График по точкам матлаб. Построение графиков matlab

Электронная проводимость металлов была впервые экспериментально доказана немецким физиком Э.Рикке в 1901 г. Через три плотно прижатых друг к другу отполированных цилиндра - медный, алюминиевый и снова медный - длительное время (в течение года) пропускали электрический ток. Общий заряд, прошедший за это время, был равен 3.5·10 6 Кл. Поскольку массы атомов меди и алюминия существенно отличаются друг от друга, то массы цилиндров должны были бы заметно измениться, если бы носителями заряда были ионы.

Результаты опытов показали, что масса каждого из цилиндров осталась неизменной. В соприкасающихся поверхностях были обнаружены лишь незначительные следы взаимного проникновения металлов, которые не превышали результатов обычной диффузии атомов в твердых телах. Следовательно, свободными носителями заряда в металлах являются не ионы, а такие частицы, которые одинаковы и в меди, и в алюминии. Такими частицами могли быть только электроны.

Прямое и убедительное доказательство справедливости этого предположения было получено в опытах, поставленных в 1913 г. Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси и в 1916 г. Т. Стюартом и Р. Толменом.

На катушку наматывают проволоку, концы которой припаивают к двум металлическим дискам, изолированным друг от друга (рис. 1). К концам дисков с помощью скользящих контактов присоединяют гальванометр.

Катушку приводят в быстрое вращение, а затем резко останавливают. После резкой остановки катушки свободные заряженные частицы будут некоторое время двигаться вдоль проводника по инерции, и, следовательно, в катушке возникнет электрический ток. Ток будет существовать короткое время, так как из-за сопротивления проводника заряженные частицы тормозятся и упорядоченное движение частиц прекращается.

Направление тока говорит о том, что он создается движением отрицательно заряженных частиц. Переносимый при этом заряд пропорционален отношению заряда частиц, создающих ток, к их массе, т.е. . Поэтому, измеряя заряд, проходящий через гальванометр за все время существования тока в цепи, удалось определить отношение . Оно оказалось равным 1,8·10 11 Кл/кг. Эта величина совпадает с отношением заряда электрона к его массе, найденным ранее из других опытов.

Таким образом, электрический ток в металлах создается движением отрицательно заряженных частиц электронов. Согласно классической электронной теории проводимости металлов (П. Друде, 1900 г., Х.Лоренц, 1904 г.), металлический проводник можно рассматривать как физическую систему совокупности двух подсистем:

1. свободных электронов с концентрацией ~ 10 28 м -3 и
2. положительно заряженных ионов, колеблющихся около положения равновесия.

Появление свободных электронов в кристалле можно объяснить следующим образом.

При объединении атомов в металлический кристалл слабее всего связанные с ядром атома внешние электроны отрываются от атомов (рис. 2). Поэтому в узлах кристаллической решетки металла располагаются положительные ионы, а в пространстве между ними движутся электроны, не связанные с ядрами своих атомов. Эти электроны называются свободными или электронами проводимости . Они совершают хаотическое движение, подобное движению молекул газа. Поэтому совокупность свободных электронов в металлах называют электронным газом .

Если к проводнику приложено внешнее электрическое поле, то на беспорядочное хаотическое движение свободных электронов накладывается направленное движение под действием сил электрического поля, что и порождает электрический ток. Скорость движения самих электронов в проводнике - несколько долей миллиметра в секунду, однако возникающее в проводнике электрическое поле распространяется по всей длине проводника со скоростью, близкой к скорости света в вакууме (3·10 8 м/с).

Так как электрический ток в металлах образуют свободные электроны, то проводимость металлических проводников называется электронной проводимостью .

Электроны под влиянием постоянной силы, действующей со стороны электрического поля, приобретают определенную скорость упорядоченного движения (ее называют дрейфовой). Эта скорость не увеличивается в дальнейшем со временем, так как при столкновении с ионами кристаллической решетки электроны передают кинетическую энергию, приобретенную в электрическом поле, кристаллической решетке. В первом приближении можно считать, что на длине свободного пробега (это расстояние, которое электрон проходит между двумя последовательными столкновениями с ионами) электрон движется с ускорением и его дрейфовая скорость линейно возрастает со временем

В момент столкновения электрон передает кинетическую энергию кристаллической решетке. Потом он опять ускоряется, и процесс повторяется. В результате средняя скорость упорядоченного движения электронов пропорциональна напряженности электрического поля в проводнике и, следовательно, разности потенциалов на концах проводника, так как , где l - длина проводника.

Известно, что сила тока в проводнике пропорциональна скорости упорядоченного движения частиц

а значит, согласно предыдущему, сила тока пропорциональна разности потенциалов на концах проводника: I ~ U. В этом состоит качественное объяснение закона Ома на основе классической электронной теории проводимости металлов.

Однако в рамках этой теории возникли трудности. Из теории следовало, что удельное сопротивление должно быть пропорционально корню квадратному из температуры (), между тем, согласно опыту, ~ Т. Кроме того, теплоемкость металлов, согласно этой теории, должна быть значительно больше теплоемкости одноатомных кристаллов. В действительности теплоемкость металлов мало отличается от теплоемкости неметаллических кристаллов. Эти трудности были преодолены только в квантовой теории.

В 1911 г. голландский физик Г. Камерлинг-Оннес, изучая изменение электрического сопротивления ртути при низких температурах, обнаружил, что при температуре около 4 К (т.е. при -269°С) удельное сопротивление скачком уменьшается (рис. 3) практически до нуля. Это явление обращения электрического сопротивления в нуль Г. Камерлинг-Оннес назвал сверхпроводимостью.

В дальнейшем было выяснено, что более 25 химических элементов - металлов при очень низких температурах становятся сверхпроводниками. У каждого из них своя критическая температура перехода в состояние с нулевым сопротивлением. Самое низкое значение ее у вольфрама - 0,012К, самое высокое у ниобия - 9К.

Сверхпроводимость наблюдается не только у чистых металлов, но и у многих химических соединений и сплавов. При этом сами элементы, входящие в состав сверхпроводящего соединения, могут и не являться сверхпроводниками. Например, NiBi, Au 2 Bi, PdTe, PtSb и другие.

Вещества в сверхпроводящем состоянии обладают необычными свойствами:

1. электрический ток в сверхпроводнике может существовать длительное время без источника тока;
2. внутри вещества в сверхпроводящем состоянии нельзя создать магнитное поле:
3. магнитное поле разрушает состояние сверхпроводимости. Сверхпроводимость - явление, объясняемое с точки зрения квантовой теории. Достаточно сложное его описание выходит за рамки школьного курса физики.

Широкому применению сверхпроводимости до недавнего времени препятствовали трудности, связанные с необходимостью охлаждения до сверхнизких температур, для чего использовался жидкий гелий. Тем не менее, несмотря на сложность оборудования, дефицитность и дороговизну гелия, с 60-х годов XX века создаются сверхпроводящие магниты без тепловых потерь в их обмотках, что сделало практически возможным получение сильных магнитных полей в сравнительно больших объемах. Именно такие магниты требуются для создания установок управляемого термоядерного синтеза с магнитным удержанием плазмы, для мощных ускорителей заряженных частиц. Сверхпроводники используются в различных измерительных приборах, прежде всего в приборах для измерения очень слабых магнитных полей с высочайшей точностью.

В настоящее время в линиях электропередачи на преодоление сопротивления проводов уходит 10 - 15% энергии. Сверхпроводящие линии или хотя бы вводы в крупные города принесут громадную экономию. Другая область применения сверхпроводимости - транспорт.

На основе сверхпроводящих пленок создан ряд быстродействующих логических и запоминающих элементов для счетно-решающих устройств. При космических исследованиях перспективно использование сверхпроводящих соленоидов для радиационной защиты космонавтов, стыковки кораблей, их торможения и ориентации, для плазменных ракетных двигателей.

В настоящее время созданы керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при более высокой температуре - свыше 100К, то есть при температуре выше температуры кипения азота. Возможность охлаждать сверхпроводники жидким азотом, который имеет на порядок более высокую теплоту парообразования, существенно упрощает и удешевляет все криогенное оборудование, обещает огромный экономический эффект.

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Электропроводность металлов

Соответствующий квантовомеханический расчет дает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металлов была бы бесконечно большой. Однако кристаллическая решетка никогда не бывает совершенной. Нарушения строгой периодичности решетки бывают обусловлены наличием примесей или вакансий (т.е. отсутствие атомов в узле), а также тепловыми колебаниями в решетке. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фотонах приводит к возникновению электросопроти-вления металлов. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше это сопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов можно представить в виде

где  кол - сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки,  прим - сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на примесных атомах. Слагаемое  кол уменьшается с понижением температуры и обращается в нуль при T = 0K . Слагаемое  прим при небольшой концентрации примесей не зависит от температуры и образует так называемое остаточное сопротивление металла (т.е. сопротивление, которым металл обладает при 0K).

Пусть в единице объема металла имеется n свободных электронов. Назовем среднюю скорость этих электронов дрейфовой скоростью . По определению

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля дрейфовая скорость становится отличной от нуля - в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной силе
.

Из механики известно, что скорость установившегося движения оказывается пропорциональной приложенной к телу внешней силе F в том случае, когда, кроме силы - F , на тело действует сила сопротивления среды, которая пропорциональна скорости тела (примером может служить падение маленького шарика в вязкой среде). Отсюда заключаем, что кроме силы
, на электроны проводимости в металле действует сила "трения", среднее значение которой равно

(r -коэффициент пропорциональности).

Уравнение движения для "среднего" электрона имеет вид

,

где m * - эффективная масса электрона. Это уравнение позволяет найти установившееся значение .

Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле , дрейфовая скорость начнет убывать и по достижении состояния равновесия между электронами и решеткой обращается в нуль. Найдем закон убывания дрейфовой скорости после выключения внешнего поля. Положив в
, получим уравнение

Уравнение такого вида нам хорошо знакомо. Его решение имеет вид

,

где
-значение дрейфовой скорости в момент выключения поля.

Из следует, что за время

значение дрейфовой скорости уменьшается в e раз. Таким образом, величина представляет собой время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенного действием внешнего поля .

С учетом формула может быть написана следующим образом:

.

Установившееся значение дрейфовой скорости можно найти, приравняв нулю сумму силы
и силы трения:

.

.

Установившееся значение плотности тока получим, умножив это значение на заряд электрона -e и плотность электронов n :

.

Коэффициент пропорциональности между
представляет собой удельную электропроводность . Таким образом,

.

Классическое выражение для электропроводности металлов имеет вид

,

где   - среднее время свободного пробега электронов, m - обычная (не эффективная) масса электрона.

Из сравнения формул и вытекает, что время релаксации совпадает по порядку величины с временем свободного пробега электронов в металле.

Исходя из физических соображений, удается произвести оценку величин, входящих в выражение, и тем самым вычислить по порядку величины проводимость  . Полученные таким способом значения находятся в хорошем согласии с опытными данными. Также в согласии с опытом получается, что  изменяется с температурой по закону 1/T . Напомним, что классическая теория дает, что  обратно пропорциональна
.

Отметим, что выкладки, приведшие к формуле, одинаково пригодны как при классической трактовке движения электронов проводимости в металле, так и при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в следующем. При классическом рассмотрении предполагается, что все электроны возмущаются внешним электрическим полем, в соответствии с чем каждое слагаемое в формуле получает добавку в направлении,

противоположном . При квантовомеханической трактовке приходится принимать во внимание, что возмущаются полем и изменяют свою скорость лишь электроны, занимающие состояния вблизи уровня Ферми. Электроны, находящиеся на более глубоких уровнях, полем не возмущаются, и их вклад в сумму не изменяется. Кроме того, при классической трактовке в знаменателе формулы должна стоять обычная масса электронаm , при квантовомеханической трактовке вместо обычной массы должна быть взята эффективная масса электрона m * . Это обстоятельство является проявлением общего правила, согласно которому соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми и для электронов, движущихся в периодическом поле решетки, если в них заменить истинную массу электрона m эффективной массой m * .

Сверхпроводимость

При температуре порядка нескольких кельвин электрическое сопротивление ряда металлов и сплавов скачком обращается в нуль-вещество, переходит в сверхпроводящее состояние . Температура, при которой происходит этот переход, носит название критической температуры и обозначается T k . Наибольшее наблюдавшееся значение T k составляет  20 К.

