Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое . Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо его приближение в виде конечной десятичной дроби - это рациональное число. Возводить в рациональную степень мы умеем; дело сводится к возведению в целую степень и извлечению корня. Мы получим приближенное значение числа . Можно взять десятичную дробь подлиннее (это снова рациональное число). Тогда придется извлечь корень большей степени; ведь знаменатель рациональной дроби увеличится, но зато мы получим более точное приближение. Конечно, если взять приближенное значение в виде очень длинной дроби, то возведение в степень будет делом очень трудным. Как справиться с этой задачей?

Вычисление квадратных корней, кубичных корней и других корней невысокой степени - вполне доступный нам арифметический процесс; вычисляя, мы последовательно, один за другим, пишем знаки десятичной дроби. Но для того, чтобы возвести в иррациональную степень или взять логарифм (решить обратную задачу), нужен такой труд, что применить прежнюю процедуру уже не просто. На помощь приходят таблицы. Их называют таблицами логарифмов или таблицами степеней, смотря по тому, для чего они предназначены. Они экономят время: чтобы возвести число в иррациональную степень, мы не вычисляем, а только перелистываем страницы.

Хотя вычисление собранных в таблицы значений - процедура чисто техническая, а все же дело это интересное и имеет большую историю. Поэтому посмотрим, как это делается. Мы вычислим не только , но решим и другую задачу: , или . При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чисел.

Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить и , и , и , и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим , или . Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Однако вместо и т. д. мы будем вычислять , , и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы обращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математической задачи вычисления корней, потому что

Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логарифмов, чтобы перемножить числа. Но какому же основанию брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычислении положен только принцип, общее свойство логарифмической функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-нибудь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предположим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию . Иначе говоря, можно решить уравнение для любого ; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа по другому основанию, например . Нам нужно решить уравнение . Это легко сделать, потому что всегда можно представить так: . Найти , зная и , просто: . Подставим теперь в уравнение ; оно перейдет в такое уравнение: . Иными словами, произведение есть логарифм по основанию . Значит, . Таким образом, логарифмы по основанию равны произведениям логарифмов по основанию на постоянное число . Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число . Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое основание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по основанию 10.)

Теперь посмотрим, как составляют таблицу логарифмов. Работа начинается с последовательных извлечений квадратного корня из 10. Результат можно увидеть в табл. 22.1. Показатели степеней записаны в ее первом столбце, а числа - в третьем. Ясно, что . Возвести 10 в половинную степень легко - это квадратный корень из 10, а как извлекать квадратный корень из любого числа, знает каждый. Итак, мы нашли первый квадратный корень; он равен 3,16228. Что это дает? Кое-что дает. Мы уже можем сказать, чему равно , и знаем по крайней мере один логарифм. Логарифм числа 3,16228 очень близок к 0,50000. Однако нужно еще приложить небольшие усилия: нам нужна более подробная таблица. Извлечем еще один квадратный корень и найдем что равно 1,77828. Теперь мы знаем еще один логарифм: 1,250 - это логарифм числа 17,78; кроме того, мы можем сказать, чему равно : ведь это , т. е. произведение второго и третьего чисел из третьего столбца табл. 22.1. Если сделать первый столбец таблицы достаточно длинным, то таблица будет содержать почти все числа; перемножая числа из третьего столбца, мы получаем 10 почти в любой степени. Такова основная идея таблиц. В нашей таблице содержится десять последовательных корней из 10; основной труд по составлению таблицы вложен в вычисления этих корней.

Таблица 22.1 Последовательные извлечения квадратного корня из 10

Показатель степени

Почему же мы не продолжаем повышать точность таблиц дальше? Потому что мы кое-что уже подметили. Возведя 10 в очень малую степень, мы получаем единицу с малой добавкой. Это, конечно, происходит потому, что если возвести, например, в 1000-ю степень, то мы снова получим 10; ясно, что не может быть большим числом: оно очень близко к единице. Более того, малые добавки к единице ведут себя так, будто их каждый раз делят на 2; поглядите-ка на таблицу повнимательнее: 1815 переходит в 903, потом в 450, 225 и т. д. Таким образом, если вычислить еще один, одиннадцатый, квадратный корень, он с большой точностью будет равен 1,00112, и этот результат мы угадали еще до вычисления. Можно ли сказать, какова будет добавка к единице, если возвести 10 в степень , когда стремится к нулю? Можно. Добавка будет приблизительно равна . Конечно, не в точности ; чтобы вычислить эту добавку поточнее, делают такой трюк: вычитают из единицу и делят разность на показатель степени . Отклонения полученного таким образом частного от его точного значения одинаковы для любой степени . Видно, что эти отношения (см. четвертый столбец табл. 22.1) примерно равны. Сначала они все-таки сильно отличаются друг от друга, но потом все ближе подходят друг к другу, явно стремясь к какому-то числу. Что это за число? Проследим, как меняются числа четвертого столбца, если опускаться вниз по столбцу. Сначала разность двух соседних чисел равна 0,0211, потом 0,0104, потом 0,0053 и, наконец, 0,0026. Разность каждый раз убывает наполовину. Сделав еще один шаг, мы доведем ее до 0,0013, потом до 0,0007, 0,0003, 0,0002 и, наконец, примерно до 0,0001; надо последовательно делить 26 на 2. Таким образом, мы спустимся еще на 26 единиц и найдем для предела 2,3025. (Позднее мы увидим, что правильнее было бы взять 2,3026, но давайте возьмем то, что у нас получилось.) Пользуясь этой таблицей, можно возвести 10 в любую степень, если ее показатель каким угодно способом выражается через 1/1024.

Теперь легко составить таблицу логарифмов, потому что все необходимое для этого мы уже припасли. Процедура этого изображена в табл. 22.2, а нужные числа берутся из второго и третьего столбцов табл. 22.1.

Таблица 22.2 Вычисления

Предположим, что мы хотим знать логарифм 2. Это значит, что мы хотим знать, в какую степень надо возвести 10, чтобы получить 2. Может быть, возвести 10 в степень 1/2? Нет, получится слишком большое число. Глядя на табл. 22.1, можно сказать, что нужное нам число лежит между 1/4 и 1/2. Поиск его начнем с 1/4; разделим 2 на 1,788..., получится 1,124...; при делении мы отняли от логарифма двух 0,250000, и теперь нас интересует логарифм 1,124.... Отыскав его, мы прибавим к результату . Найдем в табл. 22.1 число, которое бы при движении по третьему столбцу сверху вниз стояло сразу за 1,124.... Это 1,074607. Отношение 1,124... к 1,074607 равно 1,046598. В конце концов мы представим 2 в виде произведения чисел из табл. 22.1:

Вычислить 27 раз квадратный корень из 10, вообще-то говоря, немного сложнее, чем 10 раз, как это сделали мы. Однако мистер Бриггс сделал гораздо большее: он вычислял корни с точностью до шестнадцатого десятичного знака, а когда опубликовал свои таблицы, то оставил в них лишь 14 десятичных знаков, чтобы округлить ошибки. Составить таблицы логарифмов с точностью до четырнадцатого десятичного знака таким методом - дело очень трудное. Зато целых 300 лет спустя составители таблиц логарифмов занимались тем, что уменьшали таблицы мистера Бриггса, выкидывая из них каждый раз разное число десятичных знаков. Только в последнее время при помощи электронных вычислительных машин оказалось возможным составить таблицы логарифмов независимо от мистера Бриггса. При этом использовался более эффективный метод вычислений, основанный на разложении логарифма в ряд.

Составляя таблицы, мы натолкнулись на интересный факт: если показатель степени очень мал, то очень легко вычислить ; это просто . Это значит, что для очень малых . Кроме того, мы говорили с самого начала, что вычисляем логарифмы по основанию 10 только потому, что у нас на руках 10 пальцев и по десяткам нам считать удобнее. Логарифмы по любому другому основанию получаются из логарифмов по основанию 10 простым умножением. Теперь настало время выяснить, не существует ли математически выделенного основания логарифмов, выделенного по причинам, не имеющим ничего общего с числом пальцев на руке. В этой естественной шкале формулы с логарифмами должны выглядеть проще. Составим новую таблицу логарифмов, умножив все логарифмы по основанию 10 на 2,3025.... Это соответствует переходу к новому основанию - натуральному, или основанию . Заметим, что

(Числа 0,73 нет в нашей таблице, но соответствующий ему результат можно представить в виде и вычислить, чему равна .) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррациональных чисел. Вот как надо обращаться с иррациональностями.

Это табличка для изучения чисел от 1 до 100. Пособие подходящее для детей старше 4 лет.

Те, кто знаком с Монтесори обучением, наверно уже такую табличку видел. У нее есть много приложений и сейчас мы с ними познакомимся.

Ребенок должен отлично знать числа до 10, прежде начать работу с таблицей, так как счет до 10 лежит в основе обучения чисел до 100 и выше.

При помощи этой таблице, ребенок выучит имена чисел до 100; считать до 100; последовательность чисел. Можно так же тренироватся считать через 2, 3, 5, и т.д.

Таблицу можно скопировать здесь

Она состоит из двух частей (двух сторонная). Копируем с одной стороны листа таблицу с числами до 100, а с другой пустые клетки, где можно упражняться. Ламинировать таблицу, что бы ребенок мог писать на ней маркерами и легко вытирать.

Как использовать таблицу

	1. Таблицу можно использовать для изучения чисел от 1 до 100. Начиная с 1 и считая до 100. Первоначально родитель / учитель показывает как это делается. Важно, чтоб ребенок заметил принцип, по которому повторяются числа.

	2. На ламинированной таблице отметьте одно число. Ребенок должен сказать следующие 3-4 числа.

	3. Отметьте несколько чисел. Попросите ребенка назвать их имена. Второй вариант упражнения - родитель называет произвольные числа, а ребенок их находит и отмечает.

	4. Счет через 5. Ребенок считает 1,2,3,4,5 и отмечает последнее (пятое) число.

	5. Если еще раз скопировать шаблон с цифрами и разрезать его, можно сделать карточки. Их можно будет располагать в таблице как Вы увидите в следующих строках В данном случае таблица скопирована на голубом картоне, что бы легко отличалась от белого фона таблице.

	6. Карты можно расставлять на таблице и считать - называть число, поставив его карточку. Это помогает ребенку усвоить все числа. Таким образом он будет упражняться. До этого, важно, чтоб родитель разделил карты по 10 (от 1 до 10; от 11 до 20; от 21 до 30 и т.д.). Ребенок берет карточку, ставит ее и называет число.

	7. Когда ребенок уже продвинулся со счетом, можно перейти к пустой таблице и расставлять карточки там.

	8. Счет по горизонтали или по вертикали. Карты расставить в колонку или ряд и прочитать все числа по порядку, следя закономерность их изменения - 6, 16, 26, 36 и т.д.

	9. Напиши пропущеное число. В пустую таблицу родитель пишет произвольные числа. Ребенок должен дополнить пустые клетки.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

С расширением понятия числа возникла необходимость построения отрезков, длина которых выражена иррациональным числом. В школьном курсе приведены примеры построения отрезка, длина которого равна: √2 (Ю. Н. Макарычева «Алгебра - 8 класс»; √5 (А. Г. Мордковича «Алгебра 8») - (см. приложение 2) не более. Способ построения других «иррациональных» отрезков не был описан ни в учебнике алгебры, ни в учебнике геометрии.

Цель работы : Построение иррациональных отрезков, построение золотой спирали

Проблема: нахождение √3, √7, √11…

Литература по истории математики информирует о том, что именно эта проблема привела к кризису в математике, пифагорейцы обнаружили, что сторона квадрата и его диагональ несоизмеримы, так как их знания ограничивались целыми и дробными числами, что способствовало возникновению геометрической алгебры.

Этапы работы

Подготовительный: изучение математической литературы, работ художника А.Ф. Панкина.

Экспериментальный:

Практическая работа:

Математическая обработка данных, презентация «От несоизмеримых отрезков до спиралей»

Информационный: выступление перед одноклассниками, НПК.

Методыисследования : абстрагирование, анализ, сравнение, моделирование, изучение первичной информации, сбор фактов, сопоставление, синтез, прогнозирование, измерение, обработка данных, эксперимент.

Несоизмеримые отрезки

Идею представления о несоизмеримых отрезках даёт рисунок из «Книги для внеклассного чтения по математике» А.А. Колосова (см. приложение 1), где ученик всеми силами пытается «уложить» диагональ квадрата на координатную ось, в которой за единицу измерения принята длина стороны квадрата. Усилия ученика безрезультатны, поскольку упрямая диагональ никак не хочет измеряться таким образом. Она предпочитает выражать свою длину не десятичной дробью при данной единице, а особым числом √2.

Наиболее известным геометрическим открытием Пифагора считается открытие несоизмеримых отрезков, то есть, обнаружение таких отрезков, отношение которых не может быть выражено с помощью отношения целых чисел. Считается, что это открытие они сделали при изучении отношения диагонали к стороне квадрата. Пифагорейцы обнаружили, что отношение диагонали к стороне квадрата не выражается в виде отношения двух натуральных чисел, а других чисел древние греки не знали.

Пифагорейцы знали только положительные целые и дробные числа. Следуя своей философской установке, они, по сути дела, считали, что каждая вещь может быть охарактеризована положительным целым или дробным числом, которое “выражает сущность” этой вещи. На деле это означало, что геометрия строилась на базе арифметики. Открытие несоизмеримости опрокидывало всю философскую систему пифагорейцев, поскольку они были убеждены, что «элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число» (Аристотель). Чтобы выйти из затруднительного положения, пифагорейцы стали представлять величины не арифметически - числами, а геометрически - отрезками. Так возникла геометрическая алгебра. Открытие несоизмеримых отрезков, которое привело к открытию иррациональных чисел , стало поворотным этапом в развитии математики.

Факт существования несоизмеримых отрезков, тем не менее, не тормозил развитие геометрии в древней Греции. Греки разработали теорию отношения отрезков, которая учитывала возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие соотношения по величине, выполнять над ними арифметические действия в чисто геометрической форме, иначе говоря, пользоваться такими соотношениями как числами.

Древнегреческие математики стали представлять целые числа и любые величины, соизмеримые и несоизмеримые, геометрически , с помощью отрезков, прямоугольников и других фигур. Отсюда у них появились такие названия, как:

"плоские числа" для чисел вроде 6=2*3, 14=7*2, являющихся произведениями двух сомножителей и выражающих площадь прямоугольника, построенного на соответствующей паре отрезков;

"квадратные числа": 4(=2*2), 81(=9*9) и т. д. Это название употребляется и поныне;

"телесные числа": 24(=2*3*4), 210(=5*6*7) и т. д., являющие произведениями трех чисел и изображаемые с помощью параллелепипедов;

"кубические числа": 8(=2*2*2), 125(=5*5*5). .

Иррациональные числа

В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние века не оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли «глухими», «недействительными», «фиктивными» и т.д.

Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.

В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа:

иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;

иррациональное число трактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко;

число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей, число называли иррациональным .

Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, π = 3,141592…).

Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чисел получила во второй половине XIX века в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасе в связи с потребностями математического анализа.

Нахождение длины иррационального отрезка

Нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника, где a, b N

В учебнике «Алгебра 8 класса» Мордкович А.Г. §12 «Множество действительных чисел» обращают внимание учащихся на то, что с умением построения отрезка, можно говорить о числовой прямой.

Согласно тексту учебника, применяя теорему Пифагора можно найти отрезок равный длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

По аналогии рассмотрим прямоугольные треугольники с катетами 3 и 1; 4 и 1; 5 и 1; 6 и 1; 7 и 1 и т.д. оформим виде таблицы 1.

Таблица 1. Длина гипотенузы в зависимости от длин катетов, где a, b N

Вывод: в таблице не все числа, нет √3, √7, √11,…

Возникла проблема построения √3, √7, √11, √15,√19…

Нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника, где один из катетов иррациональное число .

Методом подбора √7 можно построить, как а 2 = с 2 -b 2 а= = . У прямоугольного треугольника катеты и 3, гипотенуза 4.

Аналогично:

Прослеживается некоторая закономерность в нахождении чисел, которых нет в таблице №1.

Таблица 2. Нахождение катета, при известной чётной гипотенузе и катету, которая на 1 меньше гипотенузы

Вывод: один из катетов представляет иррациональный отрезок

Гипотенуза

Таблица 2 Длина гипотенузы в зависимости от длин катетов

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 c = = = √3

Построение отрезков, равных, может заключаться в построении высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, проекции катетов на гипотенузу которого равны и.

Изображение иррациональных чисел числовой прямой

В книге А. А. Колосова говорится «Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах» на странице 65 «…Множество рациональных чисел не покрывает всей числовой оси. .. Концы отрезков √2, √3, √4, √5 займут места на числовой оси, свободные от всяких иных точек, изображающих рациональные числа…Вдумайтесь, как он построен.» На рис 2 выполнено геометрическое построение.

Рис 2

Данное изображение поражает своей простотой, ясностью. Цель достигнута.

А.Ф. Панкин «Треугольник Фибоначчи»

Элемент, похожий на рис 2. есть в картине Александра Фёдоровича Панкина «Запуск треугольника Фибоначчи на Луну. 2004 г (см. приложение 1).

Александр Федорович Панкин - художник. Он широко в своих полотнах реализует различные математические объекты (так называемая - метаабстракция). Особую любовь Александр Федорович питает к числам Фибоначчи

В научно-практическом журнале «Математика для школьников» №2 2010 года И.Ф. Акулич в статье «На вернисаже как-то раз…» проводит занимательные рассуждения о числах Фибоначчи, теорему о треугольнике Панкина. Цитирование теоремы, статьи не входит в задачу данной работы, только сканирование репродукции картин А.П. Панкина с форзаца журнала. (см. приложение 2)

Эксперимент

В духе А.Ф. Панкина усложним задачу построим числовой ряд таблицы 2 в виде треугольников.

Развернём свой рисунок на 90 0

Получилась спираль, похожая на раковину улитки

Возникает желание о построении других спиралей. Самым известным считается золотая спираль.

Золотая спираль

Спирали - плоские кривые линии, многократно обходящие одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Наиболее встречающиеся спирали: спираль Архимеда, квадратичная спираль, логарифмическая спираль, спираль Корню. 1

Построение золотой спирали, основывается на золотом прямоугольнике, который в свою очередь основывается на числах Фиббоначи. Заметьте, опять числа Фиббоначи.

Последовательность Фиббоначи возникла из задачи, описывающей последовательность размножения кроликов.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д.

Строим квадрат 1Х1, затем ещё один квадрат 1Х1 слева от первого, потом квадрат 2Х2 снизу, справа от него квадрат 3Х3 и т.д.

Рис 5. На этом рисунке рассматривается соотношения сторон, т.е. золотое сечение.

Золотое сечение может быть рассмотрено в перспективе. Цель и задачи данной работы не предусматривают рассмотрение теории золотого сечения.

Заключение

Исследовательская работа тем интересна, что в ходе её выполнения не знаешь, куда выведет кривая исследований. В начале хотелось назвать её «От несоизмеримых отрезков до Луны» заняться подробным изучением треугольников Панкина. Именно творчество Панкина А.Ф. его полотна «Запуск треугольника Фибоначчи на Луну» и «Запуск треугольника Фибоначчи на Солнце» позволили мне перейти к спиралям. В будущем году я продолжу исследования, обратив внимание на числа Фибоначчи.

Я научилась анализировать, делать выводы, ставить вопросы «А что дальше?», «Почему..?», процессу абстрагирования (как Панкин А.Ф.).

На уроках геометрии

В рамках поставленной цели и задач моя работа завершена.

Литература

Акулич А.Ф. «На вернисаже как-то раз…» стр56 журнал «Математика для школьников» №2 2010 г.

Виноградов И.М. Аналитическая геометрия.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 176 с.

Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые.М.1978 г.Из-во «Наука»158 стр.

Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. 5 - томов, том 5 (стр 142)

Воробьев Н.Н. Числа Фиббоначи. М.1978 г. И «Наука» 144 стр.

Колосова А.А «Книги для внеклассного чтения по математике» М. 1963 г.

Маркушевич А.И. Замечательные кривые. М. 1978 г.Из-во «Наука» 48 стр.

Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Наука 1978.

Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1984. - 160 с.

Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математикаМ. «Педагогика»1989 г. 350 стр.

Приложение1. Рисунок из «Книги для внеклассного чтения по математике» Колосова А.А.

Приложение 2. Учебник «Алгебра 8 класс» Мордкович А.Г.

Приложение 3 Панкин А.Ф. «Запуск треугольника Фибоначчи на Луну. 2004 г

Приложение 4

Приложение 5. Золотой прямоугольник

Приложение 5. Золотая спираль

1 Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.»Педагогика» стр 278.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических "умений". Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти "волшебные" свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения "меньше" ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ - известные натуральные числа, а $x$ - неизвестное натуральное число, требует введения новой операции - вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $ 1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$

Теперь рассмотрим уравнения вида $a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ - известные целые числа, а $x$ - неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент $\frac{1}{a}$ or $a^{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$. Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ - известное рациональное число, а $x$ - неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ - непустое подмножество множества действительных чисел. Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$. Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид $z=a+ib$, где $(a,b)$ - пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ - нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ - нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.