Классы, множества, группы, системы. Один и тот же объект может иметь множество моделей, а разные объекты могут описываться одной моделью

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Учебные элементы параграфа:

Историзм в развитии понятия модель.

Система

Свойства

Отношения между элементами.

Определение понятия модель.

Понятие модели претерпело значительные изменения в процессе развития науки.

Первоначально моделью называли некоторое вспомогательное средство, объект, который в определённой ситуации заменял другой объект. При этом далеко не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщность моделирования, т.е. не просто возможность, но и необходимость представлять любые наши знания в виде моделей.

Например, древние философы считали невозможным моделирование естественных процессов, так как по их представлениям, природные и искусственные процессы подчинялись различным закономерностям. Они полагали, что отобразить природу можно только с помощью логики, споров, рассуждением, т.е. по современной терминологии, языковых моделей.

Через несколько столетий девизом английского Королевского научного общества стал лозунг “ничего словами”. Признавались только выводы, подкреплённые экспериментально или математическими выкладками. В результате очень долго понятие “модель” относилось только к материальным объектам.

Только позднее были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков, карт - реальных объектов искусственного происхождения, воплощающих абстракции довольно высокого уровня. Следующий шаг заключался в признании того, что моделями могут служить не только реальные объекты, но и идеальные, абстрактные построения, например, математические модели.

Следует напомнить, что любой объект (оригинал) представляет собой СИСТЕМУ. Формально систему можно представить таким соотношением:

S= { E , P, R }→ С

Систему образуют МНОЖЕСТВО элементов Е , с определенными СВОЙСТВАМИ Р и связанными определенными ОТНОШЕНИЯМИ R . Система реализует определенную цель С .

В определенном смысле модель тоже представляет собой систему:

s={e , p , r }→ с

Под отношением, R будем понимать взаимозависимость или взаимодействие двух или более материальных или абстрактных объектов, явлений. Отношения взаимодействия могут быть материальными, энергетическими или информационными. Различают следующие отношения взаимозависимости:подобие, идентичность, аналогия, гомоморфизм, изоморфизм, причина - следствие, цель- средство, связь (последовательная, параллельная, обратная, комбинированная). Взаимозависимость может быть также функциональной, логической, пространственной и временной. Кроме того между объектами А, В, С могут быть отношения:

рефлексивность – А=А

симметрия – А=В, а В=А

транзитивность – А=В, В=С, А=С

эквивалентность – если соблюдаются первые три отношения.

Свойство Р – это свернутое (одноместное) отношение.

Как и для понятия “система”, есть много определений понятия “модель”. Мы будем придерживаться следующего:

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами (формулы, графики и т.п.), либо материального предмета, отражающий свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой человеком.

Из этого определения следует, что понятие модели оказывается невозможным ограничить только тем самым, что непосредственно называется моделью.

Схема на рисунке 1.1 отображает модель как многоместное отношение между “субъектом” - инициатором моделирования и (или) пользователем его результатов; “объект-оригинал” - предмет моделирования; “модель” - отображение объекта; “среда”, в которой находятся и взаимодействуют все элементы этого множества. Можно коротко сказать, что модель есть системное отображение оригинала.

Каждому материальному объекту соответствует бесчисленное множество различных моделей, связанных с различными задачами. Поэтому существует несколько признаков для классификации моделей.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Как изменялось понятие модели при развитии науки?

Что такое отношение между элементами в системе?

Как определяется понятие модель в настоящее время?

Может ли объект-оригинал иметь много моделей?

Найти в энциклопедии определение понятий для типов и видов отношений взаимозависимости.

Какие отношения рассматривались в системах, изучались в физике, математике, информатике?

В некоторых открытых множествах (т.е. не содержащих свои предельные точки) можно наблюдать серьезное несоответствие размерностей.

Множество концевых точек трем канторовой пыли самоподобно и характеризуется теми же значениями и , что и вся канторова пыль, т.е. его размерность подобия совпадает с размерностью подобия канторовой пыли. Однако оно является счетным, а это означает, что его размерность Хаусдорфа – Безиковича равна нулю. Если добавить сюда предельные точки пыли, то мы получим саму канторову пыль, и несоответствие исчезнет «в пользу» размерности подобия, которая для этого множества является более важной характеристикой.

Еще один простой пример, который я называю множеством Безиковича, рассматривается в разделе нелакунарные фракталы, 3.

Размерность Фурье и эвристика

Пусть - некоторая неубывающая функция от . Если максимальные открытые интервалы, в которых значение постоянно, составляют в сумме дополнение замкнутого множества , то мы говорим, что множество является опорным для . Преобразование Фурье – Стилтьеса функции имеет вид

Самые гладкие функции дают наивысшую возможную скорость уменьшения . Обозначим через наибольшее вещественное число, при котором, по меньшей мере, одна функция с носителем удовлетворяет равенству

при для всех ,

но ни одна не удовлетворяет

при для некоторых .

Выражение « при » означает здесь, что . Когда множество заполняет весь интервал , величина бесконечна. И напротив, когда - одна – единственная точка, . Интересно, что, когда представляет собой множество нулевой меры Лебега, величина конечна и не превышает размерности Хаусдорфа – Безиковича этого множества. Неравенство показывает, что фрактальные и гармонические свойства фрактального множества связаны между собой, но не обязательно совпадают.

Для доказательства того, что эти размерности могут различаться, предположим, что - это множество на прямой, причем его размерность равна . Если рассматривать как множество на плоскости, то размерность не изменится, а обратится в нуль.

Определение. В качестве удобного способа обобщения некоторых гармонических свойств , предлагаю назвать величину размерностью Фурье множества .

Множества Сейлема. Равенство описывает целую категорию множеств, называемых множествами единственности, или множествами Сейлема (см. ).

Эмпирическое правило и эвристика. Интересующие нас в прецедентных исследованиях фракталы оказываются, как правило, множествами Сейлема. Поскольку величина во многих случаях легко определяется из экспериментальных данных, можно использовать ее для оценки .

Неслучайные множества Сейлема. Неслучайная канторова пыль является множеством Сейлема только тогда, когда коэффициент удовлетворяет определенным теоретико-числовым свойствам.

Случайные множества Сейлема. Случайная канторова пыль является множеством Сейлема тогда, когда ее случайность достаточно велика для нарушения любой арифметической закономерности.

Оригинальный пример, предложенный самим Р. Сейлемом, очень сложен. В качестве альтернативного примера можно привести пыль Леви: в показано, что спектр (здесь - лестница Леви, см. рис. 399) в среднем почти совпадает со спектром дробной броуновской функции из прямой в прямую и представляет собой сглаженный вариант спектра функции Гаусса – Вейерштрасса.

В монографии (теоремы 1, с. 165, и 5, с. 173) показано, что образ компактного множества с размерностью относительно дробной броуновской функции из прямой в прямую с показателем представляет собой множество Сейлема с размерностью .

Канторова пыль не является множеством Сейлема. Троичная канторова пыль появилась в свое время на свет в результате поисков Георгом Кантором множества единственности (см. , I, с. 196), - поисков, которые не увенчались успехом. (Кантор тогда забросил гармонический анализ и – за неимением лучшего – создал теорию множеств.) Обозначим канторову лестницу через . Спектр имеет ту же общую форму, что и спектр , однако содержит, в отличие от последнего, некоторое количество случайно расположенных острых пиков неубывающего размера, из чего можно заключить, что . См. .

Для теории множеств единственности наличие этих пиков играет решающую роль, однако на практике они вовсе не столь значимы. В большинстве случаев при оценке спектральной плотности пики игнорируются, и в расчет принимается только общая форма спектра, определяемая размерностью .

Серединные и прерывистые многоугольники

Материалы по этой теме (связанной с кривыми Пеано) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

Статистический анализ с применением нормированного размаха

До недавних пор в прикладной статистике принимались как само собой разумеющиеся два следующих допущения в отношении временных рядов: предполагалось, что и что случайная величина обладает краткосрочной зависимостью. Я, однако, показал (см. главу 37), что эмпирические последовательности данных с длинными хвостами часто лучше интерпретируются в свете допущения . С вопросом же о том, является та или иная последовательность данных слабо (краткосрочно) или сильно (долгосрочно) зависимой, мы впервые столкнулись еще тогда, когда я ввел долгосрочную зависимость для интерпретации феномена Херста (см. главу 27).

Такая смесь длинных хвостов и очень долгосрочной зависимости могла бы завести статистиков в тупик, поскольку стандартные методы второго порядка, рассчитанные на неизменную зависимость (корреляцию, спектры), руководствуются допущением . Есть. Однако, альтернатива.

Можно пренебречь распределением величины и проанализировать ее долгосрочную зависимость с помощью нормированного размаха; иначе такая процедура называется - анализом. Этот статистический метод, предложенный в и получивший математическое обоснование в , основан на различии между краткосрочной и очень долгосрочной зависимостями. В этом методе вводится постоянная , которая называется коэффициентом Херста, или - показателем, и может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

Значимость постоянной можно описать еще до ее определения. Особое значение характерно для независимых, марковских и других случайных функций с краткосрочной зависимостью. Таким образом, для того, чтобы узнать, присутствует ли в эмпирических данных или в выборочных функциях очень долгосрочная непериодическая статистическая зависимость, достаточно проверить, приемлемо ли статистически предположение . Если нет, то такая зависимость присутствует, а мера ее интенсивности определяется разностью , значение которой можно оценить на основании имеющихся данных.

Главное достоинство такого подхода заключается в том, что показатель устойчив по отношению к маргинальному распределению. То есть он эффективен не только в тех случаях, когда последовательности данных или случайные функции являются почти гауссовыми, но и тогда, когда распределение настолько далеко от гауссова, что расходится, а в этом случае не работает ни один из методов второго порядка.

Определение статистического - размаха . В непрерывном времени определим , и . В дискретном времени определим и ; здесь - целая часть . Для всякого (величину назовем запаздыванием) определим скорректированный размах суммы на временнóм промежутке от 0 до в виде

Величина называется статистическим - размахом или самонормированным самокорректированным размахом суммы .

Определение - показателя . Предположим, что существует некоторое вещественное число , такое, что при величина сходится по распределению к некоторой невырожденной предельной случайной величине. Как доказано в , из этого предположения следует, что . В этом случае говорят, что функция имеет - показатель и постоянный - префактор.

Сделаем более общее предположение: пусть к некоторой невырожденной предельной случайной величине сходится по распределению отношение , где - некоторая медленно изменяющаяся на бесконечности функция, т.е. функция, удовлетворяющая условию при для всех . Простейшим примером такой функции является . В этом случае говорят, что функция имеет - показатель и - префактор .

Основные результаты . Когда - белый гауссов шум, имеем и постоянный префактор. Если точнее, то отношение является стационарной случайной функцией от .

В более общем виде, равенство справедливо во всех случаях, когда , а нормированная сумма при слабо сходится к .

Когда - дискретный дробный гауссов шум (т.е. последовательность приращений функции , см. с. 488), имеем , где .

В более общем виде, для получения и постоянного префактора достаточно, чтобы и чтобы сумма приближалась к функции так, что .

В еще более общем виде, значение и префактор преобладают, если , а приближается к функции и удовлетворяет соотношению .

И наконец, , если , а приближается к некоторой негауссовой масштабно-инвариантной случайной функции с показателем . Примеры можно найти в .

С другой стороны, если - белый устойчивый по Леви шум (т.е. ), то .

Когда функция в результате дифференцирования становится стационарной, то .

Стационарность. Степени стационарности

Используя в научных текстах «обыкновенные» слова, мы либо имеем в виду их общеупотребительные, «мирские» значения (выбор которых зависит от автора), либо придаем им статус формальных определений (для чего выделяем какое-либо особое значение и заносим его на – в данном случае – математические «скрижали»). Терминам стационарный и эргодический повезло в том смысле, что математики достигли согласия относительно их значения. Я, однако, имел возможность на собственном опыте убедиться в том, что многие инженеры, физики и статистики-практики, признавая математическое определение на словах, на деле придерживаются более узких взглядов. Мне же, напротив, хотелось бы расширить математическое определение. Ниже я перечислю основные недоразумения, возникающие при употреблении упомянутых терминов, и попытаюсь объяснить, почему математическое определение нуждается в расширении.

Математическое определение. Процесс является стационарным, если распределение величины не зависит от , а совместное распределение и не зависит от ; причем то же верно и для совместных распределений при всех .

Первое недоразумение (философия). Согласно распространенному мнению, научной может считаться та деятельность, объектом которой являются феномены, подчиняющиеся неизменным правилам. Неверное понимание стационарности чаще всего является следствием именно такого взгляда на вещи: многие полагают, что под стационарностью подразумевается всего лишь инвариантность во времени управляющих процессом правил. Это далеко не так. Например, приращение броуновского движения представляет собой гауссову случайную величину, среднее и дисперсия которой не зависят от . Не зависит от и правило построения множества нулей броуновского движения. К стационарности, однако, имеют отношение только те правила, которые управляют значениями самого процесса. В случае броуновского движения эти правила не являются инвариантными во времени.

Второе недоразумение (прикладная статистика). Статистики предлагают нам множество методов (иногда даже в виде программного обеспечения для компьютеров) «анализа временных рядов»; на деле же диапазон возможностей этих методов оказывается гораздо ỳже, чем можно было бы ожидать, судя по ярлыку. Это неизбежно, так как математическая стационарность – понятие слишком общее для того, чтобы какой-нибудь отдельный метод оказался бы применим ко всем возможным случаям. Однако тем самым статистики невольно воспитывают в своих клиентах убежденность в том, что понятие «стационарного временнóго ряда» тождественно другим, более узким понятиям, охватываемым тем или иным методом. Даже в тех случаях, когда авторы методов берут на себя труд проверить свои творения на «устойчивость», они учитывают лишь минимальные отклонения от простейшего состояния, не принимая в расчет весьма радикальных отклонений, ничуть не противоречащих стационарности.

Третье недоразумение (инженеры и физики). Многие исследователи (отчасти благодаря более ранним недоразумениям) полагают, что если выборочный процесс стационарен, то это означает, что он «может сдвигаться вверх и вниз, но остается в некотором роде статистически тем же». Такая интерпретация вполне годилась на раннем, «неформальном», этапе, однако в настоящий момент она неприемлема. Математическое определение описывает лишь правила порождения, но никак не затрагивает порождаемые объекты. Когда математики впервые столкнулись со стационарными процессами с чрезвычайно беспорядочными выборками, они были поражены тем, что понятие стационарности может включать в себя такое изобилие самых различных и неожиданных форм поведения. К сожалению, именно такие формы поведения многие практики наотрез отказываются признавать стационарными.

Серая зона. Нет никаких сомнений в том, что граница между стационарными и нестационарными процессами проходит где-то между белым гауссовым шумом и броуновским движением; споры вызывает лишь точное ее местонахождение.

Уточнение границы с помощью масштабно-инвариантных шумов. Гауссовы масштабно-инвариантные шумы (см. главу 27) могут послужить весьма удобным средством для уточнения спорной границы, поскольку их спектральная плотность имеет вид , где . Для белого шума , для броуновского движения , граница же между стационарными и нестационарными процессами попадает на различные значения в зависимости от того, какими соображениями руководствуются «землемеры»., необходима исключительно нестационарная модель.

Я, в свою очередь, обнаружил, что вследствие исключения из рассмотрения значений определение стационарности оказывается недостаточно общим для многих прецедентных исследований.

Условно стационарные спорадические процессы. Например, теория фрактальных шумов (см. главу 9) позволяет предположить, что процесс, состоящий из броуновских нулей стационарен в ослабленной форме. В самом деле, предположим, что где-то в промежутке между и имеется хотя бы один нуль. Результатом такого предположения будет случайный процесс, зависящий от как от дополнительного внешнего параметра. Я отмечал, что совместное распределение значений не зависит от. О бесконечной мере для случайных переменных писал еще Реньи . Для того чтобы мера не привела к катастрофе, в теории обобщенных случайных величин делается допущение о том, что эти величины наблюдаются только будучи обусловленными некоторым событием , таким, что .

Хотя применимость случайных переменных Реньи очень ограниченна, спорадические функции оказываются иногда весьма полезными: в частности, с их помощью мне в удалось избежать в нескольких случаях инфракрасной катастрофы, объяснив тем самым существование некоторых масштабно-инвариантных шумов с .

Эргодичность. Перемешивание. Различным интерпретациям подвергается также и понятие эргодичности. В математической литературе понятие эргодичности включает в себя различные формы перемешивания. Существуют процессы с сильным перемешиванием и процессы со слабым перемешиванием. Различие между этими формами (если судить о нем по математическим трудам) может показаться весьма незначительным и далеким от реальных природных феноменов. Не позволяйте ввести себя в заблуждение – это не так. Например, масштабно-инвариантные шумы с, либо эффекту Иосифа (бесконечная зависимость, как в - шумах с ). Следует сказать, однако, что почти все мои прецедентные исследования были на некотором этапе a priori раскритикованы неким «экспертом», который утверждал, что исследуемые феномены явно нестационарны, и, следовательно, мои стационарные модели изначально обречены на неудачу. Рассуждение ошибочное, но психологически очень значимое.

Заключение. Вокруг границы между математически стационарными и нестационарными процессами не прекращаются бурные семантические диспуты. На практике же граница оккупирована процессами, которые хотя и не отвечают нашим интуитивным представлениям о стационарных процессах, все же способны выступать в роли объектов научного исследования. Эти процессы весьма пригодились и мне – как в настоящем эссе, так и в остальной исследовательской работе.

Лексические проблемы. И снова возникает необходимость в новых терминах. Возьму на себя смелость порекомендовать термин установившийся в качестве синонима того, что математики называют «стационарный и такой, что сумма сходится к », и термина для обозначения того интуитивного понятия, которое исследователи-практики склонны именовать «стационарностью». Обратное понятие можно обозначить терминами неустановившийся или блуждающий.

В одной из своих ранних работ (а именно: в ) я предложил называть установившиеся процессы лапласовыми и мягкими. Последнее слово употреблено в значении «безопасный, легко контролируемый»; это значение показалось мне вполне подходящим, поскольку, имея дело с таким случайным процессом, можно не опасаться каких-либо сюрпризов с его стороны – не стоит ждать от него тех резких отклонений и разнообразных конфигураций, благодаря которым анализ блуждающих случайных процессов представляет собой более сложное, но и гораздо более интересное занятие.

Математическое множество

Мно́жество - один из ключевых объектов математики , в частности, теории множеств . «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие - значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество - это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

Теории

Существует два основных подхода к понятию множества - наивная и аксиоматическая теория множеств.

Аксиоматическая теория множеств

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело - Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита , его элементы - маленькими. Если а - элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а∉А(а не принадлежит А).

Некоторые виды множеств

• Упорядоченное множество -- множество, на котором задано отношение порядка .
• Набор (в частности, упорядоченная пара). В отличие от просто множества записывается внутри круглых скобок: (x 1 , x 2 , x 3 , … ), а элементы могут повторяться.

По иерархии:

Множество множеств Подмножество Надмножество

По ограничению:

Операции над множествами

Литература

• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М .: Просвещение, 1968. - 232 с.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Математическое множество" в других словарях:

Множество Витали первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, опубликовал в 1905 году итальянский математик Дж. Витали в своей статье «Sul problema della misura dei gruppi di punti… … Википедия

- (среднее значение) случайной величины числовая характеристика случайной величины. Если случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (см. Вероятностей теория), то её M. о. MX (или EX)определяется как интеграл Лебега: где … Физическая энциклопедия

Случайной величины есть ее числовая характеристика. Если случайная величина X имеет функцию распределения F(x), то ее М. о. будет: . Если распределение X дискретно, то М.о.: , где x1, х2, ... возможные значения дискретной случайной величины X; p1 … Геологическая энциклопедия

Математическое обеспечение АСУ - , то же, что программное обеспечение, ПО, комплекс математических программ и алгоритмов, одна из обеспечивающих подсистем. Обычно включает множество программ для решения на ЭВМ конкретных задач, объединяемых главной программой… … Экономико-математический словарь

математическое обеспечение АСУ - то же, что программное обеспечение, ПО, комплекс математических программ и алгоритмов, одна из обеспечивающих подсистем. Обычно включает множество программ для решения на ЭВМ конкретных задач, объединяемых главной программой диспетчером.… … Справочник технического переводчика

- (математическое) см. Множеств теория …

Математическая модель это математическое представление реальности. Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути… … Википедия

Математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). М. п.… … Математическая энциклопедия

Математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). М. п. раздел науки об… … Большая советская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Доказательство. В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от … Википедия

Книги

• Математическое моделирование экономики , Малыхин В.И.. В книге рассмотрены основные математические модели экономики: модель индивида-потребителя (на основе функции полезности), модель фирмы-производителя (на основе производственной функции),…

Описание предметной области (создание ее онтологии) начинается с выделения объектов и их классификации, которая традиционно заключается в составлении дерева классов-подклассов и приписывании к ним индивидов. При этом термин «класс», по сути, используется в значении «множество»: отнесение объекта к классу мыслится как включение его в качестве элемента в соответствующее множество. Цель этого текста показать, что такой унифицированный подход к описанию структуры предметной области является сильным упрощением и не позволяет зафиксировать разнообразие семантических отношений объектов.

Давайте рассмотрим три варианта классификации индивида Жучка:

1. Животное - собака - лайка - Жучка.
2. Служебная - ездовая - Жучка.
3. Псарня - упряжка собак - Жучка.

Первую последовательность соподчиненных сущностей однозначно принято описывать через задание классов и подклассов: Жучка является индивидом класса «лайка», класс «лайка» - подклассом собак, а тот подклассом класса «животное». При этом класс «животные» трактуется как множество всех животных, а класс «лайки», как подмножество множества «собаки». Однако, такое описание, несмотря на то, что оно достаточно наглядно, содержательно является тавтологичным, самореферентным: индивида Жучку мы называем лайкой, если она входит в множество лаек, а само множество лаек определяем как совокупность всех индивидов лаек - то есть включение в множество содержательно дублирует поименование. К тому же описание класса-множества полностью исчерпывается описанием индивида, подпадающего под задающее класс понятие. Также следует отметить, что оперирование подобными классами-множествами не зависит от количества элементов в них: лайка Жучка будет лайкой даже тогда, когда она останется единственной, последней лайкой на Земле. Более того, оперировать такими классами-множествами мы можем даже при отсутствии индивидов в них: можно построить онтологию уже вымерших динозавров, помыслить класс, в который только в будущем войдет проектируемое уникальное устройство или построить модель предметной области мифических животных, героев сказок, хотя при этом мощность всех классов-множеств будет равна нулю.

Итак, если говорить о содержательной стороне анализируемой классификации (животное - собака - лайка - Жучка), то она (содержательная сторона) никак не может быть выражена через отношение множеств и подмножеств. В данном случае мы имеем дело с концептуализацией - выделением понятий и установлением родо-видовых отношений между ними. При этом фактическое число элементов концептуального класса, то есть объем понятия, не фигурирует при его определении и упоминается (да и то не содержательно) только, когда одно понятие («лайка») подпадает под другое («собака»), то есть когда выступает как вид рода. Да, мы можем констатировать, что объем понятия «собака» больше, чем объем понятия «лайка», но реальное числовое соотношение этих множеств не имеет никакого онтологического смысла. Превышение объемом класса объема подкласса при родо-видовых отношениях отражает лишь то, что по определению рода в него должно входить несколько видов - в противном случае эта классификация становится бессмысленной. То есть в родо-видовой концептуальной классификации нас интересует именно содержание понятий - чем вид «собака» отличается от вида «кот» (которое также подпадает под родовое для них понятие «животное»), а не то, как соотносятся объемы множеств рода и вида и тем более объемы видовых понятий («собака» и «кошка»). И чтобы отличать концептуальные классы от действительно счетных множеств, правильнее было бы говорить о подпадании индивида под понятие , а не о включении его в класс/множество. Ясно, что в формальной записи утверждения «подпадает под понятие Х» и «является элементом класса Х» могут выглядеть одинаково, но непонимание существенной разницы между двумя этими описаниями может привести к серьезным ошибкам в построении онтологии.

Во втором варианте (служебная - ездовая - Жучка) нас также не интересует сопоставление понятию «ездовая» какого-либо множества: смысловое содержание утверждения «Жучка - ездовая» не зависит от того, является ли она единственной ездовой или таковых много. Казалось бы, мы и здесь имеем дело с родо-видовыми отношениями: понятие «ездовая» можно рассматривать как видовое относительно родового понятия «служебная». Но связь индивида «Жучка» с понятием «ездовая» существенно отличается от связи с понятием «лайка»: второе, концептуальное, понятие имманентно и неизменно присуще индивиду, а первое отражает локальную во времени специализацию . Жучка не родилась ездовой и возможно с возрастом может перестать быть ею и перейти в разряд сторожевых, а под старость вообще потерять всякую «профессию». То есть, говоря о специализации, мы всегда можем выделить события приобретения и утраты связи с тем или иным понятием. К примеру, Жучка могла быть признана абсолютным чемпионом породы, а потом утерять это звание, что принципиально невозможно с концептуальными понятиями: Жучка от рождения и до смерти, то есть на всем временном отрезке своего существования как индивида, является собакой и лайкой. Так и человек остается концептом «человек» всю жизнь, но ситуационно (от события до события) может подпадать под специализирующие понятия «школьник», «студент», «врач», «муж» и пр. И как уже отмечалось, связь с этими понятиями ничуть не означает включение в некоторое множество (хотя это и может так выглядеть) - приписывание специализирующего понятия всегда есть результат конкретного отношения индивида с другими индивидами: поступление в школу, ВУЗ, получение диплома, регистрация брака и пр. Поэтому специализирующие понятия можно назвать еще реляционными . Из приведенных примеров следует еще одно существенное отличие концептуальной классификации от специализации: индивид может обладать несколькими специализациями (Жучка являться ездовой и чемпионом породы, человек студентом и мужем), но не может одновременно входить более чем в одну концептуальную иерархию (Жучка не может быть и собакой, и кошкой).

И только в третьем варианте описания Жучки - как принадлежащей к некоторой псарне и как члена конкретной упряжки, тянущей нарты по тундре - просто необходимо упоминание множества. Только в этом случае мы имеем право говорить, что индивид является элементом конкретного множества со счетным количеством элементов, а не подпадает под понятие, которое может быть представлено как абстрактное множество, условно фиксирующее объем этого понятия. И здесь принципиально, что индивид является частью другого индивида, исходно определяемого как множество: псарня и упряжка - это обязательно непустое множество собак, и количество элементов этого множества непременно входит в их определения как индивидов. То есть в данном случае следует говорить об отношении часть-целое : Жучка является частью псарни и частью упряжки. Более того, вхождение или невхождение Жучки в конкретную упряжку меняет ее (упряжки) содержание: если у нас была упряжка-двойка, то после изъятия Жучки, упряжка превращается в одинарную. В таких случаях мы имеем дело не просто со счетным множеством (собаки в псарне), а с индивидом, сущность которого меняется при изменении состава его элементов, определяется этим составом, то есть с системой . Если псарня - это просто индивид-группа, описываемый через множество входящих в него элементов, то упряжка - это система, сущность которой зависит от числа и специфики ее частей.

Следовательно, при построении онтологии предметной области можно выделить действительные объекты-множества, определяемые именно как совокупность некоторого числа индивидов. Таковы: класс в школе, товары в ящике на складе, детали блока электронного устройства и пр. И эти множества могут быть подмножествами других реальных счетных множеств: всех учеников школы, всех товаров на складе, всех деталей устройства. При выделении этих множеств существенно то, что они (эти множества) выступают как самостоятельные индивиды (коллектив, партия товара, комплект деталей), основным атрибутом которых является именно число входящих в них элементов. Причем изменение этого атрибута может привести к смене статуса объекта, скажем, при росте количества элементов превратить квартет в квинтет или полк в бригаду. Важно также, что описание этих объектов-множеств, сложных объектов не сводится к описанию входящих в них индивидов, хотя может включать указание на допустимый тип последних (струнный квартет, упряжка лошадей). И такие отношения - не между абстрактными множествами, а между множествами, являющимися индивидами, сложными объектами - точнее описывать как отношения часть-целое, а не класс-подкласс.

Итак, традиционная классификация индивидов через приписывание их к тем или иным классам-множествам не может считаться однородной. Следует различать (1) включение индивидов как частей в сложный объект (целое), семантическая специфичность которого не сводится к описанию его элементов. При этом (1.1.) объект-целое может рассматриваться лишь как поименованное множество индивидов (детали в упаковке, коллекция картин), для которой, по сути, важно лишь количество частей. Такие объекты возможно называть группами (или коллекциями ). Также (1.2.) объект-целое может содержательно (а не только количественно) определяться своими частями и, как следствие, обладать атрибутами, которыми не обладают части. Такие целостности традиционно называют системами , а части систем - элементами. Вторым вариантом описания объектов через приписывание их к классам-подклассам является (2) подпадание индивидов под понятие, что лишь формально, тавтологично может быть описано как включение индивидов в множество мощность которого равна мощности понятия. Понятийное описание индивидов в свою очередь можно классифицировать на (2.1) концептуальное , глобально фиксирующее тип индивида, и (2.2) специализирующее (реляционное) , локально во времени и пространстве (событийно) связывающее индивид с другими объектами.

Приведенные рассуждения, прежде всего, ставят вопрос о достаточности, адекватности традиционного подхода к описанию предметной области с использованием классификации, основанной на теории множеств. И предлагается вывод: для фиксации в онтологиях всего разнообразия связей объектов нужны более дифференцированные инструменты классификации (группы, системы, концептуальные и специализирующие понятия). Формализм теории множеств может использоваться только как локальное упрощение для нужд логического вывода, а не как основной метод описания.