Кинетическая энергия диска катящегося по горизонтальной поверхности. Вращательное движение

На данном уроке, тема которого: «Решение задач по динамике. Движение по горизонтали и вдоль наклонной плоскости», мы рассмотрим решения ряда задач по данной теме, применив общий алгоритм решения задач по динамике.

Мы продолжаем изучать динамику. Это раздел физики, который изучает причины механического движения.

Сегодня мы займемся решением задач на движение по горизонтали и вдоль наклонной плоскости. Как решать такие задачи?

У нас есть тело, которое находится на горизонтальной или наклонной плоскости. На него в любом случае действует сила тяжести и сила реакции опоры. Если поверхность не гладкая, на тело действует сила трения, направленная против направления движения. Тело могут тащить за нить, в таком случае на него будет действовать сила натяжения нити. Наличие той или иной силы зависит от условия задачи, но равнодействующая всех сил, действующих на тело, в общем случае вызывает ускорение тела, . Это следствие из второго закона Ньютона - главного инструмента решения задач по динамике.

Итак, мы разобрали, что происходит при движении тела вдоль плоскости, определили действующие на тело силы и описали процесс математически, применив второй закон Ньютона. На этом физика заканчивается, и остается математика.

Решать уравнения в векторной форме математически сложно, поэтому нужно переписать следствие из второго закона Ньютона в проекциях на оси координат.

Если плоскость наклонная, она ориентирована под определенным углом к горизонту, а значит, сила тяжести будет направлена под углом к плоскости, знаем мы этот угол или нет. Это делает важным выбор системы координат.

Мы свободны в выборе, результат не будет зависеть от выбора системы координат, но нужно выбрать такую, при которой математические преобразования будут максимально простыми. Мы увидим это на примере одной из задач.

И только теперь, когда получена система уравнений, описывающая физический процесс, мы решаем задачу математически: решаем уравнения и находим неизвестное.

Приступим к решению задач.

Камень, скользивший по горизонтальной поверхности льда, остановился, пройдя расстояние S =48 м. Найдите начальную скорость камня, если сила трения скольжения камня о лед составляет 0,06 силы нормального давления камня на лед.

Анализ условия:

В задаче описано тело, которое движется под действием сил, значит, будем применять второй закон Ньютона;

На камень действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Отметим их (см. рис. 1).

Рис. 1. Действующие на камень силы

Сила трения равна ;

Камень останавливается, движется с ускорением, которое по второму закону Ньютона вызвано равнодействующей силой;

При равноускоренном движении тело проходит путь и приобретает скорость .

Выберем систему координат. Удобно направить ось х в направлении движения камня, а ось у перпендикулярно оси х (см. рис. 2).

Рис. 2. Выбор системы координат

Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат. Сила трения направлена против движения камня, туда же направлено и ускорение (камень замедляется) (см. рис. 3):

За время остановки камень по условию задачи пройдет расстояние . Начальная скорость направлена в направлении оси х, ее проекция будет иметь знак «+», ускорение - против оси х, ставим знак «-»:

Тело остановится, то есть его скорость через время будет равна нулю:

Получили систему уравнений, которую остается решить и получить начальную скорость камня, равную 7,6 м/с:

Теперь решим задачу на движение вдоль наклонной плоскости.

Тело массы m без начальной скорости соскальзывает с наклонной плоскости с углом с высоты h (см. рис. 4).

Рис. 4. Рисунок к условию задачи 2

Коэффициент трения тела о поверхность равен . За какое время тело достигнет подножья?

Анализ условия

Задан прямоугольный треугольник, в котором известна одна сторона и угол. Значит, известны все стороны, и определен путь, который проходит тело.

На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения (см. рис. 5).

Рис. 5. Силы, которые действуют на тело

Равнодействующая этих сил создает ускорение - будем применять второй закон Ньютона.

В задаче нужно найти время движения тела, которое движется с ускорением, равноускоренное движение описывается уравнениями кинематики.

Выберем систему координат. Здесь есть своя особенность: движение бруска происходит вдоль наклонной плоскости, сила трения направлена противоположно направлению движения, сила реакции опоры перпендикулярна плоскости, а сила тяжести направлена под углом к плоскости. Нам особенно важно выбрать удобную систему координат. Для математических расчетов удобно направить оси координат, как показано на рисунке: ось х вдоль в направлении движения бруска, ось у перпендикулярно поверхности (см. рис. 6).

Рис. 6. Выбор системы координат

Применим второй закон Ньютона:

Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат.

Сила тяжести направлена под углом к обеим осям координат. Треугольники АВС и авс подобны, и угол равен углу cab. Следовательно, проекция силы тяжести на ось х равна , на ось у - (см. рис. 7).

Рис. 7. Проекции сил на оси координат

Нахождение проекций силы тяжести

Тело проходит путь АВ, равный из треугольника АВС . Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, равен:

Получили систему уравнений, из которой остается найти время:

Математическая часть решения задачи

Выбор системы координат

На наклонной плоскости с углом наклона 30 0 покоится брусок с привязанной нитью. При какой минимальной силе натяжения нити брусок сдвинется с места, если потянуть за нить вниз так, что она будет параллельна плоскости? Масса бруска - 0,5 кг, коэффициент трения скольжения бруска о плоскость равен 0,7, ускорение свободного падения принять равным 10 м/с 2 .

Анализ условия

В задаче описано тело, на которое действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила натяжения нити (см. рис. 12).

Рис. 12. Действие сил на тело

Тело стаскивают вниз, сила трения направлена против возможного направления движения.

По условию задачи при некотором минимальном значении силы натяжения нити брусок сдвигается с места, брусок не будет разгоняться, ускорение равно нулю. Будем применять второй закон Ньютона, ускорение равно 0.

Выберем систему координат. Мы уже убедились на примере предыдущей задачи, что удобно направить ось х параллельно плоскости (см. рис. 13), а ось у - перпендикулярно плоскости.

Рис. 13. Выбор системы координат

По второму закону Ньютона сумма сил, действующих на брусок, равна , в нашем случае :

Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат:

Получили систему уравнений, решив которую, найдем минимальное значение .

Математическая часть решения задачи

Как видите, задачи на движение тел вдоль наклонной плоскости, как и большинство других задач по динамике, сводятся к применению законов Ньютона в выбранной удобной системе координат.

На этом наш урок закончен, спасибо за внимание!

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
2. А.В. Русаков, В.Г. Сухов. Сборник задач по физике (физико-математическая школа № 2, г. Сергиев Посад). - 1998 г.

1. Интернет портал «Exir.ru» ()
2. Интернет портал «Izotovmi.ru» ()

Домашнее задание

Мальчик массой 50 кг, скатившись на санках с горки, проехал по горизонтальной дороге до остановки путь 20 м за 10 с. Найти силу трения и коэффициент трения.

На горизонтальной доске лежит груз. Коэффициент трения между доской и грузом  =0,1. Какое ускорение в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз мог с нее соскользнуть?

Два груза m 1 иm 2 связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности стола. С каким ускорением будут двигаться грузы, если к грузу m 1 приложить силуF = 1 Н, направленную параллельно плоскости стола? Какое натяжение будет испытывать при этом нить, связывающая тела? Масса грузовm 1 = 200 г,m 2 = 300 г. Определить, при каком значении силыF нить оборвется, если эта сила будет приложена: а) к грузуm 1 ; б) к грузуm 2 ? Нить может выдерживать наибольшую нагрузкуТ = 1 кг. Трением между телами и столом пренебречь. При расчетах принятьg = 10 м/с 2 .

Два груза массами m =0,2 кг иМ =4 кг связаны нитью и лежат на гладком столе. К первому грузу приложена силаF 1 = 0,2 Н, ко второму в противоположном направлении – силаF 2 = 0,5 Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова сила натяжения соединяющей их нити?

Четыре одинаковых бруса, массой m каждый, связаны нитями и лежат на гладком столе. К первому бруску приложена силаF . Определить силы натяжения всех нитей. Силой трения между брусками и столом пренебречь.

Три груза массой по 1 кг соединены нерастяжимой нитью, движутся под действием силы 10 Н, приложенной к одному из крайних грузов и направленной под углом 30 0 к горизонту. Определить ускорение системы и силы натяжения нити между грузами. Коэффициент трения между грузами и поверхностью 0,1.

Брусок массы М лежит на гладкой горизонтальной поверхности, по которой он может двигаться без трения. На бруске лежит кубик массойm . Минимальное значение силы, приложенной к бруску, когда кубик начинает скользить по бруску, равнаF . Какую скорость будет иметь брусок в момент, когда кубик упадет с бруска, если сила тяги будет2 F ? Длина брускаL .

Груз массой m 1 лежит на платформе массойm 2 . Наибольшее значение коэффициента трения между грузом и платформой . Между платформой и поверхностью земли трения нет. Найти минимальную силуF , при действии которой на платформу происходит сдвиг груза относительно платформы.

На доске массой 4 кг лежит брусок массой 1 кг. Коэффициент трения между бруском и доской 1 = 0,2, между доской и столом 2 = 0,1. Определить с какой максимальной силойF max можно тянуть доску, чтобы брусок не соскользнул с нее.

Тележка массой в 20 кг может катиться без трения по горизонтальному пути. На тележке лежит брусок массой в 2 кг. Коэффициент трения между бруском и тележкой 0,25. К бруску приложена сила один разF 1 = 2 Н, в другой разF 2 = 20 Н. Определить какова будет сила трения между бруском и тележкой и с какими ускорениями будут двигаться брусок и тележка в обоих случаях.

На доске массой m 2 лежит тело массойm 1 , к которому привязана нить, перекинутая через блок (масса блока равна нулю). Ко второму концу нити привязан грузМ . Коэффициент трения между доской и телом - 1 , а между доской и столом - 2 . При какой максимальной массе груза тело не соскользнет с доски?

На гладком горизонтальном столе лежит брусок массы М = 2 кг, на котором находится брусок массыm = 1 кг. Оба бруска соединены легкой нитью, перекинутой через невесомый блок. Какую силуF нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигаться от блока с постоянным ускорениема=g/ 2 ? Коэффициент трения между брускамиk = 0,5. Трением между нижним бруском и столом пренебречь.

Тело массойm , движущееся с ускорениема , прикреплено к двум последовательно соединенным пружинам, жесткости которыхk 1 иk 2 , причем пружины расположены между телом и точкой приложения внешней силы. Каково суммарное удлинение пружин? Колебаний нет. Массами пружин пренебречь. Коэффициент трения .

Тележка массы М =0,5 кг скреплена нитью с грузом массыm =0,2 кг, перекинутым через блок. В начальный момент тележка имела скорость 7 м/с и двигалась влево по горизонтальной плоскости. Определить величину и направление скорости тележки через 5 с.

Сосуд с ртутью поставлен на легкую тележку. Сбоку сосуда на расстоянии 20 см от уровня жидкости сделано отверстие, площадь которого 16 мм 2 . Найти силу, которая будет двигать сосуд при вытекании ртути из отверстия. Плотность ртути 13,6 г/см 3 .

Поезд движется по горизонтальному прямому участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,2 веса поезда. Через какое время поезд остановится, если его начальная скорость 20 м/с.

К покоящемуся на горизонтальной шероховатой поверхности телу приложена равномерно возрастающая сила, направленная под углом  =30 0 к горизонту. Определить модуль ускорения тела в момент отрыва от поверхности.

Бруски А и В массамиm 1 иm 2 находятся на столе. К бруску В приложена силаF , направленная под углом к горизонту. Найти ускорения движения брусков, если коэффициент трения брусков друг о друга и бруска А о стол 1 и 2 соответственно. Сила трения между поверхностями брусков больше.

Материальная точка массой 4 кг движется по горизонтальной прямой. Через сколько секунд скорость точки уменьшится в 10 раз, если сила сопротивления движимого F сопр =0,8v ?

При движении тела по горизонтальной поверхности на него действует сила, препятствующая движению – сила трения, то есть сила сопротивления, направленная в сторону противоположную перемещению.

Различают трение внутреннее (жидкое или вязкое) и внешнее.

Внутренним трением называется трение, возникающее между частями одного и того же тела, например, между слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. Пусть между плоскостями I и II вязкая среда. Если плоскость I движется относительно плоскости II со скоростью u (рис. 2.1 ), то

где F тр – тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоев вязкой среды друг относительно друга,

S – площадь плоскости I,

h – коэффициент динамической вязкости или вязкость,

– градиент скорости – быстрота изменения скорости от слоя к слою, т.е. в направлении, перпендикулярном движению, иначе – скорость сдвига.

Па·с (2.11)

Внешнее трение возникает в плоскости соприкосновения двух тел (рис. 2.2 ).

Если соприкасающиеся тела неподвижны, то в момент начала движения возникающее между телами трение называется трением покоя . Сила трения покоя – это максимальная сила, необходимая, чтобы привести в движение одно тело относительно другого.

Рис. 2.1

F тр = μ 0 N (2.12)

где μ 0 – коэффициент трения покоя, N – сила нормального давления.

При движении одного тела по поверхности другого возникает трение скольжения.

F тр = μ N (2.13)

μ – коэффициент трения скольжения

μ < μ 0 , то есть сила трения покоя больше силы трения скольжения.

Для определения коэффициента трения используется наклонная плоскость (рис. 2.3 ). Угол наклонной плоскости увеличивают до тех пор, пока тело не начнет скатываться по плоскости. В этом случае сила трения будет равна сказывающей силе :

Рис. 2.2.

Рис. 2.3

Одним из видов внешнего трения является трение качения , которое проявляется, когда тело катится по опоре (рис.2.4 ). Оно значительно меньше трения скольжения m k << m .

Рис. 2.4

где P – вес катка, r – радиус, μ k – коэффициент трения качения.

Из (2.15) видно, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Трение играет большую роль в природе и технике. В некоторых случаях трение играет положительную роль и его стремятся увеличить (например, изготовление автомобильных шин со специальным рисунком протектора, увеличивающим трение между колесами и поверхностью дорожного покрытия, посыпание песком дорог во время гололеда). Но иногда приходится бороться с негативными проявлениями, вызываемыми трением с помощью смазок. В данном случае используется тот факт, что внутреннее трение, возникающее между слоями жидкости значительно меньше внешнего трения, возникающего между частями твердых тел. Другой способ уменьшить внешнее трение – заменить трение скольжения трением качения, применяя шариковые и роликовые подшипники и т.д.

Найти линейную скорость Земли v при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты R =1,5·10 8 км.

Ответ и решение

v ≈ 30 км/с.

v = 2πR /(365·24·60·60).

Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин -1 , посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Какова траектория движения этой точки?

Ответ и решение

v ≈ 317 м/с. Точка на конце пропеллера описывает винтовую линию с шагом h ≈ 1,35 м.

Пропеллер самолета вращается с частотой:

λ = 2000/60 с -1 = 33,33 с -1 .

Линейная скорость точки на конце пропеллера:

v лин = 2πRλ ≈ 314 м/с.

Скорость самолета при посадке v = 45 м/с.

Результирующая скорость точки на конце пропеллера равна сумме векторов линейной скорости при вращении пропеллера и скорости самолета при посадке:

v рез = ≈ 317 м/с.

Шаг винтовой траектории равен:

h = v /λ ≈ 1,35 м.

Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью v . Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорость v .

Ответ

Геометрическим местом точек на диске, имеющих скорость v в данный момент, является дуга радиуса R , центр которой лежит в точке касания диска с плоскостью, т.е. в мгновенном центре вращения.

Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 .

Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны.

Ответ

; .

По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью v c обруч радиусом R . Каковы скорости и ускорения различных точек обруча относительно Земли? Выразить скорость как функцию угла между вертикалью и прямой, проведенной между точкой прикосновения обруча с плоскостью и данной точкой обруча.

Ответ

v A = 2v C cosα . Ускорение точек обода содержит только центростремительную составляющую, равную a ц = v 2 /R .

Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой n вращаются его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение а цс внешнего слоя резины на покрышках его колес.

Ответ

n ≈ 8,84 с -1 ; a ц ≈ 926 м/с 2 .

На горизонтальную плоскость кладут тонкостенный цилиндр, вращающийся со скоростью v 0 вокруг своей оси. Какой будет скорость движения оси цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно плоскости?

Ответ

v = v 0 /2.

Совершает ли работу равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движущемуся по окружности?

Ответ

Груз массой m может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Груз соединяют с этим концом стержня пружиной, коэффициент упругости которой k . При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Ответ

Две точечные массы m 1 и m 2 прикреплены к нити и находятся на абсолютно гладком столе. Расстояния от них до закрепленного конца нити равны l 1 и l 2 соответственно.

Система вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через закрепленный конец, с угловой скоростью ω . Найти силы натяжения участков нити Т 1 и Т 2 .

Ответ

T 1 = (m 1 l 1 + m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R =4 м. С какой частотой n должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения k =0,27?

Ответ

n = 6,75 мин -1 .

Тело массой m находится на горизонтальном диске на расстоянии r от оси. Диск начинает раскручиваться с малым ускорением. Построить график зависимости составляющей силы трения в радиальном направлении, действующей на тело, от угловой скорости вращения диска. При каком значении угловой скорости диска начнется соскальзывание тела?

Ответ

Камень массой m =0,5 кг, привязанный к веревке длиной l =50 см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки, когда камень проходит низшую точку окружности, Т =44 Н. На какую высоту h над нижней точкой окружности поднимется камень, если веревку перерезать в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?

Ответ

h ≈ 2 м.

Спортсмен посылает молот (ядро на тросике) на расстояние l =70 м по траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска. Какая сила Т действует на руки спортсмена в момент броска? Масса молота m =5 кг. Считать, что спортсмен разгоняет молот, вращая его в вертикальной плоскости по окружности радиусом R =1,5 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ

T ≈ 2205 Н.

Автомобиль массой М =3*10 3 кг движется с постоянной скоростью v =36 км/ч: а) по горизонтальному мосту; б) по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях R =60 м. С какой силой давит автомобиль на мост (в последних двух случаях) в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α =10° с вертикалью?

Ответ

а) F 1 ≈ 29 400 Н; б) F 2 ≈ 24 000 Н; в) F 3 ≈ 34 000 Н.

По выпуклому мосту, радиус кривизны которого R = 90 м, со скоростью v = 54 км/ч движется автомобиль массой m = 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α , автомобиль давит с силой F = 14 400 Н. Определить угол α .

Ответ

α ≈ 8,5º.

Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l =1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. При этом угол, составляемый нитью с вертикалью, α = 60°. Определить полную работу, совершаемую при раскручивании шарика.

Ответ

A ≈ 1,23 Дж.

С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления R = 150 м, чтобы его не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,42?

Ответ

v ≈ 89 км/ч.

1. Каким должен быть максимальный коэффициент трения скольжения k между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление радиусом R = 200 м при скорости v = 100 км/ч?

2. Автомобиль со всеми ведущими колесами, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу окружности α = 30° радиусом R = 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о землю k = 0,3.

Ответ

1. k ≈ 0,4.

2. v ≈ 14,5 м/с.

Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со скоростью v = 12 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы на колесах не возникало бокового усилия. Расстояние между рельсами по горизонтали принять равным d = 1,5 м.

Ответ

Δh ≈ 7,65 см.

Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100 м. На сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть на повороте?

Ответ

1. С какой максимальной скоростью v может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент трения скольжения k = 0,4?

2. На какой угол φ от вертикального направления он должен при этом отклониться?

3. Чему будет равна максимальная скорость мотоциклиста, если он будет ехать по наклонному треку с углом наклона α = 30° при том же радиусе закругления и коэффициенте трения?

4. Каким должен быть угол наклона трека α 0 для того, чтобы скорость мотоциклиста могла быть сколь угодно большой?

Ответ

1. v ≈ 18,8 м/с. 2. φ ≈ 21,8°. 3. v макс ≈ 33,5 м/с. 4. α 0 = arctg(1/k ).

Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета повернут вокруг направления полета на угол α = 10°.

Ответ

R ≈ 5780 м.

На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м, ширина колеи автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v , при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит.

Ответ

v ≈ 26,1 м/с.

Шофер, едущий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону?

Ответ

Затормозить.

В вагоне поезда, идущего равномерно по криволинейному пути со скоростью v = 12 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза m = 5 кг, а радиус закругления пути R = 200 м. Определить показание пружинных весов (силу натяжения пружины Т ).

Ответ

T ≈ 51 Н.

Найти силу F ед.об. , отделяющую сливки (плотность ρ с = 0,93 г/см 3) от снятого молока (ρ м = 1,03 г/см 3) в расчете на единицу объема, если отделение происходит: а) в неподвижном сосуде; б) в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой 6000 мин -1 , если жидкость находится на расстоянии r = 10 см от оси вращения.

Ответ

а) F ед.об. ≈ 980 Н/м 3 ;

б) F ед.об. ≈ 3,94·10 5 Н/м 3 ;

Самолет делает «мертвую петлю» с радиусом R = 100 м и движется по ней со скоростью v = 280 км/ч. С какой силой F тело летчика массой М = 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней точках петли?

Ответ

F в ≈ 4030 Н, F н ≈ 5630 Н.

Определить силу натяжения Т каната гигантских шагов, если масса человека М = 70 кг и канат при вращении образует со столбом угол α = 45°. С какой угловой скоростью со будут вращаться гигантские шаги, если длина подвеса l = 5 м?

Ответ

T ≈ 990 Н; ω ≈ 1,68 рад/с.

Найти период Т вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l . Угол, образуемый нитью с вертикалью, α .

Ответ

.

Грузик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно h . Найти частоту и вращения груза, считая ее неизменной.

Ответ

Результат не зависит от длины подвеса.

Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h , на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качениях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т > 1960 Н.

Ответ

h ≈ 2,5 м.

Шарик массой m подвешен на нерастяжимой нити. На какой минимальный угол α мин надо отклонить шарик, чтобы при дальнейшем движении нить оборвалась, если максимально возможная сила натяжения нити 1,5 mg ?

Ответ

α мин ≈ 41,4°.

Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. При каком угле α с вертикалью сила натяжения нити будет равна по величине действующей на маятник силе тяжести? Маятник считать математическим.

Ответ

α = arccos(⅓).

Груз массой m , привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил натяжений нити.

Ответ

Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Масса гимнаста m . Считая, что вся его масса сосредоточена в центре тяжести, а скорость в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в нижней точке.

Ответ

Один грузик подвешен на нерастяжимой нити длиной l , а другой — на жестком невесомом стержне такой же длины. Какие минимальные скорости нужно сообщить этим грузикам, чтобы они вращались в вертикальной плоскости?

Ответ

Для нити v мин = ; для стержня v мин = .

Шарик массой М подвешен на нити. В натянутом состоянии нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Вывести зависимость силы натяжения нити Т от угла α , который образует в данный момент нить с горизонтальным направлением. Проверить выведенную формулу, решив задачу для случая прохождения шарика через положение равновесия, при α = 90°.

Ответ

T = 3Mg sinα ; T = 3Mg .

Математический маятник длиной l и массой М отвели на угол φ 0 от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v 0 , направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения нити маятника Т в зависимости от угла φ нити с вертикалью.

Ответ

.

Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол с вертикалью α образует пить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая?

Ответ

Одинаковые упругие шарики массой m , подвешенные на нитях равной длины к одному крючку, отклоняют в разные стороны от вертикали на угол α и отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила F , действующая на крючок: а) при крайних положениях нитей; б) в начальный и конечный моменты удара шариков; в) в момент наибольшей деформации шариков?

Ответ

а) F = 2mg cos 2 α ;

б) F = 2mg (3 - 2cosα );

в) F = 2mg .

Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью длиной l сообщают из положения равновесия горизонтальную скорость v 0 . Определить максимальную высоту его подъема h при движении по окружности, если v 0 2 = 3gl . По какой траектории будет двигаться шарик маятника после того, как он достиг максимальной высоты подъема h на окружности? Определить максимальную высоту H , достигаемую при этом движении маятника.

Ответ

; по параболе; .

Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной l . В точке О на расстоянии l /2 ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезает сила натяжения нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик?

Ответ

На l /6 ниже точки подвеса; по параболе; на 2l /27 ниже точки подвеса.

Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с диаметром дна D = 20 см и углом наклона стенок α = 60°, вращается вокруг вертикальной оси 00 1 . При какой угловой скорости вращения сосуда ω маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда? Трение не учитывать.

Ответ

ω > ≈13 рад/с.

Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин -1 . Внутри сферы находится шарик массой m = 0,2 кг. Найти высоту h , соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы, и реакцию сферы N .

Ответ

h ≈ 1 м; N ≈ 0,4 Н.

Внутри конической поверхности, движущейся с ускорением a , вращается шарик по окружности радиусом R . Определить период Т движения шарика по окружности. Угол при вершине конуса 2α .

Ответ

.

Небольшое тело массой m соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиусом R .

Трение ничтожно мало. Определить: а) какова должна быть наименьшая высота h ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая; б) какое давление F при этом производит тело на помост в точке, радиус-вектор которой составляет угол α с вертикалью.

Ответ

а) h = 2,5R ; б) F = 3mg (1 - cosα ).

Лента конвейера наклонена к горизонту под углом α . Определить минимальную скорость ленты v мин, при которой частица руды, лежащая на ней, отделяется от поверхности ленты в месте набегания ее на барабан, если радиус барабана равен R .

Ответ

v мин = .

Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы радиусом R ? Трением пренебречь.

Ответ

h = R /3.

Найти кинетическую энергию обруча массой m , катящегося со скоростью v . Проскальзывания нет.

Ответ

K = mv 2 .

Тонкий обруч без проскальзывания скатывается в яму, имеющую форму полусферы. На какой глубине h сила нормального давления обруча на стенку ямы равна его силе тяжести? Радиус ямы R , радиус обруча r .

Ответ

h = (R - r )/2.

Маленький обруч катится без скольжения по внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее верхнего края обруч покоился. Определить: а) кинетическую энергию обруча в нижней точке полусферы; б) какая доля кинетической энергии приходится на вращательное движение обруча вокруг его оси; в) нормальную силу, прижимающую обод к нижней точке полусферы. Масса обруча равна m , радиус полусферы R .

Ответ

а) K = mgR ; б) 50%; в) 2mg .

Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 2 м. Найти боковое давление воды. Диаметр трубы d = 20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает М = 300 т воды.

Ответ

p = 1,2·10 5 Па.

Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум искривленным наклонным поверхностям, проходящим через точки A и В один раз по выпуклой дуге, второй — по вогнутой. Обе дуги имеют одинаковую кривизну и коэффициент трения в обоих случаях один и тот же.

В каком случае скорость тела в точке B больше?

Ответ

В случае движения по выпуклой дуге.

Стержень ничтожной массы длиной l с двумя маленькими шариками m 1 и m 2 (m 1 > m 2) на концах может вращаться около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловую скорость ω и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем с шариками положения равновесия.

Ответ

; .

На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, надевают маленькое колечко массой m . Колечко без трения начинает скользить по спирали. С какой силой F будет колечко давить на спираль после того, как оно пройдет n полных витков? Радиус витка R , расстояние между соседними витками h (шаг витка). Считать h ≪ R .

Ответ

.

Замкнутая металлическая цепочка лежит на гладхом горизонтальном диске, будучи свободно насажена на центрирующее ее кольцо, соосное с диском. Диск приведен во вращение. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу натяжения Т вдоль цепочки, если ее масса m = 150 г, длина l = 20 см и цепочка вращается с частотой n = 20 с -1 .

Ответ

T ≈ 12 Н.

Реактивный самолет m = 30 т летит вдоль экватора с запада на восток со скоростью v = 1800 км/ч. На сколько изменится подъемная сила, действующая на самолет, если он будет лететь с той же скоростью с востока на запад?

Ответ

ΔF под ≈ 1,74·10 3 Н.

Единый государственный экзамен по физике, 2009 год,
демонстрационная версия

Часть A

А1. На рисунке приведён график зависимости про­ек­ции скорости тела от времени. График зависимости проекции ускорения тела от времени в интервале времени от 12 до 16 с совпадает с графиком

1)
2)
3)
4)

Решение. Из графика видно, что в интервале времени от 12 до 16 с скорость менялась рав­номерно от –10 м/с до 0 м/с. Ускорение было постоянным и равным

График ускорения представлен на четвёртом рисунке.

Правильный ответ: 4.

А2. Полосовой магнит массой m поднесли к массивной стальной плите массой M . Сравните силу действия магнита на плиту с силой действия плиты на магнит .

Решение. По третьему закону Ньютона сила, с которой магнит действует на плиту, равна силе, с которой плита действует на магнит.

Правильный ответ: 1.

А3. При движении по горизонтальной поверхности на тело массой 40 кг действует сила трения скольжения 10 Н. Какой станет сила трения скольжения после уменьшения массы тела в 5 раз, если коэффициент трения не изменится?

Решение. При уменьшении массы тела в 5 раз вес тела также уменьшится в 5 раз. Значит, и сила трения скольжения уменьшится в 5 раз и составит 2 Н.

Правильный ответ: 2.

А4. Легковой автомобиль и грузовик движутся со скоростями и . Масса легкового автомобиля m = 1000 кг. Какова масса грузовика, если отношение импульса грузовика к импульсу легкового автомобиля равно 1,5?

Решение. Импульс автомобиля равен . Импульс грузовика в 1,5 раза больше. Масса грузовика равна .

Правильный ответ: 1.

А5. Санки массой m тянут в гору с постоянной скоростью. Когда санки поднимутся на высоту h от первоначального положения, их полная механическая энергия

Решение. Поскольку санки тянут с постоянной скоростью, их кинетическая энергия не меняется. Изменение полной механической энергии санок равно изменению их потенциальной энергии. Полная механическая энергия увеличится на mgh .

Правильный ответ: 2.

Решение. Отношение длин волн обратно пропорционально отношению частот: .

Правильный ответ: 4.

А7. На фотографии показана установка для исследования равноускоренного скольжения каретки (1) массой 0,1 кг по наклонной плоскости, установленной под углом 30° к горизонту.

В момент начала движения верхний датчик (А) включает секундомер (2), а при прохождении каретки мимо нижнего датчика (В) секундомер выключается. Числа на линейке обозначают длину в сантиметрах. Какое выражение описывает зависимость скорости каретки от времени? (Все величины указаны в единицах СИ.)

Решение. Из рисунка видно, что за время t = 0,4 с каретка прошло путь s = 0,1 м. Поскольку начальная скорость каретки равна нулю, можно определить её ускорение:

.

Таким образом, скорость каретки зависит от времени по закону .

Правильный ответ: 1.

А8. При понижении абсолютной температуры одноатомного идеального газа в 1,5 раза средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул

Решение. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре. При понижении абсолютной температуры в 1,5 раза средняя кинетическая энергия также уменьшится в 1,5 раза.

Правильный ответ: 2.

А9. Горячая жидкость медленно охлаждалась в стакане. В таблице приведены результаты измерений её температуры с течением времени.

В стакане через 7 мин после начала измерений находилось вещество

Решение. Из таблицы видно, что в период времени между шестой и десятой минутой температура в стакане оставалась постоянной. Значит, в это время проходила кристаллизация (затвердевание) жидкости; вещество в стакане находилось одновременно и в жидком, и в твёрдом состояниях.

Правильный ответ: 3.

А10. Какую работу совершает газ при переходе из состояния 1 в состояние 3 (см. рисунок)?

Решение. Процесс 1–2 изобарический: давление газа равно, объём увеличивается на , газ при этом совершает работу . Процесс 2–3 изохорный: газ работу не совершает. В итоге, при переходе из состояния 1 в состояние 3 газ совершает работу 10 кДж.

Правильный ответ: 1.

А11. В тепловой машине температура нагревателя 600 K, температура холодильника на 200 K меньше, чем у нагревателя. Максимально возможный КПД машины равен

Решение. Максимально возможный КПД тепловой машины равен КПД машины Карно:

.

Правильный ответ: 4.

А12. В сосуде находится постоянное количество идеального газа. Как изменится температура газа, если он перейдёт из состояния 1 в состояние 2 (см. рисунок)?

Решение. Согласно уравнению состояния идеального газа при постоянном количестве газа

Правильный ответ: 1.

А13. Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшили в 3 раза, а один из зарядов увеличили в 3 раза. Силы взаимодействия между ними

Решение. При уменьшении расстояния между двумя точечными электрическими зарядами в 3 раза сила взаимодействия между ними возрастает в 9 раз. Увеличение одного из зарядов в 3 раза приводит к такому же увеличению силы. В итоге сила их взаимодействия стала в 27 раз больше.

Правильный ответ: 4.

А14. Каким будет сопротивление участка цепи (см. рисунок), если ключ К замкнуть? (Каждый из резисторов имеет сопротивление R .)

Решение. После замыкания ключа клеммы окажутся закороченными, сопротивление этого участка цепи станет равным нулю.

Правильный ответ: 4.

А15. На рисунке изображен проволочный виток, по которому течёт электрический ток в направлении, указанном стрелкой. Виток расположен в вертикальной плоскости. В центре витка вектор индукции магнитного поля тока направлен

Решение. По правилу правой руки: «Если обхватить соленоид (виток с током) ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца были направлены вдоль тока в витках, то отставленный большой палец покажет направление линий магнитного поля внутри соленоида (витка с током)». Мысленно проделав указанные действия, получаем, что в центре витка вектор индукции магнитного поля направлен горизонтально вправо.

Правильный ответ: 3.

А16. На рисунке приведен график гармонических колебаний тока в колебательном контуре. Если катушку в этом контуре заменить другой катушкой, индуктивность которой в 4 раза меньше, то период колебаний станет равен

Решение. Из графика видно, что период колебаний тока в колебательном контуре равен 4 мкс. При уменьшении индуктивности катушки в 4 раза, период уменьшится в 2 раза. После замены катушки он станет равным 2 мкс.

Правильный ответ: 2.

А17. Источник света S отражается в плоском зеркале ab . Изображение S этого источника в зеркале показано на рисунке

Решение. Изображение объекта, полученное с помощью плоского зеркала, расположено симметрично объекту относительно плоскости зеркала. Изображение источника S в зеркале показано на рисунке 3.

Правильный ответ: 3.

А18. В некотором спектральном диапазоне угол преломления лучей на границе воздух - стекло падает с увеличением частоты излучения. Ход лучей для трёх основных цветов при падении белого света из воздуха на границу раздела показан на рисунке. Цифрам соответствуют цвета

Решение. Из-за дисперсии света при переходе из воздуха в стекло луч тем сильнее отклоняется от первоначального направления, чем меньшей его длина волны. У синего цвета самая маленькая длина волны, у красного - самая большая. Синий луч отклонится сильнее всего (1 - синий), красный луч отклонится слабее всего (3 - красный), остаётся 2 - зелёный.

Правильный ответ: 4.

А19. На входе в электрическую цепь квартиры стоит предохранитель, размыкающий цепь при силе тока 10 А. Подаваемое в цепь напряжение равно 110 В. Какое максимальное число электрических чайников, мощность каждого из которых равна 400 Вт, можно одновременно включить в квартире?

Решение. Через каждый чайник проходит электрический ток с силой 400 Вт: 110 В 3,64 А. При включении двух чайников сила суммарная сила тока (2 3,64 А = 7,28 А) будет меньше 10 А, а при включении трёх чайников - больше 10 А (3 3,64 А = 10,92 А). Одновременно можно включить не более двух чайников.

Правильный ответ: 2.

А20. На рисунке изображены схемы четырех атомов, соответствующие модели атома Резерфорда. Чёрными точками обозначены электроны. Атому соответствует схема

1)
2)
3)
4)

Решение. Число электронов в нейтральном атоме совпадает с числом протонов, которое записывается внизу перед наименованием элемента. В атоме 4 электрона.

Правильный ответ: 1.

А21. Период полураспада ядер атомов радия составляет 1620 лет. Это означает, что в образце, содержащем большое число атомов радия,

Решение. Верным является утверждение, что половина изначально имевшихся ядер радия распадается за 1620 лет.

Правильный ответ: 3.

А22. Радиоактивный свинец , испытав один α-распад и два β-распада, превратился в изотоп

Решение. При α-распаде масса ядра уменьшается на 4 а. е. м., а при β-распаде масса не изменяется. После одного α-распад и двух β-распада масса ядра уменьшится на 4 а. е. м.

При α-распаде заряд ядра уменьшается на 2 элементарных заряда, а при β-распаде заряд увеличивается на 1 элементарный заряд. После одного α-распад и двух β-распада заряд ядра не изменится.

В итоге, превратится в изотоп свинца .

Правильный ответ: 3.

А23. Фотоэффект наблюдают, освещая поверхность металла светом фиксированной частоты. При этом задерживающая разность потенциалов равна U . После изменения частоты света задерживающая разность потенциалов увеличилась на ΔU = 1,2 В. На сколько изменилась частота падающего света?

1)
2)
3)
4)

Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта для начальной частоты света и для изменённой частоты . Вычтя из второго равенства первое, получим соотношение:

Правильный ответ: 2.

А24. Проводники изготовлены из одного и того же материала. Какую пару проводников нужно выбрать, чтобы на опыте обнаружить зависимость сопротивления проволоки от её диаметра?

1)
2)
3)
4)

Решение. Чтобы на опыте обнаружить зависимость сопротивления проволоки от её диаметра, нужно взять пару проводников, отличающихся только толщиной. Длина проводников должна быть одинаковой. Нужно взять третью пару проводников.

Правильный ответ: 3.

А25. Исследовалась зависимость напряжения на обкладках воздушного конденсатора от заряда этого конденсатора. Результаты измерений представлены в таблице.

Погрешности измерений величин q и U равнялись соответственно 0,05 мкКл и 0,25 кВ. Ёмкость конденсатора примерно равна

Решение. Рассчитаем для каждого измерения величину ёмкости конденсатора () и усредним получившиеся значения.

Рассчитанное значение ёмкости ближе всего к третьему варианту ответа.

Правильный ответ: 3.

Часть B

В1. Груз массой m , подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания с периодом T и амплитудой . Что произойдёт с максимальной потенциальной энергией пружины, периодом и частотой колебаний, если при неизменной амплитуде уменьшить массу груза?

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Получившуюся последовательность цифр перенесите в бланк ответов (без пробелов).

Решение. Период колебаний связан с массой груза и жёсткостью пружины k соотношением

При уменьшении массы период колебаний уменьшится (А - 2). Частота обратно пропорциональная периоду, значит, частота увеличится (Б - 1). Максимальная потенциальная энергия пружины равна , при неизменной амплитуде колебаний она не изменится (В - 3).

Ответ: 213.

В2 . Используя первый закон термодинамики, установите соответствие между описанными в первом столбце особенностями изопроцесса в идеальном газе и его названием.

Получившуюся последовательность цифр перенесите в бланк ответов (без пробелов и каких-либо символов).

Решение. Внутренняя энергия идеальная газа остаётся неизменной при неизменной температуре газа, то есть, в изотермическом процессе (А - 1). Теплообмен с окружающими телами отсутствует в адиабатическом процессе (Б - 4).

В3. Летящий снаряд разрывается на два осколка. По отношению к направлению движения снаряда первый осколок летит под углом 90° со скоростью 50 м/с, а второй - под углом 30° со скоростью 100 м/с. Найдите отношение массы первого осколка к массе второго осколка.

Решение. Изобразим направления движения снаряда и двух осколков (см. рисунок). Запишем закон сохранения проекции импульса на ось, перпендикулярную направлению движения снаряда:

В4. В теплоизолированный сосуд с большим количеством льда при температуре заливают m = 1 кг воды с температурой . Какая масса льда Δm расплавится при установлении теплового равновесия в сосуде? Ответ выразите в граммах.

Решение. При охлаждении вода отдаст количество теплоты . Эта теплота растопит лёд массой

Ответ: 560.

В5. Предмет высотой 6 см расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии 30 см от её оптического центра. Оптическая сила линзы 5 дптр. Найдите высоту изображения предмета. Ответ выразите в сантиметрах (см).

Решение. Обозначим высоту предмета h = 6 см, расстояние от линзы до предмета , оптическую сила линзы D = 5 дптр. Используя формулу для тонкой линзы, определим положение изображения предмета:

.

Увеличение составит

.

Высота изображения равна

Часть C

С1. Человек в очках вошёл с улицы в теплую комнату и обнаружил, что его очки запотели. Какой должна быть температура на улице, чтобы наблюдалось это явление? В комнате температура воздуха 22 °С, а относительная влажность воздуха 50 %. Поясните, как вы получили ответ.

(При ответе на этот вопрос воспользуйтесь таблицей для давления насыщенных паров воды.)

Давление насыщенных паров воды при различных температурах

Решение. Из таблицы находим, что давление насыщенных паров в комнате составляет 2,64 кПа. Поскольку относительная влажность воздуха равна 50 %, парциальное давление паров воды в комнате равно 2,164 кПа50 % = 1,32 кПа.

В первый момент, как человек вошёл с улицы, его очки имеют уличную температуру. Комнатный воздух, соприкасаясь с очками, охлаждается. Из таблицы видно, что если комнатный воздух охладится до 11 °С или ниже, когда парциальное давление паров воды станет больше давления насыщенных паров, пары воды конденсируются - очки запотеют. Температура на улице должна быть не выше 11 °С.

Ответ: не выше 11 °С.

С2. Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А (см. рисунок). В точке В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом R . Если в точке А скорость шайбы превосходит , то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости АВ = L = 1 м, угол α = 30°. Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой μ = 0,2. Найдите внешний радиус трубы R .

Решение. Найдём скорость шайбы в точке B , используя закон сохранения энергии. Изменение полной механической энергии шайбы равно работе силы трения:

Условием отрыва является равенство силы реакции опоры нулю. Центростремительное ускорение вызвано только силой тяжести, при этом для минимальной начальной скорости, для которой наблюдается отрыв шайбы, радиус кривизны траектории в точке B равен R (для бо́льших скоростей радиус будет больше):

Ответ: 0,3 м.

С3. Воздушный шар, оболочка которого имеет массу М = 145 кг и объём , наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении и температуре окружающего воздуха . Какую минимальную температуру t должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.

Решение. Шар начнёт подниматься, когда сила Архимеда превысит силу тяжести. Сила Архимеда равна . Плотность наружного воздуха равна

где p - нормальное атмосферное давление, μ - молярная масса воздуха, R - газовая постоянная, - температура наружного воздуха.

Масса шара складывается из массы оболочки и массы воздуха внутри оболочки. Сила тяжести равна

где T - температура воздух внутри оболочки.

Решая неравенство , находим минимальную температуру T :

Минимальная температура воздух внутри оболочки должна быть 539 К или 266 °C.

Ответ: 266 °C.

С4. Тонкий алюминиевый брусок прямоугольного сечения, имеющий длину L = 0,5 м, соскальзывает из состояния покоя по гладкой наклонной плоскости из диэлектрика в вертикальном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл (см. рисунок). Плоскость наклонена к горизонту под углом α = 30°. Продольная ось бруска при движении сохраняет горизонтальное направление. Найдите величину ЭДС индукции на концах бруска в момент, когда брусок пройдёт по наклонной плоскости расстояние l = 1,6 м.

Решение. Найдём скорость бруска в нижнем положении, используя закон сохранения энергии:

Алюминий является проводником, поэтому в бруске возникнет ЭДС индукции. ЭДС индукции на концах бруска будет равно

Ответ: 0,17 В.

С5. В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника тока равна 12 В, ёмкость конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки 5 мГн, сопротивление лампы 5 Ом и сопротивление резистора 3 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника тока, а также сопротивлением катушки и проводов пренебречь.

Решение. Введём обозначения: ε - ЭДС источника тока, C - ёмкость конденсатора, L - индуктивность катушки, r - сопротивление лампы, R - сопротивление резистора.

Пока ключ замкнут через конденсатор и лампу ток не течёт, а через резистор и катушку течёт ток

Энергия системы конденсатор - лампа - катушка - резистор равна

.

После размыкания ключа в системе будут протекать переходные процессы, пока конденсатор не разрядится и ток не станет равным нулю. Вся энергия выделится в виде тепла в лампе и резисторе. В каждый момент времени в лампе выделяется количества тепла , а в резисторе - . Поскольку через лампу и резистор будет течь один и тот же ток, отношение выделившегося тепла будет в пропорции сопротивлений . Таким образом, в лампе выделится энергия

Ответ: 0,115 Дж.

С6. -мезон массой распадается на два γ-кванта. Найдите модуль импульса одного из образовавшихся γ-квантов в системе отсчёта, где первичный -мезон покоится.

Решение. В системе отсчёта, где первичный -мезон покоится, его импульс равен нулю, а энергия равна энергии покоя . По закону сохранения импульса γ-кванты разлетятся в противоположных направлениях с одинаковыми импульсами. Значит, энергии γ-квантов одинаковы и, следовательно, равны половине энергии -мезона: . Тогда импульс γ-кванта равен