В некоторых электровакуумных приборах используется движение электронов в магнитном поле.

Рассмотрим случай, когда электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v 0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям. В этом случае на движущийся электрон действует так называемая сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору н0 и вектору напряженности магнитного поля Н. Величина силы F определяется выражением: F= ev0H.

При v0 = 0 сила Рравна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.

Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости н0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются по величине. Происходит лишь изменение направления скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью получается благодаря действию направленной к центру центростремительной силы, которой именно и является сила F.

Направление поворота электрона в магнитном поле в соответствии с правилом левой руки удобно определяется по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых линий, то электрон движется по часовой стреле. Иначе говоря, поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается по направлению магнитных силовых линий.

Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся выражением для центростремительной силы, известным из механики: F = mv20/r. Приравняем его значению силы F = ev0H: mv20/r = ev0H. Теперь из этого уравнения можно найти радиус: r = mv0/(eH).

Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится двигаться прямолинейно по инерции и радиус искривления траектории будет больше. С другой стороны, с увеличением Н растет сила F, искривление траектории возрастает и радиус окружности уменьшается.

Выведенная формула справедлива для движения в магнитном поле частиц с любыми массами и зарядом.

Рассмотрим зависимость r от m и e. Заряженная частица с большей массой m сильнее стремится лететь по инерции прямолинейно и искривление траектории уменьшится, т. е. rстанет больше. А чем больше заряд e, тем больше сила F и тем сильнее искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше.

Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции по прямой линии. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.

Таким образом, магнитное поле изменяет только направление скорости электронов, но не ее величину, т. е. между электроном и магнитным полем нет энергетического взаимодействия. По сравнению с электрическим полем действие магнитного поля на электроны является более ограниченным. Именно поэтому магнитное поле применяется для воздействия на электроны значительно реже, нежели электрическое поле.

Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Если неоднородность поля незначительна, или если нет необходимости в получении точных количественных оценок, то для изучения движения в неоднородном поле также можно пользоваться более простыми законами, полученными для однородного поля.

Пусть электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью V 0 , направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям, рис. 5. В этом случае на электрон действует сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору V 0 и вектору магнитной индукции В, а численно равна:

При V 0 =0 сила F также равна нулю (на неподвижный электрон магнитное поле не действует). Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Так как сила F действует под прямым углом к скорости V 0 , она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются. Изменяется лишь направление движения.

Направление движения электрона определяется следующему мнемоническому правилу: поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается в направлении магнитных силовых линий. Это правило часто называют правилом буравчика.

Известно, что движение тела по окружности с постоянной скоростью происходит под действием направленной к центру (центростремительной) силы. В нашем случае в качестве центростремительной выступает сила Лоренца F. Из механики известно, что центростремительная сила может быть рассчитана по формуле:

где r – радиус окружности вращения электрона. Приравняв центростремительную силу, получаемую из последнего выражения к выражению для силы Лоренца, получим:

.

Откуда найдем радиус:

Чем больше скорость электрона, тем больше и радиус окружности, описываемой им в магнитном поле. Выйдя за пределы магнитного поля, электрон летит равномерно и прямолинейно по инерции. Если же радиус окружности мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.

Рассмотрим случай, когда электрон влетает в магнитное поле под любым углом, рис. 6. Выберем координатную плоскость так, чтобы вектор начальной скорости электрона V 0 лежал в этой плоскости и чтобы ось Х совпадала по направлению с вектором В. Разложим V 0 на составляющие V x и V y . Движение электрона со скоростью V x эквивалентно току вдоль силовых линий. На такой ток магнитное поле не действует. Следовательно скорость V x не испытывает никаких изменений. Если бы электрон имел только эту скорость, он бы двигался прямолинейно и равномерно. Влияние поля на скорость V y такое же, как и в первом случае, отображенном на рис. 6. имея только скорость V y электрон двигался бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям.

Результирующее движение электрона происходит по винтовой линии (по спирали). В зависимости о значений B, V x и V y , эта спираль более или менее растянута. Радиус спирали легко определить по последней формуле, подставив в нее скорость V y .

Ниже размещены условия задач и отсканированные решения. Если вам нужно решить задачу на эту тему, вы можете найти здесь похожее условие и решить свою по аналогии. Загрузка страницы может занять некоторое время в связи с большим количеством рисунков. Если Вам понадобится решение задач или онлайн помощь по физике- обращайтесь, будем рады помочь.

Движение заряда в магнитном поле может происходить по прямой, по окружности и по спирали. Если угол между вектором скорости и силовыми линиями магнитного поля не равен нулю или 90 градусам, заряд движется по спирали - на него действует со стороны магнитного поля сила Лоренца, которое придает ему центростремительное ускорение.

Частица, ускоренная разностью потенциалов 100В, движется в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл по спирали радиуса 6,5 см с шагом 1 см. Найти отношение заряда частицы к ее массе.

Электрон влетает со скоростью 1 Мм/с в магнитное поле под углом 60 градусов к силовым линиям. Напряженность магнитного поля 1,5 кА/м. Найти радиус и шаг спирали, по которой будет двигаться электрон.

Электрон движется в магнитном поле с индукцией 100 мкТл по спирали с радиусом 5 см и шагом 20 см. Найти скорость электрона.

Электрон, разогнанный разностью потенциалов 800В, движется в магнитном поле с индукцией 4,7 мТл по спирали с шагом 6 см. Найти радиус спирали.

Протон, разогнанный разностью потенциалов 300В, влетает в магнитное поле под углом 30 градусов к силовым линиям. Индукция магнитного поля 20 мТл. Найти радиус и шаг спирали, по которой будет двигаться протон.

Электрон, разогнанный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в магнитное поле под углом 30 градусов к силовым линиям. Индукция магнитного поля 13 мТл. Найти радиус и шаг спирали, по которой будет двигаться электрон.

Альфа-частица, разогнанная разностью потенциалов U, влетает в магнитное поле под углом к силовым линиям. Индукция магнитного поля 50 мТл. Hадиус и шаг спирали - траектории частицы - соответственно 5 см и 1 см. Определить разность потенциалов U.

Электрон влетает со скоростью 1 Мм/с в магнитное поле под углом 30 градусов к силовым линиям. Индукция магнитного поля 1,2 мТл. Найти радиус и шаг спирали, по которой будет двигаться электрон.

Электрон влетает со скоростью 6 Мм/с в магнитное поле под углом 30 градусов к силовым линиям. Индукция магнитного поля 1,0 мТл. Найти радиус и шаг спирали, по которой будет двигаться электрон.

Электрон движется в магнитном поле индукцией 5 мТл по спирали шага 5 см и радиуса 2 см. Определить скорость и кинетическую энергию электрона и угол между векторами скорости электрона и магнитной индукции поля.

Движение электрона в тормозящем поле

Пусть начальная скорость электрона v0 противоположна по направлению силе F, действующей на электрон со стороны поля.

Электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким потенциалом. Так как сила F направлена навстречу скорости v0 то электрон тормозится и движется равнозамедленно. Поле в этом случае называют тормозящим. Энергия электронов в тормозящем поле уменьшается, так как работа совершается не полем, а самим электроном, который преодолевает сопротивление сил поля. Таким образом, в тормозящем поле электрон отдает энергию полю.

Если начальная энергия электрона равна еU0 и он проходит в тормозящем поле разность потенциалов U, то его энергия уменьшается на еU. Когда, электрон пройдет все расстояние между электродами и ударит в электрод с более низким потенциалом. Если же, то, пройдя разность потенциалов U0, электрон потеряет всю свою энергию, скорость его станет равна нулю и он начнет ускоренно двигаться обратно. Таким образом, электрон совершает движение, подобное полету тела, брошенного вертикально вверх.

Движение электрона в однородном поперечном поле

Если электрон вылетает с начальной скоростью v0 под прямым углом к направлению силовых линий поля то поле действует

На электрон с силой F, направленной в сторону более высокого потенциала. При отсутствии силы F электрон совершал бы равномерное прямолинейное движение по инерции со скоростью v0.А под действием силы F электрон должен равноускоренно двигаться в направлении, перпендикулярном v0.Результирующее движение происходит по параболе, причем электрон отклоняется в сторону положительного электрода. Если электрон выйдет за пределы поля, как показано на рисунке, то дальше он будет двигаться по инерции прямолинейно и равномерно. Это подобно движению тела, брошенного с некоторой начальной скоростью в горизонтальном направлении. Под действием силы тяжести такое тело при отсутствии воздуха двигалось бы по параболической траектории.

Электрическое поле всегда изменяет в ту или другую сторону энергию и скорость электрона. Таким образом, между электроном и электрическим полем всегда имеется энергетическое взаимодействие, т. е. обмен энергией. Скорость электрона при ударе об электрод определяется только начальной скоростью и пройденной разностью потенциалов между конечными точками пути.

Движение электронов в однородном магнитном поле

Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Когда неоднородность поля незначительна или когда нет необходимости в получении точных количественных результатов, можно пользоваться законами, установленными для движения электрона в однородном поле.

Пусть электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям (рис. В этом случае на движущийся электрон действует сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору v0 и вектору магнитной индукции В:

Как видно, при v0 = 0 сила F равна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.

Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости v0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются, а изменяется лишь направление скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью происходит благодаря действию направленной к центру (центростремительной) силы, т. е. силы F.

Направление движения электрона в магнитном поле удобно определять по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых, линий, то электрон движется по часовой стрелке. Или иначе: поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается в направлении магнитных силовых линий.

Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся, выражением для центростремительной силы, известным из механики,

и приравняем его значению силы F по формуле (14):

Теперь из этого уравнения можно найти радиус:

Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится к прямолинейному движению по инерции и тем больше радиус траектории. С увеличением В растет сила F, искривление траектории усиливается и радиус уменьшается.

Выведенная формула справедлива для частиц с любой массой и зарядом.

Чем больше масса, тем сильнее стремится частица лететь по инерции прямолинейно, т. е. радиус r становится больше. А чем больше заряд, тем больше сила F и тем сильнее, искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше. Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции прямолинейно. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.

Рассмотрим более общий случай, когда электрон влетает в магнитное поле под любым углом. Выберем координатную плоскость так, чтобы вектор начальной скорости электрона v0 лежал в этой плоскости и чтобы ось х совпадала по направлению с вектором В.

Разложим v0 на составляющие и. Движение электрона со скоростью. эквивалентно току вдоль силовых линий. Но на такой ток магнитное поле не действует, т. е. скорость. не испытывает никаких изменений. Если бы электрон имел только эту скорость, то он двигался бы прямолинейно и равномерно. А влияние поля на скорость такое же, как и в основном случае по рис. Имея только скорость электрон совершал бы движение по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям.

Результирующее движение электрона происходит по винтовой линии (часто говорят "по спирали"). В зависимости от значений В, и эта винтовая траектория более или менее растянута. Ее радиус легко определить по формуле (16), подставив в нее скорость.

Для решения этой задачи так же воспользуемся прямоугольной системой координат. Ось у направим навстречу вектору магнитной индукции В, а ось х - так, чтобы вектор скорости электрона v0 находящегося в момент времени t = 0 в точке начала координат, лежал в плоскости XOY,. т.е. имеем компоненты vxo и vyo

В отсутствии электрического поля система уравнений движения электрона принимает вид:

или с учетом условий Вx =Bz=0, а Вy = - В:

Движение электрона в однородном магнитном поле

Интегрирование второго уравнения системы с учетом начального условия: при t=0, vy =vyo приводит к соотношению:

т.е. показывает, что магнитное поле не влияет на компоненту скорости электрона в направлении силовых линий поля.

Совместное решение первого и третьего уравнений системы, состоящее в дифференцировании первого по времени и подстановке значения dvz /dt из третьего, приводит к уравнению, связывающему скорость электрона vx со временем:

Решение уравнений такого типа можно представить в виде:

причем из начальных условий при t=0, v x=vx0 , dvx/dt=0 (что следует из первого уравнения системы, так как vz0 = 0) вытекает, что

Кроме того, дифференцирование этого уравнения с учетом первого уравнения системы приводит к выражению:

Заметим, что возведение в квадрат и сложение двух последних уравнений дает выражение:

которое еще раз подтверждает, что магнитное поле не изменяет величины полной скорости (энергии) электрона.

В результате интегрирования уравнения, определяющего его vx, получаем:

постоянная интегрирования в соответствии с начальными условиями равна нулю.

Интегрирование уравнения, определяющего скорость vz с учетом того, что при z = 0, t = 0 позволяет найти зависимость от времени координаты z электрона:

Решая два последних уравнения относительно и, возводя в квадрат и складывая, после несложных преобразований получаем уравнение проекции траектории электрона на плоскости XOZ:

Это уравнение окружности радиуса, центр которой расположен на оси z на расстоянии r от начала координат (рис. 2.2). Сама траектория электрона представляет собой цилиндрическую спираль радиуса с шагом. Из полученных уравнений очевидно также, что величина представляет собой круговую частоту движения электрона по этой траектории.

Во всех электронных и ионных приборах электронные потоки в вакууме или газе, находящемся под тем или иным давлением, подвергаются воздействию электрического поля. Взаимодействие движущихся электронов с электрическим.полем является основным процессом в электронных и ионных приборах. Рассмотрим движение электрона в электрическом поле.

Рис.1 — Движение электрона в ускоряющем (а), тормозящем (б) и поперечном (в) электрических полях

На рис.1 а, изображено электрическое поле в вакууме между двумя плоскими электродами. Они могут представлять собой катод и анод диода или любые два соседних электрода многоэлектродного прибора. Представим себе, что из электрода, имеющего более низкий потенциал, например из жатода, вылетает электрон с некоторой начальной скоростью Vo. Поле действует на электрон с силой F и ускоряет его движение к электроду, имеющему более высокий положительный потенциал, например к аноду. Иначе говоря, электрон притягивается к электроду с более высоким положительным потенциалом. Поэтому поле в данном случае называют ускоряющим. Двигаясь ускоренно, электрон приобретает наибольшую скорость в конце своего пути, т. е. при ударе об электрод, к которому он летит. В момент удара кинетическая энергия электрона также будет наибольшей. Таким образом, при движении электрона в ускоряющем поле происходит увеличение кинетической энергии электрона за счет того, что поле совершает работу по перемещению электрона. Электрон всегда отнимает энергию от ускоряющего поля.

Скорость, приобретаемая электроном при движении в ускоряющем поле, зависит исключительно от пройденной разности потенциалов U и определяется формулой

Удобно скорости электронов выражать условно в вольтах. Например, скорость электрона 10 в, означает такую скорость, которую электрон приобретает в результате движения в ускоряющем поле с разностью потенциалов 10 в. Из приведенной формулы легко найти, что при U - 100 в скорость V ~ 6 000 км/сек. При таких больших скоростях время пролета электрона в пространстве между электродами получается весьма малым, порядка 10 в минус 8 — 10 в минус 10 сек.

Рассмотрим теперь движение электрона, у которого начальная скорость Vo направлена против силы F, действующей на электрон со стороны поля (рис.1 б). В этом случае электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким положительным потенциалом. Та,к как сила F направлена навстречу скорости Vo, то получается торможение электрона и поле называют тормозящим. Следовательно, одно и то же поле для одних электронов является ускоряющим, а для других- тормозящим, в зависимости от направления начальной скорости электрона.

Кинетическая энергия электронов, движущихся в тормозящем поле, уменьшается, так как работа совершается не силами поля, а самим электроном, который.преодолевает сопротивление сил поля. Энергия, теряемая электроном, переходит к полю. Таким образом, в тормозящем поле электрон всегда отдает энергию полю.

Если начальную скорость электрона выражать в вольтах (Uo), то уменьшение скорости равно той разности потенциалов U, которую проходит электрон в тормозящем поле. Когда начальная скорость электрона больше, чем разность потенциалов между электродами (Uo> U), то электрон пройдет все расстояние между электродами и попадет на электрод с более низким потенциалом. Если же Uo < U, то, пройдя разность потенциалов, равную Uq, электрон полностью потеряет свою энергию, скорость его станет равна нулю, он на-момент остановится и начнет ускоренно двигаться обратно (рис.1 б).

Если электрон влетает с некоторой начальной скоростью Vo под прямым углом к направлению силовых линий поля (рис.1 в), то поле действует на электрон с силой F, направленной в сторону более высокого положительного потенциала. Поэтому электрон совершает одновременно два взаимно-перпендикулярных движения: равномерное движение по инерции со скоростью vQ и равномерно-ускоренное движение в ваправлении действия силы F. Как известно из механики, результирующее движение электрона должно происходить по параболе, причем электрон отклоняется в сторону более положительного электрода. Когда электрон выйдет за пределы поля (рис.1 в), то дальше он будет двигаться,по инерции прямолинейно равномерно.

Из рассмотренных законов движения электронов видно, что электрическое поле всегда воздействует на кинетическую энергию и скорость электрона, изменяя, их в ту или другую сторону. Таким образом, между электроном и электрическим полем всегда имеется энергетическое взаимодействие, т. е. обмен энергией. Кроме того, если начальная скорость электрона направлена не вдоль силовых линий, а под некоторым углом к ним, то электрическое поле искривляет траекторию электрона, превращая ее из прямой линии в параболу.
Рассмотрим теперь движение электрона в магнитном поле.

Движущийся электрон представляет собой элементарный электрический ток и испытывает со стороны магнитного поля такое же действие, как и проводник с током. Из электротехники известно, что на прямолинейный проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует механическая сила под прямым углом к магнитным силовым линиям и к проводнику. Ее направление изменяется на обратное, если изменить направление тока или направление магнитного поля. Эта сила пропорциональна напряженности поля, величине тока и длине проводника, а также зависит от угла между проводником и направлением поля.

Она будет наибольшей, если проводник расположен перпендикулярно силовым линиям; если же проводник расположен вдоль линий поля, то сила равна нулю.

Рис.2 — Движение электрона в поперечном магнитном поле.

Если электрон в магнитном поле неподвижен или движется вдоль силовых линий, то на него магнитное поле вообще не действует. На рис.2 показано, что происходит с электроном, который влетает в равномерное магнитное поле, созданное между полюсами магнита, с начальной скоростью Vo перпендикулярно к направлению поля. При отсутствии поля электрон двигался бы по инерции прямолинейно.и равномерно (штриховая линия); при наличии поля на него будет действовать сила F, направленная под прямым углом к магнитному полю и к скорости v0. Под действием этой силы электрон искривляет свей путь и двигается по дуге окружности. Его линейная скорость Vo и энергия при этом остаются неизменными, так как сила F все время действует перпендикулярно к скорости Vo. Таким образом, магнитное поле в отличие от электрического поля не изменяет энергию электрона, а лишь закручивает его.