Как построить график y ax2 bx c. Презентация «Функция y=ax2, ее график и свойства

Конспект урока по алгебре для 8 класса средней общеобразовательной школы

Тема урока : Функция

Цель урока:

· Образовательная: определить понятие квадратичной функции вида (сравнить графики функций и), показать формулу нахождения координат вершины параболы (научить применять данную формулу на практике); сформировать умение определения свойств квадратичной функции по графику (нахождение оси симметрии, координат вершины параболы, координат точек пересечения графика с осями координат).

· Развивающая : развитие математической речи, умения правильно, последовательно и рационально излагать свои мысли; развитие навыка правильной записи математического текста при помощи символов и обозначений; развитие аналитического мышления; развитие познавательной деятельности учащихся через умение анализировать, систематизировать и обобщать материал.

· Воспитательная : воспитание самостоятельности, умения выслушать других, формирование аккуратности и внимания в письменной математической речи.

Тип урока : изучение нового материала.

Методы обучения:

обобщенно-репродуктивный, индуктивно-эвристический.

Требования к знаниям и умениям учащихся

знать, что такое квадратичная функция вида, формулу нахождения координат вершины параболы; уметь находить координаты вершины параболы, координаты точек пересечения графика функции с осями координат, по графику функции определять свойства квадратичной функции.

Оборудование :

План урока

I. Организационный момент (1-2 мин)

II. Актуализация знаний (10 мин)

III. Изложение нового материала (15 мин)

IV. Закрепление нового материала (12 мин)

V. Подведение итогов (3 мин)

VI. Задание на дом (2 мин)

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие, проверка отсутствующих, сбор тетрадей.

II. Актуализация знаний

Учитель : На сегодняшнем уроке мы изучим новую тему: "Функция ". Но для начала повторим ранее изученный материал.

Фронтальный опрос:

1) Что называется квадратичной функцией? (Функция, где заданные действительные числа, действительная переменная, называется квадратичной функцией.)

2) Что является графиком квадратичной функции? (Графиком квадратичной функции является парабола.)

3) Что такое нули квадратичной функции? (Нули квадратичной функции – значения, при которых она обращается в нуль.)

4) Перечислите свойства функции. (Значения функции положительны при и равно нулю при; график функции симметричен относительно ос ординат; при функция возрастает, при - убывает.)

5) Перечислите свойства функции. (Если, то функция принимает положительные значения при, если, то функция принимает отрицательные значения при, значение функции равно 0 только; парабола симметрична относительно оси ординат; если, то функция возрастает при и убывает при, если, то функция возрастает при, убывает – при.)

III. Изложение нового материала

Учитель : Приступим к изучению нового материала. Откройте тетради, запишите число и тему урока. Обратите внимание на доску.

Запись на доске : Число.

Функция.

Учитель : На доске вы видите два графика функций. Первый график, а второй. Давайте попробуем сравнить их.

Свойства функции вы знаете. На их основании, и сравнивая наши графики, можно выделить свойства функции.

Итак, как вы думаете, от чего будет зависеть направление ветвей параболы?

Ученики: Направление ветвей обеих парабол будет зависеть от коэффициента.

Учитель: Совершенно верно. Так же можно заметить, что у обеих парабол есть ось симметрии. У первого графика функции, что является осью симметрии?

Ученики: У параболы вида осью симметрии является ось ординат.

Учитель: Верно. А что является осью симметрии параболы

Ученики: Осью симметрии параболы является линия, которая проходит через вершину параболы, параллельно оси ординат.

Учитель : Правильно. Итак, осью симметрии графика функции будем называть прямую, проходящую через вершину параболы, параллельную оси ординат.

А вершина параболы – это точка с координатами. Они определяются по формуле:

Запишите формулу в тетрадь и обведите в рамочку.

Запись на доске и в тетрадях

Координаты вершины параболы.

Учитель : Теперь, чтобы было более понятно, рассмотрим пример.

Пример 1 : Найдите координаты вершины параболы.

Решение: По формуле

имеем:

Учитель : Как мы уже отметили, ось симметрии проходит через вершину параболы. Посмотрите на доску. Начертите этот рисунок в тетради.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель: На чертеже: - уравнение оси симметрии параболы с вершиной в точке, где абсцисса вершины параболы.

Рассмотрим пример.

Пример 2: По графику функции определите уравнение оси симметрии параболы.

Уравнение оси симметрии имеет вид: , значит, уравнение оси симметрии данной параболы.

Ответ: - уравнение оси симметрии.

IV. Закрепление нового материала

Учитель : На доске записаны задания, которые необходимо решить в классе.

Запись на доске : № 609(3), 612(1), 613(3)

Учитель: Но сначала решим пример не из учебника. Решать будем у доски.

Пример 1: Найти координаты вершины параболы

Решение: По формуле

имеем:

Ответ: координаты вершины параболы.

Пример 2: Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Решение: 1) С осью:

По теореме Виета:

Точки пересечения с осью абсцисс (1;0) и (2;0).

2) С осью:

Точка пересечения с осью ординат (0;2).

Ответ: (1;0), (2;0), (0;2) – координаты точек пересечения с осями координат.

№ 609(3). Найти координаты вершины параболы

Решение: Абсцисса вершины параболы:

Ордината вершины параболы:

Ответ: - координаты вершины параболы.

№ 612(1). Проходит ли ось симметрии параболы через точку (5;10)?

Решение: Уравнение оси симметрии: .

Находим абсциссу вершины параболы: . Значит, уравнение оси симметрии выглядит. Схематично начертим данную параболу:

Следовательно, ось симметрии проходит через точку (5;10).

№ 613(3). Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Решение: 1) С осью:

Ищем дискриминант:

значит с осью абсцисс точек пересечения нет.

Точка пересечения с осью ординат (0;12).

Ответ: (0;12) – координаты точки пересечения с осью ординат, с осью абсцисс парабола не пересекается.

V. Подведение итогов

Учитель: На сегодняшнем уроке мы изучили новую тему: "Функция ", научились находить координаты вершины параболы, координаты точек пересечения параболы с осями координат. На следующем уроке мы продолжим решение задач по данной теме.

VI. Домашнее задание

Учитель: На доске записано задание на дом. Запишите его в дневники.

Запись на доске и в дневниках: §38, № 609(2), 612(2), 613(2).

Литература

1. Алимов Ш.А. Алгебра 8 класс

2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе

3. Мишин В.И. Частная методика преподавания математики в средней школе

Описание видеоурока

Рассмотрим некоторые частные случаи квадратичной функции.

Первый случай. Выясним, что представляет собой график функции игрек равно одна третья икс квадрат плюс четыре.

Для этого в одной системе координат построим графики функций игрек равно одна третья икс квадрат.. и..игрек равно одна третья икс квадрат плюс четыре.

Составим таблицу значений функции игрек равно одна третья икс квадрат. Построим по заданным точкам график функции.

Чтобы получить таблицу значений функции игрек равно одна третья икс квадрат плюс четыре при тех же значениях аргумента, следует к найденным значениям функции игрек равно одна третья икс квадрат.. прибавить четыре.

Составим таблицу значений для графика функции игрек равно одна третья икс квадрат плюс четыре. Построим по указанным координатам точки и соединим их плавной линией. Получим график функции игрек равно одна третья икс квадрат плюс четыре.

Легко понять, что график функции игрек равно одна третья икс квадрат плюс четыре можно получить из графика функции игрек равно одна третья икс квадрат с помощью параллельного переноса на четыре единицы вверх вдоль оси игрек.

Таким образом, график функции игрек равно а икс квадрат плюс эн является параболой, которая получается из графика функции игрек равно а икс квадрат с помощью параллельного переноса вдоль оси игрек на модуль эн единиц вверх, если эн больше нуля или вниз, если эн меньше нуля.

Второй случай. Рассмотрим функцию игрек равно одна третья квадрата разности чисел икс и шесть и построим ее график.

Построим таблицу значений функции игрек равно одна третья икс квадрат, укажем полученные точки на координатной плоскости и соединим плавной линией.

Теперь составим таблицу значений для функции игрек равно одна третья квадрата разности чисел икс и шесть. По указанным точкам построим график функции.

Заметно, что каждая точка второго графика получается из соответствующей точки первого графика с помощью параллельного переноса на шесть единиц вдоль оси икс.

График функции игрек равно а умноженное на квадрат разности икс и эм.. является параболой, которую можно получить из графика функции игрек равно а икс квадрат с помощью параллельного переноса вдоль оси икс на модуль эм единиц влево, если эм больше нуля или на модуль эм единиц вправо, если эм меньше нуля.

Рассмотрим теперь график функции игрек равно одна третья умножить на квадрат разности икс и два плюс пять. Ее график можно получить из графика функции игрек равно одна третья икс квадрат с помощью двух параллельных переносов - сдвига параболы вправо на две единицы и вверх на пять единиц.

При этом производить параллельные переносы можно в любом порядке: сначала выполнить вдоль оси икс, а затем вдоль оси игрек или наоборот.

Но почему при добавлении к функции числа эн ее график перемещается на модуль эн единиц вверх, если эн больше нуля или вниз, если эн меньше нуля, а при добавлении числа эм к аргументу, функция перемещается на модуль эм единиц вправо, если эм меньше нуля или влево, если эм больше нуля?

Рассмотрим первый случай. Пусть требуется построить график функции игрек равно эф от икс.. плюс эн. Заметим, что ординаты этого графика для всех значений аргумента на эн единиц больше соответствующих ординат графика игрек равно эф от икс при положительном эн и на эн единиц меньше при отрицательном эн. Следовательно, график функции игрек равно эф от икс…плюс эн можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции игрек равно эф от икс на модуль эн единиц вверх, если эн больше нуля и на модуль эн единиц вниз, если эн меньше нуля.

Рассмотрим второй случай. Пусть требуется построить график функции игрек равно эф от суммы икс и эм. Рассмотрим функцию игрек равно эф от икс, которая в некоторой точке икс равной икс первое принимает значение игрек первое равно эф от икс первое. Очевидно, что функция игрек равно эф от суммы икс и эм примет такое же значение в точке икс второе, координата которой определяется из равенства икс второе плюс эм равно икс первое, то есть икс певрое равно икс первое минус эм. Причем рассматриваемое равенство справедливо для всех значений икс из области определения функции. Следовательно, график функции может быть получен параллельным перемещением графика функции игрек равно эф от икс вдоль оси абсцисс влево на модуль эм единиц влево, если эм больше нуля и на модуль эм вправо, если эм меньше нуля. Параллельное перемещение графика функции вдоль оси икс на эм единиц эквивалентно переносу оси игрек на столько же единиц, но в противоположную сторону.

При вращении параболы вокруг ее оси получается фигура, которую называют параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, то отраженные лучи соберутся в точке, которую называют фокусом. В то же время если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зеркальной поверхности параболоида лучи окажутся параллельными и не рассеиваются.

Первое свойство позволяет получить в фокусе параболоида высокую температуру. Согласно легенде это свойство использовал древнегреческий ученый Архимед. При защите Сиракуз в войне против римлян он построил систему параболических зеркал, которая позволила сфокусировать отраженные солнечные лучи на кораблях римлян. В результате температура в фокусах параболических зеркал оказалась настолько высокой, что на кораблях вспыхнул пожар, и они сгорели. Также это свойство используется при изготовлении параболических антенн.

Второе свойство используется при изготовлении прожекторов и автомобильных фар.

Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.

Методическая разработка Сагнаевой А.М.

МБОУ СОШ№44 г. Сургут, ХМАО-Югра .

Ι. Нахождение коэффициента а

• по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

у=a(х-m)2+n

4. решаем полученное уравнение.

А(х 1 ;у 1 )

парабола

ΙΙ. Нахождение коэффициента b

1. Сначала находим значение коэффициента a

2. В формулу для абсциссы параболы m= -b/2a подставляем значения m и a

3. Вычисляем значение коэффициента b .

А(х 1 ;у 1 )

парабола

ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c

1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты a,b

(см. шаги Ι, ΙΙ)

3. Подставляем найденные значения a, b ,А(х 1; у 1 ) в уравнение

у=ax 2 +bx+c и находим с.

А(х 1 ;у 1 )

парабола

Задачи

подсказка

• Ветви параболы направлены вниз,

• Корни имеют разные знаки,Ι х 1 ΙΙх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a
• Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с

х 1

х 2

П Подсказка

1.Ветви параболы направлены вниз, значит а

• x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.

На рисунке приведен график функции у=ax 2 +bx+c. Укажите знаки коэффициентов a,b,c и дискриминанта D.

Решение:

1. а0 , т.к. ветви параболы направлены вверх;

3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу:

при этом а 0, следовательно, b

4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках.

На рисунке изображена парабола

Укажите значения k и t .

Найдите координаты вершины параболы и напишите функцию, график которой изображен на рисунке.

Найдите, где - абсциссы точек пересечения

параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).

Плохой учитель преподносит истину, хороший учит её добывать.

А.Дистервег

Учитель : Нетикова Маргарита Анатольевна, учитель математики ГБОУ школа №471 Выборгского района Санкт- Петербурга.

Тема урока: «График функции y = ax 2 »

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель: научить учащихся строить график функцииy = ax 2 .

Задачи:

Обучающие: сформировать умение строить параболу y = ax 2 и установить закономерность между графиком функции y = ax 2

и коэффициентом а.

Развивающие: развитие познавательных умений, аналитического и сравнительного мышления, математической грамотности, способности обобщать и делать выводы.

Воспитывающие: воспитание интереса к предмету, аккуратности, ответственности, требовательности к себе и другим.

Планируемые результаты:

Предметные: уметь по формуле определять направление ветвей параболы и строить её с помощью таблицы.

Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в парах, в коллективе.

Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.

Педагогические технологии: элементы проблемного и опережающего обучения.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, раздаточные материалы.

1.Формула корней квадратного уравнения и разложение квадратного трёхчлена на множители.

2.Сокращение алгебраических дробей.

3.Свойства и график функции y = ax 2 , зависимость направления ветвей параболы, её «растяжения» и «сжатия» вдоль оси ординат от коэффициента a .

Структура урока.

1.Организационная часть.

2.Актуализация знаний:

Проверка домашнего задания

Устная работа по готовым чертежам

3.Самостоятельная работа

4.Объяснение нового материала

Подготовка к изучению нового материала (создание проблемной ситуации)

Первичное усвоение новых знаний

5.Закрепление

Применение знаний и умений в новой ситуации.

6.Подведение итогов урока.

7.Домашнее задание.

8.Рефлексия урока.

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «График функции y = ax 2 »

Этапы урока	Задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	УУД
1.Организационная часть 1 минута	Создание рабочего настроения в начале урока	Здоровается с учениками, проверяет их подготовку к уроку, отмечает отсутствующих, записывает на доске дату.	Готовятся к работе на уроке, приветствуют учителя	Регулятивные: организация учебной деятельности.
2.Актуализация знаний 4 минуты	Проверить выполнение домашнего задания, повторить и обобщить изученный на прошлых уроках материал и создать условия для успешного выполнения самостоятельной работы.	Собирает тетради у шести учеников (выборочно по два с каждого ряда) для проверки домашнего задания на оценку (приложение 1), затем работает с классом на интерактивной доске (приложение 2) .	Шесть учащихся сдают на проверку тетради с домашним заданием, затем отвечают на вопросы фронтального опроса (приложение 2) .	Познавательные: приведение знаний в систему. Коммуникативные: умение прислушиваться к мнению окружающих. Регулятивные: оценивание результатов своей деятельности. Личностные: оценивание уровня усвоения материала.
3.Самостоятельная работа 10 минут	Проверить умение раскладывать на множители квадратный трёхчлен, сокращать алгебраические дроби и описывать некоторые свойства функций по её графику.	Раздаёт учащимся карточки с индивидуальным дифференцированным заданием (приложение 3) . и листочки для решения.	Выполняют самостоятельную работу, самостоятельно выбирая уровень сложности упражнений по баллам.	Познавательные: Личностные: оценивание уровня усвоения материала и своих возможностей.
4.Объяснение нового материала Подготовка к изучению нового материала Первичное усвоение новых знаний	Создание благоприятной обстановки для выхода из проблемной ситуации, восприятия и осмысления нового материала, самостоятельного прихода к правильному выводу	Итак, вы умеете строить график функции y = x 2 (графики заранее построены на трёх досках). Назовите основные свойства этой функции: 3. Координаты вершины 5. Промежутки монотонности Чему в данном случае равен коэффициент при x 2 ? На примере квадратного трёхчлена вы видели, что это совершенно не обязательно. Каким он может быть по знаку? Приведите примеры. Как будут выглядеть параболы с другими коэффициентами, вам предстоит узнать самим. Лучший способ изучить что-либо–это открыть самому. Д.Пойа Делимся на три команды (по рядам), выбираем капитанов, которые выходят к доске. Задание для команд написано на трёх досках, соревнование начинается! В одной системе координат построить графики функций 1 команда: а)y=x 2 б)y= 2x 2 в)y= x 2 2 команда: а)y= - x 2 б)y=-2x 2 в)y= - x 2 3 команда: а)y=x 2 б)y=4x 2 в)y=-x 2 Задание выполнено! (приложение 4) . Найдите функции, обладающие одинаковыми свойствами. Капитаны советуются со своими командами. От чего это зависит? А чем же эти параболы всё-таки различаются и почему? От чего зависит «толщина» параболы? От чего зависит направление ветвей параболы? Будем условно называть график а) «исходным». Представьте себе резинку: если её растягивать, она становится тоньше. Значит, график б) получен растяжением исходного графика вдоль оси ординат. Как получен график в)? Значит, при x 2 может стоять любой коэффициент, который влияет на конфигурацию параболы. Вот и тема нашего урока звучит так: «График функции y = ax 2 »	1. R 4. Ветви вверх 5. Убывает на (- Возрастает на } Понравилась статья? Поделитесь с друзьями! Поделиться в Facebook Читайте также Презентация экологические проблемы крыма Проект экология воды в крыму Анализ «Над пропастью во ржи» Сэлинджер «Махабхарата» под редакцией Б Урок обучения грамоте "Чтение слов с буквой й Армия Китая: численность, состав, вооружение Ноак китая Венгерское восстание (1956) Причины венгерского восстания 1956 года кратко Пекинский смог: опасная красота Почему в пекине загрязнен воздух Дальневосточный чапаев Партизаны в городе Наверх