Точное решение уравнения Шредингера может быть найдено лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют величины разного порядка; среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй - в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений.
Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет вид
где V представляет собой малую поправку (возмущение) к «невозмущенному» оператору . В § 38, 39 мы будем рассматривать возмущения V, не зависящие явно от времени (то же самое предполагается и в отношении ). Условия, необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор V как «малый» по сравнению с оператором , будут выяснены ниже.
Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть сформулирована следующим образом. Предполагается, что собственные функции и собственные значения дискретного спектра невозмущенного оператора известны, т. е. известны точные решения уравнения
Требуется найти приближенные решения уравнения
т. е. приближенные выражения для собственных функций и значений возмущенного оператора Н.
В этом параграфе мы будем предполагать, что все собственнее значения оператора не вырождены. Кроме того, для упрощения выводов будем считать сначала, что имеется только дискретный спектр уровней энергии.
Вычисления удобно производить с самого начала в матричном виде. Для этого разложим искомую функцию по функциям
Подставляя это разложение в (38,2), получим
а умножив это равенство с обеих сторон на и интегрируя, найдем
Здесь введена матрица оператора возмущения V, определенная с помощью невозмущенных функций
Будем искать значения коэффициентов и энергии Е в виде рядов
где величины - того же порядка малости, что и возмущение V, величины - второго порядка малости, и т. д.
Определим поправки к собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем: . Для отыскания первого приближения подставим в уравнение сохранив только члены первого порядка. Уравнение с дает
Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению равна среднему значению возмущения в состоянии
Уравнение (38,4) с дает
а остается произвольным и оно должно быть выбрано так, чтобы функция была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно.
Для этого надо положить Действительно, функция
(штрих у знака суммы означает, что при суммировании по надо опустить член ортогональна а поэтому интеграл от отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости.
Формула (38,8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство
т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии.
Определим еще поправку второго приближения к собственному значению . Для этого подставляем в (38,4) и рассматриваем члены второго порядка малости. Уравнение дает
(мы подставили ) из (38,7) и воспользовались тем, что в силу эрмитовости оператора
Отметим, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Действительно, если соответствует наименьшему значению, то все члены в сумме (38,10) отрицательны.
Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом.
Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай наличия у оператора также и непрерывного спектра (причем речь идет по-прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дискретному спектру прибавить соответствующие интегралы по непрерывному спектру.
Будем отличать различные состояния непрерывного спектра индексом v, пробегающим непрерывный ряд значений; под условно подразумевается совокупность значений величин, достаточных для полного определения состояния (если состояния непрерывного спектра вырождены, что почти всегда и бывает, то задания одной только энергии недостаточно для определения состояния). Тогда, например, вместо (38,8) надо будет писать
и аналогично для других формул.
Полезно привести также формулу для возмущенных значений матричных элементов какой-либо физической величины вычисленных с точностью до членов первого порядка с помощью функций из (38,8). Легко получить следующее выражение)
В первой сумме , а во второй .
Задачи
1. Определить поправку второго приближения к собственным функциям.
Решение. Коэффициенты вычисляем из уравнений (38,4) с , написанных с точностью до членов второго порядка, а коэффициент подбираем так, чтобы функция была нормирована с точностью до членов второго порядка. В результате находим
где мы ввели частоты
2. Определить поправку третьего приближения к собственным значениям энергии.
Решение. Выписывая в уравнении (38,4) с члены третьего порядка малости, получим
3. Определить уровни энергии ангармонического линейного осциллятора с гамильтонианом
Решение. Матричные элементы от можно получить непосредственно согласно правилу умножения матриц, используя выражение (23,4) для матричных элементов от х. Для отличных от нуля матричных элементов от найдем
Диагональные элементы в этой матрице отсутствуют, так что поправка первого приближения от члена в гамильтониане (рассматриваемого как возмущение к гармоническому осциллятору) отсутствует. Поправка же второго приближения от этого члена - того же порядка, что и поправка первого приближения от члена Диагональные матричные элементы от имеют вид
С помощью общих формул (38,6) и (38,10) находим в результате следующее приближенное выражение для уровней энергии ангармонического осциллятора:
4. Сферическая потенциальная яма с бесконечно высокими стенками подвергается малой деформации (без изменения объема), принимая форму слабо вытянутого или сплюснутого эллипсоида вращения с полуосями и с. Найти расщепление уровней энергии частицы в яме при такой деформации (А. Б. Мигдал, 1959).
