Не так давно мы довольно подробно обсуждали свойства световых волн и их интерференцию, т. е. эффект суперпозиции двух волн от различных источников. Но при этом предполагалось, что частоты источников одинаковы. В этой же главе мы остановимся на некоторых явлениях, возникающих при интерференции двух источников с различными частотами.

Нетрудно догадаться, что при этом произойдет. Действуя так же, как прежде, давайте предположим, что имеются два одинаковых осциллирующих источника с одной и той же частотой, причем фазы их подобраны так, что в некоторую точку сигналы приходят с одинаковой фазой. Если это свет, то в этой точке он очень ярок, если это звук, то он очень громок, а если это электроны, то их очень много. С другой стороны, если приходящие волны отличаются по фазе на 180°, то в точке не будет никаких сигналов, ибо полная амплитуда будет иметь здесь минимум. Предположим теперь, что некто крутит ручку «регулировка фазы» одного из источников и меняет разность фаз в точке то туда, то сюда, скажем сначала он делает ее нулевой, затем - равной 180° и т. д. При этом, разумеется, будет меняться и сила приходящего сигнала. Ясно теперь, что если фаза одного из источников медленно, постоянно и равномерно меняется по сравнению с другим, начиная с нуля, а затем возрастает постепенно до 10, 20, 30, 40° и т. д., то в точке мы увидим ряд слабых и сильных «пульсаций», ибо когда разность фаз проходит через 360°, в амплитуде снова возникает максимум. Но утверждение, что один источник с постоянной скоростью меняет свою фазу по отношению к другому, равносильно утверждению, что число колебаний в 1 сек у этих двух источников несколько различно.

Итак, теперь известен ответ: если взять два источника, частоты которых немного различны, то в результате сложения получаются колебания с медленно пульсирующей интенсивностью. Иначе говоря, все сказанное здесь действительно имеет отношение к делу!

Этот результат легко получить и математически. Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о всех пространственных соотношениях, а просто посмотрим, что приходит в точку . Пусть от одного источника приходит волна , а от другого - волна , причем обе частоты и не равны в точности друг другу. Разумеется, амплитуды их тоже могут быть различными, но сначала давайте предположим, что амплитуды равны. Общую задачу мы рассмотрим позднее. Полная амплитуда в точке при этом будет суммой двух косинусов. Если мы построим график зависимости амплитуды от времени, как это показано на фиг. 48.1, то окажется, что, когда гребни двух волн совпадают, получается большое отклонение, когда совпадают гребень и впадина - практически нуль, а когда гребни снова совпадают, вновь получается большая волна.

Фиг. 48.1. Суперпозиция двух косинусообразных волн с отношением частот 8:10. Точное повторение колебаний внутри каждого биения для общего случая не типично.

Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полезные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что

и что вещественная часть экспоненты равна , а мнимая часть равна . Если мы возьмем вещественную часть , то получим , а для произведения

мы получаем плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом,

Если теперь изменить знак величины , то, поскольку косинус при этом не изменяет знака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса разности

После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно половине косинуса суммы плюс половина косинуса разности

Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для , если просто положить , а , т. е. , а :

Но вернемся к нашей проблеме. Сумма и равна

Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что равна какой-то средней частоте, которая более или менее та же, что и каждая из них. Но разность гораздо меньше, чем и , поскольку мы предположили, что и приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной первоначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульсирует с частотой, равной . Но та ли это частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.0) говорит, что амплитуда ведет себя как , и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусоидами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48.1). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза большую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интенсивности происходит с частотой , хотя мы и умножаем на косинус половинной частоты.

т. е. снова оказывается, что высокочастотная волна модулируется малой частотой.

Результат сложения световых волн будет иным, если разность фаз для всех цугов, приходящих в данную точку, будет иметь постоянное значение. Для этого необходимо использовать когерентные источники света.

Когерентными называются источники света одинаковой частоты, обеспечивающие постоянство разности фаз для волн, приходящих в данную точку пространства.

Световые волны, испущенные когерентными источниками, также называют когерентными волнами.

Рассмотрим сложение двух когерентных волн, испущенных источниками S 1 и S 2 (рис. 11.1).

Рис. 11.1.Сложение когерентных волн.

Пусть точка, для которой рассматривается сложение этих волн, удалена от источников на расстояния s 1 и s 2 соответственно, а среды, в которых распространяются волны, имеют различные показатели преломления n 1 и n 2 . Длины волн в этих средах будут равны: λ 1 = λ/n 1 , λ 2 = λ /n 2 ,

где λ – длина волны в вакууме.

Произведение длины пути, пройденного волной, на показатель преломления среды (s n) называется оптической длиной пути. Абсолютная величина разности оптических длин путей двух волн, приходящих в данную точку называется оптической разностью хода.

Выражение для разности фаз имеет вид: = 2πδ/λ.

Мы видим, что при сложении когерентных волн величина разности фаз в данной точке пространства остается постоянной и определяется оптической разностью хода и длиной волны. В тех точках, где выполняется условие

2kπ (k- целое число) cosΔφ = 1, следовательно, формула для интенсивности результирующей волны иметь вид:

Таким образом, при сложении когерентных волн происходит пространственное перераспределение энергии - в одних точках энергия волны увеличивается, а в других уменьшается. Это явление называется интерференцией.

Интерференция света - сложение когерентных световых волн, в результате которого происходит пространственное перераспределение энергии, приводящее к образованию устойчивой картины их усиления или ослабления.

Условие максимума интерференции: , к = 0,1,2,...

В этом случае интенсивность принимает максимально возможное значение.

Максимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн (четному числу полуволн).

Условие минимума интерференции: k = 0,1,2,...

Минимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.

Четкая интерференционная картина наблюдается, когда интенсивности волн близки. В области максимума интенсивность увеличивается в 4 раза интенсивности каждой волны, а в области минимума интенсивность почти равна нулю.

Получение двух когерентных источников из одного точечного источника естественного света.

Рассмотрим два случая получения двух когерентных источников из одного точечного источника естественного света.

Метод Юнга. На пути точечного источника устанавливают непрозрачную преграду с двумя точечными отверстиями. Эти отверстия являются когерентными источниками, поскольку, эти 2 источниками принадлежат одному фронту волны. В области перекрытия их наблюдается интерференция. Обычно отверстия в непрозрачной преграде делают в виде параллельных штрихов. Тогда интерференционная картина на экране представляет собой систему светлых полос разделенных темными промежутками. Светлая полоса, соответствующая максимуму нулевого порядка, располагается в центре экрана. Справа и слева от него, на равных расстояниях, располагается максимумы второго, третьего и т.д. порядков. При использовании белого света максимум нулевого порядка имеет белый цвет, а остальные имеют радужную окраску, так как максимуму одного порядка для разных длин волн образуются в разных местах.

Зеркало Ллойда. Точечный источник находится на небольшом расстоянии от поверхности плоского зеркала. Интерферирует прямой и отраженный от зеркало лучи, поскольку, они принадлежат одному фронту волны (когерентные).

Интерферометры, интерференционный микроскоп.

Интерферометр - прибор, основанный на явлении интерференции. Он предназначен для измерения показателей преломления прозрачных сред, для контроля формы, микрорельефа и деформации поверхностей оптических деталей; для обнаружения примесей в газах.

Принцип работы заключается в следующем:

Две одинаковые кюветы К 1 и К 2 заполненные веществами с различными показателями преломления, один из которых известен, освещают лучами света выходящих через отверстия (Метод Юнга). Если бы показатели преломления были одинаковы, то максимум нулевого порядка располагался бы в центре экрана. Различие в показателях преломлений приводят появлению разности хода при прохождении кювет лучами света. По величине смещения максимуму нулевого порядка от центра определяют второй (неизвестный) показатель преломления по формуле:

где к - число полос, на которое сместился ахроматический максимум;

Длина кюветы.

Интерференционный микроскоп представляет собой сочетание интерферометра и оптического микроскопа. В связи с разницей показателей преломления объекта М и среды лучи приобретают разность хода. В результате объектом и средой образуется световой контраст (при монохроматическом свете) или объект станет окрашенным (при белом свете). Интерференционный микроскоп применяется для измерения концентрации сухого вещества, малых размеров (прозрачных неокрашенных микрообъектов), которые неконтрастны в проходящем свете. Разность хода определяется толщиной объекта с точностью до сотых долей длины волны, что дает возможность количественно исследовать структуру живой клетки.

Интерференция в тонких пленках. Просветление оптики.

Интерференция на тонких пленках возникает в результате отражения от передней и задней сторон. Падающий луч, под некоторым углом α, частично преломляется, частично отражается. Преломленный луч отражается от внутренней (задней) поверхности пленки и, преломившись от передней поверхности пленки, выходит в воздух. Пройдя через оптическую систему глаза оба, отраженных, луча пересекаются на сетчатке глаза, где и происходит их интерференция.

Разность хода мыльной пленки определяется по формуле:

2L - λ/2,

Разность хода пленки бензина определяется по формуле:

2L

где разность хода, – длина волны, L – толщина пленки, – показатель преломления вещества пленки.

Для уменьшения потери света при отражении объектив покрывают прозрачной пленкой, Просветление оптики толщина, которой равна 1/4 длины волны света в ней: L = λ п /4 = λ/4

Дифракция света.

Дифракция - волновое явление, которое наиболее отчетливо проявляется в том случае, когда размеры препятствия соизмеримы (одного порядка) с длиной волны света.

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцией светаназывается комплекс явлений, которые обусловлены его волновой природой и наблюдаются при распространении света в среде с резкими неоднородностями.

Качественное объяснение дифракции дает принцип Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + Δt если известно его положение в момент времени t.

1. Согласно принципу Гюйгенса,каждая точка волнового фронта является центром когерентных вторичных волн. Огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени.

Поясним применение принципа Гюйгенса на следующем примере. Пусть на преграду с отверстием падает плоская волна, фронт которой параллелен преграде (рис. 11.2).

Рис. 11.2.Пояснение принципа Гюйгенса

Каждая точка волнового фронта, выделяемого отверстием, служит центром вторичных сферических волн. На рисунке видно, что огибающая этих волн проникает в область геометрической тени, границы которой помечены штриховой линией.

Принцип Гюйгенса ничего не говорит об интенсивности вторичных волн. Этот недостаток был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн и их амплитудах. Дополненный таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Френеля.

2. Согласно принципу Гюйгенса-Френелявеличина световых колебаний в некоторой точке О есть результат интерференции в этой точке когерентных вторичных волн, испускаемых всемиэлементами волновой поверхности. Амплитуда каждой вторичной волны пропорциональна площади элемента dS, обратно пропорциональна расстоянию r до точки О и убывает при возрастании угла αмежду нормалью nк элементу dS и направлением на точку О (рис. 21.3).

Рис. 11.3.Испускание вторичных волн элементами волновой поверхности

ВВЕДЕНИЕ

Оптический компенсатор в виде пластинки четверть длины волны- это есть кристаллическая пластинка, которая вносит дополнительную разность фаз в между проходящими через нее лучами поляризованными во взаимно перпендикулярных плоскостях, применяется для анализа эллиптически поляризованного света и предназначен для использования его в учебном процессе высших учебных заведений в лабораторном практикуме по общей физике при изучении тем: распространение света через анизотропные среды, искусственная анизотропия при механических напряжениях, отражения света от металлов.

Пластинку в четверть длины волны могут изготавливать как из кристаллов слюды, так и из оргстекла. Проще изготовить пластинку из оргстекла, так как хорошего качества слюды из стали? достаточно большой дефицит и получение необходимой толщины путем скалывания отдельных слоев слюды не позволяет получить достаточно точного значения разности фаз.

Свое название четвертьволновая пластинка получила вследствие того, что при прохождении через такую пластинку светового пучка колебания вектора, направленные вдоль двух определенных взаимно перпендикулярных направлений в плоскости пластинки, приобретают разность хода, равную четверти длины волны. При прохождении через такую пластинку линейно поляризованный свет, направление колебаний в котором составляет угол 45 ° с главными направлениями пластинки, становится поляризованным по кругу.

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ И КРУГОВАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

Сложение двух когерентных световых волн, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях

Отсутствие интерференционного чередования интенсивностей в опытах, не означает, что взаимодействие двух взаимно перпендикулярных световых колебаний не может приводить к доступным наблюдению на опыте изменениям в световом пучке.

Рассмотрим результат сложения двух когерентных световых волн, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях, имеющих разную амплитуду и обладающих некоторой разностью фаз. Мы легко можем осуществить подобный случай на опыте следующим образом.

Рис. 1.

L- источник света; К -- кристаллическая пластинка; справа -- разложение светового вектора по главным направлениям пластинки.

Свет определенной длины волны (то есть принадлежащий к ограниченному спектральному интервалу), прошедший через поляризатор N, т. е. ставший линейно-поляризованным, пропустим через кристаллическую пластинку К толщины d, вырезанную из одноосного кристалла параллельно его оптической оси (рис. 1), причем допустим, что направление пучка перпендикулярно к боковой поверхности К. Сквозь пластинку будут распространяться в одном направлении, но с разной скоростью две волны, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных направлениях, которые принято называть главными направления кристаллической пластинки. У одной из волн электрические колебания направлены вдоль оптической оси кристалла, например по СС (необыкновенный луч, показатель преломления п0), у другой -перпендикулярно к оси, т. е. по ВВ (обыкновенный луч, показатель преломления гель преломления п0).

Если направление колебаний электрического вектора в падающем поляризованном свете составляет угол?? с одним из главных направлений пластинки, то амплитуды колебаний в необыкновенной и в обыкновенной волнах будут соответственно равны

а = A cos а, b = A sin а,

где A = ОМ -- амплитуда падающей волны. Пройдя через толщу пластинки d, эти две волны приобретут разность хода, равную (п0 - ne) d. Следовательно, обыкновенная волна отстанет по фазе от необыкновенной на величину

Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний с разными амплитудами и разностью фаз приведет к формированию эллиптического колебания, то есть колебания, при котором конец результирующего вектора описывает эллипс в плоскости волнового фронта с той же угловой частотой щ, с которой совершаются исходные колебания.

Действительно, колебания в волнах, прошедших пластинку, описываются соотношениями

x = A cos a cos щ t = a cos щ t

у =A sin a cos (щ t --) = b cos (щ t --).

Чтобы получить траекторию результирующего колебания, надо из этих уравнений исключить время t. Имеем

cos щ t = , у=b(cos щ t cos+ sin щ t sin),

sin щ t sin= cos.

Возводя это выражение в квадрат и складывая с

(cos щ t sin)? = sin?

то есть уравнение эллипса. Форма эллипса и ориентация его относительно осей х и у зависят от значений?? и.

Таким образом, после прохождения линейно-поляризованного света через кристаллическую пластинку получаем, вообще говоря, световую волну, концы векторов E и H которой описывают эллипсы. Такой свет называется эллиптически-поляризованным.

Частный случай поляризации света

Рассмотрим случай, в котором толщина пластинки такова, что разность хода двух волн составляет четверть длины световой волны (пластинка в? волны):

M = 0, 1, 2, …

В таком случае и уравнение эллипса примет вид

то есть мы получим эллипс, ориентированный относительно главных осей пластинки. Соотношение длин его полуосей и зависит от величины угла??.

В частности, при?? = 45° находим = , так что эллипс обращается в круг, описываемый уравнением

В данном случае имеем, следовательно, свет, поляризованный по кругу (круговая, или циркулярная, поляризация). Таким образом, для получения света, поляризованного по кругу, необходимо сложение двух когерентных волн с равными амплитудами, обладающих разностью фаз и поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Этого можно достичь, в частности, заставив линейно-поляризованный свет пройти через пластинку в четверть волны так, чтобы плоскость поляризации первоначальной волны составляла угол 45° с главными направлениями в пластинке.

Чтобы осуществить разность хода в четверть волны, можно применить слюдяную пластинку (слюда представляет собой кристалл двуосный, в котором понятие обыкновенного луча теряет смысл) толщиной 0,027 мм = 27 мкм (для желтого света, испускаемого натриевым пламенем).

Хотя изготовление таких пластинок и не представляет особого труда, все же предпочитают пользоваться более толстыми пластинками, дающими разность хода, равную (т + 1/4)л, где m - некоторое целое число.

В зависимости от ориентации пластинки в четверть волны приобретаемая разность фаз равна +р/2 или -- р/2, то есть компонента вдоль оси Ох опережает или отстает на р/2 по фазе от компоненты по оси Оу. В соответствии с этим результирующий вектор вращается против часовой стрелки (влево) или по часовой стрелке (вправо). Поэтому принято различать левую и правую эллиптическую или круговую поляризации.