Экспериментально сверхпроводимость можно наблюдать двумя способами:

1) включив в общую электрическую цепь звено из сверхпроводника. В момент перехода в сверхпроводящее состояние, разность потенциалов на концах этого звена обращается в нуль;

2) поместив кольцо из сверхпроводника в перпендикулярное к нему магнитное поле. Охладив затем кольцо ниже, выключают поле. В результате в кольце индуцируется незатухающий электрический ток. Ток в таком кольце циркулирует неограниченно долго.

Открывший явление сверхпроводимости голландский ученый Г.Камерлинг - Оннес продемонстрировал это, перевезя сверхпроводящее кольцо с текущим по нему током из Лейдена в Кембридж. В ряде экспериментов наблюдалось отсутствие затухания тока в сверхпроводящем кольце в течение примерно года. В 1959 г. Коллинз сообщил о наблюдавшемся им отсутствии уменьшения тока в течение двух с половиной лет.

Кроме отсутствия электрического сопротивления, для сверхпроводящего состояния характерно то, что магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника. Это явление называется эффектом Мейсснера . Если сверхпроводящий образец охлаждается, будучи помещенным в магнитное поле, в момент перехода в сверхпроводящее состояние поле выталкивается из образца, а магнитная индукция в образце обращается в нуль. Формально можно сказать, что сверхпроводник обладает нулевой магнитной проницаемостью ( = 0). Вещества с  < 1 называются диамагнетиками. Таким образом, сверхпроводник является идеальным диамагнетиком.

Достаточно сильное внешнее магнитное поле разрушает сверхпроводящее состояние. Значение магнитной индукции, при котором это происходит, называется критическим полем и обозначается B k . Значение B k зависит от температуры образца. При критической температуре B k = 0, с понижением температуры значение B k возрастает, стремясь к - значению критического поля при нулевой температуре. Примерный вид этой зависимости показан на рис.1

Если усиливать ток, текущий через сверхпроводник, включенный в общую цепь, то при значении силы тока I k сверхпроводящее состояние разрушается. Это значение силы тока называется критическим током . Значение I k зависит от температуры. Вид этой зависимости аналогичен зависимости B k от T (см. рис.1).

Сверхпроводимость представляет собой явление, в котором квантовомеханические эффекты обнаруживаются не в микроскопических, а в крупных, макроскопических масштабах. Теория сверхпроводимости была создана в 1957 г. Дж. Бардиным, Л. Купером и Дж. Шриффером. Ее называют кратко теорией БКШ. Эта теория очень сложна. Поэтому мы вынуждены ограничиться изложением ее на уровне научно-популярных книг, что, по-видимому, не сможет полностью удовлетворить взыскательного читателя.

Разгадка сверхпроводимости заключается в том, что электроны в металле, кроме кулоновского отталкивания, испытывают особый вид взаимного притяжения, которое в сверхпроводящем состоянии преобладает над отталкиванием. В результате электроны проводимости объединяются в так называемые куперовские пары . Электроны, входящие в такую пару, имеют противоположно направленные спины. Поэтому спин пары равен нулю, и она представляет собой бозон. Бозоны склонны накапливаться в основном энергетическом состоянии, из которого их сравнительно трудно перевести в возбужденное состояние. Следовательно, куперовские пары, придя в согласованное движение, остаются в этом состоянии неограниченно долго. Такое согласованное движение пар и есть ток сверхпроводимости.

Поясним сказанное более подробно. Электрон, движущийся в металле, деформирует (поляризует) состоящую из положительных ионов кристаллическую решетку. В результате этой деформации электрон оказывается окруженным "облаком" положительного заряда, перемещающимся по решетке вместе с электроном. Электрон и окружающее его облако представляют собой положительно заряженную систему, к которой будет притягиваться другой электрон. Таким образом, ионная решетка играет роль промежуточной среды, наличие которой приводит к притяжению между электронами.

На квантовомеханическом языке притяжение между электронами объясняется как результат обмена между электронами квантами возбуждения решетки - фононами. Электрон, движущийся в металле, нарушает режим колебаний решетки - возбуждает фононы. Энергия возбуждения передается другому электрону, который поглощает фонон. В результате такого обмена фононами возникает дополнительное взаимодействие между электронами, которое имеет характер притяжения. При низких температурах это притяжение у веществ, являющихся сверхпроводниками, превышает кулоновское отталкивание.

Взаимодействие, обусловленное обменом фононами, наиболее сильно проявляется у электронов, обладающих противоположными импульсами и спинами. В результате два таких электрона объединяются в куперовскую пару. Эту пару не следует представлять себе как два слипшихся электрона. Напротив, расстояние между электронами пары весьма велико, оно составляет примерно 10 -4 см, т.е. на четыре порядка превышает межатомные расстояния в кристалле. Примерно 10 6 куперовских пар заметно перекрываются, т.е. занимают общий объем.

В куперовские пары объединяются не все электроны проводимости. При температуре T , отличной от абсолютного нуля, имеется некоторая вероятность того, что пара будет разрушена. Поэтому всегда наряду с парами имеются "нормальные" электроны, движущиеся по кристаллу обычным образом. Чем ближе T и T k , тем доля нормальных электронов становится больше, обращаясь в 1 при T = T k . . Следовательно, при температуре выше T k сверхпроводящее состояние возможно.

Образование куперовских пар приводит к перестройке энергетического спектра металла. Для возбуждения электронной системы, находящиеся в сверхпроводящем состоянии, надо разрушить хотя бы одну пару, на что требуется энергия, равная энергии связи E св электронов в паре. Эта энергия представляет собой минимальное количество энергии, которое может воспринять система электронов сверхпроводника. Следовательно, в энергетическом спектре электронов, находящихся в сверхпроводящем состоянии, имеется щель ширины E св, расположенная в области уровня Ферми. Значения энергии, принадлежащие этой щели, запрещены. Существование щели было доказано экспериментально.

Итак, возбужденное состояние электронной системы, находящейся в сверхпроводящем состоянии, отделено от основного состояния энергетической щелью ширины E св. Поэтому квантовые переходы этой системы не всегда будут возможными. При малых скоростях своего движения (отвечающих силе тока, меньшей I k) электронная система ее будет возбуждаться, а это и означает движение без трения, т.е. без электрического сопротивления.

Ширина энергетической щели E св с ростом температуры уменьшается и обращается в нуль при критической температуре T k . Соответственно все куперовские пары разрушаются, и вещество переходит в нормальное (несверхпроводящее) состояние.

Из теории сверхпроводимости следует, что магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом (или цилиндром), по которому циркулирует ток, должен быть целым кратным величины
, гдеq - заряд носителя тока

.

Величина

представляет собой квант магнитного потока .

Квантование магнитного потока было экспериментально обнаружено в 1961 г. Дивером и Фейрбэнком и независимо от них Доллом и Небауэром. В опытах Дивера и Фейрбэнка образцом служил поясок олова, нанесенный на медную проволоку диаметром около 10 -3 см. Проволока играла роль каркаса и в сверхпроводящее состояние не переходила. Измеренные значения магнитного потока в этих опытах, как и в опытах Долла и Небауэра, оказались целыми кратными величины, в которой в качестве q надо взять удвоенный заряд электрона (q = - 2e ) . Это служит дополнительным подтверждением правильности теории БКШ, согласно которой носителями тока в сверхпроводнике являются куперовские пары, заряд которых равен суммарному заряду двух электронов, т.е. - 2e .

Полупроводники

Полупроводниками являются кристаллические вещества, у ко­торых валентная зона полностью заполнена электронами, а ширина запрещенной зоны невелика (у собственных полупроводников не более 1 эВ). Полупроводники обязаны своим названием тому обстоятельству, что по величине электропроводности они занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. Однако характерным для них является не величина проводимости, а то, что их проводимость растет с повышением температуры (напомним, что у металлов она уменьшается).

Различают собственные и примесные полупроводники. К числу собственных относятся химически чистые полупроводники. Электрические свойства примесных полупроводников определяются имеющимися в них искусственно вводимыми примесями.

При рассмотрении электрических свойств полупроводников большую роль играет понятие "дырок". Остановимся на выяснении физического смысла этого понятия.

В собственном полупроводнике при абсолютном нуле все уровни валентной зоны полностью заполнены электронами, а в зоне проводимости электроны отсутствуют (рис.2,a). Электрическое поле не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости. Поэтому собственные полупроводники ведут себя при абсолютном нуле как диэлектрики. При температурах, отличных от 0 К, часть электронов с верхних уровней валентной зоны переходит в результате теплового возбуждения на нижние уровни зоны проводимости (рис.2,б). В этих условиях электрическое поле получает возможность изменять состояние электронов, находящихся в зоне проводимости. Кроме того, вследствие образования вакантных уровней в валентной зоне электроны этой зоны также могут изменять свою скорость под воздействием внешнего поля. В результате электропроводность полупроводника ста­новится отличной от нуля.

Оказывается, что при наличии вакантных уровней поведение электронов валентной зоны может быть представлено как движение положительно заряженных квазичастиц, получивших название "дырок". Из равенства нулю проводимости полностью заполненной валентной зоны вытекает, что сумма скоростей всех электронов такой зоны равна нулю

Выделим из этой суммы скорость k -го электрона

Из полученного соотношения вытекает, что, если k -й электрон в валентной зоне отсутствует, то сумма скоростей оставшихся электронов оказывается равной
. Следовательно, все эти электроны создадут ток, равный
. Таким образом, возникший ток оказывается эквивалентным току, который создавала бы частица с зарядом +e , имеющая скорость отсутствующего электрона. Это воображаемая частица и есть дырка.

К понятию дырок можно прийти также следующим путем. Вакантные уровни образуются у потолка валентной зоны. Как было показано, эффективная масса электрона, находящегося у потолка энергетической зоны, является отрицательной. Отсутствие частицы с отрицательным зарядом (-e ) и отрицательной массой m * эквивалентно наличию частицы с положительным зарядом (+e ) и положительной массой | m * | т.е. дырки.

Итак, по своим электрическим свойствам валентная зона с небольшим числом вакантных состояний эквивалентна пустой зоне, содержащей небольшое число положительно заряженных квазичастиц, называемых дырками.

Подчеркнем, что движение дырки не есть перемещение какой-то реальной положительно заряженной частицы. Представление о дырках отображает характер движения всей многоэлектронной системы в полупроводнике.

Собственная проводимость полупроводников

Собственная проводимость возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока - электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны, одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях, в результате чего появляются дырки

Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости описываются функцией Ферми-Дирака. Это распределение можно сделать очень наглядным, изобразив, как это сделано на рис. график функции распределения совместно со схемой энергетических зон.

Соответствующий расчет дает, что у собственных полупроводников отсчитанное от потолка валентной зоны значение уровня Ферми равно

,

где E - ширина запрещенной зоны, а m д * и m э * - эффективные массы дырки и электрона, находящегося в зоне проводимости. Обычно второе слагаемое пренебрежимо мало, и можно полагать
. Это означает, что уровень Ферми лежит посредине запрещенной зоны, Следовательно, для электронов, перешедших в зону проводимости, величинаE - E F мало отличается от половины ширины запрещенной зоны. Уровни зоны проводимости лежат на хвосте кривой распределения. Поэтому вероятность их заполнения электронами можно находить по формуле (1.23) предыдущего параграфа. Положив в этой формуле
, получим, что

.

Количество электронов, перешедших в зону проводимости, а следовательно и количество образовавшихся дырок, будет пропорционально вероятности. Эти электроны и дырки являются носителями тока. Поскольку проводимость пропорциональна числу носителей, она также должна быть пропорциональна выражению. Следовательно, электропроводность собственных полупроводников быстро растет с температурой, изменяясь по закону

,

где  E - ширина запрещенной зоны,  0 - величина, изменяющаяся с температурой гораздо медленнее, чем экспонента, в связи с чем ее можно в первом приближении считать константой.

Если на графике откладывать зависимость ln  от T , то для собственных полупроводников получается прямая линия, изображен­ная на рис.4. По наклону этой прямой можно определить ширину запрещенной зоны  E .

Типичными полупроводниками являются элементы IV группы периодической системы Менделеева - германий и кремний. Они образуют решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными (парно-электронными) связями с четырьмя равноотстоящими от него соседними атомами. Условно такое взаимное расположение атомов можно представить в виде плоской структуры, изображенной на рис. 5. Кружки со знаком обозначают положительно заряженные атомные остатки (т.е. ту часть атома, которая остается после удаления валентных электронов), кружки со знаком- валентные электроны, двойные линии - ковалентные связи.

При достаточно высокой температуре тепловое движение может разорвать отдельные пары, освободив один электрон. Покинутое электроном место перестает быть нейтральным, в его окрестности возникает избыточный положительный заряд , т.е. образу­ется дырка (на рис.5 она изображена пунктирным кружком). На это место может перескочить электрон одной из соседних пар. В результате дырка начинает также странствовать по кристаллу, как и освободившийся электрон.

При встрече свободного электрона с дыркой они рекомбинируют (соединяются). Это означает, что электрон нейтрализует избыточный положительный заряд, имеющийся в окрестности дырки, и теряет свободу передвижения до тех пор, пока снова не получит от кристаллической решетки энергию, достаточную для своего высвобождения. Рекомбинация приводит к одновременному исчезновению свободного электрона и дырки. На схеме уровней процессу рекомбинации соответствует переход электрона из зоны проводимости на один из свободных уровней валентной зоны.

Итак, в собственном полупроводнике идут одновременно два процесса: рождение попарно свободных электронов и дырок и рекомбинация, приводящая к попарному исчезновению электронов и дырок. Вероятность первого процесса быстро растет с температурой. Вероятность рекомбинации пропорциональна как числу свободных электронов, так и числу дырок. Следовательно, каждой температуре соответствует определенная равновесная концентрация электронов и дырок, которая изменяется с температурой пропорционально выражению.

Когда внешнее электрическое поле отсутствует, электроны проводимости и дырки движутся хаотически. При включении поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное движение: электронов против поля и дырок - в направлении поля. Оба движения- и дырок, и электронов - приводит к переносу заряда вдоль кристалла. Следовательно, собственная электропроводность обусловливается как бы носителями заряда двух знаков - отрицательными электронами и положительными дырками.

Отметим, что при достаточно высокой температуре собственная проводимость наблюдается во всех без исключения полупроводниках. Однако в полупроводниках, содержащих примесь, электропроводность слагается из собственной и примесной проводимостей.

Примесная проводимость полупроводников

Примесная проводимость возникает, если некоторые атомы данного полупроводника заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность которых отличается на единицу от валентности основных атомов. На рис.6 условно изображена решетка германия с примесью пятивалентных атомов фосфора. Для образования ковалентных связей с соседями атому фосфора достаточно четырех электронов. Следовательно, пятый валентный электрон оказывается как бы лишним и легко отщепляется от атома за счет энергии теплового движения, образуя странствующий свободный электрон.

В отличие от случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, образование свободного электрона не сопровождается нарушением ковалентных связей, т.е. образованием дырки. Хотя в окрестности атома примеси возникает избыточный положительный заряд, но он связан с этим атомом и перемещаться по решетке не может.

Благодаря этому заряду атом примеси может захватить приблизив­шийся к нему электрон, но связь захваченного электрона с атомом будет непрочной и легко нарушается вновь за счет тепловых колебаний решетки.

Таким образом, в полупроводнике с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, имеется только один вид носителей тока-электроны. Соответственно говорят, что такой полупроводник обладает электронной проводимостью или является полупроводником n - типа (от слова negativ - отрицательный). Атомы примеси, поставляющие электроны проводимости называются донорами .

MATLABимеет исключительно мощную систему для построения различных двухмерных и трехмерных графиков, а также их настройки, редактирования и форматирования. Типы и подтипы графиковMATLABочень разнообразны. Список функций двумерной графики можно получить командойhelp graph 2 d , трехмерной –help graph 3 d .

Графики выводятся в отдельных графических окнах с помощью команды вида figure(n ) , гдеn – номер графического окна. На одном графике можно построить несколько кривых, отличающихся цветом и типами линий и точек. Графики могут быть скопированы и вставлены в другие приложения:Word,Excel,PowerPointи др. Для этого используется командаEdit / Copy Figure окна графики.

Часто используемые команды при построении графиков

plot(t,y) % График непрерывной функции y(t)

plot(x1, y1, x2, y2) % Графики зависимостей y1 от x1 и y2 от x1

stem(x,y) %График дискретной функции (сигнала)y(x)

stairs(x,y) % График в виде ступенчатой линии

loglog(f,Y) %График с логарифмическими масштабами по x и y

semilogx(f,Y) %Логарифмический масштаб поxи линейный поy

polar(phi,r) % График в полярных координатах

title(‘ название’) % Вывод заголовка графика

xlabel(‘время’) % Метка по осиx

ylabel(‘Напряжение’) % Метка по осиy

legend(‘АЧХ системы‘) % Вывод поясняющей надписи

axis() % Установка масштабов по осямxи y

xlim() % Установка масштаба по осиx

ylim() % Установка масштаба по осиy

figure(n ) % Устанавливает фигуру (окно)n активной

subplot(r , c , n ) % Разбивает графическое окно наr * c подокон иsubplot(rcn ) % устанавливает подокноn в качестве активного.

gridon% к графику добавляется сетка

holdon% позволяет построить несколько графиков в окне

holdoff% отменяетholdonдля текущего графика

text% позволяет разместить текст на графике

zoomon/off% включение / выключение возможности увеличения % фрагментов графика с использованием

% левой и правой кнопок мыши

Простые примеры:

>> x=0:0.01:2*pi;

>> y=sin(x);

Построение графика зависимости функции y от индекса массива (номера элемента)x

Построение графика зависимости y(x)

>> plot(x,y)

Несколько пар аргументов в функции plot() позволяют построить несколько графиков в одном графическом окне. При этомMATLABдля каждого графика использует отдельный цвет линии.

Пример .

>> x = 0:pi/100:2*pi;

>> y = sin(x);

>>y2 = sin(x-.5);

>>y3 = sin(x+.5);

>>plot(x,y,x,y2,x,y3)

>> legend("sin(x)","sin(x-.5)","sin(x+.5)")

Цвет, тип линии и обозначение (тип) точек являются аргументами функции plot , соответствующие справочные сведения можно получить с помощью команды вызова справкиhelp plot .

Для разбиения графического окна на подокна служит команда plot(m,n,p) илиplot(mnp), в которойm – число строк,n - число столбцов,p - номер подокна. Пример построения графика функции
в двух подокнах с помощью функцииplot () в одном случае и функцииstem () в другом с разными пределами по оси аргумента (рис. 7):

t=linspace(0, 8, 401); % вычисление 402 точек в интервале

x = t.*exp(-t).*cos(2*pi*4*t);

axis()

Другой пример

Fs=1024; % Частота отсчетов

f1=50; % частота гармоники

N=512; % число отсчетов сигнала

t=0:1/Fs:(N-1)/Fs; % вектор времени

% генерирование сигнала

x=cos(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+randn(1,length(t));

plot(t,x), grid % график сигнала

title("Сигнал")

xlabel("Время, c")

Для добавления графиков к уже существующим применяют команду hold on

x1=sin(2*pi*4*t);

x2=cos(2*pi*4*t);

plot(t,x1+x2, "--b")

legend("x1=sin(2*pi*4*t)", "x2=cos(2*pi*4*t)","x1+x2")

Для отмены действия hold on (освобождения окна графики) используют hold off .

Пример построения графика в полярной системе координат

>> t=0:pi/100:2*pi;

>> polar(t,cos(6*t))

В окне графики MATLABпозволяют выполнять разнообразную настройку графического окна и его объектов с помощью меню или панели инструментов (рис.9).

В окне редактора или с помощью контекстного меню по правой кнопке мыши производятся необходимые установки (цвет, размер, тип, толщина линии и др.) объекта окна графики.

Возможности для подобной интерактивной настройки графики - очень широкие. В первую очередь они обеспечиваются кнопкой Edit Plot инструментальной панели окна.