Как определить линейно зависимы или независимы вектора. Линейная зависимость и независимость векторов

Ядро ОС

Ядро сетевой операционной системы (командный интерпретатор) обеспечивает функционирование пользовательского интерфейса. Среди функций ядра можно отметить:

Управление выполнением процессов посредством их создания, завершения или приостановки и организации взаимодействия между ними.

Планирование очередности предоставления выполняющимся процессам времени центрального процессора (диспетчеризация). Процессы работают с центральным процессором в режиме разделения времени: центральный процессор выполняет процесс, по завершении отсчитываемого ядром кванта времени процесс приостанавливается и ядро активизирует выполнение другого процесса. Позднее ядро запускает приостановленный процесс.

Выделение выполняемому процессу оперативной памяти. Ядро операционной системы дает процессам возможность совместно использовать участки адресного пространства на определенных условиях, защищая при этом адресное пространство, выделенное процессу, от вмешательства извне. Если системе требуется свободная память, ядро освобождает память, временно выгружая процесс на внешние запоминающие устройства, которые называют устройствами выгрузки. Если ядро выгружает процессы на устройства выгрузки целиком, такая реализация системы UNIX называется системой со свопингом (подкачкой); если же на устройство выгрузки выводятся страницы памяти, такая система называется системой с замещением страниц.

Выделение внешней памяти с целью обеспечения эффективного хранения информации и выборка данных пользователя. Именно в процессе реализации этой функции создается файловая система. Ядро выделяет внешнюю память под пользовательские файлы, мобилизует неиспользуемую память, структурирует файловую систему в форме, доступной для понимания, и защищает пользовательские файлы от несанкционированного доступа.

Управление доступом процессов к периферийным устройствам, таким как терминалы, ленточные устройства, дисководы и сетевое оборудование.

Ядро реализует ряд необходимых функций по обеспечению выполнения процессов пользовательского уровня, за исключением функций, которые могут быть реализованы на самом пользовательском уровне.

Характеристика основных сетевых операционных систем

Операционная система NetWare фирмы Novell ориентированна на локальную сеть ПЭВМ, совместимых с IBM PC. Эта сетевая операционная система, ядро которой загружается на файловый сервер, является самостоятельной операционной системой. На рабочих станциях загружаются модули сетевой операционной системы, которые обеспечивают взаимодействия с ее ядром и обмен сообщениями с другими рабочими станциями. При этом на рабочих станциях могут быть использованы различные базовые операционные системы. Сетевая операционная система обеспечивает работу сети любой структуры: моноканальной, кольцевой, звездообразной и т.д. В настоящее время используют несколько версий сетевой операционной системы NetWare Novell. Сеть Novell NetWare 2.2 предназначена для организации небольшой сети на базе файл-сервера с процессором 80286. Для создания крупных и надежно работающих сетей больше подходит сеть Novell NetWare 3.11 или 3.12, работающая на процессорах 80386 и выше. Версия 3.11/3.12 в отличие от 2.2 работает с выделенным файл-сервером и количество рабочих станций, подключенных к одному серверу, может достигать 250. Сеть Novell NetWare 4.1 предназначена для создания крупных сетей, состоящих из многих сегментов и содержащих несколько серверов. Количество рабочих станций в данной версии может достигать 1000.

Достоинства системы:

хорошо продуманные и мощные службы файлов и печати;

наличие средств оперативного сжатия информации на дисках;

мощные средства администрирования больших многопользовательских, многосерверных сетей Novell;

возможность создания сетей с повышенной отказоустойчивостью (пакет NetWare SFT III);

большое количество прикладных программ, разработанных независимыми поставщиками;

удобная иерархическая структура распределенного каталога.

Недостатки системы:

необходимость приобретения отдельного пакета NetWareSMPдля организации многопроцессорной обработки;

отсутствие простых инструментальных средств разработки приложений;

слабая защита памяти при работе приложений сервера, что затрудняет отладку программ и может привести к краху системы во время ее функционирования.

Функции ОС NetWare

поддержка коллективного использования файлов,

обеспечение доступа к сетевым принтерам,

предоставление средств для работы с электронной почтой,

поддержка работы СУБД различных типов,

обеспечение доступа к файловому серверу со стороны рабочих станций, функционирующих под управлением различных операционных систем,

предложение средств, позволяющих объединять удаленные сегменты сети,

обеспечение "прозрачности" доступа локальных и удаленных пользователей к ресурсам сети,

предложение средств для надежного хранения данных,

обеспечение защиты ресурсов сети от несанкционированного доступа,

поддержка динамически расширяемых многосегментных томов на нескольких дисках файлового сервера,

предоставление средств управления ресурсами корпоративных сетей: единый каталог сетевых ресурсов NDS в NetWare 4.1,

обеспечение передачи и обработки данных с использованием разных протоколов: SPX/IPX, TCP/IP, NetBIOS, AppleTalk,

поддержка работы суперсерверов в симметричном режиме функционирования (ОС NetWare 4.1 SMP).

Windows 95/98

Windows 95/98 - сетевая операционная система локальной одноранговой сети (число компьютеров не превышает 10). Windows 95 является 32-разрядной многозадачной и многопоточной системой с приоритетами. Операционная система предоставляет разнообразные средства для распределенной обработки данных. Она создает среду для объектно-ориентированной архитектуры, выполняет разнообразные функции, связанные с определением и изменением конфигурации внешних устройств и программного обеспечения, работающих в сети. Обеспечивается защита от отказов и безопасность данных. Windows 95 работает с любыми типами данных: текстами, звуком и изображением используется удобный упрощенный интерфейс пользователя, позволяющий работать с трехмерной графикой. Windows 95 имеет модуль, являющийся универсальным почтовым ящиком, предназначенным для хранения сообщений электронной почты, речевой почты и факсимильной связи. Обмен сообщениями внутри рабочей группы осуществляется при помощи Microsoft Mail. В рабочей группе следует выделить одну машину, оборудованную факс-модемом, в качестве почтовой.

Microsoft Windows NT WS/Server 4.0

Microsoft Windows NT WS / Server 4.0 является уникальной и мощной операционной системой.

При ее разработке преследовались следующие цели:

надежность,

производительность,

переносимость,

совместимость,

масштабируемость,

безопасность.

Windows NT идеально приспособлена для работы в качестве рабочей станции и сетевого сервера, где требуется повышенная устойчивость и высокая производительность. Windows NT является синтезом как предыдущих версий Windows, так и других операционных систем. Она может быть адаптирована под различные типы аппаратного обеспечения без полной переработки. Важной особенностью операционной системы является ее способность работать с существующими приложениями.

Достоинства системы:

наличие унифицированного графического интерфейса;

простота и удобство использования и администрирования;

надежность служб файлов и печати;

развитый интерфейс API(ApplicationProgramInterface) прикладного программирования, облегчающий процесс разработки прикладных программ;

возможность реализации одно- и многопроцессорной (до 32 процессоров) обработки в одном пакете;

поддержка различных архитектур процессоров (Intel,Alpha,MIPSи др.).

Недостатки системы:

слабая гибкость службы каталогов (доменная модель) по сравнению с аналогичными службами СОС NetWareиBanyanVINES6.0;

сложность системы защиты при управлении доступом внутри доменов и между ними.

Windows 2000

Windows2000 поставляется в трех вариантах

Windows 2000 Professional (по - старому - workstation). Высокопроизводительное рабочее место

1. Windows 2000 Advanced Server (по - старому - Enterprise Server)

Особенности Windows 2000:

В Windows 2000 Professional расширен спектр поддерживаемых устройств, обеспечивает поддержку средств управления энергопотреблением для мобильных систем и обладает улучшенным пользовательским интерфейсом, благодаря которому она является самой простой в использовании из всех когда-либо выпущенных версий Windows.

В систему добавлены новые “мастера”: “мастер аппаратуры”, позволяющий наиболее простым способом подключать новые устройства в систему, “мастер сетевых соединений”, способствующий более быстрому конфигурированию модемов и сетевых соединений, “мастер принтера”, помогающий быстро подключить принтер.

Появилась поддержка “горячей” смены компонентов. Данную функцию по достоинству оценят владельцы ноутбуков, которые вынуждены перезагружать свои машины при подключении новых устройств.

В Windows 2000 используется новая файловая система, носящая название NTFS5. Основная отличительная черта данной файловой системы – автоматическое “фоновое” шифрование данных.

В новой системе сокращено число необходимых перезагрузок после установки новых свойств в СЕМЬ раз, это значит, что пользователю не придется перезагружаться для того, чтобы система “восприняла” новые параметры.

Добавлена новая служба быстрого поиска данных, которая позволит находить необходимые файлы с высокой скоростью, за счет индексации данных

Установлена новая политика безопасности. Такой подход делает систему очень устойчивой к различным сбоям.

Улучшена поддержка сетей. С точки зрения пользователя теперь можно будет, не вдаваясь в детали, получить доступ к сетевым ресурсам не привлекая к этому вечно занятого системного администратора

В Windows 2000 появилась новая возможность – создание сценария установки, что позволит установить систему на диски разных машин, пользуясь единым сценарием.

Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.

.

Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:

.

Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.

Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.

.

Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений

.

Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.

Следовательно, система векторов линейно зависима.

Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.

Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на отличное от нуля число;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов

.

Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.

.

Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.

Базис, координаты

Задача 4. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию .

Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.

Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.

Координаты пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением , то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных и , то есть .

Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.

Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .

Так как , то свободные переменные однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .

Задача 6. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида , где – произвольные числа.

Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:

Это соотношение является разложением вектора из по базису
с координатами .

Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов

.

Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.

.

Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .

Замечание . Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

методом Гаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:

Матрица системы

Разрешенная система имеет вид: (r A = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x 2 – свободная переменная): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно зависимы.

Пример 2.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

или в развернутом виде (по координатам)

Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.

Проверяем систему на вырожденность:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невырождена и, т.о., векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно независимы.

Задания. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:

а) два равных вектора;

б) два пропорциональных вектора.

Векторы, их свойства и действия с ними

Векторы, действия с векторами, линейное векторное пространство.

Векторы- упорядоченная совокупность конечного количества действительных чисел.

Действия: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х 1 , лямда*х 2 … лямда*х n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2.Сложение векторов (принадлежат одному и тому же векторному пространству) вектор х+вектор у = (х 1 +у 1, х 2 +у 2, … х n +у n ,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерное (линейное пространство) вектор х +вектор 0 = вектор х

Теорема. Для того чтобы система n векторов, n- мерного линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов были линейной комбинацией остальным.

Теорема. Любая совокупность n+ 1ого вектора n- мерного линейного пространства явл. линейно зависимой.

Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.

Суммой двух векторов и называется вектор, направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора. Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть

Покажем, что

Из рисунка 3 видно, что

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Свойства операции сложения векторов:

В этих выражениях m, n - числа.

Разностью векторов и называют вектор Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине.

Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения

Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначают или просто. Так как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид

Вектор, имеющий начало в точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2), может быть записан в виде

где r 2 - радиус-вектор точки В; r 1 - радиус-вектор точки А.

Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид

Его длина равна расстоянию между точками А и В

УМНОЖЕНИЕ

Так в случае плоской задачи произведение вектор на a = {ax; ay} на число b находится по формуле

a · b = {ax · b; ay · b}

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}

Так в случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax; ay; az} на число b находится по формуле

a · b = {ax · b; ay · b; az · b}

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на 2.

2 · a = {2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)} = {2; 4; -10}

Скалярное произведение векторов и где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что

где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Угол между векторами - угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

Векторное произведение(Векторное произведение двух векторов.)- это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся - векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности»

Коллинеарность векторов.

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним - «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Сме́шанное произведе́ние векторов(a, b,c) - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами(a,b,c) .

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, чтоСмешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и:

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и, взятому со знаком "минус":

В частности,

Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл - Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Компланарность векторов.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Свойства компланарности

Если хотя бы один из трёх векторов - нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов. Это - критерий компланарности трёх векторов.

Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.

В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис

Линейно зависимые и линейно независимые векторы.

Линейно зависимые и независимые системы векторов. Определение . Система векторов называется линейно зависимой , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми .

Теорема (критерий линейной зависимости) . Для того чтобы система век торов линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

1) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

В самом деле, если, например, , то, полагая , имеем нетривиальную линейную комбинацию .▲

2) Если среди векторов некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система линейно зависима.

Действительно, пусть векторы , , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая , получим также нетривиальную линейную комбинацию , равную нулевому вектору.

2. Базис и размерность. Определение . Система линейно независимых векторов векторного пространства называетсябазисом этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора существуют вещественные числа такие, что имеет место равенство Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа называютсякоординатами вектора относительно базиса (или в базисе ) .

Теорема (о единственности разложения по базису) . Каждый вектор пространства может быть разложен по базису единственным образом, т.е. координаты каждого вектора в базисе определяются однозначно.

Введенные нами линейные операции над векторами дают возможность составлять различные выражения для векторных величин и преобразовывать их при помощи установленных для этих операций свойств.

Исходя из заданного набора векторов а 1 , ..., а n , можно составить выражение вида

где а 1 , ..., а n - произвольные действительные числа. Это выражение называют линейной комбинацией векторов а 1 , ..., а n . Числа α i , i = 1, n , представляют собой коэффициенты линейной комбинации . Набор векторов называют еще системой векторов .

В связи с введенным понятием линейной комбинации векторов возникает задача описания множества векторов, которые могут быть записаны в виде линейной комбинации данной системы векторов а 1 , ..., а n . Кроме того, закономерны вопросы об условиях, при которых существует представление вектора в виде линейной комбинации, и о единственности такого представления.

Определение 2.1. Векторы а 1 , ..., а n называют линейно зависимыми , если существует такой набор коэффициентов α 1 , ... , α n , что

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми .

Если α 1 = ... = α n = 0, то, очевидно, α 1 а 1 + ... + α n а n = 0. Имея это в виду, можем сказать так: векторы а 1 , ..., а n линейно независимы, если из равенства (2.2) вытекает, что все коэффициенты α 1 , ... , α n равны нулю.

Следующая теорема поясняет, почему новое понятие названо термином "зависимость" (или "независимость"), и дает простой критерий линейной зависимости.

Теорема 2.1. Для того чтобы векторы а 1 , ..., а n , n > 1, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

◄ Необходимость. Предположим, что векторы а 1 , ..., а n линейно зависимы. Согласно определению 2.1 линейной зависимости, в равенстве (2.2) слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например α 1 . Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенство на α 1 , получим

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

т.е. представление вектора a 1 в виде линейной комбинации остальных векторов а 2 , ..., а n .

Достаточность. Пусть, например, первый вектор а 1 можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: а 1 = β 2 а 2 + ... + β n а n . Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим а 1 - β 2 а 2 - ... - β n а n = 0, т.е. линейную комбинацию векторов а 1 , ..., а n с коэффициентами α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Согласно определению 2.1, векторы а 1 , ..., а n линейно зависимы.

Определение и критерий линейной зависимости сформулированы так, что подразумевают наличие двух или более векторов. Однако можно также говорить о линейной зависимости одного вектора. Чтобы реализовать такую возможность, нужно вместо "векторы линейно зависимы" говорить "система векторов линейно зависима". Нетрудно убедиться, что выражение "система из одного вектора линейно зависима" означает, что этот единственный вектор является нулевым (в линейной комбинации имеется только один коэффициент, и он не должен равняться нулю).

Понятие линейной зависимости имеет простую геометрическую интерпретацию. Эту ин-терпретацию проясняют следующие три утверждения.

Теорема 2.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

◄ Если векторы а и b линейно зависимы, то один из них, например а, выражается через другой, т.е. а = λb для некоторого действительного числа λ. Согласно определению 1.7 произведения вектора на число, векторы а и b являются коллинеарными.

Пусть теперь векторы а и b коллинеарны. Если они оба нулевые, то очевидно, что они линейно зависимы, так как любая их линейная комбинация равна нулевому вектору. Пусть один из этих векторов не равен 0, например вектор b. Обозначим через λ отношение длин векторов: λ = |а|/|b|. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными или противоположно направленными . В последнем случае у λ изменим знак. Тогда, проверяя определение 1.7, убеждаемся, что а = λb. Согласно теореме 2.1, векторы а и b линейно зависимы.

Замечание 2.1. В случае двух векторов, учитывая критерий линейной зависимости, доказанную теорему можно переформулировать так: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них представляется как произведение другого на число. Это является удобным критерием коллинеарности двух векторов.

Теорема 2.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны .

◄ Если три вектора а, Ь, с линейно зависимы, то, согласно теореме 2.1, один из них, например а, является линейной комбинацией остальных: а = βb + γс. Совместим начала векторов b и с в точке A. Тогда векторы βb, γс будут иметь общее начало в точке A и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор а, будет представлять собой вектор с началом A и концом , являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторах-слагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.

Пусть векторы а, b, с компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных. Достаточно все коэффициенты линейной комбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке O. Пусть их концами будут соот-ветственно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек O, A и O, B. Обозначив точки пересечения через A" и B", получим параллелограмм OA"CB", следовательно, OC" = OA" + OB" . Вектор OA" и ненулевой вектор а= OA коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на действительное число α:OA" = αOA . Аналогично OB" = βOB , β ∈ R. В результате получаем,что OC" = α OA + βOB , т.е. вектор с является линейной комбинацией векторов а и b. Согласно теореме 2.1, векторы a, b, с являются линейно зависимыми.

Теорема 2.4. Любые четыре вектора линейно зависимы.

◄ Доказательство проводим по той же схеме, что и в теореме 2.3. Рассмотрим произвольные четыре вектора a, b, с и d. Если один из четырех векторов является нулевым, либо среди них есть два коллинеарных вектора, либо три из четырех векторов компланарны, то эти четыре вектора линейно зависимы. Например, если векторы а и b коллинеарны, то мы можем составить их линейную комбинацию αa + βb = 0 с ненулевыми коэффициентами, а затем в эту комбинацию добавить оставшиеся два вектора, взяв в качестве коэффициентов нули. Получим равную 0 линейную комбинацию четырех векторов, в которой есть ненулевые коэффициенты.

Таким образом, мы можем считать, что среди выбранных четырех векторов нет нулевых, никакие два не коллинеарны и никакие три не являются компланарными. Выберем в качестве их общего начала точку О. Тогда концами векторов a, b, с, d будут некоторые точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведем три плоскости, параллельные плоскостям ОВС, OCA, OAB, и пусть A", B", С" - точки пересечения этих плоскостей с прямыми OA, OB, ОС соответственно. Мы получаем параллелепипед OA"C"B"C"B"DA", и векторы a, b, с лежат на его ребрах, выходящих из вершины О. Так как четырехугольник OC"DC" является параллелограммом, то OD = OC" + OC" . В свою очередь, отрезок ОС" является диагональю параллелограмма OA"C"B", так что OC" = OA" + OB" , а OD = OA" + OB" + OC" .

Остается заметить, что пары векторов OA ≠ 0 и OA" , OB ≠ 0 и OB" , OC ≠ 0 и OC" коллинеарны, и, следовательно, можно подобрать коэффициенты α, β, γ так, что OA" = αOA , OB" = βOB и OC" = γOC . Окончательно получаем OD = αOA + βOB + γOC . Следовательно, вектор OD выражается через остальные три вектора, а все четыре вектора, согласно теореме 2.1, линейно зависимы.