1. Пусть даны два векторных пространства и , соответственно и измерений над числовым полем , и линейный оператор , отображающий в . В настоящем параграфе мы выясним, как меняется матрица , соответствующая данному линейному оператору , при изменении базисов в и .
Выберем в и произвольные базисы и . В этих базисах оператору будет соответствовать матрица . Векторному равенству
соответствует матричное равенство
где и - координатные столбцы для векторов и в базисах и .
Выберем теперь в и другие базисы и . В новых базисах вместо , , будем иметь: , , . При этом
Обозначим через и неособенные квадратные матрицы соответственно порядков и , осуществляющие преобразование координат в пространствах и при переходе от старых базисов к новым (см. § 4):
Тогда из (27) и (29) получаем:
Полагая , мы из (28) и (30) находим:
Определение 8. Две прямоугольные матрицы и одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две неособенные квадратные матрицы и такие, что
Из (31) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору при различном выборе базисов в и , всегда эквивалентны между собой. Нетрудно видеть, что и обратно, если матрица отвечает оператору при некоторых базисах в и , матрица эквивалентна матрице , то она отвечает тому же линейному оператору при некоторых других базисах в и .
Таким образом, каждому линейному оператору, отображающему и , соответствует класс эквивалентных между собой матриц с элементами из поля .
2. Следующая теорема устанавливает критерий эквивалентности двух матриц:
Теорема 2. Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти матрицы имели один и тот же ранг.
Доказательство. Условие необходимо. При умножении прямоугольной матрицы на какую-либо неособенную квадратную матрицу (слева или справа) ранг исходной прямоугольной матрицы не может измениться (см. гл. I, стр. 27). Поэтому из (32) следует
Условие
достаточно. Пусть - прямоугольная матрица размера . Она определяет
линейный оператор , отображающий пространство с базисом в пространство с базисом . Обозначим через число линейно
независимых векторов среди векторов 
. Не нарушая общности, можем считать,
что линейно независимыми являются векторы 
, а остальные , выражаются линейно через
них:
. (33)
Определим новый базис следующим образом:
(34)
Тогда в силу (33)
. (35)
Векторы линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса в .
Тогда матрица отвечающая тому же оператору в новых базисах ; , согласно (35) и (36) будет иметь вид
. (37)
В матрице вдоль главной диагонали сверху вниз идут единиц; все остальные элементы матрицы равны нулю. Так как матрицы и соответствуют одному и тому же оператору , то они эквивалентны между собой. По доказанному эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Поэтому ранг исходной матрицы равен .
Мы показали, что произвольная прямоугольная матрица ранга эквивалентна «канонической» матрице . Но матрица полностью определяется заданием размеров и числа . Поэтому все прямоугольные матрицы данных размеров и данного ранга эквивалентны одной и той же матрице и, следовательно, эквивалентны между собой. Теорема доказана.
3. Пусть дан линейный оператор , отображающий -мерное пространство в -мерное . Совокупность векторов вида , где , образует векторное пространство. Это пространство мы будем обозначать через ; оно составляет часть пространства или, как говорят, является подпространством в пространстве .
Наряду с подпространством в рассмотрим совокупность всех векторов , удовлетворяющих уравнению
Эти векторы так же образуют подпространство в ; это подпространство мы обозначим через .
Определение 9. Если линейный оператор отображает в , то число измерений пространства называется рангом оператора , а число измерений пространства , состоящего из всех векторов , удовлетворяющих условию (38), - дефектом оператора .
Среди всех эквивалентных прямоугольных матриц, задающих данный оператор в различных базисах, имеется каноническая матрица [ см. (37)]. Обозначим через и соответствующие ей базисы в и . Тогда
, 
.
Из определения и следует, что векторы образуют базис в , а векторы сопоставляют базис в . Отсюда вытекает, что - ранг оператора и
Если - произвольная матрица, соответствующая оператору , то она эквивалентна и, следовательно, имеет тот же ранг . Таким образом, ранг оператора совпадает с рангом прямоугольной матрицы
,
определяющий
оператор в
некоторых базисах 
и 
.
В столбцах
матрицы стоят
координаты векторов . Так как из следует , то ранг оператора , т. е. число
измерений ,
равняется максимальному числу линейно независимых векторов среди . Таким образом, ранг
матрицы совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы. Поскольку
при транспонировании строки матрицы делаются столбцами, а ранг не меняется, то
число линейно независимых строк матрицы так же равно рангу матрицы.
4. Пусть даны два линейных оператора , и их произведение .
Пусть оператор отображает в , а оператор отображает в . Тогда оператор отображает в :
Введем матрицы , , , соответствующие операторам , , при некотором выборе базисов , и . Тогда операторному равенству будет соответствовать матричное равенство ., т. е. в, .
Док-во: Т.е. ранг матрицы сохраняется при выполнении следующих операций:
1. Изменение очерёдности строк.
2. Умножение матрицы на число, отличное от нуля.
3. Транспонирование.
4. Исключение строки из нулей.
5. Прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Первое преобразование оставит неизменными некоторые миноры, а у некоторых изменит знак на противоположный. Второе преобразование также оставит неизменными некоторые миноры, а некоторые умножатся на число, отличное от нуля. Третье преобразование сохранит все миноры. Потому при применении этих преобразований сохранится и ранг матрицы (второе определение). Исключение нулевой строки не может изменить ранга матрицы, ибо такая строка не может войти в ненулевой минор. Рассмотрим пятое преобразование.
Будем считать, что базисный минор Δp располагается в первых p строках. Пусть к строке а, входящей в число этих строк, прибавлена произвольная строка b, умноженная на некоторое число λ. Т.е. к строке а прибавлена линейная комбинация строк, содержащих базисный минор. При этом базисный минор Δp останется неизменным (и отличным от 0). Прочие миноры, размещённые в первых p строках, также остаются неизменными, то же самое справедливо для всех остальных миноров. Т.о. в данном случае ранг (по второму определению) сохранится. Теперь рассмотрим минор Ms, у которого не все строки из числа первых p строк (а возможно, таких в нем и нет).
Прибавив к строке ai произвольную строку b, умноженную на число λ, получим новый минор Ms‘, причём Ms‘=Ms+λ Ms, где
Если s>p, то Ms=Ms=0, т.к. все миноры порядка большего, чем p, исходной матрицы равны 0. Но тогда и Ms‘=0, и ранг преобразований матрицы не увеличился. Но и уменьшиться он не мог, так как базисный минор не подвергался никаким изменениям. Итак, ранг матрицы остаётся неизменным.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Простейший вид матрицы линейного оператора.
Матрицы A и B называются эквивалентными, если найдутся невырожденные матрицы Q и T , что A =QBT .
Теорема 6.1. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны.
Доказательство . Поскольку ранг произведения не превосходит ранги сомножителей, то . Так как , то . Объединяя два неравенства, получаем требуемое утверждение.
Теорема 6.2. Элементарными преобразованиями со строками и столбцами матрицу A можно привести к блочному виду , где - единичная матрица порядка k , а 0 – нулевая матрица соответствующих размеров.
Доказательство. Приведем алгоритм приведения матрицы A к указанному виду. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.
1. Положим r =1.
2. Если то перейдем на шаг 4, иначе перейдем на шаг 3.
3. Сделаем преобразования со строками 
, где i
=r
+1,…,m
, и со столбцами 
, где j
=r
+1,…,n
, и . Увеличим r
на 1 и вернемся на шаг 2.
4. Если , при i =r +1,…,m , j =r +1,…,n , то конец. В противном случае найдем i ,j >r , что . Переставим строки и столбцы , вернемся на шаг 2.
Очевидно, что алгоритмом будет строиться последовательность эквивалентных матриц, последняя из которых имеет требуемый вид.
Теорема 6.3. Матрицы A и B одинаковых размеров эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны.
Доказательство.
Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны (Теорема 6.1). Пусть ранги матриц равны. Тогда найдутся невырожденные матрицы, что 
, где r
=rgA
=rgB
(Теорема 6.2). Следовательно, 
, и матрицы A
и B
– эквивалентны.
Результаты данного пункта позволяют находить простейший вид матрицы линейного оператора и базисы пространств, в которых матрица линейного оператора имеет этот простейший вид.
Эквивалентные матрицы
Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.
Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
2. Пример: Определить ранг матрицы.
Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере - это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.
Теорема о базисном миноре.
Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и det A = 0, то по крайней мере один из столбцов - линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.
Решение произвольных систем линейных уравнений
Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
где aij - коэффициенты, а bi - постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матрица
А = называется матрицей системы, а матрица
А*= называется расширенной матрицей системы
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Элементарные преобразования систем
К элементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2)Перестановка уравнений местами.
3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Теорема Кронекера - Капели (условие совместности системы).
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде.
Переход к новому базису.
Пусть (1) и (2) – два базиса одного и того же m-мерного линейного пространства X.
Так как (1) – базис, то по нему можно разложить векторы второго базиса:
Из коэффициентов при составим матрицу:
(4) – матрица преобразования координат при переходе от базиса (1) к базису (2).
Пусть вектор, тогда (5) и (6).
Соотношение (7) означает, что
Матрица Р – невырожденная, так как в противном случае имело бы место линейная зависимость между ее столбцами, а тогда и между векторами.
Верно и обратное: любая невырожденная матрица является матрицей преобразования координат, определяемого формулами (8). Т.к. Р – невырожденная матрица, то для нее существует обратная. Умножая обе части (8) на, получим: (9).
Пусть в линейном пространстве X выбрано 3 базиса: (10), (11), (12).
Откуда, т.е. (13).
Т.о. при последовательном преобразовании координат матрица результирующего преобразования равна произведению матриц составляющих преобразований.
Пусть линейный оператор и пусть в X выбрана пара базисов: (I) и (II), и в Y – (III) и (IV).
Оператору А в паре базисов I – III соответствует равенство: (14). Этому же оператору в паре базисов II – IV соответствует равенство: (15). Т.о. для данного оператора А имеем две матрицы и. Мы хотим установить зависимость между ними.
Пусть Р – матрица преобразования координат при переходе от I к III.
Пусть Q – матрица преобразования координат при переходе от II к IV.
Тогда (16), (17). Подставим выражения для и из (16) и (17) в (14), получим:
Сравнивая данное равенство с (15), получим:
Соотношение (19) связывает матрицу одного и того же оператора в разных базисах. В случае, когда пространства X и Y совпадают, роль III базиса играет I, а IV – II-ой, тогда соотношение (19) принимает вид: .
Библиография:
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с
Лекция №16 (II семестр)
Тема: Необходимое и достаточное условие эквивалентности матриц.
Две матрицы, А и В, одинаковых размеров, называются эквивалентными , если существуют две невырожденные матрицы R и S, такие, что (1).
Пример: Две матрицы, соответствующие одному и тому же оператору при различных выборах базисов в линейных пространствах X и Y эквивалентны.
Ясно, что отношение, определенное на множестве всех матриц одного размера с помощью вышеприведенного определения является отношением эквивалентности.
Теорема 8: Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они были одного ранга.
Доказательство:
1. Пусть А и В – две матрицы, для которых имеет смысл. Ранг произведения (матрицы С) не выше ранга каждого из сомножителей.
Мы видим, что k-ый столбец матрицы С является линейной комбинацией векторов столбцов матрицы А и это выполняется для всех столбцов матрицы С, т.е. для всех. Т.о. , т.е. – подпространство линейного пространства.
Так как и так как размерность подпространства меньше или равна размерности пространства, то ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы А.
В равенствах (2) зафиксируем индекс i и будем придавать k всевозможные значения от 1 до s. Тогда получим систему равенств, аналогичную системе (3):
Из равенств (4) видно, что i-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В для всех i, а тогда линейная оболочка, натянутая на строки матрицы С, содержится в линейной оболочке, натянутой на строки матрицы В, а тогда размерность этой линейной оболочки меньше или равна размерности линейной оболочки векторов строк матрицы В, значит, ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы В.
2. Ранг произведения матрицы А слева и справа на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.(). Т.е. ранг матрицы С равен рангу матрицы А.
Доказательство: Согласно доказанному в случае (1) . Так как матрица Q – невырожденная, то для нее существует: и в соответствии с доказанным в предыдущем утверждении.
3. Докажем, что если матрицы эквивалентны, то они имеют одинаковые ранги. По определению, А и В эквивалентны, если существуют такие R и S, что. Так как при умножении А слева на R и справа на S получаются матрицы того же ранга, как доказано в пункте (2), ранг А равен рангу В.
4. Пусть матрицы А и В одинакового ранга. Докажем, что они эквивалентны. Рассмотрим, .
Пусть X и Y – два линейных пространства, в которых выбраны базисы (базис X) и (базис Y). Как известно, любая матрица вида определяет некоторый линейный оператор, действующий из X в Y.
Так как r – ранг матрицы А, то среди векторов в точности r линейно независимых. Не ограничивая общности, можно считать, что – первые r векторов – линейно независимы. Тогда все остальные через них линейно выражаются, и можно записать:
Определим в пространстве X новый базис, следующим образом: . (7)
Новый базис в пространстве Y следующим образом:
Векторы, по условию, линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса Y: (8). Итак (7) и (8) – два новых базиса X и Y. Найдем матрицу оператора А в этих базисах:
Итак, в новой паре базисов матрицей оператора А является матрица J. Матрица А изначально была произвольной прямоугольной матрицей вида, ранга r. Так как матрицы одного и того же оператора в разных базисах эквивалентны, то этим показано, что любая прямоугольная матрица вида ранга r эквивалентна J. Так как мы имеем дело с отношением эквивалентности, этим показано, что любые две матрицы А и В вида и ранга r, будучи эквивалентны матрице J эквивалентны между собой.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №17 (II семестр)
Тема: Собственные значения и собственные векторы. Собственные подпространства. Примеры.