Решение. Уравнение границы ямы
путем замены переменных превращается в уравнение сферы радиуса Этой же заменой гамильтониан частицы (М - масса частицы; энергия отсчитывается от дна ямы) преобразуется в , где
Продолжение. Первая часть материала доступна .
Это звучит странно. Большинство тех, кого я знаю, увлечены работой. Они делают наоборот: исходят из времени, которое могут уделить работе. Могу взять пример главного редактора Rusbase, Элины Асфагановой . Я ей как ни напишу, она все время работает. Она отталкивается от работы как от камня, на котором строит свою жизнь. Например, если она в состоянии работать 15 часов в день, семь дней в неделю, в сумме получится 105 часов в неделю. Она думает, что эти 105 часов сделают ее более эффективной, а Rusbase – более посещаемым. В реальности я бы рекомендовал думать не так. Я бы ей рекомендовал больше времени проводить со своим парнем. Больше времени проводить с тем псом, с которым она живет уже некоторое время. А остаток времени предельно эффективно тратить на Rusbase. Я уверен: она бы увидела, что в результате работы, например, не 105 часов в неделю, а 35 – 40, она успевает больше, чем за 105.
Да, не скрою: рискнуть и попытаться проверить эту теорию тяжело. Было исследование, в котором говорилось, что есть люди, подсознательно желающие верить в то, что их усилия приносят результат. И наоборот: результат – всегда следствие усилий. Большинство тех, кого я знаю, не верят в решения, которые кажутся простыми, и ищут лишних сложностей. Из-за этого хочется работать больше – кажется, что тем самым будешь успевать больше.
Где кроется ошибка?
Вы можете руководствоваться множеством методик. Вряд ли я в них разбираюсь лучше, чем вы. Есть методики ведения списков дел, где вы распределяете обязанности. Например, утром вы делаете одну корзину задач, потом отдыхаете – идете в бассейн, магазин, смотрите кино. Потом вы делаете вторую корзину.
Есть методика, где вы берете более сложные дела и выполняете их в начале дня, потом отдыхаете, а потом делаете мелкие задачи. Есть даже целые диаграммы, где показано, как свое время в течение суток распределяли известные люди. Кто-то работал по ночам, кто-то –утром.
Да, у каждого своя методика. Но я призываю вас понять, что никто не стал бы великим и успешным, если бы он свою жизнь устроил по принципу «работать больше и по максимуму, остальное время тратить на личную жизнь».
Это фундаментальная ошибка.
Как свое время распределяю я
Все просто. Греческий философ Платон сказал, что размышления невозможны без праздности. Цитата, возможно, неточная, но идея именно в этом.
Мысли приходят к человеку, который не занят никаким делом. Только к тому, кто ничего не делает и отдыхает.
Попробуйте подумать об этом. Если вы все время работаете, если у вас нет возможности отдохнуть, выпить чашечку кофе, погулять и также что-нибудь выпить – вы не сможете обдумывать свои решения и делать правильные шаги. А если вы каждый день будете уделять себе время на мысли, на обдумывание решений, вы станете намного более эффективным.
Именно исходя из этого я распределяю свое время. Моя основная задача как гендиректора «Доктора на работе» – это принимать решения. Придумывать идеи и, по сути, делиться ими с коллегами. А затем смотреть, как мои задачи выполняются. Многие идеи могут оказаться ошибочными, какие-то – будут правильными. Но основная ценность меня для компании – это то, как я думаю. И для моего «думания» мне нужно время. Основная часть моей – работы это «ничегонеделание» и «думание». Я могу это делать в офисе или за рулем в автомобиле. Я могу ничего не делать и пребывать в праздности дома, в парке. Все это время мне нужен только мобильный телефон, куда я заношу дела, идеи и задачи.
Как я уже рассказывал, все мои записи в телефоне делятся на три категории. Первая категория – это идеи , которые нужно проверить. Вторая категория – это задачи , которые нужно поставить моим коллегам. И третья категория – это вопросы , ответы на которые позволят мне, возможно, в будущем, придумать новые идеи.
Я могу привести пример. Идея – в письмах врачам «Доктора на работе» сделать крупнее шрифт. Я такую идею сообщаю разработчикам. Они проводят тестирование и выясняют, что увеличение шрифта снизило эффективность писем. Мы понимаем, что идея была глупая, гендиректор – идиот, а шрифт надо возвратить к обычному размеру.
Задачи. Например, я могу понять, что нам в офисе срочно нужно поменять кофемашину. Потому что у меня есть идея – «старая кофемашина уже не справляется». Я пишу себе в телефон задачу: «Поменять кофемашину» – и затем ее уже реализую в виде более обширной задачи моему коллеге.
Вопросы. Например, мне может прийти в голову идея – а что, если нам отказаться от одного из видов услуг для клиентов с тем, чтобы сфокусироваться на других услугах? Я записываю себе вопрос, какую долю в нашей выручке занимает эта услуга и какие издержки мы несем по ее оказанию. Этот вопрос я могу отправить, например, нашему главному бухгалтеру. И она мне сообщит, как там обстоят дела в действительности. Исходя из этого я приму решение, что делать дальше.
Итак, мой рабочий день – это примерно часов 15, которые прерываются на еду, чтение Rusbase, написание постов в собственный Facebook и так далее… Из этих 15 часов я просто думаю часов 10 каждый день. Представляете себе? Просто думаю. В оставшиеся пять часов входит, например, подробное расписывание задач, идей и тех заданий, что я придумал за предыдущие 10 часов. Обычно у меня это отнимает часа три. Каждый день. Еще два часа два – на вынужденные обязанности генерального директора, которых я стараюсь избегать, но они меня вечно настигают: подписание документов, совещания, встречи, иногда – поездки к клиентам и партнерам. Иногда – встречи с со-инвесторами.
Вы видите, что из моего времени две третьих уходит просто на размышления, в этом моя ценность. Я знаю кучу предпринимателей, особенно молодых, которые все время работают и не успевают думать. Они вот что-то там клепают-клепают, программируют, пишут презентации – еще, еще, еще.
Потом с ним разговариваешь, спрашиваешь: а вы подумали, как будете бороться с такими-то конкурентами? Они говорят: «О, нет! Что? Когда? Где? Мы же работали, у нас на это не было времени».
У очень занятых людей нет времени думать и генерировать идеи, которые сделают их богатыми. В этом их большая проблема.
Оставшееся время за пределами этих 15 рабочих часов я в основном уделяю спорту или семье: мы ходим в театры и музеи, куда-то ездим, смотрим кино и так далее. При этом у меня есть жесткое правило: я работаю только в рабочие дни. В выходные дни – субботу, воскресенье, праздники – я могу все время думать, но при этом максимум, что я делаю – это записываю свои идеи в телефон.
Я не сажусь за компьютер. У меня специально нет дома ни компьютера, ни ноутбука, ни планшета. Дома я должен быть свободен от того времени, что я трачу на непосредственно работу с документами, файлами, текстами и так далее. Хотя, даже просто записывая идеи в телефон, я частенько я себя чувствую предателем по отношению к своей жене – она справедливо бывает возмущена.
Например, в субботу мы с ней гуляем по парку – и я вдруг останавливаюсь и начинаю записывать свою идею. Тут она понимает, что я ее не слушал, а вместо этого думал о работе. После чего меня настигает жестокое наказание. Ну, здесь уже существенно сказывается моя увлеченность .
Суммируя мои предложения о распределении времени для предпринимателей – я вам советую до половины времени каждый день тратить на обдумывание. На чтение источников, которые вам позволят думать. На обсуждение информации с теми людьми, которые вам помогут что-то придумать. Не на работу.
10% времени можно тратить на запись того, что вы придумали, на проверку и внедрение этих идей. И еще 10 – 15 % – непосредственно на работу. Например, если вы программист, то в это время можно писать код.
Теория Эйнштейна внесла в понимание мировых закономерностей, связанных со временем, следующие постулаты:- не абсолютно, т.е. одновременность событий находит смысл в одной системе отсчета. Ход времени зависит от движения, поэтому он относителен;- пространство и время составляют четырехмерный мир;- силы тяготения оказывают влияние на время: чем больше , тем медленнее время;- , зависящая от гравитации, может изменяться, но только в сторону уменьшения;- у движущегося тела имеется запас кинетической энергии: масса его больше, чем масса этого же тела в состоянии покоя.Эйнштейн, отказавшись от ньютоновского понятия абсолютного времени, не просто доказал, что время всегда относительно, но и прочно увязал его с гравитацией и скоростью тела, зависящей от системы отсчета. Именно Эйнштейн в начале ХХ столетия ближе всех к пониманию относительности времени.В соответствии с теорией относительности скорость времени напрямую зависит от удаленности объекта от центра тяготения, а также скорости движения объекта. Чем больше скорость, тем короче время.Для более понятного раскрытия относительности времени можно привести . Человек остается в специально подготовленной комнате с одним окном, и часами для отмерения проведенного времени. Если по прошествии нескольких дней спросить у него, сколько он пробыл в этой комнате, то его ответ будет зависеть от подсчета закатов и восходов и от часов, на которые он обязательно поглядывал. При его подсчетах, например, он пробыл 3 дня, но если сказать ему, что было поддельным, а часы спешили, то все его подсчеты потеряют смысл.Относительность времени совершенно отчетливо можно пережить во сне. Иногда кажется, что его сновидение часами, а на самом деле все происходит в считанные секунды.
Специфическое восприятие во время стресса обусловлено тем, что организм работает в тяжелых условиях. Биохимические процессы в нем в это время протекают очень напряженно, внешние деструктивные влияния угнетают деятельность нервной системы, и организм на это реагирует очень резко.
Инструкция
Чтобы понять, что происходит с организмом и психикой человека во время стресса, нужно определить, что же такое этот стресс и каким он бывает. Стрессом называют разрушительные биохимические процессы, которые формируются в организме человека под влиянием всевозможных непривычных факторов. Сами эти факторы могут быть очень различными, положительными и отрицательными. Появление положительных стрессовых факторов тоже несколько нарушает нормальное функционирование организма, но такой стресс чаще называют полезным, так как он тонизирует организм и стимулирует его активность. А вот отрицательные стрессовые факторы приводят к психофизиологическим изменениям, порой довольно серьезным.
Стресс – это очень тяжелое время, когда человеку необходимо, в первую очередь, выжить: именно так на этот процесс смотрит природа. По этой причине под влиянием стресса у людей сначала вырабатывается адреналин. В действительности, это происходит чаще, чем кажется, так как жизнь заполнена стрессами. Проблемы начинаются, когда человек перестает справляться с этими вызовами, а организм оказывается утомлен вечным напряжением.
Во время стресса под действием адреналина активизируется нервная система, которая инициирует дальнейший биологический сценарий под названием «стресс». Главным его последствием является попытка организма напрячь все органы восприятия как можно сильнее. Зрачки становятся расширенными, чтобы обработать как можно больше входящей информации. Внимание повышается, так как любая мелочь может свидетельствовать об ухудшении ситуации и необходимости скорой реакции. Слух становится лучше. Нос ощущает все запахи. По этой же причине восприятие становится острее, человек на биохимическом уровне всеми возможными способами улавливает информацию о том, что происходит и как справиться с ситуацией. Но современного человека в состоянии стресса все эти четко проявившиеся детали обычно только раздражают. Нервное напряжение и повышенная чувствительность часто приводит к тому, что стресс лишь усиливается.
Помимо органов восприятия, изменения касаются и других функциональных особенностей организма. Напрягаются мышцы, так как все силы нужно, по мнению организма, бросить на то, чтобы поддерживать в активном состоянии самое главное. Подавляется деятельность важных механизмов саморегулирования. Начинает хуже работать иммунная система, количество лейкоцитов в крови падает. Казалось бы, почему так происходит, ведь во время стресса людям нужно совершенно обратное? Причина в том, что стресс в течение долгих тысяч лет эволюции у человека был только одного типа: опасность, от которой можно убежать. Дикий зверь, природная катастрофа, неудачная охота или агрессивный представитель своего вида: с любым стрессом из этой группы можно справиться, если очень быстро передвигать ногами.
Активная социальная жизнь появилась у человеческих особей не так уж давно. Специалисты по эволюции доказывают, быстрое развитие человеческий вид получил благодаря общественным отношениям, которые заставили мозг очень быстро развиваться. Эволюционные механизмы, появившиеся задолго до социализации живых существ, в отношении людей иногда дают немного странный эффект, так как образ жизни человека далек от естественного природного.
В 1905 году Альберт Эйнштейн предположил, что законы физики универсальны. Так он создал теорию относительности. Ученый потратил десять лет на доказательство своих предположений, что стало основой для нового раздела физики и дало новые представления о пространстве и времени.
Притяжение или гравитация
Два объекта притягивают друг друга с определенной силой. Она получила название гравитации. Исаак Ньютон открыл три закона движения, основываясь на этом предположении. Тем не менее, он предполагал, что гравитация является свойством объекта.
Альберт Эйнштейн в своей теории относительности опирался на то, что законы физики выполняются во всех системах отсчета. В результате было обнаружено, что пространство и время переплетены в единую систему, известную как «пространство-время» или «континуум». Были заложены основы теории относительности, включающие в себя два постулата.
Первый – это принцип относительности, который говорит о том, что невозможно определить опытным путем, покоится ли инерциальная система или движется. Второй – принцип инвариантности скорости света. Он доказал, что скорость света в вакууме является постоянной величиной. События, которые происходят в определенный момент для одного наблюдателя, могут происходить для остальных наблюдателей в другое время. Эйнштейн также понял, что массивные объекты вызывают искажение в пространстве-времени.
Экспериментальные данные
Хотя современные приборы и не могут зафиксировать искажения континуума, они были доказаны косвенным образом.
Свет вокруг массивного объекта, например, черной дыры, изгибается, заставляя ее действовать как линзу. Астрономы обычно используют это свойство для изучения звезд и галактик позади массивных объектов.
Крест Эйнштейна – квазар в созвездии Пегаса, является прекрасным примером гравитационного линзирования. Расстояние до него составляет около 8 миллиардов световых лет. С Земли квазар видно благодаря тому, что между ним и нашей планетой находится еще одна галактика, которая работает как линза.
Еще одним примером может быть орбита Меркурия. Она изменяется с течением времени в связи с кривизной пространства-времени вокруг Солнца. Ученые выяснили, что через несколько миллиардов лет Земля и Меркурий могут столкнуться.
Электромагнитное излучение от объекта может немного запаздывать внутри гравитационного поля. Например, звук, исходящий от подвижного источника изменяется, в зависимости от расстояния до приемника. Если источник движется в сторону наблюдателя, амплитуда звуковых волн снижается. По мере удаления амплитуда увеличивается. То же самое явление происходит с волнами света на всех частотах. Это называется красным смещением.
В 1959 году Роберт Фунт и Глен Ребка провели эксперимент, чтобы доказать существование красного смещения. Они «выстрелили» гамма-лучами радиоактивного железа в сторону башни Гарвардского университета и выяснили, что частота колебаний частиц на приемнике меньше расчетной за счет искажений, вызванных гравитацией.
Столкновения двух черных дыр, как считается, способны создать «рябь» в
Одна из самых революционных концепций, о которых мы узнали в 20-м веке, заключается в том, что время не является универсальной величиной - оно относительно. Скорость его хода полностью зависит от вашей скорости и ускорения в любой конкретный момент.
Но как время может идти одновременно быстрее и медленнее? - Как объясняется в одном из последних эпизодов MinutePhysics, чем больше вы двигаетесь, тем более замедляется темп времени. И речь идет не о нашем восприятии времени, а о скорости реального времени, которое, например, замедляют в экспериментах с помощью ускорения таких частиц, как мюоны и фотоны.
В теории относительности Эйнштейна замедление времени описывается как разница во времени между двумя событиями, измеренная наблюдателями, которые движутся относительно друг друга - в одну сторону или в разные, в зависимости от их приближения к гравитационной массе. В принципе, оно гласит, что чем быстрее мы идем, тем больше влияем на время. Но если время так относительно, как мы предполагаем, это может показаться противоречивым.
Представьте, если двое из нас движутся по пустому пространству в противоположных направлениях, а потом вдруг проходят мимо друг друга.
«С моей точки зрения кажется, что ты движешься, и, соответственно время должно идти медленнее для тебя. Но с твоей точки зрения двигаюсь я, так что время должно замедлиться для меня,» - говорится в ролике.
Посмотри на жирафа. Его высота 3 метра. И высота твоего жирафа для тебя тоже будет 3 метра. Однако поскольку ты повернут по отношению ко мне, для тебя высота моего жирафа будет только 2 метра. Я также повернут по отношению к тебе, и для меня высота твоего жирафа будет 2 метра. Таким образом, каждый думает, что другой определяет свою дистанцию как более длинную, но в этом нет противоречия. Это говорит только о том, что мы поворачиваем высоту и ширину относительно друг к друга.
Со временем происходит похоже: когда вы изменяете скорость, вы поворачиваете направление времени. Выглядит это так: если каждую пройденную секунду я двигаюсь налево, тогда время будет двигаться вправо и наоборот (см.видео, 1:24). Соответственно, когда на моих часах пройдет 3 секунды, я намеряю только 2 секунды на твоих. А когда 3 секунды пройдет на твоих часах, ты насчитаешь только 2 секунды у меня. Получается, каждый думает, что второй измеряет дистанцию времени у другого как более короткую, и здесь снова нет противоречия. Это лишь говорит о том, как ведет себя время, когда его поворачивают, и это влияет не только на отрывок времени, но и на наше понятие «одного и того же времени».
Стационарные состояния с определенной энергией . Специальный случай, когда гамильтониан оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие , не зависящее явным образом от времени (например, когда потенциалы и не содержат время ). В таком случае ядро зависит не от переменной времени , а будет функцией лишь интервала . Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.
Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шредингера (4.14) в виде , т. е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) дает соотношение
. (4.40)
Левая часть этого уравнения не зависит от , тогда как правая не содержит зависимости от . Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых и , обе его части не должны зависеть от этих переменных, т. е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через . Тогда
с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
, (4.41)
где функция удовлетворяет уравнению
а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определенной частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определенной энергией . Каждому значению энергии соответствует своя особая функция - частное решение уравнения (4.42).
Вероятность того, что частица находится в точке , задается квадратом модуля волновой функции , т. е. . В силу равенства (4.41) эта вероятность равна и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии - стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.
Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределенности, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна , время должно быть полностью неопределенным. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определенном состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.
Пусть - значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение , и - другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению . Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шредингера, а именно:
и
; (4.43)
так как уравнение Шредингера линейно, то ясно, что наряду с его решением будет и . Кроме того, если и - два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция
тоже будет решением уравнения Шредингера.
Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии и найдены соответствующие им функции , то любое решение уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определенным значениям энергии.
Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях и . Поэтому, используя для функции выражение (4.44) получаем
(4.45)
Так
как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены
(т. е. члены, содержащие экспоненты 
) должны обращаться в нуль независимо от
выбора коэффициентов и
. Это
означает, что
. (4.46)
Если две функции и удовлетворяют соотношению
то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.
Ниже
будет дана интерпретация выражений типа , и мы увидим, что равенство (4.46)
отражает тот факт, что если частица имеет энергию [и, следовательно, ее волновая функция ], то вероятность
обнаружить у нее другое значение энергии [т. е. волновую функцию 
] должна равняться
нулю.
Задача 4.8. Покажите, что когда оператор эрмитов, то собственное значение вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) ].
Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите , ].
Линейные комбинации функций стационарных состояний . Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней , не только ортогональны, но также и нормированы, т. е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям равен единице:
, (4.47)
где - символ Кронекера, определяемый равенствами , если , и . Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шредингера:
. (4.48)
Коэффициенты легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряженные функции и интегрируя по , получаем
(4.49)
и, следовательно,
. (4.50)
Таким образом мы получили тождество
Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения -функции:
. (4.52)
Ядро можно выразить через функции и значения энергии . Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени , если она нам известна в момент времени . Так как она является решением уравнения Шредингера, то при любом ее, как и всякое его решение, можно записать в виде
. (4.53)
Но в момент времени . Ранее мы выражали это соотношением фактически эквивалентна интегралу по всем значениям , т. е.
. (4.63)
Ядро для случая свободной частицы запишется как
Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т. е. представляет собой трехмерное обобщение выражения (3.3)].
