определение для запоминания, мне кажется:
20% любителей пива употребляют 80% всего пива
На принципе Парето построен и ABC анализ запасов, например.
Этот принцип Парето — еще один пример экспоненты.
Кстати очень справедливый закон в реальной жизни, подтверждаю своим опытом.Когда-то на первом своем проекте я заметил, что примерно за 20% времени ты создаешь 80% продукта (в количественном эквиваленте), далее работаешь на качество. Т.е. еще 80% времени допиливаешь, ищешь ошибки, настраиваешь. Я даже слышал, что говорят «разработка в стадии экспоненты» — т.е. в стадии приближения к идеалу.
При таком «допиливании» проекта важно вовремя остановиться, ведь продукт никогда не будет идеальным. Поэтому заранее определитесь какое качество вы хотели бы получить в конце. Если делаете не себе, обязательно соберите требования с заказчика. Принцип выглядит примерно так:
