График зависимости плотности газа от температуры.

 19.61 . На электрической плитке, выделяющей полезную мощность 1 кВт , стоит чайник с кипящей водой. С какой скоростью пар выходит из носика чайника с отверстием площадью 1 см 2 при нормальном атмосферном давлении? Удельная теплота парообразования воды при 373 К равна 2,26 МДж/кг . При решении считать, что пар из-под крышки чайника не выходит.

 19.62 . В камеру сгорания ракетного двигателя ежесекундно поступает водород, массой m и нужное для его полного сгорания количество кислорода. Выходное сечение сопла S , давление газа в сечении р , температура Т . Определите силу тяги двигателя.

 19.63 . Определите плотность смеси водорода массой 0,5 г и кислорода массой 32 г при температуре 280 К и давлении 93 кПа .

 19.64 . Сосуд объемом 2 л заполнен оксидом углерода (IV) и оксидом азота (I). При температуре 400 К давление в сосуде 415 кПа . Определите массу каждого газа в сосуде, если молярная масса смеси равна 3,7 × 10 −2 кг/моль .

 19.65 . Изобразите графически три изопроцесса при постоянной массе газа в координатах (V, р), (Т, V) и (Т, р).

 19.66 . Начертите график изменения плотности идеального газа в зависимости от изменения температуры (объема, давления) при изотермическом, изобарическом и изохорическом процессах.

 19.67 . Каково будет относительное расположение изотерм кислорода и водорода, взятых в одинаковых количествах при одной температуре, в координатах (V, р), (Т, р) и (Т, V)? Решите эту же задачу для изобар (изохор) при условии, что одинаковы давления (объемы) газов.

 19.68 . Решите предыдущую задачу при условии, что взят газ двух разных масс.

 19.69 . При изотермическом расширении газа была получена зависимость р от V (рис.). Что происходило с газом в этом процессе? Как изменялась плотность газа при увеличении объема? Нарисуйте диаграмму зависимости ρ от V .

 19.70 . При изохорическом нагревании газа была получена зависимость р от Т (рис.). Что происходило с газом? Как изменялась плотность газа при увеличении температуры?

 19.71 . На рисунке а, б показано, как изменяется давление газа при изменении его объема. Начертите диаграмму, показывающую, как меняется температура газа при изменении его объема; как изменяется давление газа при изменении его температуры.

 19.72 . На рисунке а, б показано, как изменяется объем газа при изменении его температуры. Начертите диаграмму изменения давления газа при изменении его объема.

 19.73 . Баллон емкостью 10 −3 м 3 , содержащий кислород при температуре 300 К под давлением 10 МПа , нагревается. Газ получает количество теплоты 8,35 кДж . Определите температуру и давление газа после нагревания. Молярная теплоемкость кислорода при постоянном объеме равна 21 Дж/(моль × К) .

 19.74 . Азот занимает объем 2,5 л при давлении 100 кПа . На сколько изменится внутренняя энергия газа при его сжатии до объема 0,25 л, если давление газа повысилось при этом в 20 раз ? Молярная теплоемкость азота при постоянном объеме равна 21 Дж/(моль × К) .

 19.75 . В цилиндре, площадь основания которого равна 100 см 2 , находится воздух при температуре 285 К . На высоте 38 см от основания цилиндра расположен поршень, на котором находится гиря массой 100 кг . Какую работу совершит воздух, если его нагреть до 300 К ? Атмосферное давление нормальное. Трением и массой поршня пренебречь.

 19.76 . Каковы были начальная температура Т 1 и объем V 1 гелия массой m = 5 г , заключенного под поршнем в цилиндре, если при охлаждении его до температуры T 2 = 273 К потенциальная энергия груза массой m 1 = 16 кг , лежащего на поршне, уменьшается на ΔW = 39,2 Дж ? Площадь поршня S = 200 см 2 , атмосферное давление нормальное.

 19.77 . Какую работу совершает 1 моль идеального газа при его изобарическом нагревании на 1 К?

 19.78 . В процессе изобарического нагревания воздух совершил работу А = 1,23 кДж . На сколько увеличилась внутренняя энергия газа и какое количество теплоты было затрачено на нагревание воздуха, если его удельная теплоемкость при постоянном объеме равна c v = 700 кДж/(кг × К) ? Относительная молекулярная масса воздуха равна 29 . [ΔU = 3 кДж; Q = 4,23 кДж]

 19.79 . При изобарическом нагревании газа от 288 до 340 К потребовалось количество теплоты, равное 5 кДж , при изохорическом − равное 3,56 кДж . Какой объем занимает газ при температуре 288 К и давлении 19,6 кПа?

 19.80 . При изобарическом нагревании 1 дм 3 воздуха, находящегося при нормальных условиях, его внутренняя энергия возросла на 271 Дж . Во сколько раз увеличился объем воздуха? Какое количество теплоты было затрачено на нагревание? Удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна 1 кДж/(кг × К) . [≈ 2,1 раза; 380 Дж]

Задачи на газовые законы часто предлагаются школьникам на едином государственном экзамене. Для решения этих задач вполне достаточно знать уравнение состояния идеального газа (закон Клапейрона-Менделеева) и уметь использовать его алгебраически и геометрически (для построения графиков зависимости одних параметров газа от других) в простейших ситуациях. Кроме того, нужно понимать, как описываются смеси идеальных газов (закон Дальтона).

Уравнение, связывающее параметры газа друг с другом, называется уравнением состояния. Для идеального газа, взаимодействие молекул которого мало, уравнение состояния имеет вид

где - давление газа, - концентрация молекул газа (число молекул в единице объема), - постоянная Больцмана, - абсолютная (в шкале Кельвина) температура. Учитывая, что , где - число молекул газа, - объем сосуда, в котором находится газ (часто говорят объем газа), получим из (13.1)

Число молекул можно связать с количеством вещества газа : , где - число Авогадро. Поэтому формулу (13.2) можно переписать в виде

где произведение постоянных Авогадро и Больцмана обозначено как . Постоянная = 8,31 Дж/(К моль) называется универсальной газовой постоянной. Количество вещества газа можно также выразить через его массу и молярную массу этого газа

С учетом (13.3) закон (13.2) можно переписать и в таком виде

Уравнение состояния идеального газа (13.1)-(13.4), которое также называется уравнением (или законом) Клапейрона-Менделеева, позволяет связывать параметры идеального газа и проследить за их изменением в тех или иных процессах.

В школьном курсе физики рассматриваются три изопроцесса, в которых один из трех параметров газа (давление, температура и объем) не изменяется. В изобарическом процессе не изменяется давление газа, в изотермическом - температура, в изохорическом - объем. Изопроцессам отвечают следующие графики зависимости давления от объема, давления от температуры, объема от температуры.

Для изобарического процесса

где - постоянная. Графиком функции (13.5) является прямая, продолжение которой проходит через начало координат.

Для изохорического процесса

где - постоянная при постоянном объеме.

Для изотермического процесса

где - постоянная. Отсюда следует, что графиком зависимости от в изотермическом процессе является гипербола.

Важнейшее свойство уравнения состояния идеального газа (13.1)-(13.4) заключается в том, что «индивидуальность» газа никак не проявляется в этих законах - единственный параметр собственно газа, входящий в уравнение состояния, - это число молекул. Например, 1 моль гелия и 1 моль азота, находящиеся в одинаковых объемах и имеющие одинаковые температуры, оказывают одинаковое давление. Отсюда следует, что и давление смеси идеальных газов определяется суммарным числом молекул всех компонент смеси:

где
- число молекул первой, второй, третьей и т.д. компонент смеси, - постоянная Больцмана, - абсолютная температура смеси, - объем сосуда. Величины , имеющие смысл давления каждой компоненты смеси при условии, что она имела бы такую же температуру и занимала бы весь объем, называются парциальными давлениями компонент. Закон (13.8) называется законом Дальтона. Рассмотрим теперь в рамках этих законов предложенные выше задачи.

В задаче 13.1.1 из уравнения состояния в форме (13.1), получаем для давления в конце процесса :

где - искомый объем. Сравнивая первую и вторую формулы, заключаем, что (ответ 1 ).

Закон Клапейрона-Менделеева для газа в начальном и конечном состояниях (задача 13.1.3 ) дает

Отсюда , т.е. количество вещества газа в сосуде увеличилось в 1,25 раза (ответ 3 ).

Первым, кто понял, почему жидкость поднимается вместе с трубкой (задача 13.1.5 ), и почему «природа боится пустоты» (Аристотель), но только до определенного предела, был знаменитый итальянский физик, современник Г. Галилея Э. Торричелли. Давайте рассмотрим рассуждения Торричелли подробно. Основная идея Торричелли заключалась в том, что атмосферный воздух оказывает давление на все поверхности, с которыми он контактирует. В равновесии жидкость занимает такое положение, чтобы все воздействия на каждый ее элемент компенсировались.
Если бы трубка была открыта (см. левый рисунок), то жидкость не поднялась бы в трубке. Действительно, в этом случае на бесконечно малый элемент жидкости в трубке около поверхности (выделен на рисунке) действовали бы сила со стороны атмосферного воздуха в трубке, направленная вниз. С другой стороны, атмосферный воздух действует и на остальную поверхность жидкости, и это воздействие благодаря закону Паскаля передается выделенному элементу жидкости в трубке снизу. Таким образом, воздействие воздуха на поверхность жидкости в трубке и на свободную поверхность жидкости компенсируют друг друга, если уровень жидкости в трубке совпадает с уровнем жидкости в остальном сосуде. Если же мы поднимаем трубку, выпустив из нее воздух, на рассматриваемый элемент жидкости воздух сверху не действует (его нет в трубке), поэтому воздействие воздуха на свободную поверхность жидкости приведет к тому, что жидкость войдет в трубку и заполнит ее. При вытаскивании трубки жидкость будет подниматься вслед за ней. Однако при дальнейшем поднятии трубки наступит такой момент, когда воздействие воздуха на свободную поверхность и столба жидкости в трубке сравняются (в этот момент атмосферное давление будет равно гидростатическому давлению жидкости в трубке на уровне свободной поверхности). Дальнейший подъем трубки уже не приведет к поднятию жидкости - атмосферное давление не сможет «держать» столб жидкости большей высоты. Для воды этот столб составляет около 10 м, для ртути, с которой и экспериментировал Э. Торричелли, - 76 сантиметров. Таким образом, жидкость в трубке поднимается благодаря давлению атмосферного воздуха на поверхность воды в сосуде и закону Паскаля (ответ 4 ).

(ответ 1 ).

В задаче 13.1.10 при вычислениях следует не забыть перевести температуру газа в Кельвины. Из закона Клапейрона-Менделеева находим

(ответ 1 ).

Из уравнения состояния в форме (13.2) следует, что при одинаковых объемах и температурах давление идеального газа определяется только полным числом молекул. Поэтому отношение давления водорода и гелия в задаче 13.2.1 равно 2 (ответ 2 ).

Поскольку перегородка в задаче 13.2.2 подвижная и находится в равновесии, давления газа в отсеках сосуда слева и справа от перегородки равны. Применяя к ним при этом условии закон Клапейрона-Менделеева, получим

где температуры и массы газов по условию одинаковы. Деля эти уравнения друг на друга, находим отношение объемов частей сосуда

(ответ 4 ).

Если бы точки, отвечающие состояниям
1 и 2 в задаче 13.2.3 , лежали на одной прямой, продолжение которой проходит через начало координат, то эти состояния принадлежали бы одной и той же изохоре, и, следовательно, объем газа в этих состояниях был одинаковым (см. формулу (13.6)). Поэтому для сравнения объемов этих состояний построим изохоры, проходящие через точки 1 и 2, и сравним отвечающие им объемы (см. рисунок; изохоры, проходящие через точки 1 и 2, показаны пунктиром).

Из формулы (13.6) следует, что чем больше объем, тем меньше коэффициент перед в зависимости (13.6), и, следовательно, меньше наклон соответствующей изохоры к оси температур. Поэтому изохоре 1 отвечает больший объем, чем изохоре 2, и, следовательно, объем газа в процессе 1-2 уменьшается (ответ 2 ).

Аналогичные рассуждения в задаче 13.2.4 показывают, что наибольшему давлению отвечает изобара, проходящая через точку (поскольку соответствующая прямая имеет наименьший наклон к оси температур; см. рисунок ниже). Поэтому правильный ответ в этой задаче - 3 .

(ответ 4 ).

Как следует из опыта, при приведении тел в тепловой контакт выравниваются их температуры. Это же касается и частей одного тела или даже компонент смеси газов (задача 13.2.6 ). Поэтому температуры компонент смеси будут одинаковы (ответ 1 ). Что касается парциальных давлений, плотностей или концентрации компонент смеси, то их значения зависят от количества молекул каждой компоненты смеси и могут быть различны.

Парциальное давление компонент смеси – это давление, которое оказывают только молекулы каждой компоненты. Как следует из формулы (13.8) парциальное давление любой компоненты можно найти, применяя только к ней закон Клапейрона-Менделеева и считая, что она имеет такую же температуру, как и вся смесь, и занимает такай же объем, как и вся смесь газов. Поэтому отношение парциальных давлений отдельных компонент смеси равно отношению количеств вещества (или числа молекул) этих компонент. Поэтому для отношения парциальных давлений углекислого газа и гелия в сосуде в задаче 13.2.7 имеем (ответ 2 ).

Как следует из закона Дальтона, давление смеси газов определяется полным количеством молекул в ней. Поэтому для анализа изменения давления смеси газов при протекании в ней химической реакции (задача 13.2.8 ) необходимо исследовать изменение числа молекул. Гелий не участвует в химической реакции - один моль гелия был и в начальном, и в конечном состоянии смеси. С озоном происходила реакция

т.е. из двух молекул озона в результате реакции получились три молекулы кислорода. Поэтому два моля озона превратились в три моля кислорода, и общее количество вещества смеси стало равно четырем молям. Поэтому давление смеси увеличивается в 4/3 раза (ответ 2 ).

Поскольку объемы и температуры газов одинаковы (задача 13.2.9 ), для сравнения их давлений необходимо сравнить число молекул в них. По условию в одном сосуде находится один моль азота, в другом 1 г водорода (т.е. половина моля) и 3 10 23 молекул гелия (тоже половина моля). Поэтому и в одном и в другом сосуде находятся одинаковые количества молекул, и, следовательно, давление газов в них одинаково (ответ 3 ).

Плотность газа (задача 13.2.10 ) можно найти из следующей цепочки формул

(ответ 4 ). Здесь - масса газа, - масса одной молекулы газа.

5.21. Масса m = 12 г газа занимает объем V = 4 л при температуре t, = 7° С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной р = 0,6 кг/м3. До какой температуры t2 нагрели газ?

5.22. Масса m = 10г кислорода находится при давлении p = 304кПа и температуре t1 =10° С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем V2 =10 л. Найти объем V, газа до расширения, температуру t2 газа после расширения, плотности р1 и р2 газа до и после расширения.

5.23. В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный половине объема сосуда. Найти давление р и плотность р водяного пара при температуре t = 400° С, зная, что при этой температуре вся вода обращается в пар.

5.24. Построить график зависимости плотности р кислорода: а) от давления р при температуре Т = const = 390 К в интервале0 < р < 400 кПа через каждые 50 кПа; б) от температуры Т при р = const = 400 кПа в интервале 200 < Т < 300К через каждые 20К.

5.25. В закрытом сосуде объемом V =1 м3 находится масса m1 = 1,6 кг кислорода и масса m2 = 0,9 кг воды. Найти давление р в сосуде при температуре t = 500° С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар.