Математическое ожидание м 5 равно. Математическое ожидание

Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.

Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знаменателями.

Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующего ряда

образуют монотонно невозрастающую последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если

то ряд (4.32) сходится.

Доказательство. Мы имеем для любого

или, объединяя члены в группы (сумма содержит только конечное число слагаемых, и потому основные законы действий справедливы здесь без каких-либо ограничений),

На основании невозрастания последовательности абсолютных величин членов ряда во всех скобках стоят неотрицательные числа. Следовательно,

Поэтому частичные суммы ряда (4.32) с четными номерами составляют ограниченную последовательность.

С другой стороны, в силу той же монотонности

и поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами является неубывающей. Следовательно, эта последовательность имеет предел

Оба предела справа существуют, причем второй из них по условию равен нулю. Следовательно, существует и предел слева, и для него

Вместе с (4.35) это дает нам

что и требовалось.

Следствие. Для знакочередующегося ряда удовлетворяющего признаку сходимости Лейбница, остаток можно сверху оценить по абсолютной величине:

В самом деле, остаток можно рассматривать как сумму ряда

которая, как следует из доказанной теоремы, не превосходит по абсолютной величине своего первого члена, которым в данном случае является

Пример. В применении к ряду

признак Лейбница дает

что означает сходимость ряда. (Непосредственными выкладками эта сходимость была установлена в § 2.)

Мы видим, что признак сходимости Лейбница является довольно широким по применимости, весьма практичным и идеально чувствительным. Это не противоречит сказанному в конце § 5 главы 3: условная сходимость знакочередующегося ряда является «в среднем», если можно так выразиться, более широким фактом, чем сходимость ряда с положительными членами; поэтому и распознать ее оказывается в каком-то смысле легче.

Заметим, наконец, что признак Лейбница является не только достаточным, но и необходимым признаком сходимости для знакочередующихся рядов с монотонно убывающими членами: если то на основании необходимого признака сходимости из § 6 главы 2 ряд

сходиться не может.

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или вообще не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.

Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Подойдём к понятию математического ожидания, сначала исходя из механической интерпретации распределения дискретной случайной величины. Пусть единичная масса распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , ..., x n , причём каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу из p 1 , p 2 , ..., p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X , в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

.

Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:

.

Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .

Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли .

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С , то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием

В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

.

Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y , законы распределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y , как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е (х )=Е (y )=0 получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют

.

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.

Свойства дисперсии

Приведём свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

.

Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:

,

где .

Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E (X ) = 4 . Найти дисперсию дискретной случайной величины.

Решение. Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x 1 = −3 . Тогда вероятностью значения x 2 = 7 будет 1 − p . Выведем уравнение для математического ожидания:

E (X ) = x 1 p + x 2 (1 − p ) = −3p + 7(1 − p ) = 4 ,

откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7 .

Закон распределения случайной величины:

Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:

D (X ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D (X ) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.

Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей . Закон распределения случайной величины:

Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:

M (X ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсия данной случайной величины:

D (X ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f (x ). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.

Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы . Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.

Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием , обозначаемым или .

Понятие математического ожидания можно рассмотреть на примере с бросанием игрального кубика. При каждом броске фиксируются выпавшие очки. Для их выражения используются натуральные значения в диапазоне 1 – 6.

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

• среднее значение;
• средняя величина;
• показатель центральной тенденции;
• первый момент.

Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.

В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.

Оно может рассматриваться как:

• средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
• возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
• процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Свойства математического ожидания

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

• находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• полученную сумму делим на количество гномов:
  6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

Рабочая формула — М(х)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Этот параметр широко применяется для оценки рисков, особенно если речь идет о финансовых вложениях.
Так, в предпринимательстве расчет математического ожидания выступает в качестве метода для оценивания риска при расчете цен.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов. Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели. Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете. В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется. В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

• наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
• наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

• тактика управления капиталом;
• стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

Ожидание может рассматриваться как разница между произведением процента прибыли (PW) на среднюю прибыль (AW) и вероятность убытка (PL) на средний убыток (AL).

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

2. Основы теории вероятностей

Математическое ожидание

Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число – ее «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.

Определение 3. Математическим ожиданием случайной величины Х называется число

т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий.

Пример 6. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 3 следует, что

Утверждение 2. Пусть случайная величина Х принимает значения х 1 , х 2 ,…, х m . Тогда справедливо равенство

(5)

т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определенные значения.

В отличие от (4), где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Иногда соотношение (5) принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью определения 3, как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения (5).

Для доказательства соотношения (5) сгруппируем в (4) члены с одинаковыми значениями случайной величины :

Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то

По определению вероятности события

С помощью двух последних соотношений получаем требуемое:

Понятие математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует понятию центра тяжести в механике. Поместим в точки х 1 , х 2 ,…, х m на числовой оси массы P (X = x 1 ), P (X = x 2 ),…, P (X = x m ) соответственно. Тогда равенство (5) показывает, что центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность определения 3.

Утверждение 3. Пусть Х – случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание, а – некоторое число. Тогда

1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3) М[(X - a ) 2 ]= M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 .

Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, т.е. функция отображает пространство элементарных событий в единственную точку а . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то

Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая – из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин Х+У , определенных на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий М(Х) и М(У) этих случайных величин:

М(Х+У) = М(Х) + М(У).

А потому М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)). Как показано выше, М(М(Х)) = М(Х). Следовательно, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.

Поскольку (Х - а) 2 = {(X – M (X )) + (M (X ) - a )} 2 = (X - M (X )) 2 + 2(X - M (X ))(M (X ) - a ) + (M (X ) – a ) 2 , то M [(Х - а) 2 ] = M (X - M (X )) 2 + M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} + M [(M (X ) – a ) 2 ]. Упростим последнее равенство. Как показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание константы – сама эта константа, а потому M [(M (X ) – a ) 2 ] = (M (X ) – a ) 2 . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} = 2(M (X ) - a )М(X - M (X )). Правая часть последнего равенства равна 0, поскольку, как показано выше, М(Х-М(Х))=0. Следовательно, М[(X - a ) 2 ]= M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 , что и требовалось доказать.

Из сказанного вытекает, что М[(X - a ) 2 ] достигает минимума по а , равного M [(X - M (X )) 2 ], при а = М(Х), поскольку второе слагаемое в равенстве 3) всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном значении а .

Утверждение 4. Пусть случайная величина Х принимает значения х 1 , х 2 ,…, х m , а f – некоторая функция числового аргумента. Тогда

Для доказательства сгруппируем в правой части равенства (4), определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями :

Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события (2), получаем

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Пусть Х и У – случайные величины, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, а и b – некоторые числа. Тогда M (aX + bY )= aM (X )+ bM (Y ).

С помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств:

Требуемое доказано.

Выше показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу отсчета и к другой единице измерения (переход Y =aX +b ), а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетах, в нормативно-технической документации и др. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига.